1、1计时双基练十 函数的图像A 组 基础必做1为了得到函数 y2 x3 1 的图像，只需把函数 y2 x的图像上所有的点( )A向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度B向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度C向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度D向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度解析 y2 x y2 x3 y2 x3 1。故选 A。 向 右 平 移 3个 单 位 向 下 平 移 1个 单 位 答案 A2(2015山东省烟台市莱州一中高三期末)已知函数 f(x) ax2 ， g(x)log a|x|(其中 a0 且 a1)，若 f(4)
2、g(4)0，排除 B；又x33x 1 x时， 0，排除 D，故选 C。x33x 1答案 C4(2016衡水模拟)已知函数 y f(x)与 y g(x)的图像如图所示，则函数y f(x)g(x)的图像可能是( )2解析 观察图像可知， y f(x)有两个零点 x1 ， x2 ，且 y g(x)在 x0 时， 2 2函数值不存在，所以函数 y f(x)g(x)在 x0 时，函数值也不存在，故可以排除选项C，D；当 x 时， y f(x)g(x)的函数值为负，故排除选项 B。(0， 2)答案 A5(2016成都模拟)设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式4 或 a0 时，
3、y ax 与 y| f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C；当 a0 时，若 x0，则|f(x)| ax 恒成立。若 x0，则以 y ax 与 y| x22 x|相切为界限，由Error!得 x2( a2) x0。( a2) 20， a2。 a2,0。故选 D。答案 D4已知函数 f(x)| x24 x3|。(1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 M m|使方程 f(x) mx 有四个不相等的实根。解 f(x)Error!作出图像如图所示。(1)单调递增区间为(1,2，(3，)，单调递减区间为(，1，(2,3。(2)由图像可知当 y f(x)与 y mx 的图像有四个不
4、同的交点时，直线 y mx 应介于 x轴与切线 l1之间。Error!x2( m4) x30。由 0，得 m42 。3当 m42 时， x (1,3)，舍去。3 3所以 m42 ，3故直线 l1的方程为 y(42 )x。3所以 m(0,42 )。3即集合 M m|0m42 。31计时双基练十一 函数与方程A组 基础必做1已知函数 f(x) log 2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )6xA(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)解析 因为 f(1)6log 2160， f(2)3log 2220， f(4) log 24 0， f(3)280，所以 f(1)f(2)0)
5、的解的个数是( )A1 B2C3 D4解析 (数形结合法) a0， a211。而 y| x22 x|的图像如图，2 y| x22 x|的图像与 y a21 的图像总有两个交点。答案 B5已知三个函数 f(x)2 x x， g(x) x2， h(x)log 2x x的零点依次为a， b， c，则( )A a0，且 f(x)为 R上的递增函数。12 12故 f(x)2 x x的零点 a(1,0)。 g(2)0， g(x)的零点 b2； h 1 0，(12) 12 12且 h(x)为(0，)上的增函数， h(x)的零点 c ，因此 a0可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_。解析 f(x) x33
6、 x1 是 R上的连续函数，且 f(0)0，则 f(x)在x(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号。答案 (0,0.5) f(0.25)8已知关于 x的方程 x2 mx60 的一个根比 2大，另一个根比 2小，则实数 m的取值范围是_。解析 设函数 f(x) x2 mx6，则根据条件有 f(2)1，所以方程| p(x)|1 有两个解，即方程|ln x x26|1 有两个解。综上可知，方程| f(x) g(x)|1 共有 4个实根。答案 43若方程 k(x2)3 有两个不等的实根，则 k的取值范围是_。4 x2解析 作出函数 y1 和 y2 k(x2)3 的图像如图
7、所示，函数 y1的图像是圆4 x2心在原点，半径为 2的圆在 x轴上方的半圆(包括端点)，函数 y2的图像是过定点 P(2,3)的直线，点 A(2,0)， kPA 。直线 PB是圆的切线，由圆心到直线的距离等于3 02 2 34半径得， 2，得 kPB 。由图可知当 kPBk kPA时，两函数图像有两个交点，|3 2kPB|k2PB 1 512即原方程有两个不等实根。所以 k 。512 34答案 (512， 344已知关于 x的二次方程 x22 mx2 m10。(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m的取值范6围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求
