1、新型双臂菱形压电柔性机构理论设计与建模 蒋州 曹军义 凌明祥 曾明华 林京 西安交通大学机械工程学院 中国工程物理研究院总体工程研究所 摘 要： 针对目前传统菱形位移放大机构的输出刚度、固有频率和位移放大比无法同时提高的问题, 提出了一种双臂复合菱形柔性机构, 并介绍了其理论设计与建模方法。基于欧拉-伯努利梁理论和卡氏第二定理, 推导出双臂复合菱形柔性机构的位移放大比和刚度解析模型, 利用拉格朗日方程建立了该柔性机构的固有频率解析模型, 并通过商业有限元软件验证了解析模型的准确性。根据理论计算结果, 通过电火花切割工艺加工出复合柔性机构, 并与相同尺寸参数的传统菱形位移放大机构进行实验比较研究
2、。实验结果表明, 压电双层臂柔性机构的固有频率为 1330Hz, 位移放大比为 4.2, 同时提高了固有频率和放大比。此外, 所建立的位移放大比和固有频率力学解析模型可以为新型压电柔性机构的优化设计提供理论指导。关键词： 压电执行器; 微位移放大; 柔性铰链; 三角形位移放大机构; 作者简介：蒋州, 男, 1993 年生。西安交通大学机械工程学院硕士研究生。主要研究方向为压电智能结构建模与振动控制。E-mail:jiangzhou_。作者简介：曹军义, 男, 1977 年生。西安交通大学机械工程学院副教授、博士研究生导师。作者简介：凌明祥, 男, 1986 年生。西安交通大学机械工程学院博士研
3、究生, 中国工程物理研究院总体工程研究所工程师。作者简介：曾明华, 男, 1993 年生。西安交通大学机械工程学院硕士研究生。作者简介：林京, 男, 1971 年生。西安交通大学机械工程学院教授、博士研究生导师。收稿日期：2016-12-05基金：国家自然科学基金资助项目 (51575426, 51421004) Theoretical Design and Modeling of a Novel Piezo-driven Rhombic Flexure Mechanism with Double BeamsJIANG Zhou CAO Junyi LING Mingxiang ZENG Mi
4、nghua LIN Jing School of Mechanical Engineering, Xian Jiaotong University; Abstract： Design and modeling of a new diamond micro-displacement mechanism with double flexible beams was presented to overcome the issue that the output stiffness, natural frequency and displacement amplification ratio of t
5、he traditional diamond displacement amplification mechanism might not be improved at the same time.The static analysis model of displacement amplification ratio and input/output stiffness of the mechanism were derived based on Castiglianos second theorem.Analytical model of natural frequency was als
6、o deduced by further employing the Lagrange equation.The finite element analysis was used to verify the accuracy of the analytical models.A prototype of the proposed compliant mechanism was machined by means of electric spark cutting processes and the performance measurement was performed for compar
