1、1数学竞赛辅导系列讲座五 函数1、在平面直角坐标系中有点 A（2，2） 、B（3，2） ，C 是坐标轴上的一点，若ABC 是直角三角形，则符合条件的点 C 有（ ）个A、1 B、2 C、4 D、62、已知一次函数 y=kx+b，kb0，b0） ，若直线 AB 为一次函数 y=kx+m 的图像，则当 是整数时，满足条件的整数 k 的值共有（ ba）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个6、一次函数 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内31y作正方形 ABCD，在第二象限内有一点 P（a，） ，满足 SABP =S 正方形 ABCD，则 a=_127、已知
2、（x，y 均为实数） ，则 y 的最大值与最小值的差为（ ）14yxA、 -3 B、3 C、 - D、 -6 5 3 6 38、把一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为 m，n，则二次函数 的图像与 x 轴有两个不2yxmn同交点的概率是（ ）2A、 B、 C、 D、512 49 1736 129、过点 P（1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为 5，这样的直线可以做（ ）A、4 条 B、3 条 C、2 条 D、1 条10、若关于 x 的函数 的图像与坐标轴有两个交点，则 a 的2()(41)yaxa值为_11、二次
3、函数 的图像经过（1，2）且与 x 轴的交点的横坐标分2(0)yaxbc别为 x1，x 2（20，4a2b+c4ac，其中正确的有（ ）个A、1 B、2 C、3 D、412、过原点的直线与反比例函数 y=- 的图像交于 A，C，自点 A，C 分别作 x 轴的垂线，垂7x足分别为 B，D，则四边形 ABCD 的面积等于_13、设抛物线 与 x 轴有两个不同的交点（x 1，0） 、 （x 2，0） ，则下列结论中24yxk一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、217x218x217x218x14、一次函数 y=kx+b 的图像过点 P（1，4） ，且分别与 x 轴，y 轴的正半轴交于 A，B，O
4、 为坐标原点，ABC 的面积最小时，k，b 的值分别是（ ）A、4，8 B、4，4 C、2，4 D、2，215、已知函数 （a，c 为实数） ，若4f(1)1，1f(2)2，则2()fxf(8)的最大值是_16、如果函数 y=b 的图像与函数 的图像恰有三个交点，则 b 的23|1|43yxx可能值为_317、若函数的最大值关245(1)yxtxt于 t 的表达式 ymax=_18、已知 abck20）在第一象限内的图像依次是曲线1yx2C1和 C2，设点 P 在 C1上，PEx 轴于点 E，交 C2与点 A，PDy 轴于点 D，交 C2于点 B，则四边形 PAOB 的面积为（ ） A、k 1
5、+k2 B、k 1-k2 C、k 1k2 D、k1k2420如图已知点 A、B 分别在反比例函数 、 的图像上，)0(xny)0(xmy，则 tanB= O21、在平面直角坐标系中，已知点（1，1）在坐标轴上找一点 P，使AOP 为等腰三角形，求 P 点坐标22、设抛物线 的图像与 x 轴只有一个交点25(1)24yxa（1）求 a 的值；（2）求 186323、已知直线 y=b（b 为实数）与函数 的图像至少有三个公共点，则实数2|43|yxb 的取值范围24、已知一次函数 y=Ax+B 与反比例函数 y= 的图像交于点 M（2，3） ，N（4，m）kx（1）求一次函数 y=Ax+B 与反比
6、例函数 y= 的解析式；kx（2）求OMN 的面积25、如图，点 C、 D 是以线段 AB 为公共弦的两条圆弧的中点， AB=4，点 E、 F 分别是线段CD， AB 上的动点，设 AF=x， AE2 FE2=y，则能表示 y 与 x 的函数关系的图象是（ ）526、求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的 n，能找到实数 a，b，使得函数对任意整数 x，f(x)都是整数21()fxabn27、如图，已知点 M（0，1） ，N（0，1） ，P 是抛物线 上的一个动点214yx（1）判断以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 y=-1 的位置关系；（2）设直线 PM 与抛物线的另一个
7、交点为 Q，连结 NP，NQ，求证：PNM=QNM28、已知二次函数 的图像与 x 轴的交点分别为 A，B，与 y 轴的交点2(0)yxbc为 C，设ABC 的外接圆的圆心为 P（1）证明P 与 y 轴的另一个交点为定点；（2）如果 AB 恰好为P 的直径且 SABC =2，求 b 和 c 的值29、已知抛物线 上有一点 M（x 0，y 0）位于 x 轴的下方2yxpq6（1）求证：已知抛物线与 x 轴必有两个交点 A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，其中 x1x2；（2）求证 x1 x0x2；（3）若点 M 为（1，2）时，求整数 x1，x 2的值30. 如果抛物线 的顶点在抛物线 上，
