2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 理（课件+习题）（打包13套）北师大版.zip

第 1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考 纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念； 2.能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 .知 识 梳 理1.角的概念的推广(1)定 义 ：角可以看成平面内的一条射 线绕 着 从一个位置旋 转 到另一个位置所成的 图 形 .端点正角 负角 零角象限角2.弧度制的定 义 和公式(1)定 义 ：把 长 度等于 的弧所 对 的 圆 心角叫作 1弧度的角，弧度 记 作 rad.半径 长|α|r3.任意角的三角函数y xMP OM AT诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) ×××√×答案 C解析 由三角函数的定 义 知 xP＝ cos θ， yP＝ sin θ，故 选A.答案 A5.(北 师 大 必修 4P12习题 6改 编 )一条弦的 长 等于半径， 这条弦所 对 的 圆 心角大小 为 ________弧度 .考点一 象限角与三角函数 值 的符号答案 (1)C (2)B答案 (1)B (2)A考点二 三角函数的定 义规律方法 利用三角函数的定义 ， 求一个角的三角函数 值， 需确定三个量：角的 终边 上任意一个异于原点的点的横坐 标 x， 纵 坐 标 y， 该 点到原点的距离 r.若 题 目中已知角的终边 在一条直 线 上 ， 此 时 注意在 终边 上任取一点有两种情况 (点所在象限不同 ).答案 (1)B (2)C考点三 扇形弧 长 、面 积 公式的 应 用【例 3】 已知一扇形的 圆 心角 为 α (α0)，所在 圆 的半径 为R. (1)若 α＝ 60°， R＝ 10 cm，求扇形的弧 长 及 该 弧所在的弓形的面 积 ；(2)若扇形的周 长 是一定 值 C (C0)，当 α为 多少弧度 时， 该 扇形有最大面 积 ？【 训练 3】 已知扇形的周 长为 4 cm，当它的半径 为 ______ cm和 圆 心角 为 ________弧度 时 ，扇形面 积 最大， 这 个最大面 积 是 ________ cm2.答案 1 2 1[思想方法 ]1.任意角的三角函数 值仅 与角 α的 终边 位置有关，而与角 α终边 上点 P的位置无关 .若角 α已 经给 出， 则 无 论 点 P选择在 α终边 上的什么位置，角 α的三角函数 值 都是确定的 .如有可能 则 取 终边 与 单 位 圆 的交点 .其中 |OP|＝ r一定是正值 .2.三角函数 值 的符号是重点，也是 难 点， 在理解的基 础 上可借助口 诀 ：一全正，二正弦，三正切，四余弦 .3.在解 简单 的三角不等式 时 ，利用 单 位 圆 及三角函数 线 是一个小技巧 .[易 错 防范 ]1.注意易混概念的区 别 ：象限角、 锐 角、小于 90°的角是概念不同的三 类 角 .第一 类 是象限角，第二、第三 类 是区 间角 .2.角度制与弧度制可利用 180°＝ π rad进 行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必 须 一致，不可混用 .3.已知三角函数 值 的符号确定角的 终边 位置不要 遗 漏 终边在坐 标轴 上的情况 .第 2讲 同角三角函数基本关系式与 诱导 公式知 识 梳 理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系： .(2)商数关系： .sin2α＋ cos2α＝ 1-sin α -sin α sin α cos α cos α-cos α cos α -cos α sin α -sin αtan α -tan α -tan α2.三角函数的 诱导 公式诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) 精彩 PPT展示××√√×答案 D答案 C答案 A答案 3考点一 同角三角函数基本关系式的 应 用答案 (1)A (2)A考点二 诱导 公式的 应 用规 律方法 利用 诱导 公式化 简 三角函数的基本思路和化 简 要求： (1)基本思路： ① 分析 结 构特点 ， 选择 恰当公式； ② 利 用公式化成 单 角三角函数； ③ 整理得最简 形式 .(2)化 简 要求： ① 化 简过 程是恒等 变 形； ② 结果要求 项 数尽可能少 ， 次数尽可能低 ， 结 构尽可能 简单 ， 能求 值 的要求出 值 .考点三 巧用相关角的关系解 题[思想方法 ]1.同角三角函数基本关系可用于 统 一函数； 诱导 公式主要用于统 一角，其主要作用是 进 行三角函数的求 值 、化 简 和 证 明，已知一个角的某一三角函数 值 ，求 这 个角的其它三角函数值时 ，要特 别 注意平方关系的使用 .第 3讲两角和与差及二倍角公式 的三角函数最新考 纲 1.会用向量的数量 积 推 导 出两角差的余弦公式； 2.能利用两角差的余弦公式 导 出两角差的正弦、正切公式； 3.能利用两角差的余弦公式 导 出两角和的正弦、余弦、正切公式 ， 导 出二倍角的正弦、余弦、正切公式 ， 了解它 们的内在 联 系； 4.能运用上述公式 进 行 简单 的恒等 变换 (包括导 出 积 化和差、和差化 积 、半角公式 ， 但 对这 三 组 公式不要求 记忆 ).