7、ative analysis with the traditional mechanism with the same dimensions.Experimental results show that the natural frequency of the composite compliant mechanism is as 1330 Hz and displacement amplification ratio is as 4.2.In addition, the modeling method and the corresponding theoretical formula pro
8、posed herein may provide a useful reference for the optimal design and development of similar displacement amplification mechanisms.Keyword： piezoelectric actuator; displacement amplification; flexure hinge; triangle displacement amplification mechanism; Received： 2016-12-050 引言近年来, 随着微电子1、光学微装配以及超精
9、密加工2等领域的迅猛发展, 人们对精密定位技术提出了越来越高的要求。压电陶瓷具有分辨率高、驱动力大、响应速度快等优点, 成为精密定位平台中使用最广泛的驱动器件3。此外, 压电陶瓷在振动主动控制、精密阀、精密泵等领域也得到了广泛的关注和应用4。但是, 压电陶瓷最大的不足是输出位移小, 正常工作状态下输出位移仅是其自身尺寸的 0.1%0.2%。为实现亚毫米级的微位移输出, 工程实践中常采用柔性位移放大机构来满足实际需求5。微位移放大机构的常用放大原理有杠杆放大、压曲放大、液压放大、三角形放大等6。张建瓴等7基于差式杠杆原理设计了微位移放大机构, 并对该机构放大倍数和静态刚度进行理论建模。杠杆放大机
10、构的缺点是尺寸较大, 输出刚度和固有频率较低。压曲放大机构利用薄板或较薄壳体受外力而产生的弯曲变形来进行位移放大, 放大倍数与薄板的曲率以及薄板间的夹角有关, 放大倍数较小8。液压放大机构利用液体等体积原理, 通过驱动活塞运动实现位移放大, 主要应用于精密伺服阀9。三角形放大机构利用三角形三边之间的几何关系, 通过改变长直角边的位移来实现短直角边位移的放大。在众多位移放大机构中, 三角形位移放大机构因其放大倍数大、结构紧凑、固有频率高、位移输入输出之间具有良好的线性关系等优点, 在科学研究和工程实际中得到广泛应用。三角形位移放大机构以菱形3、桥式 (bridgetype) 10、Moonie
11、型11、Cymbal 型12等为代表。目前, 传统的菱形位移放大机构的输出刚度、固有频率和位移放大比三者之间无法同时达到最优, 设计时一般是在这些指标中进行折中处理。为此, 本文提出了一种双层菱形柔性机构, 其特点是结构紧凑, 在保持位移放大比的同时提高了机构的输出刚度和固有频率, 并采用卡氏第二定理和拉格朗日方程进行静力学和动力学解析建模和理论分析, 最后加工出实验样机, 并进行实验验证。1 新型双臂菱形压电柔性机构传统的菱形位移放大机构由于结构紧凑, 位移放大倍数高, 抗干扰能力强等优点得到了工程界的认可。但受限于菱形机构放大比与固有频率无法同时提高的缺陷, 目前菱形放大机构主要应用于输出
12、刚度较小、频响较低的工况。本文提出了一种具有双臂的复合菱形位移放大机构, 在保持较大位移放大比的同时, 可以提高系统输出刚度和固有频率, 其具体结构如图 1 所示。图 1 双臂菱形柔性机构 Fig.1 Rhombus-type compliant mechanism with double flexible beams 下载原图整个机构与传统的菱形放大机构构型相似, 上下、左右对称布局, 但是放大机构的柔性臂采用双层结构。压电陶瓷通过一定预紧力安装在位移放大机构水平对角线之间, 在一定的输入电压下, 压电陶瓷输出驱动力和水平位移, 在其驱动作用下, 菱形双臂发生形变而使位移放大机构产生竖直方向
