2017届高考数学大一轮总复习 几何证明选讲 理（课件+习题）（打包4套）北师大版选修4-1.zip

选 修 4－ 1 几何 证 明 选讲 第二 节 圆 与直 线 、 圆 与四 边 形基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.会 证 明并 应 用 圆 周角定理、 圆 的切 线 的判定定理及性 质定理； 2.会 证 明并 应 用相交弦定理、 圆 内接四 边 形的性 质 定理与判定定理、切割 线 定理。J 基 础 知 识 自主学 习1． 圆 周角定理及其推 论(1)定理：一条弧所 对 的 圆 周角等于它所 对 的 圆 心角的 ______。 圆周角的度数等于它所 对 的弧的度数的 ________。(2)推 论 ：① 推 论 1：同弧或等弧所 对 的 圆 周角 ________；在同 圆 或等 圆 中，相等的 圆 周角所 对 的弧也 ________。② 推 论 2：半 圆 (或直径 )所 对 的 圆 周角是 ________； 90°的 圆 周角所对 的弧是 ________。一半一半相等相等直角半 圆2． 圆 的切 线 的判定和性 质 及弦切角定理(1)切 线 的判定定理： 经过 半径的 ______并且 _________这 条半径的直 线 是 圆 的切 线 。(2)切 线 的性 质 定理： 圆 的切 线 垂直于 经过 切点的 ______。推 论 1： 经过圆 心且垂直于切 线 的直 线经过 _______。推 论 2： 经过 切点且垂直于切 线 的直 线经过 ________。(3)切 线长 定理： 过圆 外一点作 圆 的两条切 线 ， 这 两条切 线长 ______。(4)弦切角定理：弦切角等于它所 夹 弧所 对 的 __________；弦切角的度数等于它所 夹 弧的度数的 ________。外端 垂直于半径切点圆 心相等圆 周角一半3． 与 圆 有关的比例 线 段(1)切割 线 定理及推 论 ：定理： 过圆 外一点作 圆 的一条切 线 和一条割 线 ，切 线长 是割 线 上从这 点到两个交点的 线 段 长 的 _____________。如 图 (1)， PT是 ⊙O的切 线 ， T是切点， PAB是 ⊙O的割 线 ， 则 PT2＝_________。 推 论 ： 过圆 外一点作 圆 的两条割 线 ，在一条割 线 上从 这 点到两个交点的 线 段 长 的 _____，等于另一条割 线 上 对应线 段 长 的 ____。如 图 (2)，PAB和 PCD是 ⊙O的两条割 线 ， 则 PA·PB＝ ___________。比例中 项PA·PB图 (1) 图 (2) 积 积PC·PD(2) 相交弦定理： 圆 内的两条相交弦，被交点分成的两条 线 段 长 的 积_____。如 图 ， 圆 的两条弦 AB， CD相交于 圆 内一点 P， 则 PA·PB＝__________。相等PC·PD4． 圆 内接四 边 形(1)圆 内接四 边 形的性 质 定理及推 论定理： 圆 内接四 边 形的 对 角 _______。推 论 ： 圆 内接四 边 形的任何一个外角都等于它的 _________。(2)四点共 圆 的判定定理及推 论定理：如果一个四 边 形的 _____________，那么 这 个四 边 形四个 顶点共 圆 。推 论 ：如果四 边 形的一个外角等于其 ________，那么 这 个四 边 形的四个 顶 点共 圆 。(3)托勒密定理圆 内接四 边 形的两 对边 乘 积 之和等于两条 对 角 线 的 _______。互 补内 对 角内 对 角互 补内 对 角乘 积[练 一 练 ] 1．如 图 ， CD是 ⊙O的直径， AE切圆 O于点 B，连接 DB，若 ∠ CDB＝ 20°， 则 ∠ DBE＝ ________。