1、2018 年红河州高中毕业生统一检测理科数学试卷考试注意：试卷分第卷、第卷两部分。请在答题卡上作答，答在试卷上一律无效。第卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设集合 ， ， ，则 （ ）0,1234,U1,2A2Z540Bx()UCABA. B. C. D. 5， ,52、纯虚数 满足 ，则 的共轭复数为（ ）zizzA. B. C. D. i24i4i3、将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，1,235,6则出现向上的点数之和为大于 8 的偶数的概率为（ ）A.
2、B. C. D. 121916144、等比数列 的首项 ，前 项和为 ，若 ，则数列 的前 项和为（ na14nnS6392logna0）A. B. C. D. 6575015、中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表 123456789纵 式横 式表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推， 例如6613 用算筹表示就是： ，
3、则 26337 用算筹可表示为（ ）A. B C D6、在 中， ， ，则（ ）AB2MB0ANCA. B. 136N2736MNACC. D. B7、若 满足 ，则 的最小值为（ ）,xy210y2xyA. B. C. D. 2513458、执行如图所示的程序框图，输出 的结果为（ ）S开始1,4Si1i2S是 ？2018i否S输 出结束 A. B. C. D. 1233249、已知双曲线的一个焦点为 ，椭圆 的焦距为 ，则 （ 21xym0,41yxnmmn）A. B. C. D. 86 210、若命题“ ， ”为假命题，则 的取值范围为,2x 23cosin()03x（ ）A. B. C
4、. D. 3(,)21(,)3(,)21(,)11、某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（ ）A. B. 1329C. D. 2112、设函数 ， ，给定下列命题： lnfx2gx若方程 有两个不同的实数根，则 ；fk1,0()ek若方程 恰好只有一个实数根，则 ； 2x若 ，总有 恒成立，则 ；1201212ffmgxx1m若函数 有两个极值点，则实数 .xFfa 10,()a则正确命题的个数为（ ）A. B. C. D. 1234第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13、在 中， ， ，且 的面积为 ，则 _.A
5、BC23ABC32BC14、若 ，则 的二项展开式中 的系数为_.05nxd(1)nxx15、设函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当 时， ，fR2012logfx则 _.94()1ff16、已知经过抛物线 的焦点 的直线与该抛物线相交于 两点，2(0)ypx F,AB且 ，若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则 _.FABA2yp4p三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）等差数列 的首项 ，数列 的前 项和为 .na101na21nS（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .12nanbnbnT1
6、8.（本小题满分 12 分）某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共 20 人的物理、化学的成绩制成下列散点图（物理成绩用 表示，化学成绩用 表示） （图 1）和生物成绩的茎叶图（图2）.（图 1）住校生 非住校生2 6 住校生 非住校生9 8 5 4 4 3 1 7 4 5 7 7 9 9 6 5 8 2 2 5 7 （图 2）（1）若物理成绩高于 90 分，我们视为“优秀” ，那么以这 20 人为样本，从物理成绩优秀的人中随机抽取 2 人，求至少有 1 人是住校生的概率；（2）若化学成绩高于 80 分，我们视为“优秀” ，根据图 1 完成如下列联表，并判断是否有
7、95%的把握认为优秀率与住校有关；住校 非住校优 秀非优秀附：（ ,其中 ）22()(nadbcKnabcd0(.15.0.5.0.1.50.1763842637892Pk （3）若生物成绩高于 75 分，我们视为“良好” ，将频率视为概率，若从全年级学生中任选 3人，记 3 人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量 ，求出 的分布列和数学期望.19.（本小题满分 12 分）如图所示，三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 的正三角形， 是ABCDABCDAB4BCD顶角 的等腰三角形，点 为 的上的一动点.120BP（1）当 时，求证： ；3P（2）当直线 与平面 所成角为 时，求二面角 的
8、余弦值.60P20.（本小题满分 12 分）设 分别是 轴， 轴上的两个动点，点 在直线 上，且 ， 。,ABxyRAB32RB23A（1）求点 的轨迹 的方程；RC（2）设点 ， ，过点 的直线与曲线 交于 两点（ 在 轴上方） ，20M， N， 10F， C,PQx若 与 的斜率分别为 ，试判断 是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.PQ12,k12k21.（本小题满分 12 分）已知函数 ，其中常数 .2()()lnfxax0a（1）当 时，求函数 的单调区间；f（2）设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，若Dhxy0(,)Phx():gxly在 内恒成立，则称 为函数 的
