2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 文（课件+习题）（打包26套）北师大版.zip

1计时双基练十 函数的图像A 组 基础必做1．为了得到函数 y＝2 x－3 －1 的图像，只需把函数 y＝2 x的图像上所有的点( )A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度C．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度解析 y＝2 x y＝2 x－3 y＝2 x－3 －1。故选 A。― ― →向 右 平 移 3个 单 位 ― ― →向 下 平 移 1个 单 位 答案 A2．(2015·山东省烟台市莱州一中高三期末)已知函数 f(x)＝ ax－2 ， g(x)＝log a|x|(其中 a0 且 a≠1)，若 f(4)·g(－4)0，排除 B；又x33x－ 1∵ x→＋∞时， →0，∴排除 D，故选 C。x33x－ 1答案 C4．(2016·衡水模拟)已知函数 y＝ f(x)与 y＝ g(x)的图像如图所示，则函数y＝ f(x)·g(x)的图像可能是( )2解析 观察图像可知， y＝ f(x)有两个零点 x1＝－ ， x2＝ ，且 y＝ g(x)在 x＝0 时，π 2 π 2函数值不存在，所以函数 y＝ f(x)·g(x)在 x＝0 时，函数值也不存在，故可以排除选项C，D；当 x∈ 时， y＝ f(x)·g(x)的函数值为负，故排除选项 B。(0，π 2)答案 A5．(2016·成都模拟)设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0，则不等式4 或 a0 时， y＝ ax 与 y＝| f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C；当 a≤0 时，若 x0，则|f(x)|≥ ax 恒成立。若 x≤0，则以 y＝ ax 与 y＝|－ x2＋2 x|相切为界限，由Error!得 x2－( a＋2) x＝0。∵Δ＝( a＋2) 2＝0，∴ a＝－2。∴ a∈[－2,0]。故选 D。答案 D4．已知函数 f(x)＝| x2－4 x＋3|。(1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 M＝{ m|使方程 f(x)＝ mx 有四个不相等的实根}。解 f(x)＝Error!作出图像如图所示。(1)单调递增区间为(1,2]，(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，(2,3]。(2)由图像可知当 y＝ f(x)与 y＝ mx 的图像有四个不同的交点时，直线 y＝ mx 应介于 x轴与切线 l1之间。Error!⇒x2＋( m－4) x＋3＝0。由 Δ＝0，得 m＝4±2 。3当 m＝4＋2 时， x＝－ ∉(1,3)，舍去。3 3所以 m＝4－2 ，3故直线 l1的方程为 y＝(4－2 )x。3所以 m∈(0,4－2 )。3即集合 M＝{ m|0m4－2 }。31计时双基练十一 函数与方程A组 基础必做1．已知函数 f(x)＝ －log 2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )6xA．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)解析 因为 f(1)＝6－log 21＝60， f(2)＝3－log 22＝20， f(4)＝ －log 24＝－ 0， f(3)＝280，所以 f(1)·f(2)0)的解的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析 (数形结合法)∵ a0，∴ a2＋11。而 y＝| x2－2 x|的图像如图，2∴ y＝| x2－2 x|的图像与 y＝ a2＋1 的图像总有两个交点。答案 B5．已知三个函数 f(x)＝2 x＋ x， g(x)＝ x－2， h(x)＝log 2x＋ x的零点依次为a， b， c，则( )A． a0，且 f(x)为 R上的递增函数。12 12故 f(x)＝2 x＋ x的零点 a∈(－1,0)。∵ g(2)＝0，∴ g(x)的零点 b＝2；∵ h ＝－1＋ ＝－ 0，(12) 12 12且 h(x)为(0，＋∞)上的增函数，∴ h(x)的零点 c∈ ，因此 a0可得其中一个零点 x0∈______，第二次应计算________。解析 ∵ f(x)＝ x3＋3 x－1 是 R上的连续函数，且 f(0)0，则 f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号。答案 (0,0.5) f(0.25)8．已知关于 x的方程 x2＋ mx－6＝0 的一个根比 2大，另一个根比 2小，则实数 m的取值范围是________。解析 设函数 f(x)＝ x2＋ mx－6，则根据条件有 f(2)1，所以方程| p(x)|＝1 有两个解，即方程|ln x＋ x2－6|＝1 有两个解。综上可知，方程| f(x)＋ g(x)|＝1 共有 4个实根。答案 43．若方程 ＝ k(x－2)＋3 有两个不等的实根，则 k的取值范围是________。4－ x2解析 作出函数 y1＝ 和 y2＝ k(x－2)＋3 的图像如图所示，函数 y1的图像是圆4－ x2心在原点，半径为 2的圆在 x轴上方的半圆(包括端点)，函数 y2的图像是过定点 P(2,3)的直线，点 A(－2,0)， kPA＝ ＝ 。