2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 理（课件+习题）（打包28套）北师大版.zip

第二章 函数、 导 数及其 应 用第十 节 变 化率与 导 数、 导 数的 计 算 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升J 基 础 知 识 自主学 习2． 导数的定义及几何意义(1)函数 f(x)在 x＝ x0处 的 导 数① 定 义 ：称函数 y＝ f(x)在 x0点的瞬 时变 化率 为 函数 y＝ f(x)在点 x0的 导数，通常用 f′(x0)表示， 记 作② 几何意 义函数 y＝ f(x)在 x0处 的 导 数，是曲 线 y＝ f(x)在点 (x0， f(x0))处 的切 线 的斜率。相 应 地，切 线 方程 为 ______________________。(2)函数 f(x)的 导 函数一般地，如果一个函数 f(x)在区 间 (a， b)上的每一点 x处 都有 导 数， 导数 值记为 f′(x)： f′(x)＝ _______________________ ， 则 f′(x)是关于 x的函数，称 f′(x)为 f(x)的 _________，通常也 简 称 为导 数。y－ f(x0)＝ f′(x0)(x－ x0)导 函数3． 基本初等函数的导数公式原函数 导 函数y＝ c(c为 常数 ) y′＝ ____y＝ xα(α为实 数 ) y′＝ _________y＝ sin x y′＝ __________y＝ cos x y′＝ ____________y＝ ax(a0，且 a≠1) y′＝ __________特 别 地 (ex)′＝ ex0αxα－ 1cos x－ sin xaxln a5． 复合函数的导数复合函数 y＝ f(φ(x))的 导 数和函数 y＝ f(u)， u＝ φ(x)的 导 数 间 的关系 为y′x＝ [f(φ(x))]′＝ f′(u)φ′(x)。f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x) [判一判 ](1)y′＝ f′(x)在点 x＝ x0处 的函数 值 就是函数 y＝ f(x)在点 x＝ x0处 的 导 数值 。 ( )解析 正确。(2)求 f′(x0)时 ，可先求 f(x0)再求 f′(x0)。 ( )解析 错误。若先求 f(x0)再求 f′(x0)，则它的值为 0。(3)曲 线 的切 线 不一定与曲 线 只有一个公共点。 ( )解析 正确。(4)与曲 线 只有一个公共点的直 线 一定是曲 线 的切 线 。 ( ) 解析 错误。直线与曲线可能相交。√×√×√ 解析 正确。由对数运算法则可知。 [练一练 ]1．函数 y＝ xcos x－ sin x的 导 数 为 ( )A． xsin x B．－ xsin xC． xcos x D．－ xcos x解析 y′＝ x′cos x＋ x(cos x)′－ (sin x)′＝ cos x－ xsin x－ cos x＝－ xsin x。答案 B3．如 图 所示 为 函数 y＝ f(x)， y＝ g(x)的 导 函数的 图 像，那么 y＝ f(x)，y＝ g(x)的 图 像可能是 ( )解析 由导函数的图像可知，函数 y＝ f(x)与 y＝ g(x)都是单调增函数，且 y＝ g(x)的增长速度越来越快， y＝f(x)的增长速度越来越慢。又 g′(x0)＝ f′(x0)，故在 x＝ x0处的切线互相平行，综上可知应选 D。答案 D(1,1) ln 2－ 1 R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 求下列函数的 导 数：(1)y＝ ex·ln x；考点一 导数的运算 (4)y＝ ln(2x＋ 5)。【 规律方法 】 导 数 计 算的原 则 和方法(1)原 则 ：先化 简 解析式，使之 变 成能用八个求 导 公式求 导 的函数的和、差、 积 、商，再求 导 。(2)方法：① 连 乘 积 形式：先展开化 为 多 项 式的形式，再求 导 ；② 分式形式： 观 察函数的 结 构特征，先化 为 整式函数或 较为简单 的分式函数，再求 导 ；③ 对 数形式：先化 为 和、差的形式，再求 导 ；④ 根式形式：先化 为 分数指数 幂 的形式，再求 导 ；⑤ 三角形式：先利用三角函数公式 转 化 为 和或差的形式，再求 导 。⑥ 复合函数：由外向内， 层层 求 导 。变式训练 1 求下列函数的 导 数：(1)y＝ (x＋ 1)(x＋ 2)(x＋ 3)；解 解法一： y＝ (x2＋ 3x＋ 2)(x＋ 3)＝ x3＋ 6x2＋ 11x＋ 6，∴ y′＝ 3x2＋ 12x＋ 11。