8、 m的取值范围。解 (1)由条件，抛物线 f(x) x22 mx2 m1 与 x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图所示，得Error!Error!即 m ，56 12故 m的取值范围是 。(56， 12)(2)抛物线与 x轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如图所示，列不等式组Error!Error!即 m1 。12 2故 m的取值范围是 。(12， 1 21计时双基练十二 函数模型及其应用A 组 基础必做1下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型 B幂函
9、数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析 根据已知数据可知，自变量每增加 1，函数值增加 2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型。答案 A2设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和所用的时间 x 的函数图像为( )解析 注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为 D。答案 D3(2015辽宁五校联考)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿，
10、汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间 t 内的路程为 s t2米，那么，此人( )12A可在 7 秒内追上汽车B可在 9 秒内追上汽车C不能追上汽车，但期间最近距离为 14 米D不能追上汽车，但期间最近距离为 7 米解析 已知 s t2，车与人的间距 d( s25)6 t t26 t25 (t6) 27。当12 12 12t6 时， d 取得最小值 7。答案 D4(2015北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房。当每套房月租金定为 3 000 元时，这 70 套公寓能全租出去；当月租金每增加 50 元时(设月租金均为50 元的整数倍)，就会多一套房子不能
11、出租。设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元2的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)。要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A3 000 元 B3 300 元C3 500 元 D4 000 元解析 由题意，设利润为 y 元，租金定为 3 00050 x 元(0 x70， xN)。则 y(3 00050 x)(70 x)100(70 x)(2 90050 x)(70 x)50(58 x)(70 x)50 2，(58 x 70 x2 )当且仅当 58 x70 x，即 x6 时，取等号，故每月租金定为 3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润，故选 B。答案 B
12、5某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A略有盈利B略有亏损C没有盈利也没有亏损D无法判断盈亏情况解析 设该股民购这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(110%)n a1.1n元，经历 n 次跌停后的价格为 a1.1n(110%)n a1.1n0.9n a(1.10.9)n0.99 na0)。则当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大。512 (x2 8x)解析 由题意得 L 2(x0)。当 0，即 x4 时， L51
13、2 (x2 8x) 432 12( x 4x) x 4x取得最大值 21.5。故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大。答案 49生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，(A)对应_；(B)对应_；(C)对应_；(D)对应_。 A B C D 1 2 3 4解析 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快慢快，应与(1)对应；C、D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但 C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢
