1、专题7：零点问题1设函数（其中为自然对数的底数，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是ABCD【解析】令，则，设，令，发现函数，在上都是单调递增，在，上都是单调递减，函数在上单调递增，在，上单调递减，故当时，得，函数至少存在一个零点需满足，即故选：2设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】的定义域为，又，函数至少存在一个零点可化为函数至少有一个零点；即方程有解，则，；故当时，当时，；则在上单调递增，在上单调递减，故；又当时，故；故选：3已知函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数取值范围为A，BCD【解析】由题意得：，问题转化为函数的图象和函数的图象有
2、2个交点，故函数在和上递增，在，单调递减，且时，（2），作出函数的图象，如图示：观察图象得：函数和的图象有2个不同的交点时，实数，故选：4已知函数的定义域为，且对任意都满足，当时，（其中为自然对数的底数），若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是A或BCD【解析】由函数则函数的图象关于对称，如图所示：由于和函数的图象只有两个交点，设，图象上的切点，所以，则，所以曲线的切线方程为，把代入可得，则，结合图象，要使图象有两个交点，则或故选：5定义：如果函数在区间，上存在，满足，则称函数在区间，上的一个双中值函数，已知函数是区间，上的双中值函数，则实数的取值范围是ABCD【解析】函数，函数是区间
3、，上的双中值函数，区间，上存在，满足，即方程在区间，有两个解，令，对称轴，则，解得实数的取值范围是故选：6定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在，满足，则称函数是，上的“平均值函数”，是它的一个均值点则下列叙述正确的个数是是区间，上的平均值函数，0是它的均值点；函数在区间，上是平均值函数，它的均值点是5；函数在区间，（其中上都是平均值函数；若函数是区间，上的平均值函数，则实数的取值范围是A1B2C3D4【解析】根据题意，依次分析题目中的四个结论：对于，若是区间，上的平均值函数，设其均值点为，则有，解可得，即0是它的均值点，正确；对于，若函数在区间，上是平均值函数，设其均值点为，则有，解可得或
4、（舍即5是它的均值点，正确，对于，函数在区间，都是平均值函数，则恒成立，明显错误，错误；对于，若函数是区间，上的平均值函数，则关于的方程在内有实数根，而，解得，（舍，必有必为均值点，即，即实数的取值范围是，正确；其中正确；故选：7若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是ABC，D，【解析】由题意得，令，则，当时，（e），当时，（e），（e），而时，则要满足，解得：，故选：8已知函数，若存在，使得关于的方程有解，其中为自然对数的底数则实数的取值范围是ABCD【解析】由可得，即，即，令，则方程有解设，则，显然为减函数，又（e），当时，当时，在上单调递增，
5、在上单调递减，的最大值为（e），解得或故选：9若关于的方程有三个不相等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为ABCD1【解析】由方程，令，则有，令函数，在递增，在递减，其图象如下，要使关于的方程有三个不相等的实数解，且结合图象可得关于的方程一定有两个实根，且，故选：10若关于的方程有三个不相等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为ABCD1【解析】由方程，令，则有，令函数，在递增，在递减，其图象如下，要使关于的方程有3个不相等的实数解，且结合图象可得关于的方程一定有两个实根，且，故选：11若关于的方程有三个不相等的实数解、，其中，则的值为AB4CD【解析】令，函数的图象如下：方
6、程即，要使方程有三个不相等的实数解、，则方程一定有两个实根，可验证或1不符合题意，所以方程一定有两个实根，且且，则则，故选：12已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是ABCD【解析】函数的图象如下图所示：若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则函数的图象与直线有三个交点，当直线经过原点时，由的导数得：，当直线与相切时，切点坐标为：，当直线经过，时，故，故选：13已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】由得，即，设，由得，即，由得，即，即当时，函数取得极大值，当时，满足的整数解超过2个，不满足条件当时，要使的整数解只有2个，则满足，即，即，即
7、，即实数的取值范围是，故选：14已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是【解析】由得，即，设，由得，即，由得，即，即当时，函数取得极大值，当时，满足的整数解超过2个，不满足条件当时，要使的整数解只有2个，则满足，即，即，即实数的取值范围是，故答案为：，15已知函数，是常数，且 （）讨论零点的个数；（）证明：，【解析】证明：（），解得，或时，若，若，有一个零点，时，000由上表可知，在区间，有一个零点，又，任取，在区间有一个零点，从而有两个零点，时，在上单调递增，有一个零点，时，0，00由上表可知，在区间有一个零点，在区间，有一个零点，从而有两个零点，（）证明：取，由（1）知在上单调
8、递增，取，则，化简得，取，由（1）知在区间上单调递减，取，由得，即，综上，16已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，当时，当时，当，且远远大于和，当，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，即，设，则，求导，由（1），解得：，的取值范围方法二：（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得
