2017届高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 理（课件+习题）（打包18套）北师大版.zip

第九章 计 数原理、概率、随机 变 量及其分布第一 节 分 类 加法 计 数原理与分步乘法 计 数原理 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.理解分 类 加法 计 数原理和分步乘法 计 数原理； 2.会用分 类 加法 计 数原理或分步乘法 计 数原理分析和解决一些 简单 的 实际问题 。J 基 础 知 识 自主学 习1． 分 类 加法 计 数原理完成一件事，可以有 n类办 法，在第一 类办 法中有 m1种方法，在第二 类办 法中有 m2种方法， …，在第 n类办 法中有 mn种方法，那么，完成这 件事共有 N＝ 种方法 (也称加法原理 )。2． 分步乘法 计 数原理完成一件事需要 经过 n个步 骤 ，缺一不可，做第一步有 m1种方法，做第二步有 m2种方法， …，做第 n步有 mn种方法，那么，完成 这 件事情共有 N＝ 种方法 (也称乘法原理 )。m1＋ m2＋ …＋ mnm1×m2×…×mn[判一判 ](1)在分 类 加法 计 数原理中，两 类 不同方案中的方法可以相同。( )解析 错误。在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的。(2)在分 类 加法 计 数原理中，每 类 方案中的方法都能直接完成 这件事。 ( )解析 正确。根据分类加法计数原理的概念可知，分类加法计数原理中每类方案中的方法都能直接完成这件事。(3)在分步乘法 计 数原理中，每个步 骤 中完成 这 个步 骤 的方法是各不相同的。 ( )解析 正确。根据分步乘法计数原理的概念可知此结论正确。× √ √ (4)在分步乘法 计 数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单 独的步 骤 都能完成 这 件事。 ( )解析 错误。在分步乘法计数原理中，任何一步都不能单独完成这件事。× [练 一 练 ]1．某班班干部有 5名男生、 4名女生，从 9人中 选 1人参加某 项 活动 ， 则 不同 选 法的种数 为 ( )A． 9 B． 5C． 4 D． 72解析 分两类：一类从男生中选 1人，有 5种方法；另一类是从女生中选 1人，共有 4种方法。因此，共有 5＋ 4＝ 9种不同的选法。答案 A2．从集合 {0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a， b组 成复数 a＋ bi，其中虚数有 ( )A． 30个 B． 42个C． 36个 D． 35个解析 ∵ a＋ bi为虚数， ∴ b≠0，即 b有 6种取法， a有 6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6×6＝ 36个虚数。答案 C3．某班新年 联欢 会原定的 6个 节 目已排成 节 目 单 ，开演前又增加了 3个新 节 目，如果将 这 3个新 节 目插入 节 目 单 中，那么不同的插法种数 为 ()A． 504 B． 210C． 336 D． 120解析 分三步：先插一个新节目，有 7种方法；再插第二个新节目，有 8种方法；最后插第三个节目，有 9种方法。故共有 7×8×9＝504种不同的插法。答案 A4． (2016·黄山模 拟 )一个 乒乓 球 队 里有男 队员 5名，女 队员 4名，从中 选 取男、女 队员 各一名 组 成混合双打，共有 ________种不同的 选 法。解析 先选男队员，有 5种选法，再选女队员有 4种选法，由分步乘法计数原理知共有 5×4＝ 20(种 )不同的选法。5．从 0,1,2,3,4,5这 六个数字中，任取两个不同数字相加，其和 为 偶数的不同取法的种数是 ________。解析 从 0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类， ① 取出的两数都是偶数，共有 3种方法； ② 取出的两数都是奇数，共有 3种方法，故由分类加法计数原理得共有 N＝ 3＋ 3＝ 6种取法。206R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (1)满 足 a， b∈ {－ 1,0,1,2}，且关于 x的方程 ax2＋ 2x＋ b＝ 0有 实 数解的有序数 对 (a， b)的个数 为 ()A． 14 B． 13C． 12 D． 10考点一 分 类 加法 计 数原理 【 解析 】 ① 当 a＝ 0时， 2x＋ b＝ 0总有实数根，∴ (a， b)的取法有 4个。② 当 a≠0时，需 Δ＝ 4－ 4ab≥0， ∴ ab≤1。a＝－ 1时， b的取值有 4个，a＝ 1时， b的取值有 3个，a＝ 2时， b的取值有 2个。∴ (a， b)的取法有 9个。综合 ①② 知， (a， b)的取法有 4＋ 9＝ 13个。【 答案 】 B (2)有 4位教 师 在同一年 级 的 4个班中各教一个班的数学，在数学检测时 要求每位教 师 不能在本班 监 考， 则监 考的方法有 ( )A． 