14、，与(2)对应。答案 (4) (1) (3) (2)10某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿千瓦时。本年度计划将电价调至 0.55元0.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与( x0.4)(元)成反比例。又当 x0.65 元时， y0.8。4(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%？收益用电量(实际电价成本价)解 (1) y 与( x0.4)成反比例，设 y (k0)。kx 0.4把 x0.65， y0.8 代入上式，得 0.8 ， k0.2
15、。k0.65 0.4 y ，0.2x 0.4 15x 2即 y 与 x 之间的函数关系式为 y 。15x 2(2)根据题意，得 (x0.3)(115x 2)1(0.80.3)(120%)。整理，得 x21.1 x0.30，解得 x10.5， x20.6。经检验 x10.5， x20.6 都是所列方程的根。 x 的取值范围是 0.550.75，故 x0.5 不符合题意，应舍去。 x0.6。当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%。11(2016沈阳模拟)已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万只还需另投入 16 万美元，
16、设苹果公司一年内共生产该款 iPhone 手机 x万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R(x)万美元，且 R(x)Error!(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润。解 (1)当 040 时， W xR(x)(16 x40) 16 x7 360。40 000x所以， WError!(2)当 040 时， W 16 x7 360，40 000x5由于 16 x2 1 600，40 000x 40 000x 16x当且仅当 16 x，即 x50(40，)时，取等号，4
17、0 000x所以 W 取最大值为 5 760。综合知，当 x32 时， W 取最大值为 6 104 万元。B 组 培优演练1某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克，如图所示为函数 y f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于 240 毫克时，治疗有效。设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A上午 10：00 B中午 12：00C下午 4：00 D下午 6：00解析 当 x0,4时，设 y k1x，把(4,320)代入，得 k180， y80 x。当 x4,20时，设 y k2x b。把(4,320)，(20,0)代入得Error!解得Erro
18、r! y40020 x。 y f(x)Error!由 y240，得Error!或Error!解得 3 x4 或 4x8，3 x8。故第二次服药最迟应在当日下午 4：00。故选 C。答案 C2已知一容器中有 A、 B 两种菌，且在任何时刻 A， B 两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用 PAlg( nA)来记录 A 菌个数的资料，其中 nA为 A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为( ) PA1；若今天的 PA值比昨天的 PA值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多了 10个；假设科学家将 B 菌个数控制为 5 万个，则此时 5PA5.5。A0 B1C2 D36
19、解析 当 nA1 时 PA0，故错误；若 PA1，则 nA10，若 PA2，则 nA100，故错误；设 B 菌的个数为 nB510 4，所以 nA 210 5。10105104所以 PAlg( nA)lg 25。又因为 lg 20.3，所以 5PA5.5，故正确。答案 B3甲、乙两地相距 1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的 ，固定成本为 a 元。14(1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以
20、多大的速度行驶？解 (1)可变成本为 v2，固定成本为 a 元，所用时间为 。14 1 000v y ，即 y1 000 。1 000v (14v2 a) (14v av)定义域为(0,80。(2)y1 000 250 。(14 av2) v2 4av2令 y0，得 v2 。a v(0,80，当 2 80，即 a1 600 时， y0， y 为 v 的减函数。a当 v80 时， y 取得最小值。当 2 80，即 0a1 600 时， y 随 v 的变化情况如下表：av (0,2 )a 2 a (2 ，80)ay 0 y 极小值 当 v2 时， y 取得最小值。a综上，当 0a1 600 时，货