解法二： y′＝ [(x＋ 1)(x＋ 2)]′(x＋ 3)＋ (x＋ 1)(x＋ 2)(x＋ 3)′＝ [(x＋ 1)′(x＋ 2)＋ (x＋ 1)(x＋ 2)′](x＋ 3)＋ (x＋ 1)·(x＋ 2)＝ (x＋ 2＋ x＋ 1)(x＋ 3)＋ (x＋ 1)(x＋ 2)＝ (2x＋ 3)(x＋ 3)＋ (x＋ 1)(x＋ 2)＝ 3x2＋ 12x＋ 11。(2)y＝ 3xex－ 2x＋ e；解 y′＝ (3xex)′－ (2x)′＋ (e)′＝ (3x)′ex＋ 3x(ex)′－ (2x)′＝ 3xln 3·ex＋ 3xex－ 2xln 2＝ (ln 3＋ 1)·(3e)x－ 2xln 2；(4)y＝ (1＋ sin x)2。解 设 u＝ 1＋ sin x，则 y＝ (1＋ sin x)2，由 y＝ u2与 u＝ 1＋ sin x复合而成。∴ yx′＝ yu′·ux′＝ 2u·cos x＝ 2(1＋ sin x)·cos x。导 数的几何意 义 是高考重点考 查 的内容，主要考 查 求曲 线 的切 线 斜率、切 线 方程或已知曲 线 的切 线 斜率、切 线 方程求参数的 值 或范 围 等 问题 。角度一：求切线方程1．曲 线 y＝ e－ 5x＋ 2在点 (0,3)处 的切 线 方程 为 _________________。解析 因为 y＝ e－ 5x＋ 2，所以 y′＝－ 5e－ 5x，因此曲线在点 (0,3)处的切线的斜率为 k＝－ 5e－ 5×0＝－ 5，故所求切线方程为 y－ 3＝－ 5(x－ 0)，即 5x＋ y－ 3＝ 0。考点二 导数的几何意义 5x＋ y－ 3＝ 02．已知曲 线 y＝ ln x， 则过 点 (0，－ 1)的曲 线 的切 线 方程 为_______________。x－ y－ 1＝ 0 第二章 函数、 导 数及其 应 用第十一 节 导 数的 应 用 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考纲 1.了解函数的 单调 性与 导 数的关系；能利用 导 数研究函数的 单调 性；会求函数的 单调 区 间 (其中多 项 式函数一般不超 过 三次 )； 2.了解函数在某点取得极 值 的必要条件和充分条件；会用 导 数求函数的极大 值、极小 值 (其中多 项 式函数一般不超 过 三次 )；会求 闭 区 间 上函数的最大 值、最小 值 (其中多 项 式函数一般不超 过 三次 )。J 基 础 知 识 自主学 习1． 函数的单调性与导数(1)函数 y＝ f(x)在某个区 间 内可 导① 若 f′(x)0， 则 f(x)在 这 个区 间 上是 ____________；② 若 f′(x)0是 f(x)为 增函数的充要条件。 ( )解析 错误。若 f′(x)0，则 f(x)为增函数；但 f(x)为增函数时，应有 f′(x)≥0，如函数 y＝ x3。(2)函数在某区 间 上或定 义 域内的极大 值 是唯一的。 ( )解析 错误。可能有多个极大值也可能没有极大值。(3)函数的极大 值 不一定比极小 值 大。 ( )解析 正确。(4)对 可 导 函数 f(x)， f′(x0)＝ 0是 x0点 为 极 值 点的充要条件。 ( )解析 错误。例如函数 f(x)＝ x3，在 x＝ 0处的导数为 0，但 f(0)不是它的极值。×××√(5)函数的最大 值 不一定是极大 值 ，函数的最小 值 也不一定是极小 值。 ( )解析 正确。当函数在区间的端点处取得最值时，该最值就不是极值。√3．如 图 是 f(x)的 导 函数 f′(x)的 图 像， 则 f(x)的极小 值 点的个数 为________。解析 由题意知在 x＝－ 1处 f′(－ 1)＝ 0，且其左右两侧导数符号为左负右正。1 4．已知 f(x)＝ x3－ ax在 [1，＋ ∞)上是增函数， 则 a的最大 值 是________。解析 f′(x)＝ 3x2－ a≥0，即 a≤3x2，又 ∵ x∈ [1，＋ ∞)，∴ a≤3，即 a的最大值是 3。3第一 课时 导 数与函数的 单调 性R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (2015·兰州、张掖联考 )已知函数 f(x)＝ ln x， g(x)＝ f(x)＋ ax2＋ bx，其中 g(x)的函数 图 像在点 (1， g(1))处 的切 线 平行于 x轴 。(1)确定 a与 b的关系；考点一 判断或证明函数的单调性(2)若 a≥0， 试讨论 函数 g(x)的 单调 性。【 规律方法 】 导 数法 证 明函数 f(x)在 (a， b)内的 单调 性的步 骤(1)求 f′(x)；(2)判断 f′(x)在 (a， b)内的符号；(3)作出 结论 ： f′(x)0时为 增函数； f′(x)0时为 减函数。提醒：研究含参数函数的 单调 性 时 ，需注意依据参数取 值对 不等式解集的影响 进 行分 类讨论 。