解析 连接 CB。因为 CD为圆的直径，则 ∠ CBD＝ 90°，又因为 ∠ CDB＝ 20°，所以 ∠ DCB＝ 70°。又因为 AE为圆的切线，所以 ∠ DBE＝ 70°。70°2．如 图 ， △ ABC中， ∠ C＝ 90°， AB＝ 10， AC＝ 6，以 AC为 直径的圆 与斜 边 交于点 P， 则 BP长为 ________。解析 连接 CP。由推论 2知 ∠ CPA＝ 90°，即 CP⊥ AB，由射影定理知， AC2＝ AP·AB。 ∴ AP＝ 3.6。 ∴ BP＝ AB－ AP＝ 6.4。1题图 2题图 6.4 3.从 圆 外一点 P向 圆 O所引的一条切 线为 PA(切点 为 A)， 连 接 PO并延长 交 圆 O于点 C， B，若 PA＝， PB＝ 3， 则圆 O的周 长为 ________。解析 由切割线定理，得 PA2＝ PC·PB。所以 PC＝ 1。从而 BC＝ 2，圆 O的半径 R＝ 1，周长为 2πR＝2π。3题图2π 4．如 图 ， AB、 AC是 ⊙O的两条切 线 ，切点分 别为 B、 C， D是 优 弧上的点，已知 ∠ BAC＝ 80°，那么 ∠ BDC＝ ________。解析 连接 OB、 OC，则 OB⊥ AB， OC⊥ AC，∴∠ BOC＝ 180°－ ∠ BAC＝ 100°。∴∠ BDC＝ ∠ BOC＝ 50°。50° 4题图 5．如 图 ， △ ABC中， BC＝ 6，以 BC为 直径的半 圆 分 别 交 AB， AC于点 E， F若 AC＝ 2AE， 则 EF＝ ________。3 5题图 R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 如 图 所示， ⊙O的直径 为 6， AB为 ⊙O的直径， C为圆 周上一点， BC＝ 3， 过 点 C作 圆 的切 线 l， 过 点 A作 l的垂 线 AD， AD分 别 与直 线 l、圆 交于 D、 E。考点一 圆 周角、弦切角及 圆 的切 线问题(1)求 ∠ DAC的度数；【 解 】 由已知 △ ADC是直角三角形，易知 ∠ CAB＝ 30°，由于直线 l与 ⊙O相切，由弦切角定理知 ∠ BCF＝ 30°，由 ∠ DCA＋∠ ACB＋ ∠ BCF＝ 180°，又 ∠ ACB＝ 90°，知 ∠ DCA＝60°，故在 Rt△ ADC中， ∠ DAC＝ 30°。(2)求 线 段 AE的 长 。 【 解 】 解法一：连接 BE，如图 (1)所示， ∠ EAB＝ 60°＝ ∠ CBA，则 Rt△ ABE≌△ Rt△ BAC，所以 AE＝ BC＝ 3。图 (1) 图 (2) 解法二：连接 EC， OC，如图 (2)所示，则由弦切角定理知， ∠ DCE＝ ∠ CAE＝ 30°，又 ∠ DCA＝ 60°，故 ∠ ECA＝ 30°，又因为 ∠ CAB＝ 30°，故 ∠ ECA＝ ∠ CAB，从而 EC∥ AO，由 OC⊥ l， AD⊥ l，可得 OC∥ AE，故四边形 AOCE是平行四边形，又因为 OA＝ OC，故四边形 AOCE是菱形，故 AE＝ AO＝ 3。【 规 律方法 】 (1)圆 周角定理及其推 论 与弦切角定理及其推 论 多用于推出角的关系，从而 证 明三角形全等或相似，可求 线 段或角的大小。(2)涉及 圆 的切 线问题时 要注意弦切角的 转 化；关于 圆 周上的点，常作直径 (或半径 )或向弦 (弧 )两端画 圆 周角或作弦切角。变 式 训练 1 如 图 ，已知 圆 上的弧＝， 过 C点的 圆 的切 线 与 BA的延 长线 交于 E点。求 证 ：(1)∠ ACE＝ ∠ BCD；(2)BC2＝ BE·CD。 