直线 PB是圆的切线，由圆心到直线的距离等于3－ 02－  － 2 34半径得， ＝2，得 kPB＝ 。由图可知当 kPBk≤ kPA时，两函数图像有两个交点，|3－ 2kPB|k2PB＋ 1 512即原方程有两个不等实根。所以 k≤ 。512 34答案 (512， 34]4．已知关于 x的二次方程 x2＋2 mx＋2 m＋1＝0。(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m的取值范6围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求 m的取值范围。解 (1)由条件，抛物线 f(x)＝ x2＋2 mx＋2 m＋1 与 x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得Error!⇒Error!即－ m－ ，56 12故 m的取值范围是 。(－56， － 12)(2)抛物线与 x轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如图所示，列不等式组Error!⇒Error!即－ m≤1－ 。12 2故 m的取值范围是 。(－12， 1－ 2]1计时双基练十二 函数模型及其应用A 组 基础必做1．下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型 B．幂函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型解析 根据已知数据可知，自变量每增加 1，函数值增加 2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型。答案 A2．设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和所用的时间 x 的函数图像为( )解析 注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程\”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为 D。答案 D3．(2015·辽宁五校联考)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间 t 内的路程为 s＝ t2米，那么，此人( )12A．可在 7 秒内追上汽车B．可在 9 秒内追上汽车C．不能追上汽车，但期间最近距离为 14 米D．不能追上汽车，但期间最近距离为 7 米解析 已知 s＝ t2，车与人的间距 d＝( s＋25)－6 t＝ t2－6 t＋25＝ (t－6) 2＋7。当12 12 12t＝6 时， d 取得最小值 7。答案 D4．(2015·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房。当每套房月租金定为 3 000 元时，这 70 套公寓能全租出去；当月租金每增加 50 元时(设月租金均为50 元的整数倍)，就会多一套房子不能出租。设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元2的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)。要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A．3 000 元 B．3 300 元C．3 500 元 D．4 000 元解析 由题意，设利润为 y 元，租金定为 3 000＋50 x 元(0≤ x≤70， x∈N)。则 y＝(3 000＋50 x)(70－ x)－100(70－ x)＝(2 900＋50 x)(70－ x)＝50(58＋ x)(70－ x)≤50 2，(58＋ x＋ 70－ x2 )当且仅当 58＋ x＝70－ x，即 x＝6 时，取等号，故每月租金定为 3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选 B。答案 B5．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析 设该股民购这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(1＋10%)n＝ a×1.1n元，经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1－10%)n＝ a×1.1n×0.9n＝ a×(1.1×0.9)n＝0.99 n·a0)。则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大。512 (x2＋ 8x)解析 由题意得 L＝ － ＝ － 2(x0)。当 － ＝0，即 x＝4 时， L512 (x2＋ 8x) 432 12( x－ 4x) x 4x取得最大值 21.5。故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大。答案 49．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，(A)对应______；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________。 