1、函数项级数中狄利克雷判别法的必要性第 25 卷第 4 期2006 年 12 月延安大学(自然科学版)Vo1.25No.4!里 a10fananUniversity(NaturalScienceEditi0n)Dee.2006函数项级数中狄利克雷判别法的必要性崔艳兰,张婷(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安 716000)摘要:4,1 用两个辅助函数,论证了函数项级数.)在区间 口,6上存在分解式时狄利克雷判_l1别法的必要性.从而得出了在一般项级数中和无穷限积分中狄利克雷判别法的类似的必要性成立的定理.关键词:辅助函数;函数项级数;狄利克雷判别法中图分类号:0173.1 文献标识码:A 文
2、章编号:1004602X(2006)04000103我们在数学分析课程中已经知道了狄利克雷判别法是一个非常重要的判别法,它对于判别函数项级数,一般项级数和无穷限积分的一致收敛或收敛性非常重要.但书中对这一判别法只给出了充分性的证明,那么该判别法的必要性是否成立呢?本文给出函数项级数和无穷限积分收敛的狄利克雷判别法的充分必要性定理.1 主要结果定理 1 函数项级数.)在区间口,6上一致收敛的充分必要条件是:存在分解式)=)6l)使得函数项级数 )的部分和在区间口,阳上一致有界,且函数列6_) 对一切 z口,6是单调减少且一致趋近于零.证明必要性:设)在 口,b-1 上一致收_一 1敛,则)在 口
3、,6上收敛,故有:对于任意0,必存在正整数,使得当时,对于一切 z口,阳 ,都有l.)l成立.于是,设 t.(=1,2,.?),对于这个,必存在 M(II 一), 使得当 KI 时有l.(z)li-s(i=1,2,.?),_t1令Nl,一 lzi-1f1lN.【li-1z),z口,),口,z)作函数序列fs),(1N1)6l(z)一 li-,(MM+1】)1,2,.令 z)=,(12,.)则.)=口.)6_),且对于 6l(z)来说 ,对于一切zI-a,6,任意】,2N,当】2 时,1,21,N1时 ,6l1()=6l2(z)=s(z),1, ,.1,时,6l)6l.),1,2IN1,Ni+1
4、 时,b.1(z)=6l2(z)-i,1IN1,Ni+1,2IN1,N+1且鹰1, 1时,1(z)=1-1ni=6l2(z).故 6l)对一切 z口,是单调减少的 .又因为.im一supb 一)一 0l=?o.tLt?DJlimsupb.(x)j=lira.f 一=0,收稿日期 t20060710作者简介:崔艳-(1953 一 ),女,陕西绥德县人,延安大学教授.2 延安大学(自然科学版) 第 25 卷所以 b.)是一致趋近于零的.下证)的部分和在,6 上一致有界.令 A(z)一)一(1)当?时,(z)一),所以对一切 zEa,6,有,(训客)l 耋)l1故 A.)在 .上是一致有界的.(2)
5、当 nN.时,必存在正整数 K,满足Nx+l,这时一糍+童. 糍+.?+z) 一+荟.+.?+一童+.糍 +毒糍一志嘶)+嚣.地)+2 互.蜥)+(K 一 1)+K)IA.)I志 Ii-1 训+I-N 训+t+l32I撕 (z)I+一+(K 一 1)I撕)I+KI 撕)+(K 一 1)厶撕)+K 厶撕)iN l+li+1+(I “)I+I地)I)+i 一,+1i- .+12(I砒(z)I+I蜥(z)1)+-N2+I.一 3 十 I_,_,+(K 一 1)(1 撕)l+l 厶蜥)1)I-HK_1 十 1I 一十 I+K(I 撕)I+I蜥)I)1+(+)+2(+)+(K 一 1)+)+K(+)1+
6、2(+专+ +嘉)1+2 荟 l,=l_t_zr3=M.故 A.)在 1 时是一致有界的.综合(1),(2)得级数)的前项和A.)有界.必要性得证.充分性:即文献 E13 中狄利克雷判别法.故定理1 成立.证毕.在论证了函数项级数.)在区间 Ea,bJ_k的狄利克雷判别法的充要性以后,令 s)一 1,即一一6-(一,(MM+l 江 2“口.=(一 1,2,.?)时,就得到了关于一般项级数的狄利克雷判别法的充分必要性成立的定理.定理 2 一般项级数.收敛的充要条件是:存在分解式“.一口.6.,使得级数 22 口.的部分和有界,数列 6_单调减少且 limb,=0.定理 3 无穷限积分 lf(x)