变式训练 1 (2015·广东卷 (节选 ))设 a为实 数，函数 f(x)＝ (x－ a)2＋ |x－ a|－ a(a－ 1)。(1)若 f(0)≤1，求 a的取 值 范 围 ；(2)讨论 f(x)的 单调 性。考点二 求函数的单调区间 (2)求函数 f(x)的 单调 区 间 。第二章 函数、 导 数及其 应 用第二 课时 导 数与函数的极 值 、最 值 热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升R 热 点命 题 深度剖析利用 导 数研究函数的极 值 是高考考 查热 点，几乎每年都会考 查 ，有时 会和函数的 单调 性、不等式、 导 数的几何意 义 等相 结 合命 题 ，有 时 作为 高考的 压轴题 出 现 ， 难 度中、高档。角度一：根据图像判断函数极值的情况1． 设 函数 f(x)在 R上可 导 ，其 导 函数 为 f′(x)，且函数 y＝ (1－ x)f′(x)的图 像如 图 所示， 则 下列 结论 中一定成立的是 ( )A．函数 f(x)有极大 值 f(2)和极小 值 f(1)B．函数 f(x)有极大 值 f(－ 2)和极小 值 f(1)C．函数 f(x)有极大 值 f(2)和极小 值 f(－ 2)D．函数 f(x)有极大 值 f(－ 2)和极小 值 f(2)考点一 利用导数研究函数的极值问题解析 ① 当 x0。∵ (1－ x)f′(x)0，∴ f′(x)0，即 f(x)在 (－ ∞，－ 2)上是增函数。② 当－ 20。∵ (1－ x)f′(x)0， ∴ f′(x)2时， 1－ x0，即 f(x)在 (2，＋ ∞)上是增函数。综上： f(－ 2)为极大值， f(2)为极小值。故选 D。答案 D(2)求函数 f(x)的极 值 。由上表知 f(x)在 (0,1)上 为 减函数，在 (1，＋ ∞)上 为 增函数，故 f(x)在 x＝ 1处 取得极小 值 f(1)＝ 3。x (0,1) 1 (1，＋ ∞)f′(x) － 0 ＋f(x) 单调递减 极小值 3 单调递增角度三：已知极值求参数4． (2016·广州模拟 )已知 f(x)＝ x3＋ 3ax2＋ bx＋ a2在 x＝－ 1时 有极 值 0， 则 a－ b＝ ________。－ 7 【 规律方法 】 函数极 值问题 的常 见类 型及解 题 策略(1)知 图 判断函数极 值 的情况。先找 导 数 为 0的点，再判断 导 数 为 0的点的左、右两 侧 的 导 数符号。(2)已知函数求极 值 。求 f′(x)―→ 求方程 f′(x)＝ 0的根 ―→ 列表 检验 f′(x)在 f′(x)＝ 0的根的附近两 侧 的符号 ―→ 下 结论 。(3)已知极 值 求参数。若函数 f(x)在点 (x0， y0)处 取得极 值 ， 则 f′(x0)＝ 0，且在 该 点左、右两 侧 的 导 数 值 符号相反。考点二 利用导数解决函数的最值问题【 规律方法 】 求函数 f(x)在 [a， b]上最 值 的方法(1)若函数 f(x)在 [a， b]上 单调递 增或 递 减， f(a)与 f(b)一个 为 最大 值 、一个 为 最小 值 。(2)若函数 f(x)在区 间 (a， b)内有极 值 ，先求出函数 f(x)在区 间 (a， b)上的极 值 ，与 f(a)、 f(b)比 较 ，其中最大的一个是最大 值 、最小的一个是最小值 。(3)先求函数 y＝ f(x)在 (a， b)内所有使 f′(x)＝ 0的点，再 计 算函数 y＝ f(x)在区 间 内所有使 f′(x)＝ 0的点和区 间 端点 处 的函数 值 ，最后比 较 即得。(4)函数 f(x)在区 间 (a， b)上有唯一一个极 值 点 时 ， 这 个极 值 点就是最大 (或最小 )值 点。变式训练 1 已知函数 h(x)＝ x3＋ 3x2－ 9x＋ 1在区 间 [k,2]上的最大 值为28，求 k的取 值 范 围 。解 h′(x)＝ 3x2＋ 6x－ 9，令 h′(x)＝ 0，得 x1＝－ 3， x2＝ 1，所以当 x变化时， h′(x)， h(x)在区间 (－ ∞， 2]上的变化情况如下表所示：由表可知，当 k≤－ 3时，函数 h(x)在区间 [k,2]上的最大值为 28，因此， k的取值范围是 (－ ∞，－ 3]。x (－ ∞，－ 3) － 3 (－ 3,1) 1 (1,2) 2h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ ＋h(x) ￿ 28 ￿ － 4 ￿ 3考点三 函数极值和最值的综合问题又因为 a0，所以－ 30，即 f′(x)0；当 x0时， g(x)0在 (a， b)上成立，是 f(x)在 (a， b)上 单调递 增的充分不必要条件。(2)对 于可 导 函数 f(x)， f′(x0)＝ 0是函数 f(x)在 x＝ x0处 有极 值 的必要不充分条件。