21、车以 2 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当 a1 a600 时，货车以 80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小。1计时双基练十三 变化率与导数、导数的计算A组 基础必做1函数 f(x)( x2 a)(x a)2的导数为( )A2( x2 a2) B2( x2 a2)C3( x2 a2) D3( x2 a2)解析 f( x)( x a)2( x2 a)2(x a)3( x2 a2)。答案 C2如图，函数 y f(x)的图像在点 P处的切线方程是 y x8，则 f(5) f(5)( )A2 B6C2 D4解析 由图可知， f(5)3， f(5)1，因此 f(5) f(5)2。答案
22、A3设曲线 y 在点 处的切线与直线 x ay10 平行，则实数 a等于1 cos xsin x (2， 1)( )A1 B.12C2 D2解析 y ， y| x 1，由条件知 1， a1，故选 1 cos xsin2x 2 1aA。答案 A4下面四个图像中，有一个是函数 f(x) x3 ax2( a21) x1( aR)的导函数13y f( x)的图像，则 f(1)( )2A. B13 23C. D 或73 13 53解析 f( x) x22 ax a21， f( x)的图像开口向上，则排除。若 f( x)的图像为，此时 a0， f(1) ；若 f( x)的图像为，此时 a210，又对称轴5
23、3x a0， a1， f(1) 。13答案 D5(2015保定调研)已知曲线 yln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )Ae BeC. D1e 1e解析 yln x的定义域为(0，)。设切点为( x0， y0)，则 k f( x0) ，切1x0线方程为 y y0 (x x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得 y01，则1x0x0e， k f( x0) 。1x0 1e答案 C6已知 f1(x)sin xcos x， fn1 (x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x) f1( x)， f3(x) f2( x)，fn1 (x) fn( x)， nN ，则 f2 016(x)等于( )As
24、in xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析 f1(x)sin xcos x， f2(x) f1( x)cos xsin x， f3(x) f2( x)sin xcos x， f4(x) f3( x)cos xsin x， f5(x) f4( x)sin xcos x， fn(x)是以 4为周期的函数， f2 016(x) f4(x)sin xcos x，故选 B。3答案 B7已知函数 f(x)的导函数 f( x)，且满足 f(x)2 xf(1)ln x，则 f(1)_。解析 f(x)2 xf(1)ln x， f( x)2 xf(1)(ln x)
25、2 f(1) ，1x f(1)2 f(1)1，即 f(1)1。答案 18在平面直角坐标系 xOy中，若曲线 y ax2 (a， b为常数)过点 P(2，5)，且该bx曲线在点 P处的切线与直线 7x2 y30 平行，则 a b的值是_。解析 y ax2 的导数为 y2 ax ，直线 7x2 y30 的斜率为 。由题意bx bx2 72得Error! 解得Error!则 a b 3。答案 39(2015开封调研)若函数 f(x) x2 axln x存在垂直于 y轴的切线，则实数 a12的取值范围是_。解析 f(x) x2 axln x，12 f( x) x a 。1x f(x)存在垂直于 y轴的
26、切线， f( x)存在零点， x a0 有解， a x 2( x0)。1x 1x答案 2，)10求下列函数的导数。(1)y xtan x；(2)y( x1)( x2)( x3)。解 (1) y( xtan x) xtan x x(tan x)tan x x tan x x(sin xcos x) cos2x sin2xcos2xtan x 。xcos2x(2)y( x1)( x2)( x3)( x1)( x2)( x3)( x2)( x3)( x1)(x2)( x1)( x3)3 x212 x11。11已知函数 f(x) x3 x16。4(1)求曲线 y f(x)在点(2，6)处的切线的方程；
27、(2)直线 l为曲线 y f(x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标；(3)如果曲线 y f(x)的某一切线与直线 y x3 垂直，求切点坐标与切线的方程。14解 (1)可判定点(2，6)在曲线 y f(x)上。 f( x)( x3 x16)3 x21，在点(2，6)处的切线的斜率为 k f(2)13。切线的方程为 y13( x2)(6)，即 y13 x32。(2)设切点为( x0， y0)，则直线 l的斜率为 f( x0)3 x 1，20直线 l的方程为 y(3 x 1)( x x0) x x016，20 30又直线 l过点(0,0)，0(3 x 1)( x0) x x016，2
28、0 30整理得， x 8， x02。30 y0(2) 3(2)1626， k3(2) 2113。直线 l的方程为 y13 x，切点坐标为(2，26)。(3)切线与直线 y 3 垂直，切线的斜率 k4。x4设切点的坐标为( x0， y0)，则 f( x0)3 x 14，20解得 x01。Error! 或Error!切线方程为 y4( x1)14 或 y4( x1)18。即 y4 x18 或 y4 x14。B组 培优演练1已知 f(x) x2sin ，则 f( x)的图像是( )14 (2 x)5解析 解法一： f(x) x2sin x2cos x，14 (2 x) 14故 f( x) xsin