8种 B． 9种C． 10种 D． 11种【 解析 】 (2)设四位监考教师分别为 A， B， C， D，所教班分别为 a， b， c， d，假设 A监考 b，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3种不同方法，同理 A监考 c， d时，也分别有 3种不同方法，由分类加法计数原理共有 3＋ 3＋ 3＝ 9(种 )。【 答案 】 B【 规 律方法 】 利用分 类 加法 计 数原理解 题时应 注意(1)根据 问题 的特点确定一个合适的分 类标 准，分 类标 准要 统 一，不能 遗 漏；(2)分 类时 ，注意完成 这 件事情的任何一种方法必 须 属于某一 类 ，不能重复。变 式 训练 1 (1)某学生去 书 店， 发现 3本好 书 ，决定至少 买 其中 1本， 则购买 方式共有 ( )A． 3种 B． 6种C． 7种 D． 9种解析 分 3类：买 1本书，买 2本书和买 3本书，各类的购买方式依次有 3种、 3种和 1种，故购买方式共有 3＋ 3＋ 1＝ 7(种 )。答案 C(2)若 x， y∈ N*，且 x＋ y≤6， 则 有序数 对 (x， y)共有________个。解析 当 x＝ 1时， y可取的值为 5,4,3,2,1，共 5个；当 x＝ 2时， y可取的值为 4,3,2,1，共 4个；当 x＝ 3时， y可取的值为 3,2,1，共 3个；当 x＝ 4时， y可取的值为 2,1，共 2个；当 x＝ 5时， y可取的值为 1，共 1个；由分类加法计数原理，不同的数对 (x， y)共有 5＋ 4＋ 3＋ 2＋ 1＝ 15(个 )。15【 例 2】 (1)教学大楼共有五 层 ，每 层 均有两个楼梯，由一 层 到五 层 的走法有 ( )A． 10种 B． 25种C． 52种 D． 24种考点二 分步乘法 计 数原理【 解析 】 共分 4步：一层到二层 2种，二层到三层 2种，三层到四层 2种，四层到五层 2种，一共有 24种。【 答案 】 D (2)将字母 a， a， b， b， c， c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同， 则 不同的排列方法共有 ( )A． 12种 B． 18种 C． 24种 D． 36种【 解析 】 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有 A种不同排法。再排第二列，其中第二列第一行的字母共有 2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有 1种排法。因此共有 A·2·1＝ 12(种 )不同的排列方法。【 答案 】 A【 规 律方法 】 利用分步乘法 计 数原理解决 问题时 要注意(1)要按事件 发 生的 过 程合理分步，即考 虑 分步的先后 顺 序。(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步 骤 都完成了，才算完成 这 个事件。(3)对 完成各步的方法数要准确确定。(2)某体育彩票 规 定，从 01至 36共 36个号中抽出 7个号 为 一注，每注 2元。某人想从 01至 10中 选 3个 连续 的号，从 11至 20中选 2个 连续 的号，从 21至 30中 选 1个号，从 31至 36中 选 1个号 组成一注， 则这 人把 这 种特殊要求的号 买 全，至少要花 ( )A． 3 360 元 B． 6 720 元C． 4 320 元 D． 8 640 元解析 从 01至 10中选 3个连续的号共有 8种选法：从 11至 20中选 2个连续的号共有 9种选法；从 21至 30中选 1个号有10种选法；从 31至 36中选一个号有 6种选法，由分步乘法计数原理知共有 8×9×10×6＝ 4 320(种 )选法，至少需花 4 320×2＝ 8 640( 元 )。答案 D变 式 训练 2 (1)将一个四面体 ABCD的六条棱上涂上 红 、黄、白三种 颜 色，要求共端点的棱不能涂相同 颜 色， 则 不同的涂色方案有 ( )A． 1种 B． 3种C． 6种 D． 9种解析 因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色。故有 3×2×1＝ 6种涂色方案。答案 C 利用两个 计 数原理，求解有关 实际问题 ，是高考考 查 两个 计 数原理的一个重要考向，常与涂色 问题 、 组 数 问题 、排 队问题 、种植 问题 等交汇 考 查 ，一般以 选择题 、填空 题 的形式出 现 。角度一：涂色 问题1．如 图 ，矩形的 对 角 线 把矩形分成 A， B， C， D四部分， 现 用 5种不同 颜 色 给 四部分涂色，每部分涂 1种 颜 色，要求共 边 的两部分 颜 色互异， 则 共有 ________种不同的涂色方法。考点三 两个 计 数原理的 综 合 应 用260解析 区域 A有 5种涂色方法；区域 B有 4种涂色方法；区域 C的涂色方法，可分 2类：若 C与 A涂同色，区域 D有 4种涂色方法；若 C与 A涂不同色，此时区域 C有 3种涂色方法，区域 D也有 3种涂色方法，所以共有5×4×4＋ 5×4×3×3＝ 260种涂色方法。