13、的输出位移。合理优化机构参数, 可得到被放大的竖直方向位移输出。机构运动过程中保持菱形构型不变, 与传统同参数的菱形放大机构相比, 双臂菱形放大机构在运动过程中几何关系不变, 大角度位移放大比几乎不变;由单臂变为双臂结构, 提高了机构的输出刚度和固有频率。2 新型柔性机构的解析模型2.1 位移放大比模型如图 2 所示, 假设压电陶瓷输出力和负载分别为 FPZT和 FN, 其他几何参数定义见图 1。当压电陶瓷在正电压作用下, 位移放大机构水平方向伸长 2x 时, 其竖直方向将缩减 2y。由于机构具有对称性, 取柔性位移放大机构的 1/4 进行力学分析, 则有如下关系式成立:F PZT=4fx;F
14、N=4fy。如图 2 所示, 柔性双臂机构由柔性臂 AB 和柔性臂 CD 组成, 因柔性臂 AB 与柔性臂 CD 的力学边界条件以及几何参数完全相同, 为简化力学分析过程, 以柔性臂 AB 为例, 对双臂菱形位移放大机构进行受力分析。考虑柔性臂的固定边界条件:A、B 两点转动角度相等, A 点作水平移动, B 点作竖直运动。由于受到 A、B 两点的约束, 柔性臂 AB 将受到 2 Mr力矩的作用, 根据力平衡方程和力矩平衡方程, 有图 2 双臂菱形机构受力分析 Fig.2 Force analysis of rhombus-type displacement amplifier 下载原图对简化
15、后的柔性臂 AB 进行受力分析。沿柔性臂方向, AB 受到拉力的作用;垂直于柔性臂方向, AB 受到一对力偶的作用, 且 A、B 两点的约束还导致 AB 存在力矩 2 Mr的作用, 这将使柔性臂在运动过程中发生弯曲, 进而输出放大的位移。根据力和力矩平衡方程, 沿 AB 长度方向、距 A 点距离为 u 的力和力矩分别为基于欧拉-伯努利梁理论, 柔性臂的总变形能为拉伸应变能 V1 与弯曲应变能V2 之和, 即由卡氏第二定理, 机构沿 x 方向的位移机构沿 y 方向的位移其中, EA 和 EI 分别为柔性臂 AB 的抗拉刚度和抗弯刚度。基于式 (6) 和式 (7) , 位移放大机构空载时 (f y
16、=0) 的位移放大比位移放大机构的输入刚度2.2 固有频率解析模型与实际应用工况一致, 建立固有频率解析模型时, 位移放大机构的底部边界条件是固定的, 各柔性环节的质量和坐标选取如图 3 所示。图 3 双臂菱形位移放大机构及各部分质量分布 Fig.3 Mass distribution of the proposed mechanism 下载原图仅考虑柔性位移放大机构竖直方向的输出位移一个自由度, 取广义坐标q=2y。由前文力学分析和理论建模结果可知, 水平输入位移 x、柔性臂转动角度 、柔性臂变形伸长量 l 与竖直输出位移坐标 q 之间分别满足如下关系:式中, K l、K 分别为柔性臂 AB
17、、CD 的抗拉刚度和抗弯刚度。考虑到柔性臂的抗拉刚度和抗弯刚度, 则系统的弹性势能系统的动能令拉格朗日函数 L=T-V, 对于自由振动, 将式 (12) 和式 (13) 代入拉格朗日方程:忽略推导过程, 根据拉格朗日方程, 可以得到自由振动的动力学方程:双臂菱形柔性机构的固有频率3 有限元计算分析3.1 位移放大比仿真为了验证本文力学解析模型的准确性, 保持双臂菱形位移放大机构的参数相同, 将解析模型计算结果与有限元计算结果进行比较, 并将有限元计算结果作为比较的基准。位移放大机构具体几何参数见表 1, 有限元计算的网格划分如图 4所示。进行位移放大比仿真计算时, 完整约束图 4 模型底部,
18、柔性机构水平对角线内部两侧施加等大反向的驱动力;计算位移放大比仿真结果时, 柔性机构的位移放大比即仿真结果的竖直输出位移与水平输入位移的比值。计算得到的双臂菱形位移放大比的部分结果见表 2。图 4 有限元模型 Fig.4 Finite element model 下载原图表 1 计算参数 Tab.1 Calculation parameters 下载原表 表 2 位移放大比计算结果 Tab.2 Calculation results of amplification ratio 下载原表 由表 2 可以看出, 本文基于卡氏第二定理推导出的解析模型在角度 较大时与有限元结果接近, 在角度 较小时