A  B  C  D 1  2  3  4解析 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C、D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但 C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应。答案 (4) (1) (3) (2)10．某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿千瓦时。本年度计划将电价调至 0.55元～0.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与( x－0.4)(元)成反比例。又当 x＝0.65 元时， y＝0.8。4(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解 (1)∵ y 与( x－0.4)成反比例，∴设 y＝ (k≠0)。kx－ 0.4把 x＝0.65， y＝0.8 代入上式，得 0.8＝ ， k＝0.2。k0.65－ 0.4∴ y＝ ＝ ，0.2x－ 0.4 15x－ 2即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝ 。15x－ 2(2)根据题意，得 ·(x－0.3)(1＋15x－ 2)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)。整理，得 x2－1.1 x＋0.3＝0，解得 x1＝0.5， x2＝0.6。经检验 x1＝0.5， x2＝0.6 都是所列方程的根。∵ x 的取值范围是 0.55～0.75，故 x＝0.5 不符合题意，应舍去。∴ x＝0.6。∴当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%。11．(2016·沈阳模拟)已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万只还需另投入 16 万美元，设苹果公司一年内共生产该款 iPhone 手机 x万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R(x)万美元，且 R(x)＝Error!(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润。解 (1)当 040 时， W＝ xR(x)－(16 x＋40)＝－ －16 x＋7 360。40 000x所以， W＝Error!(2)①当 040 时， W＝－ －16 x＋7 360，40 000x5由于 ＋16 x≥2 ＝1 600，40 000x 40 000x ×16x当且仅当 ＝16 x，即 x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，40 000x所以 W 取最大值为 5 760。综合①②知，当 x＝32 时， W 取最大值为 6 104 万元。B 组 培优演练1．某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克，如图所示为函数 y＝ f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于 240 毫克时，治疗有效。设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A．上午 10：00 B．中午 12：00C．下午 4：00 D．下午 6：00解析 当 x∈[0,4]时，设 y＝ k1x，把(4,320)代入，得 k1＝80，∴ y＝80 x。当 x∈[4,20]时，设 y＝ k2x＋ b。把(4,320)，(20,0)代入得Error!解得Error! ∴ y＝400－20 x。∴ y＝ f(x)＝Error!由 y≥240，得Error!或Error!解得 3≤ x≤4 或 4x≤8，∴3≤ x≤8。故第二次服药最迟应在当日下午 4：00。故选 C。答案 C2．已知一容器中有 A、 B 两种菌，且在任何时刻 A， B 两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用 PA＝lg( nA)来记录 A 菌个数的资料，其中 nA为 A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为( )① PA≥1；②若今天的 PA值比昨天的 PA值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多了 10个；③假设科学家将 B 菌个数控制为 5 万个，则此时 5PA5.5。A．0 B．1C．2 D．36解析 当 nA＝1 时 PA＝0，故①错误；若 PA＝1，则 nA＝10，若 PA＝2，则 nA＝100，故②错误；设 B 菌的个数为 nB＝5×10 4，所以 nA＝ ＝2×10 5。10105×104所以 PA＝lg( nA)＝lg 2＋5。又因为 lg 2≈0.3，所以 5PA5.5，故③正确。答案 B3．甲、乙两地相距 1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的 ，固定成本为 a 元。