⊙3个注意点 —— 利用 导 数求极 值应 注意三点(1)求 单调 区 间时应 先求函数的定 义 域，遵循定 义 域 优 先的原 则 ；(2)f′(x0)＝ 0时 ， x0不一定是极 值 点；(3)求最 值时 ， 应 注意极 值 点和所 给 区 间 的关系，关系不确定 时应 分类讨论 。 第二章 函数、 导 数及其 应 用第三 课时 导 数与函数的 综 合 问题 热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升R 热 点命 题 深度剖析考点一 利用 导 数研究生活中的 优 化 问题(1)求 a， b的 值 ；(2)设 公路 l与曲 线 C相切于 P点， P的横坐 标为 t。① 请 写出公路 l长 度的函数解析式 f(t)，并写出其定 义 域；② 当 t为 何 值时 ，公路 l的 长 度最短？求出最短 长 度。【 规 律方法 】 在求 实际问题 中的最大 值 或最小 值时 ，一般先 设 自变 量、因 变 量、建立函数关系式，并确定其定 义 域，利用求函数最 值 的方法求解，注意 结 果 应 与 实际 情况相符合，用 导 数求解 实际问题 中的最大(小 )值 ，如果函数在区 间 内只有一个极 值 点，那么根据 实际 意 义该 极值 点就是最 值 点。(2)若 该 商品的成本 为 3元 /千克， 试 确定 销 售价格 x的 值 ，使商场 每日 销 售 该 商品所 获 得的利 润 最大。于是，当 x变化时， f′(x)， f(x)的变化情况如下表：由上表可得， x＝ 4是函数 f(x)在区间 (3,6)内的极大值点，也是最大值点。所以，当 x＝ 4时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42。答：当销售价格为 4元 /千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。x (3,4) 4 (4,6)f′(x) ＋ 0 －f(x) 单调递 增 极大 值 42 单调递 减【 例 2】 已知函数 f(x)＝ (ax2＋ x－ 1)ex，其中 e是自然 对 数的底数， a∈ R。(1)若 a＝ 1，求曲 线 f(x)在点 (1， f(1))处 的切线 方程；【 解 】 a＝ 1时， f(x)＝ (x2＋ x－ 1)ex，所以 f′(x)＝ (2x＋ 1)ex＋ (x2＋ x－ 1)ex＝ (x2＋3x)ex，所以曲线 f(x)在点 (1， f(1))处的切线斜率为 k＝f′(1)＝ 4e。又因为 f(1)＝ e，所以所求切线方程为 y－ e＝ 4e(x－ 1)，即 4ex－ y－ 3e＝ 0。考点二 利用 导 数研究函数的零点或方程的根(2)若 a0)， 讨论 h(x)零点的个数。导 数在不等式中的 应 用 问题 是每年高考的必考内容，且以解答 题 的形式考 查 ， 难 度 较 大，属中高档 题 。角度一： 证 明不等式1． (2015·唐山一模 )已知 f(x)＝ (1－ x)ex－ 1。(1)求函数 f(x)的最大 值 ；解 f′(x)＝－ xex。当 x∈ (－ ∞， 0)时， f′(x)0， f(x)单调递增；当 x∈ (0，＋ ∞)时， f′(x)0时， f(x)x。设 h(x)＝ f(x)－ x，则 h′(x)＝－ xex－ 1。当 x∈ (－ 1,0)时， 0h(0)＝ 0，即 g(x)1。综上，总有 g(x)1。角度二：不等式恒成立 问题2． (2016·烟台模 拟 )已知 f(x)＝ xln x， g(x)＝－ x2＋ ax－ 3。(1)求函数 f(x)的最小 值 ；(2)对 一切 x∈ (0，＋ ∞ )， 2f(x)≥g(x)恒成立，求实 数 a的取 值 范 围 ；第二章 函数、 导 数及其 应 用第十二 节 定 积 分与微 积 分基本定理 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.了解定 积 分的 实际 背景，了解定 积 分的基本思想，了解定 积 分的概念； 2.了解微 积 分基本定理的含 义 。J 基 础 知 识 自主学 习1． 定 积 分的定 义一般地， 给 定一个在区 间 [a， b]上的函数 y＝ f(x)，其 图像如 图 所示。(1)将 [a， b]区 间 分成 n份，分点 为 ： a＝x0x1x2…xn－ 1xn＝ b，第 i个小区 间为 ______________， 设 其 长 度 为Δxi。(2)在 这 个小区 间 上取一点 ξi，使 f(ξi)在区 间 [xi－ 1，xi]上的 值 _____， 设 S＝_________________________________________________。(3)在 这 个小区 间 上取一点 ζi，使 f(ζi)在区 间 [xi－ 1，xi]上的 值 _____， 设 s＝_______________________________________________________。