三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第八章 立体几何初步 文（打包5套）.zip

221第 一 节 空 间 几 何 体 的 结 构 及 其 三 视 图 、 直 观 图A组 三年高考真题（2016～2014 年）1.(2015·北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A.1 B. 2C. D.23第 1题图 第 2题图2.(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. ＋2π B. 13 13π6C. D.7π3 5π23.(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3π B.4πC.2π＋4 D.3π＋4第 3题图 第 4题图4.(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A．8 cm 3 B．12 cm 3 C. cm3 D. cm3323 4035.(2015·福建，9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )222A.8＋2 B.11＋22 2C.14＋2 D.1526.(2014·辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8－ B.8－ π4 π2C.8－π D.8－2π7.(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm38.(2014·新课标全国Ⅰ，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱9.(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )223A. B. 1727 59C. D.1027 1310．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.11.(2014·北京，11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．B组 两年模拟精选(2016～2015 年)1.(2016·成都市一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是( )2.(2016·湖南衡阳大联考)如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A.4 B.4 2C.4 D.832243.(2016·桂林市一调)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )4.(2016·石家庄二中一模)如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值为( )A.4 B.5C.3 D.32 35.(2015·北京朝阳区期末)一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1 B.2C.3 D.46.(2015·山西质量监测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )225A. B.6＋152 3C. ＋3 D.432 3 37.(2015·江西师大附中、宜春中学联考)某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )8.(2015·辽宁沈阳质量监测)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A.1 B.52C. D.26 3答案精析A组 三年高考真题（2016～2014 年）1.解析 四棱锥的直观图如图所示， PC⊥平面 ABCD， PC＝1，底面四边形 ABCD为正方形且边长为 1，最长棱长 PA＝ ＝ .12＋ 12＋ 12 3答案 C 2.解析 该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成，其体积为 V＝π×1 2×2＋ × π×1 2×1＝2π＋ ＝ .12 13 π6 13π6答案 B 2263.