29、x，记 g(x) f( x)，其定义域为 R，且 g( x) ( x)12 12sin( x) g(x)，(12x sin x)所以 g(x)为奇函数，所以排除 B、D 两个选项。又当 x 时， g sin 10。(0，2)答案 D3若存在过点(1,0)的直线与曲线 y x3和 y ax2 x9 都相切，则 a等于( )154A1 或 B1 或2564 214C 或 D 或 774 2564 74解析 设过(1,0)的直线与 y x3相切于点( x0， x )，所以切线方程为30y x 3 x (x x0)，即 y3 x x2 x ，又(1,0)在切线上，则 x00 或 x0 ，30 20 2
30、0 3032当 x00 时，由 y0 与 y ax2 x9 相切可得 a ，154 2564当 x0 时，由 y x 与 y ax2 x9 相切可得 a1，所以选 A。32 274 274 154答案 A4设函数 f(x) ax ，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为bx7x4 y120。(1)求 f(x)的解析式；(2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 y x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解 (1)方程 7x4 y120 可化为 y x3。74当 x2 时， y 。又 f( x) a ，12 bx2于是Error! 解得Error! 故 f(x) x
31、 。3x(2)设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y1 知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程3x2为 y y0 (x x0)，(13x20)即 y (x x0)。(x03x0) (1 3x20)7令 x0，得 y ，6x0从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 。(0， 6x0)令 y x，得 y x2 x0，从而得切线与直线 y x的交点坐标为(2 x0,2x0)。所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， y x所围成的三角形的面积为S |2x0|6。12| 6x0|故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0， y x所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6。1计时双
32、基练十四 导数与函数的单调性A 组 基础必做1已知函数 f(x)的导函数 f( x)的图像如图所示，那么函数 f(x)的图像最有可能是( )解析 由导函数图像可知， f(x)在(，2，0，)上单调递减，在2,0上单调递增，选 A。答案 A2函数 f(x) xeln x 的单调递增区间为( )A(0，) B(，0)C(，0)和(0，) DR解析 函数定义域为(0，)， f( x)1 0，故单调增区间是(0，)。ex答案 A3已知函数 f(x) xsin x， xR，则 f ， f(1)， f 的大小关系为( )( 5) ( 3)A f f(1)f( 3) ( 5)B f(1)f f( 3) (
33、5)C f f(1)f( 5) ( 3)2D f f f(1)( 3) ( 5)解析 由 f( x) xsin( x) xsin x f(x)知，函数 f(x) xsin x 为偶函数，当x 时， f( x)sin x xcos x0 知，函数 f(x) xsin x 在 上单调递增，(0， 2) (0， 2)由 1 0 知， f f(1)f ，即 f f(1)f ，故选 A。 2 3 5 ( 3) ( 5) ( 3) ( 5)答案 A4若函数 f(x) kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是( )A(，2 B(，1C2，) D1，)解析 因为 f(x) kxln x，所以
34、 f( x) k 。因为 f(x)在区间(1，)上单调1x递增，所以当 x1 时， f( x) k 0 恒成立，即 k 在区间(1，)上恒成立。因为1x 1xx1，所以 00，则实数 m 的取值范围是( )A. B.( ，13) (13， )C. D.( ，13 13， )解析 由题意知， 函数 f(x)是 R 上的单调增函数，所以 f( x)3 x22 x m0 在R 上恒成立，即 412 m0，故 m 。13答案 D6若 0ln x2ln x1Be x1e x2x1ex2D x2ex10 且 x 趋近于 0 时， xex10，因此在(0,1)上必然存在 x1 x2，使得 f(x1) f(x
35、2)，因此3A，B 不正确；设 g(x) ，当 0g(x2)，即 ，所以 x2ex1x1ex2。故选 C。ex1x1ex2x2答案 C7(2015江西九校联考)已知函数 f(x) mx33( m1) x2 m21( m0)的单调递减区间是(0,4)，则 m_。解析 易知 f( x)3 mx26( m1) x3 x(mx2 m2)。令 f( x)0，得x10， x2 ，又函数 f(x) mx33( m1) x2 m21( m0)的单调递减区间是(0,4)，2 2mm所以 4，解得 m 。2 2mm 13答案 138函数 f(x) 的单调递增区间是_。sin x2 cos x解析 由导函数f( x
