优化探究2017届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 理（课件+习题）（打包26套）新人教A版.zip

- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第二章 第八节 函数与方程课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1． f(x)是 R 上的偶函数， f(x＋2)＝ f(x)，当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x2，则函数 y＝ f(x)－|log 5 x|的零点个数为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：由零点的定义可得 f(x)＝|log 5x|，两个函数图象如图，总共有 5 个交点，所以共有 5 个零点．答案：B2．(2015·长沙模拟)若 a＜ b＜ c，则函数 f(x)＝( x－ a)(x－ b)＋( x－ b)(x－ c)＋( x－ c)(x－ a)的两个零点分别位于区间( )A．( a， b)和( b， c)内B．(－∞， a)和( a， b)内C．( b， c)和( c，＋∞)内D．(－∞， a)和( c，＋∞)内解析：本题考查零点的存在性定理．依题意得 f(a)＝( a－ b)(a－ c)＞0， f(b)＝( b－ c)(b－ a)＜0， f(c)＝( c－ b)(c－ a)＞0，因此由零点的存在性定理知 f(x)的零点位于区间(a， b)和( b， c)内，故选 A.答案：A3．设函数 f(x)＝e x＋2 x－4， g(x)＝ln x＋2 x2－5，若实数 a， b 分别是 f(x)， g(x)的零点，则( )A． g(a)＜0＜ f(b) B． f(b)＜0＜ g(a)C．0＜ g(a)＜ f(b) D． f(b)＜ g(a)＜0解析：依题意， f(0)＝－3＜0， f(1)＝e－2＞0，且函数 f(x)是增函数，因此函数 f(x)的零点在区间(0,1)内，即 0＜ a＜1. g(1)＝－3＜0， g(2)＝ln 2＋3＞0，函数 g(x)的零点在区间(1,2)内，即 1＜ b＜2，于是有 f(b)＞ f(1)＞0.又函数 g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)＜ g(1)＜0， g(a)＜0＜ f(b)．选 A.答案：A4．若函数 f(x)＝ ax－ x－ a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是( )A．(2，＋∞) B.(0，12)C．(1，＋∞) D．(0,1)- 2 -解析：函数 f(x)＝ ax－ x－ a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，就是函数 y＝ ax(a＞0 且 a≠1)与函数 y＝ x＋ a(a0 且 a≠1)的图象有两个交点，由图 1 知，当 0＜ a＜1 时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图 2 知，当 a＞1 时，因为函数 y＝ ax(a＞1)的图象与 y 轴交于点(0,1)，而直线 y＝ x＋ a 与 y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数 a 的取值范围是 a＞1.答案：C5．(2015·武汉调研)设 a1， a2， a3均为正数， λ 1＜ λ 2＜ λ 3，则函数 f(x)＝ ＋a1x－ λ 1＋ 的两个零点分别位于区间( )a2x－ λ 2 a3x－ λ 3A．(－∞， λ 1)和( λ 1， λ 2)内B．( λ 1， λ 2)和( λ 2， λ 3)内C．( λ 2， λ 3)和( λ 3，＋∞)内D．(－∞， λ 1)和( λ 3，＋∞)内解析：本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当 x∈( λ 1， λ 2)时，函数图象连续，且 x→ λ 1， f(x)→＋∞， x→ λ 2， f(x)→－∞，所以函数 f(x)在( λ 1， λ 2)上一定存在零点；同理当 x∈( λ 2， λ 3)时，函数图象连续，且 x→ λ 2， f(x)→＋∞， x→ λ 3， f(x)→－∞，所以函数 f(x)在( λ 2， λ 3)上一定存在零点，故选 B.答案：B6．若 f(x)＝Error!则函数 g(x)＝ f(x)－ x 的零点为________．解析：求函数 g(x)＝ f(x)－ x 的零点，即求 f(x)＝ x 的根，∴Error!或Error!解得 x＝1＋ 或 x＝1.2∴ g(x)的零点为 1＋ ，1.2答案：1＋ ，127．用二分法求方程 x3－2 x－5＝0 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为 x0＝2.5，那么下一个有根的区间为________．解析：令 f(x)＝ x3－2 x－5，则 f(2)＝－1＜0，f(2.5)＝2.5 3－10＞0.从而下一个有根的区间为(2,2.5)．- 3 -答案：(2,2.5)8．已知函数 f(x)＝ln x＋3 x－8 的零点 x0∈[ a， b]，且 b－ a＝1， a， b∈N *，则a＋ b＝________.解析：∵ f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函数 f(x)＝ln x＋3 x－8 在(0，＋∞)上为增函数，∴ x0∈[2,3]，即 a＝2， b＝3.