解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则表面积为： S＝2× π×1 2＋ ×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝4＋3π.12 12答案 D 4.解析 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm的正方体与底面为边长为 2 cm正方形、高为 2 cm的四棱锥组成， V＝ V 正方体 ＋ V 四棱锥 ＝8 cm 3＋ cm3＝ cm3.故选 C.83 323答案 C 5.解析 该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S 表 ＝2× (1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2× ＝11＋2 ，故选 B.12 2 2答案 B 6.解析 该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积 V＝2 3－ ×π×1 2×2×2＝8－π，故选 C.14答案 C 7.解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积 V＝ V 四棱柱 ＋ V 三棱柱 ＝4×6×3＋ ×4×3×3＝90(cm 3)．12答案 B 8.解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱，答案 B 9.解析 由三视图可知该零件是一个底面半径为 2、高为 4的圆柱和一个底面半径为 3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积 V1＝π·2 2·4＋π·3 2·2＝34π，原来的圆柱体毛坯的体积为 V＝π·3 2·6＝54π，则切削掉部分的体积为 V2＝54π－34π＝20π，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为 ＝ .故选 C.20π54π 1027227答案 C10.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，底面半径为 1，圆锥的高为 1，圆柱的高为 2，所以其体积V＝2× ×π×1 2×1＋π×1 2×2＝ π.13 83答案 π 8311.解析 三视图所表示的几何体的直观图如图所示．结合三视图知， PA⊥平面 ABC， PA＝2， AB＝ BC＝ ， AC＝2，2所以 PB＝ ＝ ＝ ， PC＝ ＝2 ，PA2＋ AB2 4＋ 2 6 PA2＋ AC2 2所以该三棱锥最长棱的棱长为 2 .2答案 2 2B组 两年模拟精选(2016～2015 年)1.解析 由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故 C不可能.答案 C2.解析 由三视图可知，几何体直观图如图所示，面积最小的面为面VAB，其面积为 ×2×4 ＝4 .12 2 2答案 B3.解析 只有 C项合适.答案 C4.解析 由三视图知该几何体是一个直三棱柱和一个三棱锥的组合体，如图所示.由图知 AC和 BD的长为几何体上任意两点间的距离的最大值，即为 ＝3 ，故选 D.32＋ 32＋ 32 3答案 D5.解析 满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形.答案 D6.解析 由题意得该几何体的侧视图由一个底为 ，高为 的等腰三角形和一个长为 3，3 3宽为 2的矩形组成，则其面积为 × × ＋2×3＝ ，故选 A.12 3 3 152答案 A2287.解析 将几何体置于正方体中，正视图和侧视图可能正确的是 A，故选 A.答案 A8.解析 由三视图在正方体中画出该几何体为三棱锥 DABC，计算得知面积最大的面为平面 ABD，其面积为×2 × ＝2 ，12 2 （ 22） 2－ （ 2） 2 3答案 D1第 三 节 空 间 点 、 线 、 面 的 位 置 关 系A组 三年高考真题（2016～2014 年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，11)平面 α 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A， α ∥平面 CB1D1，α ∩平面 ABCD＝ m， α ∩平面 ABB1A1＝ n，则 m， n所成角的正弦值为( ) A. B.32 22C. D.33 132.