36、) 2 cos x cos x sin x sin x 2 cos x 2 0，2cos x 1 2 cos x 2得 cos x ，12所以 2k 0，解得 a 。29 194所以 a 的取值范围是 。(19， )答案 (19， )10已知函数 f(x)e x ax1。(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)是否存在 a，使 f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，说明理由。解 f( x)e x a，(1)若 a0，则 f( x)e x a0，即 f(x)在 R 上递增，若a0，e x a0，e x a， xln a。因此当 a0 时， f(x)的单调增区间为
37、(，)；当 a0 时， f(x)的单调增区间是ln a，)。(2) f( x)e x a0 在(2,3)上恒成立。 ae x在 x(2,3)上恒成立。又20，1x即函数 f(x)的单调递增区间为(0，)。当 a0 时，令 f( x) a0，可得 x ，1x 1a当 00；1a 1 axx当 x 时， f( x) 0，所以函数 f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以 a f(0)0x22在 x(1,1)上有解， t0， f(x)在(0，)上单调递增。当 m0， f(x)在 上单调递增；当 x (0， 12m) (0， 12m)， 时， f( x)b0，6则 kAB 1 恒成立，f a f ba
38、 b即 f(a) f(b)a b 恒成立，即 f(a) af(b) b 恒成立。令 g(x) f(x) xln x mx2 x，则 g(x)在(0，)上为增函数。所以 g( x) 2 mx1 0 对 x(0，)恒成立，1x 2mx2 x 1x所以 2mx2 x10 对 x(0，)恒成立，即 2m 2 对 x(0，)恒成立，因此 m 。1x2 1x (1x 12) 14 18故实数 m 的取值范围为 。18， )1计时双基练十五 导数与函数的极值、最值A 组 基础必做1当函数 y x2x取极小值时， x( )A. B1ln 2 1ln 2Cln 2 Dln 2解析 令 y2 x x2xln 20
39、， x 。1ln 2答案 B2(2015济宁一模)函数 f(x) x2ln x 的最小值为( )12A. B112C0 D不存在解析 f( x) x ，且 x0。令 f( x)0，得 x1；令 f( x)1C a D a0 时，e x0， f(1)20，不满足 f(1) f(1)0。答案 D5函数 f(x) x33 x1，若对于区间3,2上的任意 x1， x2，都有| f(x1) f(x2)| t，则实数 t 的最小值是( )A20 B18C3 D0解析 因为 f( x)3 x233( x1)( x1)，令 f( x)0，得 x1，所以1,1为函数的极值点。又 f(3)19， f(1)1， f
40、(1)3， f(2)1，所以在区间3,2上 f(x)max1， f(x)min19。又由题设知在区间3,2上 f(x)max f(x)min t，从而 t20，所以 t 的最小值是 20。答案 A6(2016山东日照模拟)如果函数 y f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：函数 y f(x)在区间 内单调递增；( 3， 12)函数 y f(x)在区间 内单调递减；(12， 3)函数 y f(x)在区间(4,5)内单调递增；当 x2 时，函数 y f(x)有极小值；当 x 时，函数 y f(x)有极大值。12则上述判断中正确的是( )A BC D解析 当 x(3，2)时， f( x)0，
41、 f(x)单调递增，当 x(2,3)时， f( x)0。所以 m6 或 m0， f(x)为(，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值。当 a0 时，令 f( x)0，得 ex a，即 xln a。x(，ln a)时， f( x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值。综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时， f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值。11(2015衡水中学二调)已知函数 f(x) xln x， g(x)( x2 ax3)e x
42、(a 为实数)。(1)当 a5 时，求函数 y g(x)在 x1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间 t， t2( t0)上的最小值。解 (1)当 a5 时， g(x)( x25 x3)e x， g(1)e。又 g( x)( x23 x2)e x，故切线的斜率为 g(1)4e。所以切线方程为： ye4e( x1)，即 y4e x3e。(2)函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x)ln x1，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0， 1e) 1e (1e， )f( x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增当 t 时，在区间 t， t2上 f(x)为增函