14(1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？解 (1)可变成本为 v2，固定成本为 a 元，所用时间为 。14 1 000v∴ y＝ ，即 y＝1 000 。1 000v (14v2＋ a) (14v＋ av)定义域为(0,80]。(2)y′＝1 000 ＝250· 。(14－ av2) v2－ 4av2令 y′＝0，得 v＝2 。a∵ v∈(0,80]，∴①当 2 ≥80，即 a≥1 600 时， y′≤0， y 为 v 的减函数。a当 v＝80 时， y 取得最小值。②当 2 80，即 0a1 600 时， y 随 v 的变化情况如下表：av (0,2 )a 2 a (2 ，80)ay′ － 0 ＋y  极小值 当 v＝2 时， y 取得最小值。a综上，当 0a1 600 时，货车以 2 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当 a≥1 a600 时，货车以 80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小。1计时双基练十三 变化率与导数、导数的计算A组 基础必做1．函数 f(x)＝( x＋2 a)(x－ a)2的导数为( )A．2( x2－ a2) B．2( x2＋ a2)C．3( x2－ a2) D．3( x2＋ a2)解析 f′( x)＝( x－ a)2＋( x＋2 a)[2(x－ a)]＝3( x2－ a2)。答案 C2．如图，函数 y＝ f(x)的图像在点 P处的切线方程是 y＝－ x＋8，则 f(5)＋ f′(5)＝( )A．2 B．6C．－2 D．4解析 由图可知， f(5)＝3， f′(5)＝－1，因此 f(5)＋ f′(5)＝2。答案 A3．设曲线 y＝ 在点 处的切线与直线 x－ ay＋1＝0 平行，则实数 a等于1＋ cos xsin x (π2， 1)( )A．－1 B.12C．－2 D．2解析 ∵ y′＝ ，∴ y′| x＝ ＝－1，由条件知 ＝－1，∴ a＝－1，故选－ 1－ cos xsin2x π2 1aA。答案 A4．下面四个图像中，有一个是函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋( a2－1) x＋1( a∈R)的导函数13y＝ f′( x)的图像，则 f(－1)＝( )2A. B．－13 23C. D．－ 或73 13 53解析 ∵ f′( x)＝ x2＋2 ax＋ a2－1，∴ f′( x)的图像开口向上，则②④排除。若 f′( x)的图像为①，此时 a＝0， f(－1)＝ ；若 f′( x)的图像为③，此时 a2－1＝0，又对称轴53x＝－ a0，∴ a＝－1，∴ f(－1)＝－ 。13答案 D5．(2015·保定调研)已知曲线 y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )A．e B．－eC. D．－1e 1e解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)。设切点为( x0， y0)，则 k＝ f′( x0)＝ ，∴切1x0线方程为 y－ y0＝ (x－ x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得 y0＝1，则1x0x0＝e，∴ k＝ f′( x0)＝ ＝ 。1x0 1e答案 C6．已知 f1(x)＝sin x＋cos x， fn＋1 (x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)＝ f1′( x)， f3(x)＝ f2′( x)，…，fn＋1 (x)＝ fn′( x)， n∈N ＋ ，则 f2 016(x)等于( )A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x解析 ∵ f1(x)＝sin x＋cos x，∴ f2(x)＝ f1′( x)＝cos x－sin x，∴ f3(x)＝ f2′( x)＝－sin x－cos x，∴ f4(x)＝ f3′( x)＝－cos x＋sin x，∴ f5(x)＝ f4′( x)＝sin x＋cos x，∴ fn(x)是以 4为周期的函数，∴ f2 016(x)＝ f4(x)＝sin x－cos x，故选 B。3答案 B7．已知函数 f(x)的导函数 f′( x)，且满足 f(x)＝2 xf′(1)＋ln x，则 f′(1)＝________。解析 ∵ f(x)＝2 xf′(1)＋ln x，∴ f′( x)＝[2 xf′(1)]′＋(ln x)′＝2 f′(1)＋ ，1x∴ f′(1)＝2 f′(1)＋1，即 f′(1)＝－1。答案 －18．在平面直角坐标系 xOy中，若曲线 y＝ ax2＋ (a， b为常数)过点 P(2，－5)，且该bx曲线在点 P处的切线与直线 7x＋2 y＋3＝0 平行，则 a＋ b的值是________。解析 y＝ ax2＋ 的导数为 y′＝2 ax－ ，直线 7x＋2 y＋3＝0 的斜率为－ 。由题意bx bx2 72得Error! 解得Error!则 a＋ b＝－ 3。答案 －39．(2015·开封调研)若函数 f(x)＝ x2－ ax＋ln x存在垂直于 y轴的切线，则实数 a12的取值范围是________。解析 ∵ f(x)＝ x2－ ax＋ln x，12∴ f′( x)＝ x－ a＋ 。