(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面 α ， β 交于直线 l.若直线 m， n满足m∥ α ， n⊥ β ，则( )A.m∥ l B.m∥ n C.n⊥ l D.m⊥ n3.(2015·广东，6)若直线 l1和 l2是异面直线, l1在平面 α 内, l2在平面 β 内, l是平面 α与平面 β 的交线,则下列命题正确的是( )A． l与 l1,l2都不相交B． l与 l1,l2都相交C． l至多与 l1,l2中的一条相交D． l至少与 l1,l2中的一条相交4.(2015·湖北，5) l1,l2表示空间中的两条直线,若 p： l1,l2是异面直线, q： l1,l2不相交,则( )A． p是 q的充分条件,但不是 q的必要条件B． p是 q的必要条件,但不是 q的充分条件C． p是 q的充分必要条件D． p既不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件5.(2015·浙江，4)设 α ， β 是两个不同的平面， l， m是两条不同的直线，且l⊂α ， m⊂β ( )A.若 l⊥ β ，则 α ⊥ β B.若 α ⊥ β ，则 l⊥ mC.若 l∥ β ，则 α ∥ β D.若 α ∥ β ，则 l∥ m6.(2015·四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．2(1)请将字母 F， G， H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG与平面 ACH的位置关系．并证明你的结论．(3)证明：直线 DF⊥平面 BEG.7.(2014·陕西，17)四面体 ABCD及其三视图如图所示，平行于棱 AD， BC的平面分别交四面体的棱 AB， BD， DC， CA于点 E， F， G， H.(1)求四面体 ABCD的体积；(2)证明：四边形 EFGH是矩形．8.(2014·新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD， E为 PD的中点．(1)证明： PB∥平面 AEC；(2)设 AP＝1， AD＝ ，三棱锥 PABD的体积 V＝ ，求 A到平面 PBC的距离．334B组 两年模拟精选(2016～2015 年)1.(2016·眉山市一诊)下列说法错误的是( )A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C.如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D.如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行2.(2016·汕头市质检)设 l， m是两条不同直线， α ， β 是两个不同平面，则下列命题中正确的是( ) A.若 l∥ α ， α ∩ β ＝ m，则 l∥ mB.若 l∥ α ， m⊥ l，则 m⊥ αC.若 l∥ α ， m∥ α ，则 l∥ mD.若 l⊥ α ， l∥ β ，则 α ⊥ β3.(2015·山西省三诊)已知 a， b， c是三条不同的直线，命题“ a∥ b且 a⊥ c⇒b⊥ c”是真3命题，如果把 a， b， c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个4.(2015·太原模拟)已知平面 α ∥ β ，且 α 与 β 的距离为 d(d0)， m⊂α ，则在 β 内与直线 m的距离为 2d的直线共有( )A.0条 B.1条C.2条 D.无数条5.(2015·黄冈中学检测)设 α ， β 是两个不同的平面， l， m为两条不同的直线，命题 p：若平面 α ∥ β ， l⊂α ， m⊂β ，则 l∥ m；命题 q： l∥ α ， m⊥ l， m⊂β ，则 β ⊥ α ，则下列命题为真命题的是( )A.p∨ q B.p∧ qC.( 綈 p)∨ q D.p∧(綈 q)6.(2015·深圳二模)对于不重合的两个平面 α ， β ，给定下列条件：①存在平面 γ ，使得 α ， β 都平行于 γ ；②存在平面 γ ，使得 α ， β 都垂直于 γ ；③ α 内有不共线的三点到 β 的距离相等；④存在异面直线 l， m，使得 l∥ α ， l∥ β ， m∥ α ， m∥ β .