∴ a＋ b＝5.答案：59．关于 x 的方程 mx2＋2( m＋3) x＋2 m＋14＝0 有两实根，且一个大于 4，一个小于 4，求实数 m 的取值范围．解：令 f(x)＝ mx2＋2( m＋3) x＋2 m＋14，依题意得Error!或Error!即Error!或Error!解得－ m0，1913即实数 m 的取值范围是 .(－1913， 0)10．设函数 f(x)＝ x2＋2 bx＋ c(c＜ b＜1)的一个零点是 1，且函数 g(x)＝ f(x)＋1 也有零点．(1)证明：－3＜ c≤－1，且 b≥0；(2)若 m 是函数 g(x)的一个零点，试判断 f(m－4)的正负并加以证明．解：(1)证明：由 f(1)＝0，得 b＝－ .又 c＜ b＜1，故c＋ 12c＜－ ＜1，∴－3＜ c＜－ .c＋ 12 13方程 f(x)＋1＝0 有实根，即方程 x2＋2 bx＋ c＋1＝0 有实根，故 Δ ＝4 b2－4( c＋1)≥0，即 c2－2 c－3≥0.∴ c≥3，或 c≤－1，又－3＜ c＜－ ，13所以－3＜ c≤－1.又 b＝－ ，∴ b≥0.c＋ 12(2)∵ f(x)＝ x2＋2 bx＋ c＝( x－ c)(x－1)，且 m 是函数 g(x)＝ f(x)＋1 的一个零点，∴ f(m)＝－1＜0，故 c＜ m＜1.- 4 -∴ c－4＜ m－4＜－3＜ c.∴ f(m－4)＝( m－4－ c)(m－4－1)＞0，所以 f(m－4)的符号为正．B 组 高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A． y＝cos x B． y＝sin xC． y＝ln x D． y＝ x2＋1解析： y＝cos x 是偶函数，且存在零点； y＝sin x 是奇函数； y＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数； y＝ x2＋1 是偶函数，但不存在零点．故选 A.答案：A2．(2015·高考天津卷)已知函数 f(x)＝Error!函数 g(x)＝ b－ f(2－ x)，其中 b∈R.若函数 y＝ f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是( )A. B.(74， ＋ ∞ ) (－ ∞ ， 74)C. D.(0，74) (74， 2)解析：函数 y＝ f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，即方程 f(x)－ g(x)＝0，即 b＝ f(x)＋ f(2－ x)有4 个不同的实数根，即直线 y＝ b 与函数 y＝ f(x)＋ f(2－ x)的图象有 4 个不同的交点．又y＝ f(x)＋ f(2－ x)＝Error!作出该函数的图象如图所示，由图可得，当 ＜ b＜2 时，直线74y＝ b 与函数 y＝ f(x)＋ f(2－ x)有 4 个交点，故选 D.答案：D3．(2015·高考湖北卷)函数 f(x)＝4cos 2 cos －2sin x－|ln( x＋1)|的零点个x2 (π 2－ x)数为________．解析：因为 f(x)＝4cos 2 cos －2sin x－|ln( x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x2 (π 2－ x)- 5 -x－|ln( x＋1)|＝sin 2x－|ln( x＋1)|，所以函数 f(x)的零点个数为函数 y＝sin 2x 与y＝|ln( x＋1)|图象的交点的个数．函数 y＝sin 2x 与 y＝|ln( x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有 2 个交点，所以函数 f(x)有 2 个零点．答案：24．(2015·高考湖南卷)已知函数 f(x)＝Error!若存在实数 b，使函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，则 a 的取值范围是________．解析：令 φ( x)＝ x3(x≤ a)， h(x)＝ x2(x＞ a)，函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，即函数 y＝ f(x)的图象与直线 y＝ b 有两个交点，结合图象(图略)可得 a＜0 或 φ( a)＞ h(a)，即a＜0 或 a3＞ a2，解得 a＜0 或 a＞1，故 a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)5．(2014·高考江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0,3)时，f(x)＝ .若函数 y＝ f(x)－ a 在区间[－3,4]上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a|x2－ 2x＋12|的取值范围是________．解析：当 x∈[0,3)时， f(x)＝ ＝ ，由 f(x)是周期为 3 的函数，|x2－ 2x＋12| | x－ 1 2－ 12|作出 f(x)在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程 a＝ f(x)在[－3,4]上有 10 个不同的根．由图可知 a∈ .(0，12)答案： (0，12)- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第二章 第二节 函数的单调性与最值课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．