1x∵ f(x)存在垂直于 y轴的切线，∴ f′( x)存在零点，∴ x＋ － a＝0 有解，∴ a＝ x＋ ≥2( x0)。1x 1x答案 [2，＋∞)10．求下列函数的导数。(1)y＝ x·tan x；(2)y＝( x＋1)( x＋2)( x＋3)。解 (1) y′＝( x·tan x)′＝ x′tan x＋ x(tan x)′＝tan x＋ x· ′＝tan x＋ x·(sin xcos x) cos2x＋ sin2xcos2x＝tan x＋ 。xcos2x(2)y′＝( x＋1)′[( x＋2)( x＋3)]＋( x＋1)[( x＋2)( x＋3)]′＝( x＋2)( x＋3)＋( x＋1)(x＋2)＋( x＋1)( x＋3)＝3 x2＋12 x＋11。11．已知函数 f(x)＝ x3＋ x－16。4(1)求曲线 y＝ f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标；(3)如果曲线 y＝ f(x)的某一切线与直线 y＝－ x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程。14解 (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝ f(x)上。∵ f′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3 x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝ f′(2)＝13。∴切线的方程为 y＝13( x－2)＋(－6)，即 y＝13 x－32。(2)设切点为( x0， y0)，则直线 l的斜率为 f′( x0)＝3 x ＋1，20∴直线 l的方程为 y＝(3 x ＋1)( x－ x0)＋ x ＋ x0－16，20 30又∵直线 l过点(0,0)，∴0＝(3 x ＋1)(－ x0)＋ x ＋ x0－16，20 30整理得， x ＝－8，∴ x0＝－2。30∴ y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2) 2＋1＝13。∴直线 l的方程为 y＝13 x，切点坐标为(－2，－26)。(3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直，∴切线的斜率 k＝4。x4设切点的坐标为( x0， y0)，则 f′( x0)＝3 x ＋1＝4，20解得 x0＝±1。∴Error! 或Error!切线方程为 y＝4( x－1)－14 或 y＝4( x＋1)－18。即 y＝4 x－18 或 y＝4 x－14。B组 培优演练1．已知 f(x)＝ x2＋sin ，则 f′( x)的图像是( )14 (π2＋ x)5解析 解法一： f(x)＝ x2＋sin ＝ x2＋cos x，14 (π2＋ x) 14故 f′( x)＝ x－sin x，记 g(x)＝ f′( x)，其定义域为 R，且 g(－ x)＝ (－ x)12 12－sin(－ x)＝－ ＝－ g(x)，(12x－ sin x)所以 g(x)为奇函数，所以排除 B、D 两个选项。又当 x＝ 时， g ＝ × －sin ＝ －10。(0，π2)答案 D3．若存在过点(1,0)的直线与曲线 y＝ x3和 y＝ ax2＋ x－9 都相切，则 a等于( )154A．－1 或－ B．－1 或2564 214C．－ 或－ D．－ 或 774 2564 74解析 设过(1,0)的直线与 y＝ x3相切于点( x0， x )，所以切线方程为30y－ x ＝3 x (x－ x0)，即 y＝3 x x－2 x ，又(1,0)在切线上，则 x0＝0 或 x0＝ ，30 20 20 3032当 x0＝0 时，由 y＝0 与 y＝ ax2＋ x－9 相切可得 a＝－ ，154 2564当 x0＝ 时，由 y＝ x－ 与 y＝ ax2＋ x－9 相切可得 a＝－1，所以选 A。32 274 274 154答案 A4．设函数 f(x)＝ ax－ ，曲线 y＝ f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为bx7x－4 y－12＝0。(1)求 f(x)的解析式；(2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝ x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解 (1)方程 7x－4 y－12＝0 可化为 y＝ x－3。74当 x＝2 时， y＝ 。又 f′( x)＝ a＋ ，12 bx2于是Error! 解得Error! 故 f(x)＝ x－ 。3x(2)设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋ 知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程3x2为 y－ y0＝ (x－ x0)，(1＋3x20)即 y－ ＝ (x－ x0)。(x0－3x0) (1＋ 3x20)7令 x＝0，得 y＝－ ，6x0从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 。(0， －6x0)令 y＝ x，得 y＝ x＝2 x0，从而得切线与直线 y＝ x的交点坐标为(2 x0,2x0)。