其中，一定能推出 α 与 β 平行的条件有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个4答案精析A组 三年高考真题（2016～2014 年）1.解析 如图所示，设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝ m1，∵ α ∥平面 CB1D1，∴ m1∥ m，又∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，平面 CB1D1∩平面A1B1C1D1＝ B1D1，∴ B1D1∥ m1，∴ B1D1∥ m，同理可得 CD1∥ n.故 m、 n的所成角的大小与 B1D1、 CD1所成角的大小相等，即∠ CD1B1的大小.而 B1C＝ B1D1＝ CD1(均为面对角线)，∴∠ CD1B1＝ ，∴sin∠ CD1B1＝ ，故选 A.π3 32答案 A2.解析 由已知， α ∩ β ＝ l，∴ l⊂β ，又∵ n⊥ β ，∴ n⊥ l，C 正确.故选 C.答案 C3.解析 若 l与 l1， l2都不相交则 l∥ l1， l∥ l2，∴ l1∥ l2，这与 l1和 l2异面矛盾，∴ l至少与 l1， l2中的一条相交．答案 D 4.解析 由 l1， l2是异面直线，可得 l1， l2不相交，所以 p⇒q；由 l1， l2不相交，可得 l1， l2是异面直线或 l1∥ l2，所以 q⇒/p.所以 p是 q的充分条件，但不是 q的必要条件．故选 A.答案 A 5.解析 选项 A：∵ l⊥ β ， l⊂α ，∴ α ⊥ β ，A 正确；选项 B： α ⊥ β ， l⊂α ， m⊂β ， l与 m位置关系不固定；选项 C，∵ l∥ β ， l⊂α ，∴ α ∥ β 或 α 与 β 相交；选项 D：∵ α ∥ β ， l⊂α ， m⊂β . ∴此时 l与 m位置关系不固定，故选 A.答案 A 6.(1) 解 点 F， G， H的位置如图所示．(2)证明 平面 BEG∥平面 ACH，证明如下：因为 ABCDEFGH为正方体，所以 BC∥ FG， BC＝ FG，又 FG∥ EH， FG＝ EH，所以 BC∥ EH， BC＝ EH，于是 BCHE为平行四边形，所以 BE∥ CH，5又 CH⊂平面 ACH， BE⊄平面 ACH，所以 BE∥平面 ACH，同理 BG∥平面 ACH，又 BE∩ BG＝ B，所以平面 BEG∥平面 ACH.(3)证明 连接 FH，因为 ABCDEFGH为正方体，所以 DH⊥平面 EFGH，因为 EG⊂平面 EFGH，所以 DH⊥ EG，又 EG⊥ FH， EG∩ FH＝ O，所以 EG⊥平面 BFHD，又 DF⊂平面 BFHD，所以 DF⊥ EG，同理 DF⊥ BG，又 EG∩ BG＝ G，所以 DF⊥平面 BEG.7.(1)解 由该四面体的三视图可知，BD⊥ DC， BD⊥ AD， AD⊥ DC， BD＝ CD＝2， AD＝1，∴ AD⊥平面 BDC，∴四面体体积 V＝ × ×2×2×1＝ .13 12 23(2)证明 ∵ BC∥平面 EFGH，平面 EFGH∩平面 BDC＝ FG，平面 EFGH∩平面 ABC＝ EH，∴ BC∥ FG， BC∥ EH，∴ FG∥ EH.同理 EF∥ AD， HG∥ AD，∴ EF∥ HG，∴四边形 EFGH是平行四边形．又∵ AD⊥平面 BDC，∴ AD⊥ BC，∴ EF⊥ FG，∴四边形 EFGH是矩形．8.(1)证明 设 BD与 AC的交点为 O，连接 EO.因为 ABCD为矩形，所以 O为 BD的中点．又 E为 PD的中点，所以 EO∥ PB.又因为 EO⊂平面 AEC， PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC.6(2)解 V＝ PA·AB·AD＝ AB，由 V＝ ，可得 AB＝ .16 36 34 32作 AH⊥ PB交 PB于 H，由题设知 BC⊥平面 PAB，所以 BC⊥ AH，所以 AH⊥平面 PBC.在 Rt△ PAB中， PB＝ ，所以 AH＝ ＝ ，即 A到平面 PBC的距离为 .132 PA·ABPB 31313 31313B组 两年模拟精选(2016～2015 年)1.解析 对于 D：一个等腰三角形的底放在桌面上，两个腰与桌面所成的角相等，但两腰所在直线不平行.答案 D2.解析 对于 A： l与 m可能异面，排除 A；对于 B： m与 α 可能平行或相交，排除 B；对于 C： l与 m可能相交或异面，排除 C；故选 D.