【 例 2】 (2015·银 川一中月考 )如 图 ，已知 AP是 ⊙O的切 线 ， P为 切点， AC是 ⊙O的割 线 ，与 ⊙O交于 B、 C两点， 圆 心 O在 ∠ PAC的内部，点 M是BC的中点。(1)证 明： A、 P、 O、 M四点共 圆 ；考点二 圆 内接四 边 形的性 质 及判定【 解 】 证明：连接 OP， OM，因为 AP与 ⊙O相切于点 P，所以OP⊥ AP。因为 M是 ⊙O的弦 BC的中点，所以 OM⊥ BC，于是 ∠ OPA＋ ∠ OMA＝ 180°。由圆心 O在 ∠ PAC的内部，可知四边形 APOM的对角互补，所以 A、 P、 O、M四点共圆。(2)求 ∠ OAM＋ ∠ APM的大小。【 解 】 由 (1)得 A、 P、 O、 M四点共圆，所以 ∠ OAM＝ ∠ OPM。由 (1)得 OP⊥ AP，因为圆心 O在 ∠ PAC的内部，所以 ∠ OPM＋ ∠ APM＝ 90°。所以 ∠ OAM＋ ∠ APM＝ 90°。【 规 律方法 】 证 明四点共 圆 的常用方法(1)利用 圆 内接四 边 形的判定定理， 证 明四点 组 成的四 边 形的 对 角互补 ；(2)证 明它的一个外角等于它的内 对 角；(3)证 明四点到同一点的距离相等。 变 式 训练 2 如 图 ， AB是 ⊙O的直径， G是 AB延 长线 上的一点， GCD是 ⊙O的割 线 ， 过 点 G作 AG的垂 线 ，交直 线 AC于点 E，交直 线 AD于点 F，过 点 G作 ⊙O的切 线 ，切点 为 H。(1)求 证 ： C， D， E， F四点共 圆 ；解 证 明： 连接 DB，∵ AB是 ⊙O的直径，∴∠ ADB＝ 90°，在 Rt△ ABD与 Rt△ AFG中， ∠ ABD＝ ∠ AFE，又 ∠ ABD＝ ∠ ACD，∴∠ ACD＝ ∠ AFE， ∴ C， D， E， F四点共圆。(2)若 GH＝ 6， GE＝ 4，求 EF的 长 。【 例 3】 如 图 ， P是 ⊙O外一点， PA是切 线 ， A为 切点，割 线 PBC与⊙O相交于点 B， C， PC＝ 2PA， D为 PC的中点， AD的延 长线 交 ⊙O于点 E。 证 明：(1)BE＝ EC；考点三 与 圆 有关的比例 线 段(2)AD·DE＝ 2PB2。 【 证 明 】由切割线定理得 PA2＝ PB·PC。因为 PA＝ PD＝ DC，所以 DC＝ 2PB， BD＝ PB。由相交弦定理得 AD·DE＝ BD·DC，所以 AD·DE＝ 2PB2。【 规 律方法 】 与 圆 有关的比例 线 段 问题 的常 见类 型及解 题 策略(1)证 明比例 线 段 (或 线 段乘 积 )。利用相交弦定理或切割 线 定理 证 明。(2)求 线 段的 长 度。可依 题 已知条件、相交弦定理或切割 线 定理找到比例 线 段， 进 而求 线 段 长 度。(3)证 明三角形相似。可依 题设 及相交弦定理、切割 线 定理找到三角形相似的条件即可 证 明。(1)证 明： DF·EF＝ OF·FP；选 修 4－ 1 几何 证 明 选讲 第一 节 全等与相似基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.了解平行 线 分 线 段成比例定理与三角形内角平分 线 定理； 2.掌握相似三角形的判定定理及性 质 定理； 3.会 证 明并 应 用直角三角形射影定理。J 基 础 知 识 自主学 习1． 图 形 变 化的不 变 性与平移、旋 转 、反射(1)图 形 变 化的不 变 性① 图 形在 变 化 过 程中，有些性 质 改 变 了，有些性 质 仍然保持 ______。② 常 见 的 图 形 变 化，如平移、 _______、 _________、相似 (包括位似 )。(2)平移、旋 转 、反射① 平移 变换 ： 图 形的 _______过 程称 为 平移 变换 。