角度二：与几何有关的 问题2．从正方体六个面的 对 角 线 中任取两条作 为 一 对 ，其中所成的角 为60°的共有 ( )A． 24对 B． 30对C． 48对 D． 60对解析 解法一 (直接法 )：如图，在上底面中选 B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成 60°，共 8对；同样 A1C1对应的也有 8对，下底面也有 16对，这共有 32对；左右侧面与前后侧面中共有 16对。所以全部共有 48对。解法二 (间接法 )：正方体的 12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为 60°，所以成角为 60°的共有 C－ 12－ 6＝ 48对。答案 C角度三：与集合有关的 问题3． (2016·银 川模 拟 )集合 P＝ {x,1}， Q＝{y,1,2}，其中 x， y∈ {1,2,3， …， 9}，且 P⊆ Q。若 满足上述条件的一个有序整数 对 (x， y)作 为 一个点的坐 标 ， 则这样 的点的个数是 ( )A． 9 B． 14C． 15 D． 21解析 当 x＝ 2时， x≠y，点的个数为 1×7＝ 7(个 )；当x≠2时， x＝ y，点的个数为 7×1＝ 7(个 )，则共有 14个点。答案 B【 规 律方法 】 应 用两个 计 数原理的注意点(1)注意在 应 用两个原理解决 问题时 ，一般是先分 类 再分步，在分步 时 可能又用到分 类 加法 计 数原理。(2)注意 对 于 较 复 杂 的两个原理 综 合 应 用的 问题 ，可恰当地列出示意 图 或列出表格，使 问题 形象化、直 观 化。S 思想方法 感悟提升第九章 计 数原理、概率、随机 变 量及其分布第二 节 排列与 组 合 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.理解排列、 组 合的概念； 2.能利用 计 数原理推 导排列数公式、 组 合数公式； 3.能解决 简单 的 实际问题 。J 基 础 知 识 自主学 习1． 排列与排列数(1)排列：一般地，从 n个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素，______________________，叫做从 n个不同元素中任意取出 m个元素的一个排列。(2)排列数：我 们 把从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数， 记 作 。按照一定 顺 序排成一列2． 组 合与 组 合数(1)组 合：一般地，从 n个不同的元素中，任取 ，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个 组 合。(2)组 合数：我 们 把从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 组 合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的 组 合数。用符号 表示。m(m≤n)个元素 为 一 组[判一判 ](1)所有元素完全相同的两个排列 为 相同排列。 ( )解析 错误。由排列与组合的定义可知，所有元素完全相同的两个组合是相同组合，而排列则不一定是相同的排列，与它们的顺序还有关系。(2)两个 组 合相同的充要条件是其中的元素完全相同。 ( )解析 正确。由组合的概念可知， 该命题是正确的。××√(4)(n＋ 1)！－ n！＝ n·n！ ( )解析 正确。由排列数运算公式可得。(5)排列定 义规 定 给 出的 n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况。也就是 说 ，如果某个元素已被取出， 则这 个元素就不再取了。 ( )解析 正确。由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不能再取了。√√[练 一 练 ]1． A、 B、 C、 D、 E五人并排站成一排，如果 B必 须 在 A的右 边 (A、 B可以不相 邻 )，那么不同的排法共有 ( )A． 24种 B． 60种C． 90种 D． 120种2．教室里有 6盏 灯，由 3个开关控制，每个开关控制 2盏 灯， 则 不同的照明方法有 ( )A． 63种 B． 31种C． 8种 D． 7种3．有 6名男医生、 5名女医生，从中 选 出 2名男医生、 1名女医生 组成一个医 疗 小 组 ， 则 不同的 选 法共有 ( )A． 60种 B． 70种C． 75种 D． 150种解析 由 2x－ 7＝ x或 2x－ 7＋ x＝ 20，得 x＝ 7或 x＝ 9。5．将 7个相同的球放入 4个不同的盒子中， 则 每个盒子都有球的放法共有 ________种。解析 将 7个相同的球放入 4个不同的盒子，即把 7个球分成 4组，因为要求每个盒子都有球，所以每个盒子至少放 1个球，不妨将 7个球摆成一排，中间形成 6个空，只需在这 6个空中插入 3个隔板将它们隔开，即分成 4组，不同的插入方法共有 C＝ 20种，所以每个盒子都有球的放法共有 20种。