9、“类对称点” ，当 时，试问0ghxDPhxy4a是否存在“类对称点” ，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说明理由.()f选考题：请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线 ：x C，过点 且倾斜角为 的直线 与曲线 分别交于2sincos(0)a(2,4)P4l两点,MN（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程；Cl（2）若 成等比数列，求 的值,PNa23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲
10、设函数 .()1fxa（1）若 的解集为 ，求实数 的值；23,a（2）当 时，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的axR(21)()73fxfm取值范围.2018 年红河州高中毕业生统一检测理科数学参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 DBABCDBCADC二、填空题题号 13 14 15 16答案 7180236或一.选择题：1、 解析： ， ， ，故选3,241xZB3,21BA5,40)(BACUD2、 解析：设 ，由 ，知 ，即 ，可得biz()zi()4biiiib2，从而 ，于是 的共轭复数 ，故选z3、 解析：将先后两次的点数记为
11、有序数实数对 ，则共有 个基本事件，其中点数之(,)xy63和为大于 8 的偶数有 共 4 种，则满足条件的概率为 ，故选 。(4,6)(5,)6， ， ， 4169B4、 解析：设 公比为 ，由 ，知 ，且 ，即naq369S1qqaqa)(9)(316，即 ，所以 。6319()q12数列 是以 为首项，log2na2log公差为 的等差数列，121222llllognnna于是数列 的前 10 项和为： ，故选log2na 6542019210A5、 解析：个位、百位、万位对应纵式，十位、千位对应横式，查表可知选 B6、 解析：由已知可得点 是靠近点 的三等分点，又点 是 的中点。MBN
12、ACCANC21321)(3B326故选7、 解析：作出可行域如图：表示可行域内一点 到坐标原点2yx),(yxP 距)0,(O离的平方，到直线 的距离最小，)0,(O02x即 512mind从而 的最小值为 ，故选2xy4D8、 解析：由程序框图知：； ；2,142:1iS 3,2)1(:iS；,3:3i可知周期为 45,42:4iS当 时输出结果，故选019,3i B9、 解析：由双曲线的焦点为 ，知双曲线焦点在 轴，)4,(y且 1622 mbac可得 4m从而椭圆方程为 142xny又焦距为 4，知 ，即 ，c2当 时 ，得n2ba8n当 时， ， （舍去）4c0于是 4m故选 C10
13、、解析： ， 为假命题，等价于2,6x 0)32sin(co32mx， 为真命题, )si(x不妨设： my)32in(co322 mxx2cos3sin21)co(ssin1xx 3)si(x由 ，知 ，从而26343sin(2)x于是 ，即 ，故选02min my 3A选出的两个人安排开两辆车，所以有 种安排方法，故选2198AB11、解析：由三视图可知该几何体如图中的三棱锥 ，BCDA，1182433BVSh三棱锥外接球的直径 ，AR从而 ，于是，外接球4222 的表面积为 ，所以该几何体的体积与外接4S 球的表面积之比为 ,故选912438D12、解析：对于， 的定义域 ， ，)(xf
14、),0(1ln(xf令 有 即 ，可知 在 单调递减，在 单调递增，0)(xf1lnexf),e+e（ ， ），且当 时 ，又 ，min()fff极 小 值 0(f0)1(f从而要使得方程 有两个不同的实根，即 与 有两个不同的交点，xk)yxyk所以 ，故正确1(,0)ke对于，易知 不是该方程的根，x当 时， ，方程 有且只有一个实数根，等价于 和1()f 2()kfxyk只有一个交点， ，又 且 ，令 ，即 ，有 ，知lnxy2ln1()y01x0ln1xe在 和 单减，在 上单增， 是一条渐近线，极小值为 。lx0,1（ ） e（ ， ） +e（ ， ） 由 大致图像可知 或 ，故错l
15、ny0k=对于 当 时，12x恒成立，12()()mgffx等价于 恒成立，1()xmg即函数 在 上为增函数，()yf0,即 恒成立， ln1gxx即 在 上恒成立，ln1m(0,)令 ，则 ，l()xr 2ln()xry xO令 得 ，有 ，()0rxln01x从而 在 上单调递增，在 上单调递减，,1)(,)则 ，max()(r于是 ，故正确.对于 有两个不同极值点，2()ln(0)Fxa等价于 有两个不同的正根， 1即方程 有两个不同的正根，l2xa由可知， ，即 ，则正确.01102a故正确命题个数为 3，故选 .C二、填空题13、解析：由面积 ，可得 ，113sin22 2SABC
16、AC1AC由余弦定理可得 ，所以 。2cos77B14、解析：由定积分的几何意义及 可知 ，052nxd10n则 展开式的通项 ，10(2)x11()()kkkkTCCx当 即 时， ，故 的系数为 180。k88229108x15、解析：由函数 是定义在 上的周期为 的奇函数知 ，fxR()(fxf，从而 ，()(fxf 291144()=()logfff令 ，可得 ，可得 ，故 2。1()()ff()0f94()ff16、解析：抛物线 的焦点 ，设直线 方程为 ，代入2(0)ypx ,02()pFAB2pxmy有 ，设 ，2ypx22m1,yAx从而 ， ， 1221yp由 可得 ，FAB
17、2联立可得 ，4m于是直线 方程为 ，即 ，AB2pxy420xyp从而圆心 到直线 的距离为 ，又圆的半径为 ，弦长为 4，(0,) 18d2pr从而有 ，解得 或 6。2418p3三、解答题17、解：（1）由 的前 项和为 知1na21nS，可得 ，2 分123+5a1235设等差数列 的公差为 ，从而 ，nad11()325ad解得 或 ，4 分12d1又 ，则 ，故 。6 分10a11()(1)2nadn（2）由（1）知 ，8 分214nnb则 ，31231=()4nnnnTb 两边同时乘以 4 得 ，9 分234 +(1)nT两式相减得 ，10 分1234+13= 4nnnn故 .