答案 D3.解析 根据题意，可构成四个命题：①面 α ∥面 β ，且面 α ⊥面 γ ，则面 β ⊥面 γ ；②直线 a∥面 β ，且 a⊥面 γ ，则面 β ⊥面 γ ；③面 α ∥面 β ，且面 α ⊥直线 c，则面 β ⊥直线 c；④面 α ∥直线 b且面 α ⊥面 γ ，则直线 b⊥面 γ ，可知①②③为真命题，④中直线 b∥面 γ 也可行.答案 C4.解析 由题意得平面 β 内与直线 m的距离为 2d的直线为以直线 m为中心线，半径为 2d的圆柱面与平面 β 的交线，易知交线有 2条，故选 C.答案 C5.解析 命题 p： l和 m可能平行也可能异面，故 p为假命题；命题 q： α 和 β 可能平行也可能相交，故 q为假命题，因此 p∨ q为假， p∧ q为假，(綈 p)∨ q为真， p∧(綈 q)为假.答案 C6.解析 ①可以判定 α 与 β 平行；②可以推出 α 与 β 平行或相交；③不能推出 α 与 β 一定平行，如平面 α 内不共线的三点不在平面 β 的同一侧时， α 与β 相交；④一定可以判定 α 与 β 平行，∵可在平面 α 内作 l′∥ l， m′∥ m，则 l′与m′必相交.又 l∥ β ，m∥ β ，∴ l′∥ β ， m′∥ β ，∴ α ∥ β .故选 B.答案 B248第 四 节 直 线 、 平 面 平 行 的 判 定 与 性 质A组 三年高考真题（2016～2014 年）1.(2014·辽宁，4)已知 m， n表示两条不同直线， α 表示平面．下列说法正确的是( )A.若 m∥ α ， n∥ α ，则 m∥ n B.若 m⊥ α ， n⊂α ，则 m⊥ nC.若 m⊥ α ， m⊥ n，则 n∥ α D.若 m∥ α ， m⊥ n，则 n⊥ α2.(2016·新课标全国Ⅲ，19)如图，四棱锥 PABCD中， PA⊥底面ABCD， AD∥ BC， AB＝ AD＝ AC＝3， PA＝ BC＝4， M为线段 AD上一点， AM＝2 MD， N为 PC的中点.(1)证明： MN∥平面 PAB；(2)求四面体 NBCM的体积.3.(2015·北京，18)如图，在三棱锥 V-ABC中，平面 VAB⊥平面 ABC，△ VAB为等边三角形， AC⊥ BC，且 AC＝ BC＝ ， O， M分别为 AB， VA的中点．2(1)求证： VB∥平面 MOC；(2)求证：平面 MOC⊥平面 VAB；(3)求三棱锥 VABC的体积．4.(2015·广东，18)如图，三角形 PDC所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直， PD＝ PC＝4， AB＝6， BC＝3.(1)证明： BC∥平面 PDA；(2)证明： BC⊥ PD；(3)求点 C到平面 PDA的距离．5.(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 AC⊥ BC， BC＝ CC1.设 AB1的中点为 D， B1C∩ BC1＝ E.求证：(1) DE∥平面 AA1C1C；(2)BC1⊥ AB1.6.(2015·山东，18)如图，三棱台 DEF-ABC中， AB＝2 DE， G， H分别为AC， BC的中点．(1)求证： BD∥平面 FGH；(2)若 CF⊥ BC， AB⊥ BC，求证：平面 BCD⊥平面 EGH.7.(2014·四川，18)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1和 ACC1A1都为矩形．249(1)若 AC⊥ BC,证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1；(2)设 D,E分别是线段 BC,CC1的中点,在线段 AB上是否存在一点 M,使直线 DE∥平面 A1MC？请证明你的结论．8.(2014·山东，18)如图，四棱锥 PABCD中， AP⊥平面PCD， AD∥ BC， AB＝ BC＝ AD， E， F分别为线段 AD， PC的中点．12(1)求证： AP∥平面 BEF；(2)求证： BE⊥平面 PAC.9.(2014·安徽，19)如图，四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 8的正方形，四条侧棱长均为 2 .点 G， E， F， H分别是棱 PB， AB， CD， PC17上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD， BC∥平面 GEFH.