7或 920R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？(1)其中甲不站排 头 ，乙不站排尾；考点一 排列 问题(2)其中甲、乙、丙 3人必 须 相 邻 ；(3)其中甲、乙、丙 3人两两不相 邻 ；(4)其中甲、乙中 间 有且只有 1人；(5)其中甲、乙、丙按从左到右的 顺 序排列。【 规 律方法 】 求解排列 问题 的主要方法：直接法 把符合条件的排列数直接列式 计 算优 先法 优 先安排特殊元素或特殊位置捆 绑 法 把相 邻 元素看作一个整体与其他元素一起排列，同 时 注意捆 绑 元素的内部排列插空法 对 不相 邻问题 ，先考 虑 不受限制的元素的排列，再将不相 邻 的元素插在前面元素排列的空当中先整体后局部 “小集 团 ”排列 问题 中先整体后局部定序 问题除法 处理对 于定序 问题 ，可先不考 虑顺 序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间 接法 正 难则 反，等价 转 化的方法变 式 训练 1 (1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则 不同的排法共有 ( )A． 192种 B． 216种C． 240种 D． 288种(2)(2015·四川 绵 阳一模 )从 6名志愿者中 选 出 4人分 别 从事翻 译 、 导 游、 导购 、保 洁 四 项 不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻 译 工作， 则选 派方案共有 ( )A． 280种 B． 240种C． 180种 D． 96种【 例 2】 某 课 外活 动 小 组 共 13人，其中男生 8人，女生 5人，并且男、女生各指定一名 队长 。 现 从中 选 5人主持某种活 动 ，依下列条件各有多少种 选 法？(1)只有一名女生；考点二 组 合 问题 (2)两 队长 当 选 ；(3)至少有一名 队长 当 选 ；(4)至多有两名女生当 选 ；(5)既要有 队长 ，又要有女生当 选 。【 规 律方法 】 组 合 问题 常有以下两 类题 型 变 化(1)“含有 ”或 “不含有 ”某些元素的 组 合 题 型： “含 ”， 则 先将 这 些元素取出，再由另外元素 补 足； “不含 ”， 则 先将 这 些元素剔除，再从剩下的元素中去 选 取。(2)“至少 ”或 “至多 ”含有几个元素的 题 型：若直接法分 类 复 杂时 ，逆向思 维 ， 间 接求解。变 式 训练 2 (1)从 5名男医生、 4名女医生中 选 3名医生 组 成一个医 疗 小分 队 ，要求其中男、女医生都有， 则 不同的 组队 方案共有 ( )A． 70种 B． 80种C． 100种 D． 140种(2)(2016·南昌模 拟 )将 5名学生分到 A， B， C三个宿舍，每个宿舍至少 1人，至多 2人，其中学生甲不到 A宿舍的不同分法是 ( )A． 18种 B． 36种C． 48种 D． 60种分 组 分配 问题 是排列、 组 合 问题 的 综 合运用，解决 这类问题 的一个基本指 导 思想就是先分 组 后分配。关于分 组问题 ，有整体均分、部分均分和不等分三种，无 论 分成几 组 ， 应 注意只要有一些 组 中元素的个数相等，就存在均分 现 象。角度一：整体均分 问题1．国家教育部 为 了 发 展 贫 困地区教育，在全国重点 师 范大学免 费培养教育 专业师 范生， 毕业 后要分到相 应 的地区任教。 现 有 6个免 费 培养的教育 专业师 范 毕业 生要平均分到 3所学校去任教，有 ________种不同的分派方法。考点三 分 组 分配 问题90角度二：部分均分 问题2． (2016·成都模 拟 )某地 发 生了 7.0级 地震， 现 派一支由 5人 组 成的先 锋 救援 队 到 该 市 3所学校 进 行 紧 急救灾，若每所学校至少 1人， 则 不同的安排方案共有 ________种 (用数字作答 )。150第九章 计 数原理、概率、随机 变量及其分布第三节 二项式定理 基基 础础 知知 识识自主学自主学 习习热热 点命点命 题题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.能用计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。J 基础知识 自主学习1． 二 项 式定理二项式定理(a＋ b)n＝_________________________________________二项式系数二项展开式中各项二项式系数C(r＝ 0,1， … ， n)二项式通项Tr＋ 1＝ ___________(其中 0≤ r≤ n， r∈ N＋ ， n∈ N＋ )等距离 等于 (2)(a＋ b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b无关。 ( )解析 正确。根据二 项 展开式中某一 项 的二 项 式系数的概念可知它与a， b无关 (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项。 ( )解析 错误 。二 项 展开式中，系数最大的 项 不一定是中 间 一 项 或中间 的两 项 。× √ × (4)(a＋ b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同。 ( )解析 正确。二 项 展开式中某 项 的系数与它的二 项 式系数是不同的。√ [练 一 练 ]1． (x－ y)n的二项展开式中，第 r项的系数是 ( )答案 D3． (2015·陕 西卷 )二项式 (x＋ 1)n(n∈ N＋ )的展开式中 x2的系数为 15，则n＝ ( )A． 7 B． 6C． 5 D． 44． (2015·湖北卷 )已知 (1＋ x)n的展开式中第 4项与第 8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 ( )A． 212 B． 211C． 210 D． 2963 R 热点命题 深度剖析【 答案 】 C 考点一 求二 项 展开式中的特定 项 或特定 项 的系数【 规 律方法 】 求二 项 展开式有关 问题 的常 见类 型及解 题 策略(1)求展开式中的特定 项 。可依据条件写出第 r＋ 1项 ，再由特定 项 的特点求出 r值 即可。(2)已知展开式的某 项 ，求特定 项 的系数。可由某 项 得出参数 项 ，再由通 项 写出第 r＋ 1项 ，由特定 项 得出 r值 ，最后求出其参数。变 式 训练 1 (1)在 x(1＋ x)6的展开式中，含 x3项的系数为 ( )A． 30 B． 20 C． 15 D． 10答案 C 【 例 2】 (1)设 (1＋ x)n＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ … ＋ anxn，若 a1＋ a2＋ … ＋ an＝ 63，则展开式中系数最大的项是 ( )A． 15x2 B． 20x3C． 21x3 D． 35x3【 答案 】 B 考点二 二 项 式系数的性 质 与各 项 系数的和56 【 规 律方法 】 (1)赋值 法研究二 项 式的系数和 问题“赋值 法 ”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法， 对 形如 (ax＋ b)n、(ax2＋ bx＋ c)m(a， b∈ R)的式子求其展开式的各 项 系数之和，常用 赋值 法， 只需令 x＝ 1即可； 对 形如 (ax＋ by)n(a， b∈ R)的式子求其展开式各 项 系数之和，只需令 x＝ y＝ 1即可。(2)二 项 式系数最大 项 的确定方法 答案 B 5 角度一：三 项 展开式中特定 项 (系数 )问题1． (2015·新 课标 全国卷 Ⅰ )(x2＋ x＋ y)5的展开式中， x5y2的系数为 ( )A． 10 B． 20 C． 30 D． 60考点三 多 项 式展开式中的特定 项 或特定 项 系数角度三：几个多 项 式 积 的展开式中特定 项 (系数 )问题3． (x－ y)(x＋ y)8的展开式中 x2y7的系数为 ________。 (用数字作答 )－ 20 【 规 律方法 】 (1)对 于三 项 式 问题 一般先 变 形化 为 二 项 式再解决。(2)对 于几个多 项 式和的展开式中的特定 项 (系数 )问题 ，只需依据二项 展开式的通 项 ，从每一 项 中分 别 得出含 x2的 项 ，再求和即可。(3)对 于几个多 项 式 积 的展开式中的特定 项问题 ，一般都可以根据因式 连 乘的 规 律， 结 合 组 合思想求解，但要注意适当地运用分 类 方法，以免重复或 遗 漏。【 例 3】 (1)设 a∈ Z，且 0≤a13，若 512 012＋ a能被 13整除，则 a＝ ( )A． 0 B． 1C． 11 D． 12【 答案 】 D 考点四 二 项 式定理的 应 用第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第四 节 随机事件的概率 基基 础础 知知 识识自主学自主学 习习热热 点命点命 题题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考纲 1.了解随机事件 发 生的不确定性和 频 率的 稳 定性，了解概率的意 义 ，了解 频 率与概率的区 别 ； 2.了解两个互斥事件的概率加法公式。J 基 础 知 识 自主学 习1． 概率(1)在相同条件下，大量重复 进 行同一 试验时 ，随机事件 A发 生的 频率会在某个常数附近 摆动 ，即随机事件 A发 生的 频 率具有 ________。我们 把 这 个常数叫做随机事件 A的 _______， 记 作 ______。(2)频 率反映了一个随机事件出 现 的 频 繁程度，但 频 率是随机的，而______是一个确定的 值 ，因此，人 们 用 _______来反映随机事件 发 生的可能性的大小，有 时 也用 _______作 为 随机事件概率的估 计值 。(3)概率的几个基本性 质① 概率的取 值 范 围 ： ______________。② 必然事件的概率： P(A)＝ ___。③ 不可能事件的概率： P(A)＝ ___。