② 旋 转变换 ： 图 形的 ______过 程称 为 旋 转变换 。不 变旋 转 轴对 称平移旋 转③ 反射 变换 ：一个 图 形 F绕 一条直 线 l翻 转 _______得到另外一个 图 形F′， 则 F与 F′关于 l_______， 这 种 图 形的 变 化 过 程称 为 反射 变换 ，直 线 l称为 反射 轴 。④ 平移 变换 、旋 转变换 、反射 变换 的性 质一个 图 形通 过 平移 变换 、旋 转变换 、反射 变换变为 另外一个 图 形，其 对应线 段的 长 度 _______， 对应 角的大小 _______。因此， 变换 前后两个 图 形是 ______的，但 图 形的位置可能 发 生改 变 。 180°对 称不 变 不 变全等2． 相似与位似(1)相似 变换 ：两个 图 形的形状相同，但大小不同， 这 两个 图 形是__________。把一个 图 形按一定比例 ______或 ______， 这 种 图 形的 变 化过 程称 为 相似 变换 。(2)位似 变换 ：把一个 图 形 变为 它的 _______图 形， 这 种 图 形的 变 化过 程称 为 位似 变换 。(3)相似与位似 变换 的性 质一个 图 形通 过 相似 变换 (或位似 变换 )变为 另外一个 图 形，其形状______， 对应 角的大小 ________，但 图 形的 ________发 生了改 变 。位似 变换 是一种特殊的 ______变换 。相似 图 形 放大 缩 小位似不 变 不 变 位置相似3． 平行 线 分 线 段成比例定理(1)平行 线 分 线 段成比例定理：三条平行 线 截两条直 线 ，截得的 对应线 段 _________。(2)推 论 ：平行于三角形一 边 的直 线 截其他两 边 (或两 边 的延 长线 )，截得的 对应线 段 ________。(3)三角形内角平分 线 定理：三角形的内角平分 线 分 对边 所得的两条线 段与 这 个角的两 边 ______________。4． 直角三角形的射影定理直角三角形的每一条直角 边 是它在斜 边 上的射影与斜 边 的 _________，斜 边 上的高是两条直角 边 在斜 边 上射影的 ______________。成比例成比例对应 成比例比例中 项比例中 项解析 由平行线分线段成比例定理可直接得到答案。2．如 图 ， DE∥ BC， DF∥ AC， AD＝ 4 cm， BD＝ 8 cm， DE＝ 5 cm， 则线 段 BF的 长为 ________。10 cm3．如 图 ，在 Rt△ ABC中， ∠ CAB＝ 90°， AD⊥ BC于点 D， AB∶AC＝3∶2， 则 CD∶BD＝ ________。4∶94．如 图 ， E是 ▱ABCD的 边 AB延 长线 上的一点，且 DC∶BE＝ 3∶2， 则AD∶BF＝ ________。5∶2 3 R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 如 图 ，在梯形 ABCD中， AD∥ BC， BD与 AC相交于点 O，过 点 O的直 线 分 别 交 AB， CD于 E， F，且 EF∥ BC，若 AD＝ 12， BC＝ 20，求 EF。考点一 平行 线 分 线 段成比例定理【 规 律方法 】 (1)利用平行 线 分 线 段成比例定理来 计 算或 证 明，首先要 观 察平行 线组 ，再确定所截直 线 ， 进 而确定比例 线 段及比例式，同时 注意合比性 质 、等比性 质 的运用。(2)平行 线 分 线 段成比例定理及推 论 是 证 明两条 线 段相等的重要依据，特 别 是在 应 用推 论时 ，一定要明确哪一条 线 段平行于三角形的一 边 ，是否 过 一 边 的中点。