所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x＝0， y＝ x所围成的三角形的面积为S＝ |2x0|＝6。12|－ 6x0|故曲线 y＝ f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0， y＝ x所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6。1计时双基练十四 导数与函数的单调性A 组 基础必做1．已知函数 f(x)的导函数 f′( x)的图像如图所示，那么函数 f(x)的图像最有可能是( )解析 由导函数图像可知， f(x)在(－∞，－2]，[0，＋∞)上单调递减，在[－2,0]上单调递增，选 A。答案 A2．函数 f(x)＝ x＋eln x 的单调递增区间为( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R解析 函数定义域为(0，＋∞)， f′( x)＝1＋ 0，故单调增区间是(0，＋∞)。ex答案 A3．已知函数 f(x)＝ xsin x， x∈R，则 f ， f(1)， f 的大小关系为( )(π 5) (－ π 3)A． f f(1)f(－π 3) (π 5)B． f(1)f f(－π 3) (π 5)C． f f(1)f(π 5) (－ π 3)2D． f f f(1)(－π 3) (π 5)解析 由 f(－ x)＝－ xsin(－ x)＝ xsin x＝ f(x)知，函数 f(x)＝ xsin x 为偶函数，当x∈ 时， f′( x)＝sin x＋ xcos x0 知，函数 f(x)＝ xsin x 在 上单调递增，(0，π 2) (0， π 2)由 1 0 知， f f(1)f ，即 f f(1)f ，故选 A。π 2 π 3 π 5 (π 3) (π 5) (－ π 3) (π 5)答案 A4．若函数 f(x)＝ kx－ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则 k 的取值范围是( )A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)解析 因为 f(x)＝ kx－ln x，所以 f′( x)＝ k－ 。因为 f(x)在区间(1，＋∞)上单调1x递增，所以当 x1 时， f′( x)＝ k－ ≥0 恒成立，即 k≥ 在区间(1，＋∞)上恒成立。因为1x 1xx1，所以 00，则实数 m 的取值范围是( )A. B.(－ ∞ ，13) (13， ＋ ∞ )C. D.(－ ∞ ，13] [13， ＋ ∞ )解析 由题意知， 函数 f(x)是 R 上的单调增函数，所以 f′( x)＝3 x2＋2 x＋ m≥0 在R 上恒成立，即 Δ＝4－12 m≤0，故 m≥ 。13答案 D6．若 0ln x2－ln x1B．e x1－e x2x1ex2D． x2ex10 且 x 趋近于 0 时， x·ex－10，因此在(0,1)上必然存在 x1≠ x2，使得 f(x1)＝ f(x2)，因此3A，B 不正确；设 g(x)＝ ，当 0g(x2)，即 ，所以 x2ex1x1ex2。故选 C。ex1x1ex2x2答案 C7．(2015·江西九校联考)已知函数 f(x)＝ mx3＋3( m－1)· x2－ m2＋1( m0)的单调递减区间是(0,4)，则 m＝________。解析 易知 f′( x)＝3 mx2＋6( m－1) x＝3 x(mx＋2 m－2)。令 f′( x)＝0，得x1＝0， x2＝ ，又函数 f(x)＝ mx3＋3( m－1) x2－ m2＋1( m0)的单调递减区间是(0,4)，2－ 2mm所以 ＝4，解得 m＝ 。2－ 2mm 13答案 138．函数 f(x)＝ 的单调递增区间是________。sin x2＋ cos x解析 由导函数f′( x)＝ 2＋ cos x cos x－ sin x － sin x 2＋ cos x 2＝ 0，2cos x＋ 1 2＋ cos x 2得 cos x－ ，12所以 2kπ－ 0，解得 a－ 。29 194所以 a 的取值范围是 。(－19， ＋ ∞ )答案 (－19， ＋ ∞ )10．已知函数 f(x)＝e x－ ax－1。(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)是否存在 a，使 f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，说明理由。解 f′( x)＝e x－ a，(1)若 a≤0，则 f′( x)＝e x－ a≥0，即 f(x)在 R 上递增，若a0，e x－ a≥0，∴e x≥ a， x≥ln a。因此当 a≤0 时， f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当 a0 时， f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)。(2)∵ f′( x)＝e x－ a≤0 在(－2,3)上恒成立。∴ a≥e x在 x∈(－2,3)上恒成立。又∵－20，1x即函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)。