稳 定性概率 P(A)概率 概率频 率0≤P(A)≤1102． 互斥事件和对立事件事件 定 义 性 质互斥事件在一个随机 试验 中，我 们 把一次 试验 下不能____________的两个事件 A与 B称作互斥事件P(A＋ B)＝ ____________， (事件 A， B是互斥事件 )；P(A1＋ A2＋ … ＋ An)＝______________________(事件 A1， A2， … ， An任意两个互斥 )对 立事件在一个随机 试验 中，两个 试验不会 ______发 生，并且一定_________发 生的事件 A和 称 为对 立事件P( )＝ ____________同 时发 生P(A)＋ P(B)P(A1)＋ P(A2)＋ … ＋ P(An)同 时有一个 1－ P(A)[判一判 ](1)事件 发 生的 频 率与概率是相同的。 ( )解析 错误 。 频 率是在相同的条件下重复 n次 试验 ， 频 数与 试验 次数的比 值 ，它是概率的一个近似 值 ， 频 率是随机的，概率是一个客 观 存在的确定的数 值 。(2)随机事件和随机 试验 是一回事。 ( )解析 错误 。在一定的条件下可能 发 生也可能不 发 生的事件叫随机事件；条件每 实现 一次，叫做一次 试验 ，如果 试验结 果无法确定，叫做随机试验 。(3)在大量重复 试验 中，概率是 频 率的 稳 定 值 。 ( )解析 正确。由概率的定 义 可知，在大量重复 试验 中，概率是 频 率的 稳定 值 。××√(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个 发 生。 ( )解析 正确。两个事件的和事件是指两个事件至少有一个 发 生。(5)对 立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是 对 立事件。 ( )解析 正确。由 对 立事件和互斥事件的定 义 可知， 对 立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是 对 立事件。√ √ [练一练 ] 1．下列事件中，随机事件的个数 为 ( )① 物体在只受重力的作用下会自由下落；② 方程 x2＋ 2x＋ 8＝ 0有两个 实 根；③ 某信息台每天的某段 时间 收到信息咨 询 的 请 求次数超 过 10次；④ 下周六会下雨。A． 1 B． 2 C． 3 D． 4解析 ① 为 必然事件， ② 为 不可能事件， ③④ 为 随机事件。答案 B2．从装有 5个 红 球和 3个白球的口袋内任取 3个球，那么互斥而不 对 立的事件是 ( )A．至少有一个 红 球与都是 红 球B．至少有一个 红 球与都是白球C．至少有一个 红 球与至少有一个白球D．恰有一个 红 球与恰有两个 红 球解析 对 于 A中的两个事件不互斥， 对 于 B中的两个事件互斥且 对 立，对 于 C中的两个事件不互斥， 对 于 D中的两个事件互斥而不 对 立。答案 D3． (2016·安徽合肥模拟 )从一箱 产 品中随机抽取一件， 设 事件 A＝ {抽到一等品 }，事件 B＝ {抽到二等品 }，事件 C＝ {抽到三等品 }，且已知 P(A)＝ 0.7，P(B)＝ 0.2， P(C)＝ 0.1， 则 事件 “抽到的不是一等品 ”的概率 为 ( )A． 0.7 B． 0.2C． 0.1 D． 0.3解析 ∵ “抽到的不是一等品 ”的 对 立事件是 “抽到一等品 ”，事件 A＝ {抽到一等品 }， P(A)＝ 0.7，∴ “抽到的不是一等品 ”的概率是 1－ 0.7＝ 0.3。答案 DR 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (2015·陕西卷 )随机抽取一个年份， 对 西安市 该 年 4月份的天气情况进 行 统计 ， 结 果如下：考点一 随机事件的频率与概率日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨(1)在 4月份任取一天，估 计 西安市在 该 天不下雨的概率；(2)西安市某学校 拟 从 4月份的一个晴天开始 举 行 连续 2天的运 动 会，估 计 运 动 会期 间 不下雨的概率。 【 规律方法 】 求解随机事件的概率关 键 是准确 计 算基本事件数， 计 算的方法有：(1)列 举 法； (2)列表法； (3)树 状 图 。 变式训练 1 假 设 甲乙两种品牌的同 类产 品在某地区市 场 上 销 售量相等，为 了解他 们 的使用寿命， 现 从 这 两种品牌的 产 品中分 别 随机抽取 100个 进行 测试 ， 结 果 统计 如下：(1)估 计 甲品牌 产 品寿命小于 200小 时 的概率；(2)这 两种品牌 产 品中，某个 产 品已使用了 200小 时 ， 试 估 计该产 品是甲品牌的概率。【 例 2】 判断下列各 对 事件是否是互斥事件或 对 立事件：某小 组 有 3名男生和 2名女生，从中任 选 2名同学去参加演 讲 比 赛 ，其中(1)恰有 1名男生和恰有 2名男生；【 解 】 是互斥事件，不是 对 立事件。“恰有 1名男生 ”实质选 出的是 “1名男生和 1名女生 ”，与 “恰有两名男生”不可能同 时发 生，所以是互斥事件，不是 对 立事件。