(2015·吉林二模)下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( )A． y＝e － x B． y＝ xC． y＝ln x D． y＝| x|解析：因为定义域是 R，排除 C，又是增函数，排除 A、D，所以选 B.答案：B2．(2015·河南信阳期末调研)下列四个函数：① y＝3－ x；② y＝ ；1x2＋ 1③ y＝ x2＋2 x－10；④ y＝Error!其中值域为 R 的函数有( )A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个解析：依题意，注意到 y＝3－ x 与函数 y＝Error!的值域均是 R，函数 y＝ 的值域是1x2＋ 1(0,1]，函数 y＝ x2＋2 x－10＝( x＋1) 2－11 的值域是[－11，＋∞)，因此选 B.答案：B3．若函数 f(x)＝－ x2＋2 ax 与函数 g(x)＝ 在区间[1,2]上都是减函数，则实数 a 的ax＋ 1取值范围为( )A．(0,1)∪(0,1) B．(0,1)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]解析：注意到 f(x)＝－( x－ a)2＋ a2；依题意得Error!即 0 f(3a)的解集为( )A．(2,6) B．(－1,4)C．(1,4) D．(－3,5)解析：作出函数 f(x)的图象，如图所示，则函数 f(x)在 R 上是单调递减的．由 f(a2－4) f(3a)，可得 a2－4f(－2) f(3)．即 f(1)f(2)f(3)．答案： f(1)f(－2) f(3)7．设函数 f(x)＝Error! g(x)＝ x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间是________．解析： g(x)＝Error!如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8．(2015·长春二模)已知函数 f(x)＝| x＋ a|在 (－∞，－1)上是单调函数，则 a 的取值范围是________．解析：因为函数 f(x)在(－∞，－ a)上是单调函数，所以－ a≥－1，解得 a≤1.答案：(－∞，1]9．已知 f(x)＝ (x≠ a)．xx－ a(1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围．解：(1)证明：任设 x10， x1－ x20 时， f(x)在(－∞， a)，( a，＋∞)上是减函数，又 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴00，令函数x1x＋ 3f(x)＝ g(x)·h(x)．(1)求函数 f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当 a＝ 时，求函数 f(x)的值域．14解：(1)∵ f(x)＝ g(x)·h(x)＝( ＋1) ＝ ，x1x＋ 3 x＋ 1x＋ 3∴ f(x)＝ ， x∈[0， a](a0)．x＋ 1x＋ 3(2)函数 f(x)的定义域为 ，[0，14]令 ＋1＝ t，则 x＝( t－1) 2， t∈ ，x [1，32]f(x)＝ F(t)＝ ＝ .tt2－ 2t＋ 4 1t＋ 4t－ 2∵ t＝ 时， t＝±2∉ ，又 t∈ 时， t＋ 单调递减， F(t)单调递增，4t [1， 32] [1， 32] 4t∴ F(t)∈ .[13， 613]即函数 f(x)的值域为 .[13， 613]B 组 高考题型专练1．(2014·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A． y＝ B． y＝( x－1) 2x＋ 1- 4 -C． y＝2 － x D． y＝log 0.5(x＋1)解析： y＝( x－1) 2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除 B； y＝2 － x＝ x为减函数，排除(12)C；因为 y＝log 0.5t 为减函数， t＝ x＋1 为增函数，所以 y＝log 0.5(x＋1)为减函数，排除D； y＝ 和 t＝ x＋1 均为增函数，所以 y＝ 为增函数，故选 A.t x＋ 1答案：A2．(2013·高考安徽卷)“ a≤0”是“函数 f(x)＝|( ax－1) x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由二次函数的图象和性质知 f(x)＝|( ax－1) x|在(0，＋∞)内单调递增，只需f(x)的图象在(0，＋∞)上与 x 轴无交点，即 a＝0 或 0，且 a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为 f(x)＝Error!所以当 x≤2 时， f(x)≥4；又函数 f(x)的值域为[4，＋∞)，所以Error!解得 1a≤2，所以实数 a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]4．(2015·高考湖北卷) a 为实数，函数 f(x)＝| x2－ ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当 a＝________时， g(a)的值最小．解析： f(x)＝ ，其在区间[0,1]上的最大值必在 x＝0， x＝1， x＝ 处产生，|(x－a2)2－ a24| a2即 g(a)＝max ＝max ＝max ，在同一坐{f 0 ， f 1 ， f(a2)} {0， |1－ a|， a24} {|1－ a|， a24}标系中分别画出 y＝|1－ a|， y＝ 的图象可知(图略)，在两图象的交点处， g(a)取得最小值，a24此时 1－ a＝ ，则 a＝2 － 2(－2－2 舍去)．