[xi－ 1， xi]最大f(ξ1)Δx1＋ f(ξ2)Δx2＋ …＋ f(ξi)Δxi＋ …＋ f(ξn)Δxn最小f(ζ1)Δx1＋ f(ζ2)Δx2＋ …＋ f(ζi)Δxi＋ …＋ f(ζn)Δxn∫ a b f(x) b－ a F(b)－ F(a) 4． 定 积 分的 应 用(1)定 积 分与曲 边 梯形的面 积定 积 分的概念是从曲 边 梯形的面 积 引入的，但是定 积 分并不一定就是曲 边 梯形的面 积 。 这 要 结 合具体 图 形来定：√ 解析 正确。 (2)定 积 分一定是曲 边 梯形的面 积 。 ( ) ×× √ 解析 正确。 (5)微 积 分基本定理中 F(x)是唯一的。 ( )解析 错误。有无穷多个。×3． (2015·天津卷 )曲 线 y＝ x2与直 线 y＝ x所 围 成的封 闭图形的面 积为 ________。解析 在同一平面直角坐标系中作出函数 y＝ x2与 y＝ x的图像如图，所围成的封闭图形如图中阴影所示，设其面积为 S。2 R 热 点命 题 深度剖析考点一 定 积 分的 计 算利用定 积 分 计 算平面 图 形的面 积 是近几年高考考 查 定 积 分的一个重要考向：常与解析几何、概率交 汇 命 题 ，主要以 选择题 、填空 题 的形式出现 ，属中低档 题 。角度一：求平面 图 形的面 积1．如 图 ， 记 曲 线 y＝ x3与直 线 y＝ x及 x＝ 2所 围 成的区域 为M(图 中阴影部分 )， 则 M的面 积为 ________。考点二 利用定 积 分求平面 图 形的面 积第二章 函数、 导 数及其 应 用第二 节 函数的 单调 性与最 值 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考纲 1.理解函数的 单调 性、最大 值 、最小 值 及其几何意 义 ； 2.会运用函数 图 像理解和研究函数的性 质 。J 基 础 知 识 自主学 习1． 函数在区间上是增加 (递增 )的、减少 (递减 )的含义在函数 y＝ f(x)的定 义 域内的一个区 间 A上，如果 对 于任意两数 x1，x2∈ A，且 x1f(x2)2． 单调区间、单调性及单调函数(1)单调 区 间 ：如果 y＝ f(x)在区 间 A上是 或是 _________，那么称 _____为单调 区 间 。在 单调 区 间 上，如果函数是增加的，那么它的 图 像是 ________的；如果函数是减少的，那么它的 图 像是 的。(2)单调 性：如果函数 y＝ f(x)在定 义 域的某个子集上是 __________的或是 ____________的，那么就称函数 y＝ f(x)在 这 个子集上具有 单调 性。(3)单调 函数：如果函数 y＝ f(x)在整个定 义 域内是 _______的或是_______的，那么分 别 称 这 个函数 为 增函数或减函数， 统 称 为单调 函数。增加的 减少的A上升下降增加减少增加减少3． 函数的最值前提 设 函数 y＝ f(x)的定 义 域 为 D，如果存在 M∈ R满 足条件① 存在 x0∈ D，使得 _____________② 对 于任意的 x∈ D，都有____________① 存在 x0∈ D，使得____________② 对 于任意的 x∈ D，都有________________结论 M是 f(x)的 值 ， 记 作ymax＝ f(x0)M是 f(x)的 _________值 ， 记 作ymin＝ f(x0)f(x0)＝ Mf(x)≤Mf(x0)＝ Mf(x)≥M最大 最小解析 错误。单调区间不能用并集符号连接。× × (3)相同 单调 性函数的和、差、 积 、商函数 还 具有相同的 单调 性。 ( )解析 错误。相同单调性的函数在公共定义域上的和仍具有相同的单调性，但是差、积、商函数的单调性不能确定。(4)若定 义 在 R上的函数 f(x)，有 f(－ 1)f(3)， 则 函数 f(x)在 R上 为 增函数。 ( )解析 错误。不满足增函数定义中的任意性。(5)函数 y＝ f(x)在区 间 [1，＋ ∞)上是增函数， 则 函数的 单调递 增区 间是 [1，＋ ∞)。 ( )解析 错误。函数 f(x)在 [1，＋ ∞)上是增函数，说明 [1，＋ ∞)是该函数单调递增区间的子集。× × × (6)闭 区 间 上的 单调 函数，其最 值 一定在区 间 端点取到。 ( )解析 正确。(7)如果一个函数在定 义 域内的某几个子区 间 上都是增函数， 则这 个函数在定 义 域上是增函数。 ( )√ × 3． (2016·宿州模拟 )若函数 f(x)＝ |2x＋ a|的 单调递 增区 间 是 [3，＋ ∞)， 则 a的 值为 ( )A．－ 2 B． 2 C．－ 6 D． 