19、还存在一定的误差。存在计算误差的主要原因是本文的双层柔性臂是中空结构, 在计算其弯矩时未考虑中空部分的影响。实际工程应用中应乘以工程系数进行调整, 这样, 解析模型计算结果将与有限元计算结果更加接近。3.2 固有频率仿真工作频宽和输出位移放大倍数是评价位移放大机构性能的两个重要参数, 建立固有频率与机构几何参数之间准确的解析力学模型是结构优化的前提。为了验证本文建立的双臂菱形位移放大机构固有频率解析模型的准确性, 基于 ANASYS软件对同一模型进行了有限元模态分析, 有限元计算的网格划分如图 4 所示, 具体结构参数见表 1, 其中, 柔性机构的角度 为 10。双臂菱形位移放大机构的前 6
20、阶模态如图 5 所示, 其中, 第 1 阶模态描述了双臂菱形位移放大机构的平面外摇摆变形, 频率约 1179Hz;第 2 阶模态为机构绕Z 轴扭转变形, 频率约 1257Hz;第 4 阶模态为机构绕上下定点的扭转变形, 频率约 3806Hz;第 3 阶模态为位移放大机构输出位移方向的变形振型, 频率为1411.4Hz, 理论计算出该阶固有频率为 1292.91 Hz, 两者的相对误差为 9.2%, 误差在工程许可范围内。图 5 菱形位移放大机构的前 6 阶振型 Fig.5 The first six vibration modes of the proposed mechanism 下载原图4
21、 实验验证按表 1 中的参数加工出双臂菱形柔性机构和传统菱形柔性机构, 其中, 柔性机构的角度 为 10。双臂菱形柔性机构在传统菱形柔性机构的基础上改进, 除增加双臂结构外, 其他尺寸参数与传统菱形机构相同。搭建实验测试系统进行比较与验证 (图 6) 。实验中, 由信号发生器 (AFG300) 产生激励信号, 经功率放大器放大后输入压电陶瓷, 在压电陶瓷激励下, 柔性机构输出微位移, 该微位移由激光位移传感器进行测量, 位移传感器所测位移和功率放大器输出信号由示波器 (Agilent, 探头内阻为 10M) 进行同步采集。压电陶瓷功率放大器型号为 PI-E-482, 电压放大倍数为 100;所
22、用传感器型号为 HL-G103-A, 分辨力为 0.5m。图 6 实验测试系统 Fig.6 Experimental set up 下载原图对压电陶瓷施加正弦线性扫频激励, 频率范围为 12000Hz, 扫频时间 100s, 输入电压幅值 20V。实际输入输出曲线如图 7 所示, 可以看出在扫频激励 67s 后, 放大机构出现共振现象。图 7 扫频输入输出信号 Fig.7 Input and output sweep-frequency signal 下载原图放大机构竖直方向的位移输出由激光位移传感器测得, 分析放大机构的输入输出得到系统的伯德图 (图 8) 。实测双臂菱形位移放大机构固有频率
23、为 1330Hz, 由有限元仿真分析对应该阶固有频率为 1411.4Hz, 误差为 5.77%, 仿真与实验误差较小, 表明仿真模型比较准确, 可信度比较高。由图 8 可以看出, 本文提出的双臂菱形柔性机构与传统的菱形机构相比, 固有频率有了一定的提高;双臂菱形柔性机构的固有频率为 1330Hz, 传统菱形机构固有频率为 1140Hz, 机构固有频率提高了 16.7%, 输出刚度增大了一倍, 而位移放大比几乎不变, 充分表明了本文所设计机构的优点。图 8 位移放大机构扫频分析伯德图 Fig.8 Bode diagram of different amplification mechanisms
24、 下载原图5 结语实验测试结果表明, 该双臂菱形柔性机构的固有频率比传统机构提高 16.7%, 输出刚度增大一倍, 位移放大比为 4.2, 与传统机构接近。此外, 基于本文建模方法所建立的位移放大比和固有频率等力学解析模型可以准确预测位移放大机构的静动力学响应, 揭示双臂菱形柔性位移放大机构各几何参数对机构静、动力学行为的影响, 可为机构优化设计和控制设计提供较为准确的依据。参考文献1LING Mingxiang, CAO Junyi, JIANG Zhou, et al.Theoretical Modeling of Attenuated Displacement Amplification
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