a24 2 2答案：2 －22- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数的模型及其应用课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )解析：注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为 D.答案：D2．已知某种动物的繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝ alog3(x＋1)，设这种动物第2 年有 100 只，则到第 8 年它们将发展到( )A．200 只 B．300 只C．400 只 D．500 只解析：由题意，繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝ alog3(x＋1)，这种动物第 2 年有 100 只，∴100＝ alog3(2＋1)，∴ a＝100，∴ y＝100log 3(x＋1)，∴当 x＝8 时，y＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选 A.答案：A3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 m，两侧距离地面 3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为 6 m，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到 0.1 m)( )A．6.9 m B．7.0 mC．7.1 m D．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为 y＝ ax2(a0，又当k1xx＝10 时， y1＝2， y2＝8，故 k1＝20， k2＝ .所以 y1＋ y2＝ ＋ x≥2 ＝8，当且仅当45 20x 45 20x·45x＝ x，即 x＝5 时取等号．20x 45答案：A6．(2015·西宁五中片区四校联考)某城市出租车按如下方法收费：起步价 6 元，可行 3 km(含 3 km)， 3 km 后到 10 km(含 10 km)每走 1 km 加价 0.5 元，10 km 后每走 1 km 加价0.8 元，某人坐出租车走了 12 km，他应交费________元．解析：本题考查数学知识在实际问题中的应用．某人坐出租车走了 12 km，他应交费6＋0.5×7＋0.8×2＝11.1 元．答案：11.17．(2015·北京朝阳统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y(万元)与机器运转时间 x(x∈N *)(年)的关系为 y＝－ x2＋18 x－25，则每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：本题考查应用均值不等式解答实际问题．据已知每台机器的年平均利润关于运转- 3 -时间 x 的函数关系式为 g(x)＝ ＝ ＝18－ ，据均值不等式可得f xx － x2＋ 18x－ 25x (x＋ 25x)g(x)＝18－ ≤18－2 ＝8，当且仅当 x＝ ，即 x＝5 时取得等号．(x＋25x) x×25x 25x答案：5 88．某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地．则矩形温室的蔬菜的种植面积最大值是________m 2.解析：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则 ab＝800 m2.蔬菜的种植面积S＝( a－4)·( b－2)＝ ab－4 b－2 a＋8＝808－2( a＋2 b)．∴ S≤808－4 ＝648(m 2)．当且仅2ab当 a＝2 b，即 a＝40 m， b＝20 m 时， Smax＝648 m 2.答案：6489．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为 f(x)＝ k1x， g(x)＝ k2 .x由已知得 f(1)＝ ＝ k1， g(1)＝ ＝ k2，18 12所以 f(x)＝ x(x≥0)， g(x)＝ (x≥0)．18 12x(2)设投资债券类产品 x 万元，则投资股票类产品(20－ x)万元．则收益(单位：万元)为 y＝ f(x)＋ g(20－ x)＝ ＋ (0≤ x≤20)．x8 1220－ x设 t＝ (0≤ t≤2 )，则 y＝ ＋ t＝－ (t－2) 2＋3，20－ x 520－ t28 12 18所以当 t＝2，即 x＝16 时，收益最大，最大收益为 3 万元．10．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月，预测上市初期和后期因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：① f(x)＝ p·qx；② f(x)＝ px2＋ qx＋1；③ f(x)＝ x(x－ q)2＋ p(以上三式中 p， q均为常数，且 q1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若 f(0)＝4， f(2)＝6，求出所选函数 f(x)的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x＝0 表示 8 月 1 日， x＝1 表示 9 月 1 日，以此类推)；- 4 -(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数 f(x)＝ x(x－ q)2＋ p.