(2)至少有 1名男生和至少有 1名女生；【 解 】 不是互斥事件，也不是 对 立事件。“至少有 1名男生 ”包括 “1名男生和 1名女生 ”与 “两名都是男生 ”两种 结 果， “至少有 1名女生 ”包括 “1名女生和 1名男生 ”与 “两名都是女生 ”两种 结 果，它 们 可能同 时发 生。考点二 随机事件的关系(3)至少有 1名男生和全是女生。【 解 】 是互斥事件且是 对 立事件。“至少有 1名男生 ”，即 “选 出的两人不全是女生 ”，它与 “全是女生 ”不可能同 时发 生，且其并事件是必然事件。∴ 两个事件互斥且 对 立。【 规律方法 】 事件 间 关系的判断方法对 互斥事件要把握住不能同 时发 生，而 对 于 对 立事件除不能同 时发生外，其并事件 应为 必然事件， 这 些也可 类 比集合 进 行理解，具体 应 用时 ，可把所有 试验结 果写出来，看所求事件包含哪些 试验结 果，从而断定所 给 事件的关系。变式训练 2 下列命 题 ： ① 将一枚硬 币 抛两次， 设 事件 M： “两次出 现 正面 ”，事件 N： “只有一次出 现 反面 ”， 则 事件 M与 N互 为对 立事件；② 若事件 A与 B互 为对 立事件， 则 事件 A与 B为 互斥事件；③ 若事件 A与 B为 互斥事件， 则 事件 A与 B互 为对 立事件；④ 若事件 A与 B互 为对 立事件， 则 事件 A＋ B为 必然事件。其中真命 题是 ( )A． ①②④ B． ②④C． ③④ D． ①②解析 对 ① ，将一枚硬 币 抛两次，共出 现 {正，正 }， {正，反 }， {反，正 }， {反，反 }四种 结 果， 则 事件 M与 N是互斥事件，但不是 对 立事件，故 ① 错 。 对 ② ， 对 立事件首先是互斥事件，故 ② 正确。 对 ③ ，互斥事件不一定是 对 立事件，如 ① 中两个事件，故 ③ 错 。 对 ④ ，事件 A、 B为对 立事件， 则 在一次 试验 中 A、 B一定有一个要 发 生，故 ④ 正确。答案 B考点三 互斥事件、对立事件的概率(2)(2016·洛阳模拟 )经统计 ，在某 储 蓄所一个 营业 窗口等候的人数相 应 的概率如下：求： ① 至多 2人排 队 等候的概率是多少？【 解 】 记 “无人排 队 等候 ”为 事件 A， “1人排 队 等候 ”为 事件 B， “2人排 队等候 ”为 事件 C， “3人排 队 等候 ”为 事件 D， “4人排 队 等候 ”为 事件 E， “5人及5人以上排 队 等候 ”为 事件 F， 则 事件 A， B， C， D， E， F互斥。记 “至多 2人排 队 等候 ”为 事件 G， 则 G＝ A＋ B＋ C，所以 P(G)＝ P(A＋B＋ C)＝ P(A)＋ P(B)＋ P(C)＝ 0.1＋ 0.16＋ 0.3＝ 0.56。排 队 人数 0 1 2 3 4 5人及 5人以上概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04② 至少 3人排 队 等候的概率是多少？【 解 】 记 “无人排 队 等候 ”为 事件 A， “1人排 队 等候 ”为 事件 B， “2人排 队等候 ”为 事件 C， “3人排 队 等候 ”为 事件 D， “4人排 队 等候 ”为 事件 E， “5人及5人以上排 队 等候 ”为 事件 F， 则 事件 A， B， C， D， E， F互斥。解法一： 记 “至少 3人排 队 等候 ”为 事件 H， 则 H＝ D＋ E＋ F，所以 P(H)＝ P(D＋ E＋ F)＝ P(D)＋ P(E)＋ P(F)＝ 0.3＋ 0.1＋ 0.04＝ 0.44。解法二： 记 “至少 3人排 队 等候 ”为 事件 H， 则 其 对 立事件 为 事件 G，所以 P(H)＝ 1－ P(G)＝ 0.44。【 规律方法 】 求复 杂 的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解 为 一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式 计 算。二是 间 接求法，先求此事件的 对 立事件的概率，再用公式 P(A)＝ 1－P()，即运用逆向思 维 (正 难则 反 )，特 别 是 “至多 ”， “至少 ”型 题 目，用 间 接求法就 显 得 较简 便。变式训练 3 (2016·北京模 拟 )有 编 号 为 1,2,3的三个白球， 编 号 4,5,6的三个黑球， 这 六个球除 编 号和 颜 色外完全相同， 现 从中任意取出两个球。(1)求取得的两个球 颜 色相同的概率；解 从六个球中取出两个球的所有 结 果有：(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6)， (3,4)，(3,5)， (3,6)， (4,5)， (4,6)， (5,6)，共 计 15个。 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第五 节 古典概型 基基 础础 知知 识识自主学自主学 习习热热 点命点命 题题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考纲 1.