1、2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）,用代数加法或矢量加法代替积分运算，可以十分方便地对衍射现象作定性或半定量的解释。,1 . 菲涅耳半波带法,点光源与观察点P(场点)的连线与波面S的交点：极点极点到观察点的距离： r0以场点P为球心，分别以r0+l/2、 r0 +l、 r0 +3l/2为半径作球面；这些球面将透过小孔的波面截成若干波带，使得每相邻两个波带的边缘点到P点的光程差等于半个波长 。,将入射波面分割成波带，考察每个波带对衍射的贡献。,波带分割原则（以点光源照明、圆孔衍射为例）,菲涅耳半波带的特点: （1）相邻波带的对应部分在P点引起的光振动相位相差p，故在P点产生相消干涉；
2、,（2）所有波带的面积与到P点的距离比值近似相等，且满足（ r0 l时）,证明参看书上P73,（3）根据惠更斯-菲涅耳原理，第k个波带所发次波到达P点时的振幅为,在P点处看到圆孔中露出的波带,则：(1) 同一波带内各处在P点产生的光振动具有相同的振幅和相位； (2) 任一波带在P点产生的光振动的振幅仅仅与该波带到P点的方向角有关，即随着波带级数的增大而单调地减小，可表示为：,相应的振动相位依次为：f1，f1+p，f1+2p， f1+3p，f1+(k-1)p，f1+kp。,2. 合振动振幅的计算,假设：同一波带各处到P点的距离相等；同一波带各处正法向与该部分到P点连线的夹角（q）相等。,对于轴上
3、光源点 S 和轴上场点 P ，设圆孔恰好分为 k 个半波带，则有,设j1=0，有,自由空间传播时（ak=0）：,结论：被圆孔限制的波面相对于场点P所能分割的波带数k的奇偶性,决定了P点的光强度的极大或极小，k的大小又取决于照射光的波长l、波面的曲率半径R、圆孔的半径r及衍射光屏到P点的距离r0 。,当波面相对于P点不一定刚好分为整数个(半)波带时，P点的合振动的强度则介于极大值与极小值之间。,3 . 圆孔的菲涅耳衍射,首先须计算小孔露出的波面部分对P点所包含的半波带数k,采用菲涅耳波带法,小孔边缘处为第k个波带,又：,代入,得到第k个波带的半径：,解出被圆孔限制的波面所能分割出的波带总数k ：
4、,如果用平行光照明圆孔，,分两种情况讨论：,1、给定R、Rh、l，孔的大小不变，P点由远到近地沿轴线移动。,k取决于r0，P点的光强有时强，有时弱，明暗交替地变化,2、给定r0、R、l，即观察点P点的位置不变，孔的大小（ Rh ）变化， 则P点的衍射光强大小随孔的半径Rh变化。,Rh = Rh1时：k=1，A(P)=a1=Amax Rh = Rh2时：k=2，A(P)=(a1-a2)/2=Amin Rh = Rh时：k=，A(P)=a1/2 (波面不受限制),波面受限的结果，使得前方空间的光场出现非均匀分布，即光强度交替变换的衍射图样。,当波面不受限制时，在P点引起的合振动之振幅等于第一个波带
5、对应的波面在P点引起的光振动振幅的一半。,4. 圆屏衍射,设圆屏（盘）挡住前 k 个半波带，则,中心总是亮点 !,1818，菲涅耳参加了法国科学院主办的一次竞赛。他的关于衍射理论的论文最后赢得了头奖和荣誉论文的称号，但是在获奖前围绕着它发生了一个很有趣的故事。,菲涅耳的衍射论文，由阿拉果在实验上证实， “泊松亮斑”。,泊松亮点Shadow of a 1/8-inch diameter ball bearing.,菲涅耳半波带法仅适用于对称中心点的光振幅的判断。,O,B0,P,P点的振幅：,圆屏遮蔽了个K半波带,从K+1个半波带,到最后的半波带（a0）,在 P 点叠加，合振幅为：,不管圆屏的位置
6、和大小怎样，圆屏几何影子的中心永远有光（泊松点）。,圆屏的面积，ak+1，到达 P 点的光愈强。,习题2.3 如图所示，单色点光源（波长l = 500nm）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为r1=0.5mm和r2=1mm的通光圆环。接收点P离光阑1m远。问在P点的光强度I与没有光阑时的光强度I0之比。,解：,半径为1mm的圆孔包含的波带数为,因此通光圆环通过的波带数为3。由于相邻两波带在P点干涉的相消作用，所以通光圆环在P点产生的振幅实际上等于1个波带在P点产生的振幅，并且近似地等于第一个波带产生的振幅。没有光阑时P点的振幅是第一个波带产生的振幅的1/2，故通光圆环在P点产生
7、的强度是没有光阑时的强度的4倍,半径为0.5mm的圆屏挡住的波带数为：,I/I0=4,习题2.4 波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏。问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏向前或向后移动多少？,解,(1)圆孔半径,k为奇数，所以P点为亮点,当k=2时，,向后移动0.5m,向前移动0.25m,(2) 要使P点变暗，k应取2或4,当k=4时，,2.2.5 菲涅耳波带片,做成只剩下奇数(或偶数)半波带的器件，叫做波带片。,例如，圆孔分为 20个半波带，只留奇数号的，则,下面计算半波带的半径,1、波带
8、片的制作原理,第 k 个半波带，外半径,菲涅耳透镜, m取奇数,2、波带片的焦距,在一平面上, 和球面不完全重合,波带片的焦点：,主焦点, 波带片的新发展 ：二元光学 ( binary optics ),在菲涅耳波带片中，每一个半波带还未充分利用。,改进 ：相位型波带片, 余弦式环形波带片。,可成像。无球差、彗差。可做大面积，轻便。,有大的色差，但与透镜相反。长焦距，可用于红外。,光测距，远程信号，,不需透明材料，紫外、软 X-射线区，,波带片的特点：,Fresnel Zone plates,A zone plate used to image alpha particles coming from a target 1cm in front, on photographic film 5cm behind. The plate is 2.5 mm in diameter and contains 100 zones, the narrowest of which is 5.3 m wide.,3、波带片的其它应用,