(2)对于 f(x)＝ x(x－ q)2＋ p，由 f(0)＝4， f(2)＝6，可得 p＝4，(2－ q)2＝1，又 q1，所以 q＝3，所以 f(x)＝ x3－6 x2＋9 x＋4(0≤ x≤5)．(3)因为 f(x)＝ x3－6 x2＋9 x＋4(0≤ x≤5)，所以 f′( x)＝3 x2－12 x＋9，令 f′( x)0，得 1x3.所以函数 f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在 9 月、10 月两个月内价格下跌．B 组 高考题型专练1．(2015·高考四川卷)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝e kx＋ b(e＝2.718…为自然对数的底数， k， b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( )A．16 小时 B．20 小时C．24 小时 D．28 小时解析：由已知得 192＝e b，①48＝e 22k＋ b＝e 22k·eb，②将①代入②得 e22k＝ ，则 e11k＝ ，14 12当 x＝33 时， y＝e 33k＋ b＝e 33k·eb＝ 3×192＝24，所以该食品在 33 ℃的保鲜时间是 24(12)小时．故选 C.答案：C2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )- 5 -解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选 C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为 x， y， z，且 xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为 a， b， c，且 abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A． ax＋ by＋ cz B． az＋ by＋ cxC． ay＋ bz＋ cx D． ay＋ bx＋ cz解析：采用特值法进行求解验证即可，若 x＝1， y＝2， z＝3， a＝1， b＝2， c＝3，则ax＋ by＋ cz＝14， az＋ by＋ cx＝10， ay＋ bz＋ cx＝11， ay＋ bx＋ cz＝13.由此可知最低的总费用是 az＋ by＋ cx.答案：B4．(2015·高考北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)2015 年 5 月 1 日 12 35 0002015 年 5 月 15 日 48 35 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( )A．6 升 B．8 升C．10 升 D．12 升解析：因为第一次(即 5 月 1 日)把油加满，而第二次把油加满加了 48 升，即汽车行驶35 600－35 000＝600 千米耗油 48 升，所以每 100 千米的耗油量为 8 升，选 B.答案：B5．(2014·高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F＝ .76 000vv2＋ 18v＋ 20l- 6 -(1)如果不限定车型， l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型， l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解析：(1)当 l＝6.05，则 F＝ ＝ ，由基本不等式 v＋ ≥276 000vv2＋ 18v＋ 121 76 000v＋ 18＋ 121v 121v＝22 ，得 F≤ ＝1 900(辆/小时)，故答案为 1 900.12176 00022＋ 18(2)l＝5， F＝ ＝ ，由基本不等式 v＋ ≥2 ＝20，得 F≤76 000vv2＋ 18v＋ 100 76 000v＋ 18＋ 100v 100v 100＝2 000(辆/小时)，增加 2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为 100.76 00020＋ 18答案：(1)1 900 (2)100- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第二章 第六节 对数与对数函数课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．函数 f(x)＝log a |x|＋1(0＜ a＜1)的图象大致为( )解析：由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 y 轴对称．设 g(x)＝log a|x|，先画出 x＞0 时， g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x＜0 时g(x)的图象，最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A.答案：A2．