理解古典概型及其概率 计 算公式； 2.会 计 算一些随机事件所包含的基本事件数及事件 发 生的概率。J 基 础 知 识 自主学 习1． 古典概型具有以下两个特征的随机 试验 的数学模型称 为 古典概型。 (1)有限性： 试验 的所有可能 结 果 _____________，每次 试验 只出 现 其中的一个 结果。(2)等可能性：每个 试验结 果出 现 的可能性 _________。2． 古典概型的概率公式如果 试验 的所有可能 结 果 (基本事件 )数 为 n，随机事件 A包含的基本事件数 为 m，那么事件 A的概率 规 定 为只有有限个相同[判一判 ](1)“在适宜条件下，种下一粒种子 观 察它是否 发 芽 ”属于古典概型，其基本事件是 “发 芽与不 发 芽 ”。 ( )解析 错误 。根据古典概型的特征可知 (1)错误 。(2)掷 一枚硬 币 两次，出 现 “两个正面 ”“一正一反 ”“两个反面 ”， 这 三个事件是等可能事件。 ( )解析 错误 。 “一正一反 ”包含 “一正一反 ”和 “一反一正 ”两种 结 果，故 掷一枚硬 币 两次，出 现 “两个正面 ”“一正一反 ”“两个反面 ”， 这 三个事件不是等可能事件。× × (3)从－ 3，－ 2，－ 1,0,1,2，中任取一数，取到的数小于 0与不小于 0的可能性相同。 ( )解析 正确。根据古典概型概率 计 算公式可知正确。√ √ 4．在 3张奖 券中有一、二等 奖 各 1张 ，另 1张 无 奖 。甲、乙两人各抽取 1张 ，两人都中 奖 的概率是 ________。5．从 1,2,3,6这 4个数中一次随机地取 2个数， 则 所取 2个数的乘 积为 6的概率是 ________。R 热 点命 题 深度剖析考点一 简单古典概型的概率(2)(2015·山东卷 )某中学 调查 了某班全部 45名同学参加 书 法社 团 和演 讲社 团 的情况，数据如下表： (单 位：人 )① 从 该 班随机 选 1名同学，求 该 同学至少参加上述一个社 团 的概率；参加 书 法社 团 未参加 书 法社 团参加演 讲 社 团 8 5未参加演 讲 社 团 2 30② 在既参加 书 法社 团 又参加演 讲 社 团 的 8名同学中，有 5名男同学 A1， A2， A3， A4， A5,3名女同学 B1， B2， B3.现 从 这 5名男同学和 3名女同学中各随机 选 1人，求 A1被 选 中且 B1未被 选 中的概率。(2)(2015·四川卷 )一 辆 小客 车 上有 5个座位，其座位号 为 1,2,3,4,5，乘客P1， P2， P3， P4， P5的座位号分 别为 1,2,3,4,5，他 们 按照座位号从小到大的 顺 序先后上 车 ，乘客 P1因身体原因没有坐自己的 1号座位， 这时 司机要求余下的乘客按以下 规则 就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就坐，就在 这 5个座位的剩余空位中任意 选择 座位。① 若乘客 P1坐到了 3号座位，其他乘客按 规则 就坐， 则 此 时 共有 4种坐法。下表 给 出了其中两种坐法。 请 填入余下两种坐法 (将乘客就座的座位号填入表中空格 处 )；解 余下两种坐法如下表所示：乘客 P1 P2 P3 P4 P5座位号 3 2 4 1 53 2 5 4 1② 若乘客 P1坐到了 2号座位，其他乘客按 规则 就坐，求乘客 P5坐到 5号座位的概率。解 若乘客 P1坐到了 2号座位，其他乘客按 规则 就坐， 则 所有可能的坐法可用下表表示 为 ：乘客 P1 P2 P3 P4 P5座位号 3 2 1 4 53 2 4 5 1乘客 P1 P2 P3 P4 P5座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5 12 5 3 4 1(1)在 该团 中随机采 访 2名游客，求恰有 1人持 银 卡的概率；考点二 较复杂的古典概型的概率(2)在 该团 中随机采 访 2名游客，求其中持金卡与持 银 卡人数相等的概率。【 规律方法 】 求 较 复 杂 事件的概率 问题 的方法(1)将所求事件 转 化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解。(2)先求其 对 立事件的概率，再利用 对 立事件的概率公式求解。 变式训练 2 (1)某 饮 料公司 对 一名 员 工 进 行 测试 以便确定其考 评级别 ，公司准 备 了两种不同的 饮 料共 5杯，其 颜 色完全相同，并且其中 3杯 为 A饮 料，另外 2杯 为 B饮 料，公司要求此 员 工一一品 尝 后，从 5杯 饮 料中 选 出 3杯 A饮 料。若 该员 工 3杯都 选对 ， 则评为优 秀；若 3杯 选对 2杯， 则评为 良好；否 则评为 合格。假 设 此人 对 A和 B两种 饮 料没有 鉴别 能力。(1)求此人被 评为优 秀的概率；(2)求此人被 评为 良好及以上的概率。古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、 统计 等知识 交 汇 命 题 ，命 题 的角度新 颖 ，考 查 知 识 全面，能力要求 较 高。考点三 古典概型的综合应用