8、同时，抛物线 的顶点在抛物线 上，那么，1C2C2C1C我们称抛物线 与 关联2(1)已知抛物线 ，判断下列抛物线 ；1xy 2xy与已知抛物线是否关联，并说明理由12xy(2)抛物线 : ，动点 P 的坐标为（ t，2） ，将抛物线绕点 P（ t，2）1C2)(8旋转 得到抛物线 ，若抛物线 与 关联，求抛物线 的解析式8021C2C(3)点 A 为抛物线 : 的顶点，点 B 为与抛物线 关联的抛物线顶点，1)(xy 1是否存在以 AB 为斜边的等腰直角 ，使其直角顶点 C 在 轴上，若存在，求出 C 点ABy的坐标；若不存在，请说明理由31已知二次函数 的图像与 x 轴交于点 A，B，它的
9、顶点在以22(0)yxmAB 为直径的圆上（1）证明：A，B 是 x 轴上两个不同的交点；（2）求二次函数的解析式；7（3）设以 AB 为直径的圆与 y 轴交于点 C，D，求弦 CD 的长32如图，双曲线 ( 0）经过四边形 OABC 的顶点 A、 C， ABC90， OC 平分 OAx2与 轴正半轴的夹角， AB 轴，将 ABC 沿 AC 翻折后得 ， 点落在 OA 上，x B则四边形 OABC 的面积是 .33如图，一次函数 y=2 x 的图象与二次函数 y= x2+3x 图象的对称轴交于点 B.（1）写出点 B 的坐标 ；（2）已知点 P 是二次函数 y= x2+3x 图象在 y 轴右侧
10、部分上的一个动点，将直线 y=2 x沿 y 轴向上平移，分别交 x 轴、 y 轴于 C、 D 两点. 若以 CD 为直角边的 PCD 与 OCD 相似，则点 P 的坐标为 34我们知道，对于二次函数 y=a（x+m） 2+k 的图像，可由函数 y=ax2的图像进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数 y=ax2为“基本函数” ，而称由它平移得到的二次函数 y=a（x+m） 2+k 为“基本函数”y=ax 2的“朋友函数” 左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离 称为朋友距离km由此，我们所学的函数：二次函数 y=ax2，函数 y=kx 和反比例函数 都可以
11、作为“基xky本函数” ，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数” 如一次函数 y=2x-5 是基本函数 y=2x 的朋友函数，由 y=2x-5=2（x-1）-3 朋友路径可以是向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，朋友距离= .1032（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数 y=2x-5 又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x 先向 ，再向下平移 7 单位，相应的朋友距离为 （2）探究二：已知函数 y=x2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离（3）探究三：为函数 和它的基本函数 ，找到朋友路径，并求相应的朋143xyxy1友距离35如
12、图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点，过点 P 垂直于 AC 的直线交菱形8ABCD 的边于 M、 N 两点设 AC2， BD1， AP x， AMN 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致形状是（ ）36.已知等腰三角形 ABC 的两个顶点分别是 A（0，1） ，B（0，3） ，第三个顶点 C 在 x 轴的负半轴上关于 y 轴对称的抛物线 yax 2bxc 经过 A，D（3，2） ，P 三点，且点 P 关于直线 AC 的对称点在 x 轴上（1）求直线 BC 的解析式；（2）求抛物线 yax 2bxc 的解析式及点 P 的坐标；（3）设 M 是 y 轴上的一个动点
13、，求 PMCM 的取值范围37抛物线 （ a 0）满足条件：（1） ；（2） ；2axbc40ab0abc（3）与 x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于 2以下有四个结论： ； ； ； ，其中所有正确结论的序号是（ ）0c0abc43caA B C D 38知抛物线 y=2x24mx+ 与 x 轴有 2 个不同的交点 A，B，抛物线的顶点为 C，1(1)当ABC 为等边三角形时，试确定点 C 的位置；(2)如何平移符合条件(1)的抛物线，使 AC= AB；23(3)设点 D，E 分别是 AC，BC 的中点，点 F，G 分别是 DC，EC 的中点，问四边形 DFGE 的面积 S 的大小与 m 的取值是否有关?若有关，写出其关系式；若无关，请说明理由939已知 ，对于满足条件 的一切实数 ，不等式21ab01xx恒成立(1)()xxb（1）试确定抛物线 y 的开口方向以及与 x 轴的交点1()0axabx个数（2）求乘积 的最小值b（3）当 取最小值时，求抛物线 y 的解析式a(1)()0axabx40已知二次函数 ,其图象过点(1,0),并且与直线)(2)( abcxaxf 有公共点证明： ay10b