设 a＝3 0.5， b＝0.5 3， c＝log 0.5 3，则 a， b， c 的大小关系为( )A． b＜ c＜ a B． b＜ a＜ cC． c＜ b＜ a D． c＜ a＜ b解析：因为 a＝3 0.5＞3 0＝1,0＜ b＝0.5 3＜0.5 0＝1， c＝log 0.5 3＜log 0.5 1＝0，所以c＜0＜ b＜1＜ a，故选 C.答案：C3．(2015·郑州二检)若正数 a， b 满足 2＋log 2a＝3＋log 3b＝log 6 (a＋ b)，则 ＋ 的值1a 1b为( )A．36 B．72C．108 D.172解析：设 2＋log 2a＝3＋log 3b＝log 6(a＋ b)＝ k，可得 a＝2 k－2 ， b＝3 k－3 ， a＋ b＝6 k，所以 ＋ ＝ ＝ ＝108.所以选 C.1a 1b a＋ bab 6k2k－ 23k－ 3答案：C4．(2015·长春质检)已知函数 f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )- 2 -A． f(3)＜ f(－2)＜ f(1)B． f(1)＜ f(－2)＜ f(3)C． f(－2)＜ f(1)＜ f(3)D． f(3)＜ f(1)＜ f(－2)解析：因为 f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上单调递增，所以 a＞1， f(1)＜ f(2)＜ f(3)．又函数 f(x)＝log a |x|为偶函数，所以 f(2)＝ f(－2)，所以 f(1)＜ f(－2)＜ f(3)．答案：B5．已知函数 f(x)＝log 2 是奇函数，则使 f(x)＜0 的 x 的取值范围是( )(21－ x＋ t)A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由 f(－ x)＝－ f(x)得 log2 ＝－log 2 ，所以(21＋ x＋ t) ( 21－ x＋ t)＋ t＝ ，整理得 1－ x2＝(2＋ t)2－ t2x2，可得 t2＝1 且( t＋2) 2＝1，所以21＋ x 121－ x＋ tt＝－1，则 f(x)＝log 2 ＜0，即Error!，解得－1＜ x＜ 0.1＋ x1－ x答案：A6．(2015·深圳一模)lg ＋lg ＋2 0＋ 2× ＝________.2 5 (5) 35解析：lg ＋lg ＋2 0＋ 2× ＝lg ＋1＋5 ×5 ＝ ＋5＝ .2 5 (5) 35 10 3132 132答案：1327．若 loga(a2＋1)＜log a2a＜0，则实数 a 的取值范围是________．解析：∵ a2＋1＞1，log a ＜0，∴0＜ a＜1.(a2＋ 1)又 loga 2a＜0，∴2 a＞1，∴ a＞ .12∴实数 a 的取值范围是 .(12， 1)答案： (12， 1)8．(2015·成都摸底)关于函数 f(x)＝lg ，有下列结论：x2＋ 1x①函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)；②函数 f(x)是奇函数；③函数 f(x)的最小值为 lg 2；- 3 -④当 x＞0 时，函数 f(x)是增函数．其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号)．解析：函数 f(x)＝lg 的定义域为(0，＋∞)，其为非奇非偶函数，即得①正确，x2＋ 1x②不正确；由 f(x)＝lg ＝lg ≥lg ＝lg 2，得③正确；函数 u＝ x＋x2＋ 1x (x＋ 1x) (2 x×1x)在 x∈(0,1)时为减函数，在 x∈(1，＋∞)时为增函数，函数 y＝lg u 为增函数，所以函数1xf(x)在 x∈(0,1)时为减函数，在 x∈(1，＋∞)时为增函数，即得命题④不正确．故应填①③.答案：①③9．设 f(x)＝log a(1＋ x)＋log a(3－ x)(a0， a≠1)，且 f(1)＝2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；(2)求 f(x)在区间 上的最大值．[0，32]解：(1)∵ f(1)＝2，∴log a4＝2( a0， a≠1)，∴ a＝2.由Error!得 x∈(－1,3)，∴函数 f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log 2(1＋ x)＋log 2(3－ x)＝log 2(1＋ x)(3－ x)＝log 2[－( x－1) 2＋4]，∴当 x∈(－1,1]时， f(x)是增函数；当 x∈(1,3)时， f(x)是减函数，∴函数 f(x)在 上的最大值是 f(1)＝log 24＝2.[0，32]10．已知 f(x)＝log a x(a＞0 且 a≠1)，如果对于任意的 x∈ 都有| f(x)|≤1 成立，[13， 2]求 a 的取值范围．解：由已知 f(x)＝log a x，当 0＜ a＜1 时， －| f(2)|＝log a ＋log a2＝log a ＞0，|f(13)| 13 23当 a＞1 时， －| f(2)|＝－log a －log a2＝－log a ＞0，|f(13)| 13 23 故＞| f(2)|总成立．则 y＝| f(x)|的图象如图．|f(13)|要使 x∈ 时恒有| f(x)|≤1，[13， 2]只需 ≤1，即－1≤log a ≤1，即 logaa－1 ≤log a ≤log aa，|f(13)| 13 13- 4 -当 a＞1 时，得 a－1 ≤ ≤ a，即 a≥3；13当 0＜ a＜1 时，得 a－1 ≥ ≥ a，得 0＜ a≤ .13 13综上所述， a 的取值范围是 ∪[3，＋∞)．(0，13]B 组 高考题型专练1．(2014·高考福建卷)若函数 y＝log ax(a0，且 a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：由 y＝log ax 的图象可知 loga3＝1，所以 a＝3.