(1)证明： GH∥ EF；(2)若 EB＝2，求四边形 GEFH的面积．B组 两年模拟精选(2016～2015 年)1.(2016·河南实验中学质量检测)已知直线 m， n和平面 α ，则 m∥ n的一个必要条件是( )A.m∥ α ， n∥ α B.m⊥ α ， n⊥ αC.m∥ α ， n⊂α D.m， n与 α 成等角2.(2016·四川资阳高考模拟)下列关于空间的直线和平面的叙述正确的是( )A.平行于同一平面的两直线平行B.垂直于同一平面的两平面平行C.如果两条互相垂直的直线分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直3.(2016·山东威海一模)关于两条不同的直线 m， n与两个不同的平面 α ， β ，下列命题正确的是( )A.m∥ α ， n∥ β ，且 α ∥ β ，则 m∥ nB.m⊥ α ， n⊥ β 且 α ⊥ β ，则 m∥ nC.m⊥ α ， n∥ β 且 α ∥ β ，则 m⊥ nD.m∥ α ， n⊥ β 且 α ⊥ β ，则 m∥ n4.(2016·贵州 4月适应性考试)已知 α ， β 表示两个不同平面， a， b表示两条不同直线，对于下列两个命题：①若 b⊂α ， a⊄α ，则“ a∥ b”是“ a∥ α ”的充分不必要条件；②若 a⊂α ， b⊂α ，则“ α ∥ β ”是“ a∥ β 且 b∥ β ”的充要条件.判断正确的是( )A.①，②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题250C.①是假命题，②是真命题 D.①，②都是假命题5.(2015·辽宁大连检测)已知 m， n是两条不同直线， α ， β ， γ 是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A.若 m∥ α ， n∥ α ，则 m∥ n B.若 α ⊥ γ ， β ⊥ γ ，则 α ∥ βC.若 m∥ α ， m∥ β ，则 α ∥ β D.若 m⊥ α ， n⊥ α ，则 m∥ n6.(2015·江西九校联考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1＝ AC＝2 AB＝2，且 BC1⊥ A1C.(1)求证：平面 ABC1⊥平面 A1ACC1；(2)设 D是 A1C1的中点，在线段 BB1上是否存在点 E，使 DE∥平面 ABC1？若 存在，求三棱锥 EABC1的体积；若不存在，请说明理由.答案精析A组 三年高考真题（2016～2014 年）1.解析 若 m∥ α ， n∥ α ，则 m与 n可能平行、相交或异面，故 A错；B正确；若 m⊥ α ， m⊥ n，则 n∥ α 或 n⊂α ，故 C错误；若 m∥ α ， m⊥ n，则 n与 α 可能平行、相交或 n⊂α ，故 D错误．因此选 B.答案 B 2.(1)证明 由已知得 AM＝ AD＝2.23取 BP的中点 T，连接 AT， TN，由 N为 PC中点知 TN∥ BC， TN＝ BC＝2.12又 AD∥ BC，故 TN綊 AM，四边形 AMNT为平行四边形，于是 MN∥ AT.因为 AT⊂平面 PAB， MN⊄平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.(2)解 因为 PA⊥平面 ABCD， N为 PC的中点，所以 N到平面 ABCD的距离为 PA.12取 BC的中点 E，连接 AE.由 AB＝ AC＝3 得 AE⊥ BC， AE＝ ＝ .AB2－ BE2 5由 AM∥ BC得 M到 BC的距离为 ，5故 S△ BCM＝ ×4× ＝2 .12 5 5所以四面体 NBCM的体积 VNBCM＝ ×S△ BCM× ＝ .13 PA2 4532513.解 (1)因为 O， M分别为 AB， VA的中点，所以 OM∥ VB，又因为 VB⊄平面 MOC，所以 VB∥平面 MOC.(2)因为 AC＝ BC， O为 AB的中点，所以 OC⊥ AB.又因为平面 VAB⊥平面 ABC，且 OC⊂平面 ABC，所以 OC⊥平面 VAB.所以平面 MOC⊥平面 VAB.(3)在等腰直角三角形 ACB中， AC＝ BC＝ ，所以 AB＝2， OC＝1，2所以等边三角形 VAB的面积 S△ VAB＝ .3又因为 OC⊥平面 VAB.所以三棱锥 CVAB的体积等于 ·OC·S△ VAB＝ ，13 33又因为三棱锥 VABC的体积与三棱锥 CVAB的体积相等，所以三棱锥 VABC的体积为 .334.