18、12 分+149nT18、 （1）由图（1）可知 20 人中物理成绩优秀的有 5 人，其中住校生 2 人。1 分记“从物理成绩优秀的 5 人中随机抽取 2 人，至少有 1 人是住校生”为事件 ，A则 ； 4 分21357()0CPA（2）列联表为住校 非住校优 秀 8 4非优秀 2 65 分计算 ， 6 分220(864)103.1K经查表 7 分23.故没有 95%的把握认为优秀率与住校有关； 8 分（3）由图（2）可知，20 人中生物成绩为“良好”的学生有 12 人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为 ， 9 分12305故从全年级学生中任选 3 人，生物成绩为“良好”的学生人数
19、 服从二项分布，分布列为（或 ）：(,)5B:0 1 2 3P8123625541271511 分数学期望为 。 12 分9()3Enp19、 （1）证明；取 中点为 ，连接 ， ，BCMAP由 为正三角形知 ，2 分A在 中 ，可得 ，BCD43413BPD中，由余弦定理可得 ，MP22 4cos30MBMP从而 ，即 ， 4 分21643C所以 平面 ，BCA于是 ，即 ； 6 分PB（2）由（1）知 平面 ，则 与平面 的夹角为 ，AMBCDAPBCD60APM在直角 中，可得 ，则点 为线段 的中点， 8 分P2以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（由,
20、Qxyz（1）知点 为靠近 的三等分点）,B则点 ，23(0,23),(0,)C(,)(0,)A，从而 ， ， ， ()C， ， ()AB， ， 23(0)BQ， ，于是 ，13(1,)22APBD设平面 的一个法向量为 ，C(,)mxyz则 ，即 ，不妨取 ，得 ， 0mAP302xz1z(3,1)m又平面 的一个法向量为 ，10 分BC3(,)MQ，从而 ，25cos, 3m故二面角 的余弦值为 。12 分PACB520、解：（1）设 ， ，,)(yRx,0)(,mBn由 知 ，1 分32BA32,xy从而 ，即 ， 2 分32()xmxyn3ny由 知 ，23AB223mn（ ）联立可得
21、 ，即为点 的轨迹 的方程；5 分14xyRC（2）设直线 方程为 ，且 ，PQ12,),)(yPxQ联立 可得 ，2143xmy2(4)690ym从而 ， ，8 分12264y12234于是 ， 10 分12123()my又 ，1212121212 23()() 31=3()yxmyyyk 故 为定值 。 12 分12k321、 解：（ 1） ）函数 的定义域为 .1 分()fx(0,)2()lnfxa3 分()()fx2()ax2()1ax，2a1由 ，即 ，得 或0)(xf()20ax1x2a由 ，得 4 分1所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 5 分()fx(0,1),)
22、2a(1,)2a（2 ）解：当 时， ，4a2)64lnfxx（从而 )6fx（所以在点 处的切线的斜率为P00 4=)26kfxx（所以在点 处的切线方程为7 分200004()26)(64lngxxx令 (fg则 2 200004)64ln(26)(64ln)xxxx又 00 )()() 则令 得 或8 分()x0x02当 ，即 时，令 ，则 ，020()x002x所以函数 在区间 上单调递减，()x02(,)x又易知 0所以当 时， ，从而有 时，02(,)x0()x02(,)x0()x当 ，即 时，令 ，则 ，0() 00所以 在 上单调递减，()x02,)所以当 时， ，从而有 时，
23、0(,)0()x02(,)x0()x所以当 时，函数 不存在“类对称点”10 分0(,2)(,)x()yfx当 时， ，所以函数 在 上是增函数，020x(0,)若 ， ，0x0()0()x若 ， ， 故 恒成立00()x0()x0()x所以当 时，函数 存在“类对称点” ，其横坐标为 。12 分02x()yf 222.解：（1） 可变为 ，2sincosa2sincosa曲线 的直角坐标方程为 2 分C2(0)yx 直线 的参数方程为 lcos4(inxtty为 参 数 )4 分2()4xty为 参 数（2）将直线 的参数表达式代入曲线 得l C5 分(2)380tat6 分12128,()a又 ， 8 分112,PMtNtt由题意知： ， ，2112()5t代入解得 10 分a23、解：（1） 即 ， ， 2 分()fxaax13ax当 时， ，即 ， 无解 3 分0a3131当 时， ，令 ， ，解得 4 分0a31xa3a1a综上： 5 分（2）当 时，令 7 分a()21)()hxffx24,1362,x当 时， 有最小值，即 8 分14x()hxmin7()2hx存在 ，使得不等式 成立，R(213ff等价于 ，即 ，所以10 分min()73hx772