②当 a0 时，令 f′( x)＝ － a＝0，可得 x＝ ，1x 1a当 00；1a 1－ axx当 x 时， f′( x)＝ 0，所以函数 f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以 a＝ f(0)0x22在 x∈(－1,1)上有解，∴ t0， f(x)在(0，＋∞)上单调递增。当 m0， f(x)在 上单调递增；当 x∈ (0， － 12m) (0， － 12m)，＋ ∞时， f′( x)b0，6则 kAB＝ 1 恒成立，f a － f ba－ b即 f(a)－ f(b)a－ b 恒成立，即 f(a)－ af(b)－ b 恒成立。令 g(x)＝ f(x)－ x＝ln x＋ mx2－ x，则 g(x)在(0，＋∞)上为增函数。所以 g′( x)＝ ＋2 mx－1＝ ≥0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，1x 2mx2－ x＋ 1x所以 2mx2－ x＋1≥0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，即 2m≥－ ＋ ＝－ 2＋ 对 x∈(0，＋∞)恒成立，因此 m≥ 。1x2 1x (1x－ 12) 14 18故实数 m 的取值范围为 。[18， ＋ ∞ )1计时双基练十五 导数与函数的极值、最值A 组 基础必做1．当函数 y＝ x·2x取极小值时， x＝( )A. B．－1ln 2 1ln 2C．－ln 2 D．ln 2解析 令 y′＝2 x＋ x·2xln 2＝0，∴ x＝－ 。1ln 2答案 B2．(2015·济宁一模)函数 f(x)＝ x2－ln x 的最小值为( )12A. B．112C．0 D．不存在解析 f′( x)＝ x－ ＝ ，且 x0。令 f′( x)0，得 x1；令 f′( x)－1C． a－ D． a0 时，－e x0， f′(－1)20，不满足 f′(－1)＋ f(－1)＝0。答案 D5．函数 f(x)＝ x3－3 x－1，若对于区间[－3,2]上的任意 x1， x2，都有| f(x1)－ f(x2)|≤ t，则实数 t 的最小值是( )A．20 B．18C．3 D．0解析 因为 f′( x)＝3 x2－3＝3( x－1)( x＋1)，令 f′( x)＝0，得 x＝±1，所以－1,1为函数的极值点。又 f(－3)＝－19， f(－1)＝1， f(1)＝－3， f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上 f(x)max＝1， f(x)min＝－19。又由题设知在区间[－3,2]上 f(x)max－ f(x)min≤ t，从而 t≥20，所以 t 的最小值是 20。答案 A6．(2016·山东日照模拟)如果函数 y＝ f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数 y＝ f(x)在区间 内单调递增；(－ 3， －12)②函数 y＝ f(x)在区间 内单调递减；(－12， 3)③函数 y＝ f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当 x＝2 时，函数 y＝ f(x)有极小值；⑤当 x＝－ 时，函数 y＝ f(x)有极大值。12则上述判断中正确的是( )A．①② B．②③C．③④⑤ D．③解析 当 x∈(－3，－2)时， f′( x)0， f(x)单调递增，当 x∈(2,3)时， f′( x)0。所以 m6 或 m0， f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数 f(x)无极值。②当 a0 时，令 f′( x)＝0，得 ex＝ a，即 x＝ln a。x∈(－∞，ln a)时， f′( x)0，所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值。综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时， f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大值。11．(2015·衡水中学二调)已知函数 f(x)＝ xln x， g(x)＝(－ x2＋ ax－3)e x(a 为实数)。(1)当 a＝5 时，求函数 y＝ g(x)在 x＝1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间[ t， t＋2]( t0)上的最小值。解 (1)当 a＝5 时， g(x)＝(－ x2＋5 x－3)e x， g(1)＝e。又 g′( x)＝(－ x2＋3 x＋2)e x，故切线的斜率为 g′(1)＝4e。所以切线方程为： y－e＝4e( x－1)，即 y＝4e x－3e。(2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′( x)＝ln x＋1，当 x 变化时， f′( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0， 1e) 1e (1e， ＋ ∞ )f′( x) － 0 ＋f(x) 单调递减 极小值 单调递增①当 t≥ 时，在区间[ t， t＋2]上 f(x)为增函数，1e所以 f(x)min＝ f(t)＝ tln t。②当 00 时，f′( x)＝ aeax，①当 a0 时， f′( x)0，∴ f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴在[0,3]上 f(x)max＝ f(3)＝e 3a≤2，解得 00，所以 f(x)在(0，＋∞)单调递增。