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝ .cos(α∓β)＝ .tan(α±β)＝ .2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝ .cos 2α＝ .tan 2α＝ .sin αcos β±cos αsin βcos αcos β±sin αsin β2sin αcos αcos2α－ sin2α＝ 2cos2α－ 1＝ 1－2sin2α3.有关公式的逆用、 变 形等tan(α±β)(1∓tan αtan β)诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) √√√×答案 D答案 B答案 35.(2014·新 课标全国 Ⅱ 卷 )函数 f(x)＝ sin(x＋ 2φ)－ 2sin φ·cos(x＋ φ)的最大 值为 ________.解析 ∵ f(x)＝ sin(x＋ 2φ)－ 2sin φcos(x＋ φ)＝ sin [(x＋ φ)＋ φ]－ 2sin φcos (x＋ φ)＝ sin(x＋ φ)cos φ＋ cos (x＋ φ)sin φ－ 2sin φcos(x＋φ)＝ sin(x＋ φ)cos φ－ cos (x＋ φ)sin φ＝ sin[(x＋ φ)－ φ]＝ sin x，∴ f(x)的最大 值为 1.答案 1考点一 三角函数式的化 简 、求 值规 律方法 (1)三角函数式的化简要遵循 “ 三看 ” 原则：一看角之间的差别与联系 ， 把角进行合理的拆分 ， 正确使用公式；二看函数名称之间的差异 ， 确定使用的公式 ， 常见的有 “ 切化弦 ” ；三看结构特征 ， 找到变形的方向 ， 常见的有 “ 遇到分式要通分 ” ， “ 遇到根式一般要升幂 ” 等 .(2)对于给角求值问题 ， 一般给定的角是非特殊角 ， 这时要善于将非特殊角转化为特殊角 .另外此类问题也常通过代数变形 (比如：正负项相消、分子分母相约等 )的方式来求值 .考点二 三角函数的 给值 求 值 、 给值 求角考点三 三角 变换 的 简单应 用规 律方法 解三角函数问题的基本思想是 “变换 ” ， 通过适当的变换达到由此及彼的目的 ， 变换的基本方向有两个 ， 一个是变换函数的名称 ， 一个是变换角的形式 .变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式 ， 可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等 .第 4讲 三角函数的图 像 与性质知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的 简图(π，－ 1)2.正弦、余弦、正切函数的 图 像与性 质 (下表中 k∈ Z)2π π奇函数 偶 函数 奇函数[2kπ－ π， 2kπ][2kπ， 2kπ＋ π](kπ， 0)x＝ kπ诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) ×√××√B答案 B答案 C考点一 三角函数的定 义 域和 值 域规 律方法 (1)求三角函数的定 义 域 实际 上是解 简单 的三角不等式 ， 常借助三角函数 线 或三角函数 图 像来求解 .(2)求解三角函数的 值 域 (最 值 )常 见 到以下几种 类 型：① 形如 y＝ asin x＋ bcos x＋ c的三角函数化 为 y＝ Asin(ωx＋φ)＋ c的形式 ， 再求 值 域 (最 值 )； ② 形如 y＝ asin2x＋ bsin x＋ c的三角函数 ， 可先 设 sin x＝ t， 化 为 关于 t的二次函数求值 域 (最 值 )； ③ 形如 y＝ asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋ c的三角函数 ， 可先 设 t＝ sin x±cos x， 化 为 关于 t的二次函数求值 域 (最 值 ).考点二 三角函数的 单调 性答案 (1)C (2)A规 律方法 (1)求 较为 复 杂 的三角函数的 单调 区 间时 ， 首先化 简 成 y＝ Asin(ωx＋ φ)形式 ， 再求 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 单调 区 间 ， 只需把 ωx＋ φ看作一个整体代入 y＝ sin x的相 应单调 区 间 内即可 ， 注意要先把 ω化 为 正数 .(2)对 于已知函数的单调 区 间 的某一部分确定参数 ω的范 围 的 问题 ，首先，明确已知的 单调 区 间应为 函数的 单调 区 间 的子集，其次，要确定已知函数的 单调 区 间 ，从而利用它 们 之 间 的关系可求解，另外，若是 选择题 利用特 值验证 排除法求解更 为简 捷.考点三 三角函数的 对 称性与奇偶性[微 题 型 1] 求三角函数的 对 称 轴 或 对 称中心答案 (1)D (2)C[微 题 型 2] 由三角函数的 对 称性求参数第 5讲函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 像 及 应 用最新考 纲 1.了解函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的物理意 义 ；能画出y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 像 ， 了解参数 A， ω， φ对 函数 图 像 变化的影响； 2.会用三角函数解决一些 简单实际问题 ， 体会三角函数是描述周期 变 化 现 象的重要函数模型 .知 识 梳 理1.