7、dx 收敛的充要条件是:存在分解式,)=g),使得函数 z)在,+co)上单调减少且 1im)一 0,对于任意常数 A(A口), 积分 lg(x)dx 存在且有界.证明必要性:设 lf(x)dx 收敛,则对任意正数,必存在正数 Ma,使得当M 时,有llf(x)dxl 成立.那么,对于 一 i-s01,2,),必存在正数(a,MM 一.)使得当时,有llf(x)dxli,(=1,2,.-).f1,z)令一,(z+1)2,.)一,z 口,+cx.)则,)一 g),且)在口,+cx.) 上是单调减少的,limz)一 0.r下证积分 lg(x)dx 是有界的 .J4对于任意常数a,由无穷限积分收敛定
8、义知,)在 Ea,A3 上可积,则 l,)l 在 Ea,A3 上也可积.广,(1)当时,lg(x)dxIf(x)dx,故第 4 期崔艳兰,等:函数项级数中狄利克雷判别法的必要性 3Ig(x)dx 存在,IIg(x)dxIII,(z)IdxII,)IdxN.,.是一确定常数,故 Ig(x)dx 在 M 上有界.(2)当 时,一定存在正整数,使得+.,这时Zgczdx=dx+dx+如+.+一.dx+dzr,)dz+f,)dz+2.,)dz+J4JMJMtM,+(一 1)If(x)dx+KIf(x)dxJMxJMx由于 If(x)dx 在口, 上存在,故积分Ig(x)dx 存在,Irg)dIIrJI
9、f,)dzI+IfMrf(z)dzI+d4J4JM21fJI|3,(z)dzI+jM.+(一 1)If,(z)dzI+KIr,(z)dzIJMxJMxII,)Idx+(IIf(x)dxI+d4dM1llf(x)dxI)JJI|2+2(IIf(x)dxI+IIf(x)dxI)+J|2J|3+(一 1)(IIf(x)dxI+IIf(x)dxI)JMx1JMx+(IIf(x)dxI+IIf(x)dxI)d|】cd.+(+专)+2(+)+(一 1)(+击)+(+ 嘉).+2(古)+1+ 去)?+21 一N?+等 _?是一确定常数,故 Ig(x)dx 在 AM 上有界.综合(1),(2)得对于任意常数
10、a,积分Ig(x)dx 一定存在且有界.必要性得证.充分性:即文献 V1中狄利克雷判别法.故定理3 成立.证毕.参考文献:13 华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社 ,1981.2祁正涛.一般项级数收敛性的狄利克雷判别定理条件的必要性J.盐城工业专科学校(自),1995,8(3):111 114.3古定桂.Dirichlet 判别法的必要性J哈尔滨师范大学 (自),2003,19(3),2425.(责任编辑贺小林)OnNecessityofSolutionsaboutDirichletExperimentalMethodinFunctionalSeriesCUIYanlan.ZHAN
11、GTing(DepartmentofMathematicsandComputerScience,YananUniversity,Yanan,Shaanxi716000)Abstract:Thisarticleissupplyingawaytoprovethenecessityaboutdirichletexperimentalmethodinfunctionalseries.Thengiveatheoremofthesufficiencyandnecessityconditionabouttheuniformconver-genceinfunctionalseriesandsomeinferencesaboutdirichletexperimentalmethodinnumberseriesandin-finiteintegra1.Keywords:auxiliaryfunction;functionalseries;dirichletexperimentalmethod.