解 (1)因为四边形 ABCD是长方形，所以 BC∥ AD，因为 BC⊄平面 PDA， AD⊂平面 PDA，所以 BC∥平面 PDA.(2)因为四边形 ABCD是长方形，所以 BC⊥ CD，因为平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDC∩平面 ABCD＝ CD， BC⊂平面 ABCD，所以 BC⊥平面 PDC，因为 PD⊂平面 PDC，所以 BC⊥ PD.(3)取 CD的中点 E，连接 AE和 PE.因为 PD＝ PC，所以 PE⊥ CD，在 Rt△ PED中， PE＝ ＝ ＝ .PD2－ DE2 42－ 32 7因为平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDC∩平面 ABCD＝ CD， PE⊂平面 PDC，所以 PE⊥平面 ABCD，由(2)知： BC⊥平面 PDC，由(1)知： BC∥ AD，所以 AD⊥平面 PDC，因为 PD⊂平面 PDC，所以 AD⊥ PD.设点 C到平面 PDA的距离为 h，因为 V 三棱锥 CPDA＝ V 三棱锥 PACD，所以 S△ PDA·h＝ S△ ACD·PE，即 h＝ ＝ ＝ ，13 13 S△ ACD·PES△ PDA12×3×6×712×3×4 372所以点 C到平面 PDA的距离是 .3722525.证明 (1)由题意知， E为 B1C的中点，又 D为 AB1的中点，所以 DE∥ AC.又因为 DE⊄平面 AA1C1C， AC⊂平面 AA1C1C，所以 DE∥平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC.因为 AC⊂平面 ABC，所以 AC⊥ CC1.又因为 AC⊥ BC， CC1⊂平面 BCC1B1， BC⊂平面 BCC1B1， BC∩ CC1＝ C，所以 AC⊥平面 BCC1B1.又因为 BC1⊂平面 BCC1B1，所以 BC1⊥ AC.因为 BC＝ CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，所以 BC1⊥ B1C.因为 AC， B1C⊂平面 B1AC， AC∩ B1C＝ C，所以 BC1⊥平面 B1AC.又因为 AB1⊂平面 B1AC，所以 BC1⊥ AB1.6.证明 (1)方法一 连接 DG， CD，设 CD∩ GF＝ M，连接 MH.在三棱台 DEFABC中， AB＝2 DE， G为 AC的中点，可得 DF∥ GC， DF＝ GC，所以四边形 DFCG为平行四边形．则 M为 CD的中点，又 H为 BC的中点，所以 HM∥ BD，又 HM⊂平面 FGH， BD⊄平面 FGH，所以 BD∥平面 FGH.253方法二 在三棱台 DEFABC中，由 BC＝2 EF， H为 BC的中点，可得 BH∥ EF， BH＝ EF，所以四边形 HBEF为平行四边形，可得 BE∥ HF.在△ ABC中， G为 AC的中点， H为 BC的中点，所以 GH∥ AB.又 GH∩ HF＝ H，所以平面 FGH∥平面 ABED.又因为 BD⊂平面 ABED，所以 BD∥平面 FGH.(2)连接 HE，因为 G， H分别为 AC， BC的中点，所以 GH∥ AB.由 AB⊥ BC，得 GH⊥ BC.又 H为 BC的中点，所以 EF∥ HC， EF＝ HC，因此四边形 EFCH是平行四边形，所以 CF∥ HE.又 CF⊥ BC，所以 HE⊥ BC.又 HE， GH⊂平面 EGH， HE∩ GH＝ H，所以 BC⊥平面 EGH.又 BC⊂平面 BCD，所以平面 BCD⊥平面 EGH.7.(1)证明 因为四边形 ABB1A1和 ACC1A1都是矩形，所以 AA1⊥ AB， AA1⊥ AC.因为 AB， AC为平面 ABC内两条相交直线，所以 AA1⊥平面 ABC.因为直线 BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥ BC.又由已知， AC⊥ BC， AA1， AC为平面 ACC1A1内两条相交直线，所以 BC⊥平面 ACC1A1.(2)解 取线段 AB的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O为 A1C， AC1的交点．254由已知可知， O为 AC1的中点．连接 MD， OE，则 MD， OE分别为△ ABC，△ ACC1的中位线，所以， MD綉 AC， OE綉 AC，12 12所以 MD綉 OE.