“ 五点法 ” 作函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)(A0， ω0)的 简图“ 五点法 ” 作 图 的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x轴 相交的三个点，作 图时 的一般步 骤为 ：(1)定点：如下表所示 .0 π 2π(2)作 图 ：在坐 标 系中描出 这 五个关 键 点，用平滑的曲 线顺 次 连 接得到 y＝ Asin(ωx＋ φ)在一个周期内的 图 像 .(3)扩 展：将所得 图 像，按周期向两 侧扩 展可得 y＝ Asin(ωx＋ φ)在 R上的 图 像 .2.函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)中各量的物理意 义当函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)(A＞ 0， ω＞ 0)， x∈ [0，＋ ∞ )表示一个振 动 量 时 ，几个相关的概念如下表：φ3.函数 y＝ sin x的 图 像 经变换 得到 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 像的两种途径|φ|诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )××√×答案 BB答案 C5. 如 图 ，某地一天，从 6～ 14时 的温度 变 化曲 线 近似 满 足函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ b(A＞ 0， ω＞ 0， 0＜ φ＜ π)， 则这 段曲 线 的函数解析式 为 ________.考点一 函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 像及 变换描点画出 图 像 (如 图 ).考点二 由 图 像求函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的解析式(2)函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A＞ 0， ω＞ 0， |φ|＜ π)的部分 图 像如 图 所示， 则 函数 f(x)的解析式 为________. 答案 D考点三 函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的性 质[微 题 型 1] 函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的性 质第 6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形最新考 纲 1.掌握正弦定理、余弦定理 ，并能解决一些 简单 的三角形度量 问题 ； 2.能 够 运用正弦定理、余弦定理等知 识 和方法解决一些与 测 量、几何 计 算有关的 实际问题 .知 识 梳 理1.正、余弦定理在 △ ABC中，若角 A， B， C所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， R为△ ABC外接 圆 半径， 则b2＋ c2－ 2bccos Ac2＋ a2－ 2cacos Bc2＋ a2－ 2cacos B2Rsin B 2Rsin Csin A∶ sin B∶ sin C3.实际问题 中的常用角(1)仰角和俯角在同一 铅 垂平面内的水平 视线 和目 标视线 的 夹 角，目 标视线 在水平 视线 叫仰角，目 标视线 在水平 视线 叫俯角 (如 图 1).上方 下方(2)方位角从某点的指北方向 线 起按 顺时针转 到目 标 方向线 之 间 的水平 夹 角叫作方位角．如 B点的方位角 为 α(如 图 2)．(3)方向角：正北或正南方向 线 与目 标 方向 线 所成的 锐 角，如南偏 东 30°，北偏西 45°等 .(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切 值 .诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )×√√×√答案 C答案 AC答案 1考点一 利用正、余弦定理解三角形规 律方法 (1)解三角形 时 ， 如果式子中含有角的余弦或 边 的二次式 ， 要考 虑 用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或 边 的一次式 时 ， 则 考 虑 用正弦定理；以上特征都不明 显时 ， 则 要考 虑 两个定理都有可能用到 .(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一 边 ， 该 三角形是确定的 ， 其解是唯一的；已知两 边 和一 边 的 对 角， 该 三角形具有不唯一性，通常根据三角函数 值 的有界性和大 边对 大角定理 进 行判断 .考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状规 律方法 (1)三角形的形状按 边 分 类 主要有：等腰三角形 ， 等 边 三角形等；按角分 类 主要有：直角三角形， 锐 角三角形 ， 钝 角三角形等 .判断三角形的形状 ，应围绕 三角形的 边 角关系 进 行思考 ， 主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、 钝 角三角形或锐 角三角形 .(2)边 角 转 化的工具主要是正弦定理和余弦定理 .答案 (1)A (2)A考点三 和三角形面 积 有关的 问题考点四 正、余弦定理在 实际问题 中的 应 用