对于选项 A： y＝3 － x＝ x为减函(13)数，A 错误；对于选项 B： y＝ x3，显然满足条件；对于选项 C： y＝(－ x)3＝－ x3在 R 上为减函数，C 错误；对于选项 D： y＝log 3(－ x)，当 x＝－3 时， y＝1，D 错误．故选 B.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知函数 y＝log a(x＋ c)(a， c 为常数，其中 a＞0， a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A． a＞1， c＞1 B． a＞1,0＜ c＜1C．0＜ a＜1， c＞1 D．0＜ a＜1,0＜ c＜1解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0＜ a＜1.又当 x＝0 时， y＞0，即loga c＞0，所以 0＜ c＜1.答案：D3.(2015·高考北京卷)如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)≥log 2 (x＋1)的解集是( )A．{ x|－1＜ x≤0} B．{ x|－1≤ x≤1}C．{ x|－1＜ x≤1} D．{ x|－1＜ x≤2}- 5 -解析：在平面直角坐标系中作出函数 y＝log 2(x＋1)的图象如图所示．所以 f(x)≥log 2 (x＋1)的解集是{ x|－1＜ x≤1}，所以选 C.答案：C4．(2015·高考浙江卷)log 2 ＝________，2 ＝________.22 24log3l＋解析：log 2 ＝log 22 ＝－ ，2 ＝2 ＝2 ＝ ＝3 .22 112 4log3l＋3l 32log 27 3答案：－ 312 35．(2015·高考北京卷)2 －3, 3 ，log 25 三个数中最大的数是________．1解析：因为 2－3 ＝ ＝ ，3 ＝ ≈1.732，而 log24＜log 25，即 log25＞2，所以三个数123 18 12 3中最大的数是 log25.答案：log 25- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第二章 第七节 函数的图象课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．(2015·东北三校联考)函数 y＝ln cos x 的图象是( )(－π 2＜ x＜ π 2)解析：∵cos(－ x)＝cos x，∴ y＝ln cos x 是偶函数，可排除 B、D；(－π 2＜ x＜ π 2)由 cos x≤1 得 ln cos x≤0，排除 C，故选 A.答案：A2．函数 f(x)＝1＋log 2 x 与 g(x)＝2 1－ x在同一坐标系中的图象大致是( )解析：因为函数 f(x)＝1＋log 2 x 的零点是 ，排除 A； g(x)＝2 1－ x是减函数，且与 y 轴12的交点为(0,2)，排除 B 和 D，故选 C.答案：C3．(2016·西安质检)函数 f(x)＝ axm(1－ x)2在区间[0,1]上的图象如图所示，则 m 的值可能是( )A．1 B．2- 2 -C．3 D．4解析： f′( x)＝ maxm－1 (1－ x)2－2 axm(1－ x)＝ axm－1 (1－ x)·[m－( m＋2) x]，令 f′( x)＝0，可得 x＝1 或 x＝ ，由图象可得 0＜ ＜0.5，解得 0＜ m＜2，故选 A.mm＋ 2 mm＋ 2答案：A4．函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈[0,2]时， f(x)＝ x－1，则不等式 xf(x)＞0在[－1,3]上的解集为( )A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)解析： f(x)的图象如图．当 x∈(－1,0)时，由 xf(x)＞0 得 x∈(－1,0)；当 x∈(0,1)时，由 xf(x)＜0 得 x∈∅；当 x∈(1,3)时，由 xf(x)＞0 得 x∈(1,3)．故 x∈(－1,0)∪(1,3)．答案：C5.如图，直线 l 和圆 C，当 l 从 l0开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，这个函数的大致图象是( )解析：随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选 C.答案：C6．已知曲线 C： y＝ (－2≤ x≤0)与函数 f(x)＝log a(－ x)及函数 g(x)4－ x2＝ a－ x(a＞1)的图象分别交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则 x ＋ x 的值为________．21 2- 3 -解析：作出曲线 C 和函数 f(x)， g(x)的图象如图所示，显然 f(x)， g(x)的图象关于直线 y＝－ x 对称，所以 x1＝－ y2， x2＝－ y1，所以 x ＋ x ＝ x ＋ y ＝4.21 2 21 21答案：47．(2016·荆州模拟)对 a， b∈R，记 max{a， b}＝Error!函数 f(x)＝max{| x＋1|，| x－2|}( x∈R)的最小值是________．解析：函数 f(x)＝max{| x＋1|，| x－2|}( x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为 .32答案：328.