连接 OM，从而四边形 MDEO为平行四边形，则 DE∥ MO.因为直线 DE⊄平面 A1MC， MO⊂平面 A1MC，所以直线 DE∥平面 A1MC.即线段 AB上存在一点 M(线段 AB的中点)，使直线 DE∥平面 A1MC.8.证明 (1)设 AC∩ BE＝ O，连接 OF， EC.由于 E为 AD的中点， AB＝ BC＝ AD， AD∥ BC，12所以 AE∥ BC， AE＝ AB＝ BC，所以四边形 ABCE为菱形，所以 O为 AC的中点．又 F为 PC的中点，所以在△ PAC中，可得 AP∥ OF.又 OF⊂平面 BEF， AP⊄平面 BEF，所以 AP∥平面 BEF.(2)由题意知 ED∥ BC， ED＝ BC.所以四边形 BCDE为平行四边形，所以 BE∥ CD.又 AP⊥平面 PCD，所以 AP⊥ CD，所以 AP⊥ BE.因为四边形 ABCE为菱形，所以 BE⊥ AC.又 AP∩ AC＝ A， AP、 AC⊂平面 PAC，所以 BE⊥平面 PAC.9.(1)证明 因为 BC∥平面 GEFH， BC⊂平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝ GH，所以 GH∥ BC.同理可证 EF∥ BC，所以 GH∥ EF.(2)解 连接 AC， BD交于点 O， BD交 EF于点 K，连接 OP， GK.因为 PA＝ PC， O是 AC的中点，255所以 PO⊥ AC，同理可得 PO⊥ BD.又 BD∩ AC＝ O，且 AC， BD都在底面内，所以 PO⊥底面 ABCD.又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD，且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH.因为平面 PBD∩平面 GEFH＝ GK，所以 PO∥ GK，且 GK⊥底面 ABCD，所以 GK⊥ EF，所以 GK是梯形 GEFH的高．由 AB＝8， EB＝2 得 EB∶ AB＝ KB∶ DB＝1∶4，所以 KB＝ DB＝ OB，即 K为 OB的中点．14 12再由 PO∥ GK得 GK＝ PO，即 G是 PB的中点，且 GH＝ BC＝4.12 12由已知可得 OB＝4 ， PO＝ ＝ ＝6，所以 GK＝3.2 PB2－ OB2 68－ 32故四边形 GEFH的面积 S＝ ·GK＝ ×3＝18.GH＋ EF2 4＋ 82B组 两年模拟精选(2016～2015 年)1.解析 若 m∥ n，则 m， n与平面 α 平行、相交、在平面上都有可能；平行所成的角一定相等，反之不成立.答案 D2.解析 对于 A，两直线平行，相交，异面均有可能；对于 B，两平面也可能相交；对于 D，两平面也可能平行，故 A、B、D 错误，C 正确.答案 C3.解析 由 m⊥ α ， α ∥ β 得 m⊥ β ，又 n∥ β ，所以 m⊥ n.答案 C4.解析 由 b⊂α ,a⊄α ,a∥ b,可得 a∥ α ,反之由 a∥ α ,b⊂α 可知 a与 b平行或异面,①正确；对于②,若 a∥ b,则由 a⊂α ,b⊂α ,a∥ β ,b∥ β 不能得到 α ∥ β ,故②错误.答案 B5.解析 对于 A,同时平行于平面 α 的两直线可能相交、平行、异面,因此 A不正确；对于 B,垂直于同一平面的两个平面未必平行,它们也可能是相交的两个平面,因此 B不正确；对于 C,平行于同一直线的两个平面未必平行,它们也可能是相交的两个平面，因此 C不正确；对于 D,由垂直于同一平面的两条直线平行可知，D 正确.故选 D.答案 D6.(1)证明 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，有 A1A⊥平面 ABC，256∴ A1A⊥ AC，又 A1A＝ AC，四边形 ACC1A为正方形，∴ A1C⊥ AC1.又 BC1⊥ A1C，且 BC1∩ AC1＝ C1，∴ A1C⊥平面 ABC1，又 A1C⊂平面 ABC1，∴平面 ABC1⊥平面 A1ACC1.(2)解 存在.取 A1A的中点 F，连接 EF， FD，当 E为 B1B中点时， EF∥ AB， DF∥ AC1.又 EF∩ DF＝ F， AB∩ AC1＝ A，∴平面 EFD∥平面 ABC1，又 ED⊂平面 EFD，∴ ED∥平面 ABC1.当 E为 BB1中点时， ＝ ＝ × ×1×1×2＝ .1EABCV1E13 12 13