1、第8章,解三角形,8.2 余弦定理(二),学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.以下问题不能用余弦定理求解的是 . (1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角. (2)已知两角和一边，求其他角和边. (3)已知一个三角形的二条边及其夹角，求其他的边和角. (4)已知一个三角形的三条边，解三角形.,(2),2.利用余弦定理判断三角形的形状正确的是 . (1)在ABC中，若a2
2、b2c2，则ABC为直角三角形. (2)在ABC中，若a2 b2c2，则ABC为钝角三角形.,(1)(3),预习导引 1.正弦定理及其变形 (1) a sin A b sin B c sin C . (2)a，b，c.,2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,2.余弦定理及其推论 (1)a2 ，b2 ， c2 . (2)cos A ；cos B ；cos C . (3)在ABC中，c2a2b2C为 ； c2a2b2C为 ； c2a2b2C为 .,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,b2c2a2 2bc,c2a2b2 2ca,a2b2c2
3、2ab,钝角,锐角,直角,3.三角变换公式 (1)cos () ； (2)cos () ； (3)cos 2 .,cos cos sin sin ,cos cos sin sin ,cos2sin2,2cos21,12sin2,要点一 正弦、余弦定理的综合应用 例1 如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长.,解 在ABD中，AD10，AB14，BDA60，设BDx，,由余弦定理，得 AB2AD2BD22ADBDcos BDA， 142102x2210xcos 60， 即x210x960，解得x116，x26(舍去)， BD16. ADC
4、D，BDA60，CDB30.,规律方法 余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.,跟踪演练1 在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，求b. 解 方法一 在ABC中，sin Acos C3cos Asin C， 则由正弦定理及余弦定理有,化简并整理得2(a2c2)b2.,又由已知a2c22b，4bb2.解得b4或b0(舍). 方法二
5、由余弦定理得：a2c2b22bccos A. 又a2c22b，b0.所以b2ccos A2. 又sin Acos C3cos Asin C， sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C， sin (AC)4cos Asin C，即sin B4cos Asin C，,由正弦定理得sin B b c sin C，故b4ccos A. 由解得b4.,要点二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在ABC中，有(1)abcos Cccos B； (2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A； 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明. 证明 方法一 (
6、1)由正弦定理得b2Rsin B，c2Rsin C，,bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B 2R(sin Bcos Ccos Bsin C)2Rsin(BC) 2Rsin Aa. 即abcos Cccos B.同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,方法二 (1)由余弦定理得,abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,规律方法 (1)证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左右；右左；左中右三种. (2)利用正弦、余弦定理证明三
7、角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.,跟踪演练2 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，,等式成立.,等式成立.,要点三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状 例3 在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状. 解 由(abc)(bca)3bc，得 b22bcc2a23bc，,b2c2，bc，ABC为等边三角形.,规律方法 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理
8、将边、角关系转化为边的关系来判断.,跟踪演练3 在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状. 解 方法一 根据余弦定理得b2a2c22accos B.,整理得(ac)20，ac.,又2bac，2b2a，即ba.ABC是正三角形.,方法二 根据正弦定理，2bac可转化为 2sin Bsin Asin C. 又B60，AC120.C120A， 2sin 60sin Asin (120A)， 整理得sin (A30)1，0A120，30A30150，A3090，A60，C60.ABC是正三角形.,1.在ABC中，sin Asin Bsin C323，则cos C的值为 ( ) A. 1 3
9、B. 2 3 C. 1 4 D. 1 4 解析 根据正弦定理，abcsin Asin Bsin C323，设a3k，b2k，c3k.(k0),1,2,3,4,A,1,2,3,4,2.在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 2cos Bsin Asin C， 2 a2c2b2 2ac ac， ab.故ABC为等腰三角形.,C,1,2,3,4,3.在ABC中，BCa，ACb，a、b是方程x22 3 x20的两根且2cos(AB)1，则AB.,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,
10、4.在ABC中，若B30，AB2 3 ，AC2，则满足条件的三角形有几个？ 解 设BCa，ACb，ABc， 由余弦定理，得b2a2c22accos B，,即a26a80，解得a2或a4.,1,2,3,4,满足条件的三角形有两个.,课堂小结 1.已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.,2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.,4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.,