43、数，1e所以 f(x)min f(t) tln t。当 00 时，f( x) aeax，当 a0 时， f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增，在0,3上 f(x)max f(3)e 3a2，解得 00，所以 f(x)在(0，)单调递增。若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0，1a)当 x 时， f( x)0 时， f(x)在 x 取得最大值，最大值为 f ln a ln a a1。1a (1a) (1a) (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln a a11 时， g(a)0。因此， a 的取值范围是(0,1)。1计时双基练十六 导数与函数的综合问题A 组 基础必做1统计表明，
44、某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为 y x3 x8(00， h(x)是增函数，所以当 x80 时， h(x)取得极小值 h(80)11.25。易知 h(80)是 h(x)在(0,120上的最小值。故当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为 11.25 升。2(2015江苏卷)已知函数 f(x) x3 ax2 b(a， bR)。(1)试讨论 f(x)的单调性；(2)若 b c a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是(，3) ，求 c 的值。(1
45、，32) (32， )解 (1) f( x)3 x22 ax，2令 f( x)0，解得 x10， x2 。2a3当 a0 时，因为 f( x)3 x20(x0)，所以函数 f(x)在(，)上单调递增；当 a0 时， x (0，)时， f( x)0， x 时， f( x)0， x 时， f( x)0 时， a3 a c0 或当 a0 均恒成立，(1，32) (32， )从而 g(3) c10，且 g c10，因此 c1。(32)此时， f(x) x3 ax21 a( x1) x2( a1) x1 a，因函数有三个零点，则 x2( a1) x1 a0 有两个异于1 的不等实根，所以( a1) 24
46、(1 a) a22 a30，且(1) 2( a1)1 a0，解得 a(，3) 。(1，32) (32， )综上 c1。3(2015山西四校联考)已知 f(x)ln x x a1。(1)若存在 x(0，)使得 f(x)0 成立，求 a 的取值范围；(2)求证：当 x1 时，在(1)的条件下， x2 ax axln x 成立。12 12解 (1)原题即为存在 x0 使得 ln x x a10，3 aln x x1，令 g(x)ln x x1，则 g( x) 1 。1x x 1x令 g( x)0，解得 x1。当 01 时， g( x)0， g(x)为增函数， g(x)min g(1)0， a g(1
47、)0。故 a 的取值范围是0，)。(2)证明：原不等式可化为x2 ax xln x a 0(x1， a0)。12 12令 G(x) x2 ax xln x a ，则 G(1)0。12 12由(1)可知 xln x10，则 G( x) x aln x1 xln x10， G(x)在(1，)上单调递增， G(x)G(1)0 成立， x2 ax xln x a 0 成立，12 12即 x2 ax axln x 成立。12 12B 组 培优演练1(2015东北三校联考)已知函数 f(x) (e 为自然对数的底数)。x 1ex(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 (x) xf(x) tf( x
48、) ，存在实数 x1， x20,1，使得 2 (x1)1ex0，当 x0 时， f( x)3 1。e2当 t0 时， ( x)0， (x)在0,1上单调递增，2 (0)0， (x)在( t,1上单调递增，所以 2 (t)110，4e2 4e2所以存在 x0(1,2)，使得 h(x0)0。5因为 h( x)ln x 1 ，1x x x 2ex所以当 x(1,2)时， h( x)1 0，1e当 x(2，)时， h( x)0，所以当 x(1，)时， h(x)单调递增。所以 k1 时，方程 f(x) g(x)在( k， k1)内存在唯一的根。(3)由(2)知方程 f(x) g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0，且 x(0， x0)时， f(x)g(x)，所以 m(x)Error!当 x(0， x0)时，若 x(0,1， m(x)0；若 x(1， x0)，由 m( x)ln x 10，1x可知 00， m(x)单调递增；x(2，)时， m( x)0， m(x)单调递减；可知 m(x) m(2) ，且 m(x0)m(2)。4e2综上可得，函数 m(x)的最大值为 。4e2