已知定义在区间[0,1]上的函数 y＝ f(x)的图象如图所示，对于满足 0＜ x1＜ x2＜1 的任意 x1， x2给出下列结论：① f(x2)－ f(x1)＞ x2－ x1；② x2f(x1)＞ x1f(x2)；③ ＜ f .f x1 ＋ f x22 (x1＋ x22 )其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：由 f(x2)－ f(x1)＞ x2－ x1得 ＞1，即两点( x1， f(x1))与f x2 － f x1x2－ x1(x2， f(x2))连线的斜率大于 1，显然结论①不正确；由 x2f(x1)＞ x1f(x2)得 ＞f x1x1，即点( x1， f(x1))与原点连线的斜率大于点( x2， f(x2))与原点连线的斜率，由图象f x2x2易知结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确．答案：②③9．已知函数 f(x)＝2 x， x∈R.- 4 -当 m 取何值时，方程| f(x)－2|＝ m 有一个解？两个解？解：令 F(x)＝| f(x)－2|＝|2 x－2|，G(x)＝ m，画出 F(x)的图象如图所示．由图象看出，当 m＝0 或 m≥2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有 一个交点，原方程有一个解；当 0m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．10．已知函数 f(x)＝ x|m－ x|(x∈R)，且 f(4)＝0.(1)求实数 m 的值；(2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式 f(x)＞0 的解集．解：(1)∵ f(4)＝0，∴4| m－4|＝0，即 m＝4.(2)∵ f(x)＝ x|m－ x|＝ x|4－ x|＝Error!∴函数 f(x)的图象如图：由图象知 f(x)有两个零点．(3)从图象上观察可知： f(x)的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式 f(x)＞0 的解集为{ x|0＜ x＜4 或 x＞4}．B 组 高考题型专练1．(2013·高考山东卷)函数 y＝ xcos x＋sin x 的图象大致为( )解析：法一：令 f(x)＝ xcos x＋sin x，∵ f(－ x)＝－ x·cos x－sin x＝－ f(x)．∴函数 y＝ xcos x＋sin x 为奇函数，可排除 B.令 xcos x＋sin x＝0，得 tan x＝－ x，在同一坐标系中画出函数 y＝tan x 和 y＝－ x- 5 -的图象如图，由图可知函数 y＝ xcos x＋sin x 的零点有一个介于 到 π 之间，可排除π 2A、C，故选 D.法二：令 f(x)＝ xcos x＋sin x，则 f(－ x)＝－ xcos x－sin x＝－ f(x)，∴ f(x)为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，而 B 中图象不关于原点对称，∴排除 B；当 x＝ 时，π 2y＝1，而由 C 中图象知当 x＝ 时， y≠1，∴排除 C；当 x＝π 时， y＝－π，而 A 中，当π 2x＝π 时， y＞0，∴排除 A，故选 D.答案：D2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 y＝ f(x)在[0，π]上的图象大致为( )解析：由题图可知：当 x＝ 时， OP⊥ OA，此时 f(x)＝0，排除 A、D；当 x∈ 时，π 2 (0， π 2)OM＝cos x，设点 M 到直线 OP 的距离为 d，则 ＝sin x，即 d＝ OMsin x＝sin xcos x，dOM∴ f(x)＝sin xcos x＝ sin 2x≤ ，排除 B，故选 C.12 12答案：C3．(2014·高考辽宁卷)已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时， f(x)＝Error!则不等式 f(x－1)- 6 -≤ 的解集为( )12A. ∪[14， 23] [43， 74]B. ∪[－34， － 13] [14， 23]C. ∪[13， 34] [43， 74]D. ∪[－34， － 13] [13， 34]解析：作出 y＝ f(x)与 y＝ 的图象，如图，由图易知 f(x)≤ 的解集为 ∪12 12 [－ 34， － 13]，[13， 34]∴ f(x－1)≤ 的解集为 ∪ ，故选 A.12 [14， 23] [43， 74]答案：A4．(2015·高考安徽卷)函数 f(x)＝ 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )ax＋ b x＋ c 2A． a＞0， b＞0， c＜0 B． a＜0， b＞0， c＞0C． a＜0， b＞0， c＜0 D． a＜0， b＜0， c＜0解析：∵ f(x)＝ 的图象与 x， y 轴分别交于 N， M，且点 M 的纵坐标与点 N 的横ax＋ b x＋ c 2坐标均为正，∴ x＝－ ＞0， y＝ ＞0，故 a＜0， b＞0，又函数图象间断点的横坐标为正，ba bc2∴－ c＞0，故 c＜0，故选 C.答案：C 5．(2014·高考湖北卷)如图所示，函数 y＝ f(x)的图象由两条射线和三条线段组成．- 7 -若∀ x∈R， f(x)＞ f(x－1)，则正实数 a 的取值范围为________ ．解析：∀ x∈R， f(x)＞ f(x－1) ．由题图易知 a＞0，且 6a＜1，∴0＜ a＜ .16答案： (0，16)