1、第8章,解三角形,8.1 正弦定理(二),学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 2.能根据条件，判断三角形解的个数. 3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是. (1)在ABC中，若 sin A a cos B b cos C c ，则A90 (2)在ABC中，若sin 2Asin 2B，则ab (3)在ABC中，若sin Asin B，则AB；反之，若AB，则sin Asin B,(
2、4)在ABC中， a sin A bc sin Bsin C 解析 对于(1)，由正弦定理可知，sin Bcos B，sin Ccos C，BC45，故A90，故(1)正确. 对于(2)，由sin 2Asin 2B可得AB或2A2B， ab或a2b2c2，故(2)错误. 对于(3)，在ABC中，sin Asin BabAB，故(3)正确.,答案 (2),预习导引 1.正弦定理的常见变形 (1)sin Asin Bsin C； (2) a sin A b sin B c sin C abc sin Asin Bsin C ； (3)a，b，c； (4)sin A，sin B，sin C.,abc
3、,2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,a 2R,b 2R,c 2R,2.三角变换公式 (1)sin () ； (2)sin () ； (3)sin 2 .,sin cos cos sin ,sin cos cos sin ,2sin cos ,要点一 利用正弦定理判断三角形的形状 例1 在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.,sin2Asin2Bsin2C，,A90，BC90. 由sin A2sin Bcos C，得sin 902sin Bcos(90B)，,ABC是等腰直角三角形. 方法二 在ABC中，根据正弦
4、定理： sin A a 2R ，sin B b 2R ，sin C c 2R . sin2Asin2Bsin2C， a2b2c2，ABC是直角三角形且A90.,A180(BC)，sin A2sin Bcos C， sin(BC)2sin Bcos C. sin Bcos Ccos Bsin C0， 即sin(BC)0.BC0，即BC. ABC是等腰直角三角形.,规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，
5、通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.,跟踪演练1 在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状.,sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B. 2A2B或2A2B， 即AB或AB 2 . ABC为等腰三角形或直角三角形.,要点二 利用正弦定理求最值或范围 例2 在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a2bsin A，求cos Asin C的取值范围. 解 设R为ABC外接圆的半径. a2bsin A，2Rs
6、in A4Rsin Bsin A，sin B 1 2 . B为锐角，B 6 .,规律方法 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法： (1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量. (2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题.,跟踪演练2 在ABC中，若C2B，求 c b 的取值范围. 解 因为ABC，C2B， 所以A3B0，所以0B 3 ，所以 1 2 cos B1.,要点三 正弦定理与三角变换的综合 例3 已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac2b，且2cos 2B8cos B50，求角B的大小
7、并判断ABC的形状. 解 2cos 2B8cos B50， 2(2cos2 B1)8cos B50. 4cos2 B8cos B30， 即(2cos B1)(2cos B3)0.,ABC是等边三角形.,规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.,跟踪演练3 已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状. 解 设方程的两根为x1、x2，,bcos Aacos B.,由正弦定理得2Rsin Bcos A2Rs
8、in Acos B， sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0. A、B为ABC的内角， 0A，0B，AB. AB0，即AB. 故ABC为等腰三角形.,1.在ABC中，若sin Asin B，则角A与角B的大小关系为( ) A.AB B.Asin B2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)abAB.,1,2,3,4,5,A,1,2,3,4,5,2.在ABC中,已知A150，a3，则其外接圆的半径R的值为( ) A.3 B. 3 C.2 D.不确定,A,1,2,3,4,5,3.在ABC中，AC 6 ，BC2，B60，则角C的值为( ) A. 45 B. 30 C
9、.75 D. 90,1,2,3,4,5,A45.C75.,答案 C,4.在ABC中，若 a cos A b cos B c cos C ，则ABC是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,4,5,tan Atan Btan C，ABC. 答案 B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知一三角形中a2 3 ，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形. 解 a2 3 ，b6，absin A，,1,2,3,4,5,所以本题有两解，由正弦定理得：,故B60或120.,1,2,3,4,5,当B120时，C30，ca2 3 . 所以B60，C90，c4 3 或B120，C30， c2 3 .,课堂小结 1.已知a，b和A，用正弦定理解三角形的各种情况： (1)列表如下：,(2)也可利用正弦定理sin B bsin A a 进行讨论： 如果sin B1，则问题无解； 如果sin B1，则问题有一解； 如果求出sin B1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.,2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.,