6①③④ [3，＋ ∞) R 热 点命 题 深度剖析考点一 函数单调性的判断【 规律方法 】 (1)利用定 义 判断或 证 明函数的 单调 性 时 ，作差后要注意差式的分解 变 形 彻 底。(2)利用 导 数法 证 明函数的 单调 性 时 ，求 导 运算及 导 函数符号判断要准确。【 例 2】 求下列函数的 单调 区 间 ：(1)y＝－ x2＋ 2|x|＋ 1；考点二 求函数的单调区间 【 规律方法 】 求函数的 单调 区 间 的常用方法(1)利用已知函数的 单调 性，即 转 化 为 已知函数的和、差或复合函数，求 单调 区 间 。如果是复合函数， 应 根据复合函数的 单调 性的判断方法，首先判断两个 简单 函数的 单调 性，再根据 “同 则 增，异 则 减 ”的法 则 求解函数的 单调 区间 。(2)定 义 法：先求定 义 域，再利用 单调 性定 义 。(3)图 像法：如果 f(x)是以 图 像形式 给 出的，或者 f(x)的 图 像易作出，可由 图 像的直 观 性写出它的 单调 区 间 。(4)导 数法：利用 导 数的正 负 确定函数的 单调 区 间 。变式训练 2 (1)函数 y＝ |－ x2＋ 2x＋ 1|的 单调递 增区 间为__________________________。 (2)函数 f(x)＝ log5(2x＋ 1)的 单调 增区 间 是 ________________。第二章 函数、 导 数及其 应 用第三 节 函数的奇偶性与周期性 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考纲 1.结 合具体函数，了解函数奇偶性的含 义 ； 2.会运用函数的 图 像理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数的周期性、最小正周期的含义 ，会判断、 应 用 简单 函数的周期性。J 基 础 知 识 自主学 习1． 函数的奇偶性(1)奇函数：一般地， 图 像关于 ________对 称的函数叫作奇函数。在奇函数 f(x)中， f(x)与 f(－ x)的 绝对值 相等，符号 ______，即 _________________；反之， 满 足 _________________的函数 y＝ f(x)一定是奇函数。(2)偶函数：一般地， 图 像关于 _______对 称的函数叫作偶函数。在偶函数 f(x)中， f(x)与 f(－ x)的 值 ________，即 ____________；反之， 满 足____________的函数 y＝ f(x)一定是偶函数。相反 f(－ x)＝－ f(x)f(－ x)＝－ f(x)y轴相等 f(－ x)＝ f(x) f(－ x)＝ f(x)原点2． 周期性(1)周期函数：对 于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定 义 域内的任何 值时 ，都有 ____________，那么就称函数 y＝ f(x)为 周期函数，称 T为这 个函数的周期。(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ______________，那么 这个 ___________就叫做函数 f(x)的最小正周期。f(x＋ T)＝ f(x)最小的正数最小正数2a 2a 2a [判一判 ](1)函数 y＝ x2， x∈ [0，＋ ∞)是偶函数。 ( )解析 错误。定义域不关于坐标原点对称。(2)若函数 f(x)为 奇函数， 则 一定有 f(0)＝ 0。 ( )解析 错误。定义域内有 x＝ 0时， f(0)＝ 0。(3)函数 f(x)＝ sin x， x∈ [0,2π]为 周期函数。 ( )解析 错误。函数 f(x)＝ sin x在 R上为周期函数。× × × (4)偶函数的 图 像不一定 过 原点，奇函数的 图 像一定 过 原点。 ( )(5)如果函数 f(x)， g(x)为 定 义 域相同的偶函数， 则 F(x)＝ f(x)＋ g(x)也是偶函数。 ( )解析 正确。(6)若 T为 函数 f(x)的一个周期，那么 nT(n∈ Z且 n≠0)也是函数 f(x)的周期。 ( )解析 正确。× √ √ 解析 令 y＝ f(x)，选项 A，定义域为 [0，＋ ∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；选项 B， f(－ x)＝|sin(－ x)|＝ |sin x|＝ f(x)，为偶函数；选项 C， f(－ x)＝ cos(－ x)＝ cos x＝ f(x)，为偶函数；选项 D， f(－x)＝ e－ x－ ex＝－ (ex－ e－ x)＝－ f(x)，为奇函数。答案 D3． (2016·石家庄市高三年级调研检测试卷 )已知偶函数 y＝ f(x)满 足 f(x＋ 5)＝ f(x－ 5)，且 0≤x≤5时 ， f(x)＝ x2－ 4x， 则 f(2 016)＝ ( )A．