9、：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，由（1）可知：当时，取得最小值，当，时，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点的取值范围17已知函数，（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围【解析】（）由题，（1）当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；（2）当时，当，时，函数单调递增，当，时，函数单调递减，当时，函数单调递增；（3）当时，恒成立，函数在上单调递增；（4）当时，当
10、时，函数单调递增，当，时，函数单调递减，当，时，函数单调递增；（）当时，有唯一零点，不符合题意；由（）知：当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，且时，；时，函数必有两个零点；当时，故，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，又，函数至多有一个零点；当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，又，函数至多有一个零点；综上所述：当时，函数有两个零点18已知函数（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围【解析】（）由，可得，当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增（如右上图）；当时，（如右下图）若，则恒成立，即有
11、在上递增；若时，由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减；若，由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减；（）由（）可得当时，在递减；在递增，且（1），；当时或找到一个使得对于恒成立，有两个零点；当时，所以只有一个零点；当时，若时，在，递减，在，递增，又当时，所以不存在两个零点；当时，在，单调增，在单调增，在，单调减，只有等于0才有两个零点，而当时，所以只有一个零点不符题意综上可得，有两个零点时，的取值范围为19已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】（1）的定义域为，若，则，所以在上是单调递减若，则由得，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增（2）若，至多
12、有一个零点，不符合题意；若，当时，取得最小值当时，只有一个零点；当时，没有零点；当时，又，故在有一个零点设整数满足，则，故在有一个零点综上，的取值范围是20已知函数，当为何值时，轴为曲线的切线；用，表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数【解析】设曲线与轴相切于点，则，解得，因此当时，轴为曲线的切线；当时，函数，故在时无零点当时，若，则（1），（1），（1）（1），故是函数的一个零点；若，则（1），（1），（1）（1），故不是函数的零点；当时，因此只考虑在内的零点个数即可当或时，在内无零点，因此在区间内单调，而，（1），当时，函数在区间内有一个零点，当时，函数在区间内没有零点当时，函数在内单调
13、递减，在内单调递增，故当时，取得最小值若，即，则在内无零点若，即，则在内有唯一零点若，即，由，（1），当时，在内有两个零点当时，在内有一个零点综上可得：时，函数有一个零点当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，函数有三个零点21已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数【解析】（1）设曲线与轴相切与点，则，即，当时，轴为曲线的切线（2）令，则，由，得，当时，为增函数；当，时，为减函数，当，即时，有一个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有三个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有一个零点，综上，或时，有一个零点；当或时，有两个零点
14、；当，有三个零点22已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）设函数，讨论在区间上零点的个数【解析】（1）的导数为，设切点为，可得，即，解得，；（2），当时，在递增，可得，（1），有一个零点；当时，在递减，（1），在无零点；当时，在递增，在，递减，可得在的最大值为，若，即，在无零点；若，即，在有一个零点；若，即，（1），当时，在有两个零点；当时，在有一个零点；综上可得，时，在无零点；当或时，在有一个零点；当时，在有两个零点23已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，若且有两个零点，求的取值范围【解析】（1），当即时，恒成立，故在上单调递增，当时，即或时，方程的两根分布为，当时，结合二次函数
15、的性质可知，时，函数单调递增，时，函数单调递减，当，时，函数单调递增，时，结合二次函数的性质可知， 0，时，函数单调递增，（2）因为，则，当时，则，即在上单调递增且，故在上没有零点，因为有两个零点，所以在时有两个零点，当时，故在上单调递减，最多1个零点，不合题意；当时，易得，函数在上单调递减，在，上单调递增，又时，时，故，解可得，综上可得，的范围24已知函数（1）若，求函数的极值；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围【解析】解析：（1）当时，显然在单调递增，且，当时，单调递减；当时，单调递增在处取得极小值，无极大值（2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解，设，则，单调递增，有两个解，即有两个解令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，