若 a0，则当 x∈ 时， f′( x)0；(0，1a)当 x∈ 时， f′( x)0 时， f(x)在 x＝ 取得最大值，最大值为 f ＝ln ＋ a ＝－ln a＋ a－1。1a (1a) (1a) (1－ 1a)因此 f 2a－2 等价于 ln a＋ a－11 时， g(a)0。因此， a 的取值范围是(0,1)。1计时双基练十六 导数与函数的综合问题A 组 基础必做1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为 y＝ x3－ x＋8(00， h(x)是增函数，所以当 x＝80 时， h(x)取得极小值 h(80)＝11.25。易知 h(80)是 h(x)在(0,120]上的最小值。故当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为 11.25 升。2．(2015·江苏卷)已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ b(a， b∈R)。(1)试讨论 f(x)的单调性；(2)若 b＝ c－ a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪ ∪ ，求 c 的值。(1，32) (32， ＋ ∞ )解 (1) f′( x)＝3 x2＋2 ax，2令 f′( x)＝0，解得 x1＝0， x2＝－ 。2a3当 a＝0 时，因为 f′( x)＝3 x20(x≠0)，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当 a0 时， x∈ ∪(0，＋∞)时， f′( x)0， x∈ 时， f′( x)0， x∈ 时， f′( x)0 时， a3－ a＋ c0 或当 a0 均恒成立，(1，32) (32， ＋ ∞ )从而 g(－3)＝ c－1≤0，且 g ＝ c－1≥0，因此 c＝1。(32)此时， f(x)＝ x3＋ ax2＋1－ a＝( x＋1)[ x2＋( a－1) x＋1－ a]，因函数有三个零点，则 x2＋( a－1) x＋1－ a＝0 有两个异于－1 的不等实根，所以Δ＝( a－1) 2－4(1－ a)＝ a2＋2 a－30，且(－1) 2－( a－1)＋1－ a≠0，解得 a∈(－∞，－3)∪ ∪ 。(1，32) (32， ＋ ∞ )综上 c＝1。3．(2015·山西四校联考)已知 f(x)＝ln x－ x＋ a＋1。(1)若存在 x∈(0，＋∞)使得 f(x)≥0 成立，求 a 的取值范围；(2)求证：当 x1 时，在(1)的条件下， x2＋ ax－ axln x＋ 成立。12 12解 (1)原题即为存在 x0 使得 ln x－ x＋ a＋1≥0，3∴ a≥－ln x＋ x－1，令 g(x)＝－ln x＋ x－1，则 g′( x)＝－ ＋1＝ 。1x x－ 1x令 g′( x)＝0，解得 x＝1。∵当 01 时， g′( x)0， g(x)为增函数，∴ g(x)min＝ g(1)＝0， a≥ g(1)＝0。故 a 的取值范围是[0，＋∞)。(2)证明：原不等式可化为x2＋ ax－ xln x－ a－ 0(x1， a≥0)。12 12令 G(x)＝ x2＋ ax－ xln x－ a－ ，则 G(1)＝0。12 12由(1)可知 x－ln x－10，则 G′( x)＝ x＋ a－ln x－1≥ x－ln x－10，∴ G(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴ G(x)G(1)＝0 成立，∴ x2＋ ax－ xln x－ a－ 0 成立，12 12即 x2＋ ax－ axln x＋ 成立。12 12B 组 培优演练1．(2015·东北三校联考)已知函数 f(x)＝ (e 为自然对数的底数)。x＋ 1ex(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 φ (x)＝ xf(x)＋ tf′( x)＋ ，存在实数 x1， x2∈[0,1]，使得 2φ (x1)1ex0，当 x0 时， f′( x)3－ 1。e2②当 t≤0 时， φ ′( x)0， φ (x)在[0,1]上单调递增，∴2 φ (0)0， φ (x)在( t,1]上单调递增，所以 2φ (t)1－1＝0，4e2 4e2所以存在 x0∈(1,2)，使得 h(x0)＝0。5因为 h′( x)＝ln x＋ ＋1＋ ，1x x x－ 2ex所以当 x∈(1,2)时， h′( x)1－ 0，1e当 x∈(2，＋∞)时， h′( x)0，所以当 x∈(1，＋∞)时， h(x)单调递增。所以 k＝1 时，方程 f(x)＝ g(x)在( k， k＋1)内存在唯一的根。(3)由(2)知方程 f(x)＝ g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0，且 x∈(0， x0)时， f(x)g(x)，所以 m(x)＝Error!当 x∈(0， x0)时，若 x∈(0,1]， m(x)≤0；若 x∈(1， x0)，由 m′( x)＝ln x＋ ＋10，1x可知 00， m(x)单调递增；x∈(2，＋∞)时， m′( x)0， m(x)单调递减；可知 m(x)≤ m(2)＝ ，且 m(x0)m(2)。4e2综上可得，函数 m(x)的最大值为 。4e2