－ 1 B． 0 C． 1 D． 12解析 ∵ f(x＋ 5)＝ f(x－ 5)，∴ f(x)的周期为 10，∴ f(2 016)＝ f(6)＝ f(－ 4)，又 ∵ f(x)为偶函数，∴ f(－ 4)＝ f(4)＝ 42－ 4×4＝ 0.答案 B4． 设 函数 f(x)是定 义 在 R上的奇函数，若当 x∈ (0，＋ ∞)时 ， f(x)＝ lg x， 则满 足 f(x)0的 x的取 值 范 围 是 _____________________。解析 画草图，由 f(x)为奇函数知： f(x)0的 x的取值范围为 (－ 1,0)∪ (1，＋ ∞)。(－ 1,0)∪ (1，＋ ∞)5． 设 函数 f(x)是定 义 在 R上的偶函数，当 x≥0时 ， f(x)＝ 2x＋ 1。若 f(a)＝ 3， 则实 数 a的 值为 ___________。解析 因为函数 f(x)是定义在 R上的偶函数，当 x≥0时， f(x)＝ 2x＋ 1，所以当 x0，则 f(－ x)＝－ (－ x)2－ x＝－ x2－ x＝－ f(x)；当 x0时，－ x0或 x0时 ， f(x)＝ x2－ x－ 1， 则 f(x)的解析式 为 ___________________________。【 规律方法 】 与函数奇偶性有关的 问题 及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数 值 。将待求 值 利用奇偶性 转 化 为 已知区 间 上的函数 值 求解。(2)已知函数的奇偶性求解析式。将待求区 间 上的自 变 量， 转 化到已知区 间 上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程 (组 )，从而得到 f(x)的解析式。(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的 值 。常常利用待定系数法：利用 f(x)±f(－ x)＝ 0得到关于待求参数的恒等式，由系数的 对 等性得参数的 值 或由方程求解。(4)应 用奇偶性画 图 像和判断 单调 性。利用奇偶性可画出另一 对 称区 间 上的 图 像及判断另一区 间 上的 单调性。变式训练 2 (1)(2016·九江模拟 )已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且f(－ 1)＋ g(1)＝ 2， f(1)＋ g(－ 1)＝ 4， 则 g(1)等于 ( )A． 4 B． 3C． 2 D． 1第二章 函数、 导 数及其 应 用第四 节 二次函数与 幂 函数基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升J 基 础 知 识 自主学 习1． 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式① 一般式： f(x)＝ ___________________；② 顶 点式： f(x)＝ ___________________；③ 零点式： f(x)＝ ____________________。ax2＋ bx＋ c(a≠0)a(x－ m)2＋ n(a≠0)a(x－ x1)(x－ x2)(a≠0)(2)图 像与性 质b＝ 0 2.幂函数(1)定 义 ：如果一个函数，底数是自 变 量 x，指数是常量 α，即 _______， 这样 的函数称 为幂 函数。y＝ xα函数 y＝ x y＝ x2 y＝ x3 y＝ x－ 1定 义域 R R R__________________值 域 R ________R_________________奇偶性 _____________________________________________________{x|x≥0} {x|x≠0}{y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0}奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数函数 y＝ x y＝ x2 y＝ x3 d y＝ x－ 1单调性__________________________________________________________________________________________________________________________图 像公共点 ________在 R上 单调递 增在 (－ ∞， 0)上 单调递 减，在 (0，＋ ∞)上单调递 增在 R上 单调递 增在 (0，＋ ∞)上 单调递 增在 (－ ∞， 0)和 (0，＋ ∞)上 单调递 减(1,1)× × (3)二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c， x∈ R不可能是偶函数。 ( )解析 错误。当 b＝ 0时，二次函数为偶函数。(4)幂 函数的 图 像都 经过 点 (1,1)和点 (0,0)。 ( )(5)当 n0时 ， 幂 函数 y＝ xn是 (0，＋ ∞)上的增函数。 ( )解析 正确。由幂函数的图像可知。××√× 2．如果二次函数 f(x)＝ 3x2＋ 2(a－ 1)x＋ b在区 间 (－ ∞， 1)上是减函数， 则 ( )A． a＝－ 2 B． a＝ 2C． a≤－ 2 D． a≥23．函数 f(x)＝ (m－ 1)x2＋ 2mx＋ 3为 偶函数， 则 f(x)在区 间 (－ 5，－ 3)上 ( )A．先减后增 B．先增后减C． 单调递 减 D． 单调递 增解析 因为 f(x)＝ (m－ 1)x2＋ 2mx＋ 3为偶函数，所以 2m＝ 0，即 m＝ 0。所以 f(x)＝－ x2＋ 3。由二次函数的单调性可知， f(x)＝－ x2＋ 3在 (－ 5，－ 3)上为增函数。答案 D4．函数 f(x)＝ x2－ 4x＋ 3， x∈ [0,4]， 则 f(x)的最大 值 、最小 值 分 别为________、 ________。解析 因为 f(x)＝ (x－ 2)2－ 1， x∈ [0,4]，所以 x＝ 2时， f(x)min＝－ 1， f(x)max＝ f(0)＝ f(4)＝ 3。3 － 15．二次函数 f(x)的 图 像与 x轴 有两个交点 A(1,0)， B(－ 2,0)，且 图 像 过点 (0,3)， 则 f(x)＝ _________________。R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (1)已知 幂 函数 f(x)＝ (n2＋ 2n－ 2)·xn2－ 3n(n∈ Z)的 图 像关于y轴对 称，且在区 间 (0，＋ ∞)上是减函数， 则 n的 值为 ( )A．－ 3 B． 1C． 2 D． 1或 2考点一 幂函数的图像与性质【 解析 】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋ 2n－ 2＝ 1，解得 n＝ 1或 n＝－ 3，经检验只有 n＝ 1适合题意，故选 B。【 答案 】 B【 规律方法 】 (1)幂 函数 y＝ xα的 图 像与性 质 由于 α的 值 不同而比 较复 杂 ，一般从两个方面考 查 ：① α的正 负 ： α0时 ， 图 像 过 原点和 (1,1)，在第一象限的 图 像上升；α1时 ，曲 线 下凸； 0cb 【 例 2】 已知二次函数 f(x)满 足 f(2)＝－ 1， f(－ 1)＝－ 1，且 f(x)的最大 值 是 8，求此二次函数的解析式。考点二 求二次函数的解析式【 规律方法 】 二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法， 选择规 律如下：(1)已知三个点坐 标 ，宜 选 用一般式；(2)已知 顶 点坐 标 、 对 称 轴 、最大 (小 )值 等，宜 选 用 顶 点式；(3)已知 图 像与 x轴 两交点坐 标 ，宜 选 用两根式。变式训练 2 已知二次函数 f(x)的 图 像 经过 点 (4,3)，它在 x轴 上截得的线 段 长为 2，并且 对 任意 x∈ R，都有 f(2－ x)＝ f(2＋ x)，求 f(x)的解析式。解 ∵ f(2－ x)＝ f(2＋ x)对 x∈ R恒成立，∴ f(x)的对称轴为 x＝ 2。又 ∵ f(x)图像被 x轴截得的线段长为 2，∴ f(x)＝ 0的两根为 1和 3。设 f(x)的解析式为 f(x)＝ a(x－ 1)(x－ 3)(a≠0)。又 ∵ f(x)的图像过点 (4,3)，∴ 3a＝ 3， a＝ 1。∴ 所求 f(x)的解析式为 f(x)＝ (x－ 1)(x－ 3)，即 f(x)＝ x2－ 4x＋ 3。高考 对 二次函数 图 像与性 质进 行 单 独考 查 的 频 率 较 低。二次函数的图 像与性 质 和一元二次方程、一元二次不等式等知 识 交 汇 命 题 是高考的 热点，常以 选择题 、填空 题 的形式出 现 ，考 查 二次函数的 图 像 识别 、最 值及与其他函数 图 像的交点 问题 。角度一：二次函数图像的识别问题考点三 二次函数的图像与性质1.如 图 是二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c图 像的一部分， 图 像 过 点 A(－ 3,0)，对 称 轴为 x＝－ 1。 给 出下面四个 结论 ：① b24ac； ② 2a－ b＝ 1； ③ a－ b＋ c＝ 0； ④ 5ab。其中正确的是 ( )A． ②④ B． ①④C． ②③ D． ①③