变 式 训练 1 如 图 所示，在 △ ABC中， DE∥ BC， EF∥ CD，若 BC＝ 3， DE＝ 2， DF＝ 1，求AB的 长 。【 例 2】 如 图 ，已知在 △ ABC中， D是 BC边 的中点，且 AD＝ AC， DE⊥ BC，DE与 AB相交于点 E， EC与 AD相交于点 F。(1)求证： △ ABC∽△ FCD；【 解 】 证明：因为 DE⊥ BC， D是 BC的中点，所以 EB＝ EC，所以 ∠ B＝ ∠ BCE。又因为 AD＝AC，所以 ∠ ADC＝ ∠ ACB。所以 △ ABC∽△ FCD。 考点二 相似三角形的判定与性 质(2)若 S△ FCD＝ 5， BC＝ 10，求 DE的 长 。【 解 】 如图，过点 A作 AM⊥ BC，垂足为点 M。【 规 律方法 】 (1)判定两个三角形相似要注意 结 合 图 形性 质 灵活 选择 判定定理，特 别 要注意 对应 角和 对应边 。 证 明 线 段乘 积 相等的 问题 一般 转 化 为 有关 线 段成比例 问题 。(2)相似三角形的性 质 可用来 证 明 线 段成比例、角相等；可 间 接 证 明线 段相等。变 式 训练 2 如 图 ， AB与 CD相交于点 E， 过 点 E作 BC的平行 线 与 AD的延 长线 交于点 P，已知 ∠ A＝ ∠ C， PD＝ 2DA＝ 2， 则 PE＝ ________。考点三 直角三角形射影定理及其 应 用 【 规 律方法 】 巧用射影定理解 题已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜 边 上的高 时 ， 应 首先考 虑 射影定理，注意射影定理与斜 边 的 对应 法 则 ，根据 题 目中的 结论 分析并 选择 射影定理中的等式，并分清比例中 项 。变 式 训练 3 如 图 所示，在 △ ABC中， AD⊥ BC于点 D， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F。求 证 ： AE·AB＝ AF·AC。证 明 ∵ AD⊥ BC， ∴△ ADB为直角三角形，又 ∵ DE⊥ AB，由射影定理知， AD2＝ AE·AB。同理可得 AD2＝ AF·AC，∴ AE·AB＝ AF·AC。S 思想方法 感悟提升⊙2个注意点 —— 运用平行 线 分 线 段成比例定理的注意点(1)平行 线 等分 线 段定理是平行 线 分 线 段成比例定理的特例，在运用平行 线 分 线 段成比例定理 时 要注意平行 线 的不同位置，以及在三角形与四边 形中的灵活 应 用。(2)证 明 线 段成比例，若已知条件中没有平行 线 ，但有三角形相似的条件 (如角相等，有相等的比例式等 )，常考 虑 相似三角形的性 质 构造比例或利用中 间 比求解。⊙1个技巧 —— 等 积 式 证 明方法证 明等 积 式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同 侧 四个字母构造三角形， 证 此两三角形相似，不能构成三角形或三角形不相似需 转 化。1计时双基练七十四 全等与相似 1．(2016·牡丹江模拟)如图，正三角形 ABC 中， D， E 分别在 AC， AB 上，＝ ， AE＝ BE，则有( )ADAC 13A．△ AED∽△ BEDB．△ AED∽△ CBDC．△ AED∽△ ABDD．△ BAD∽△ BCD解析 在正三角形 ABC 中， ＝ ， AE＝ BE，ADAC 13在△ AED 与△ CBD 中，∠ A＝∠ C， ＝ ＝ ，CDAD BCAE 21故△ AED∽△ CBD。答案 B2．在平行四边形 ABCD 中， E 为 CD 上一点， DE∶ EC＝2∶3，连接 AE， BE， BD，且AE， BD 交于点 F，则 S△ DEF∶ S△ EBF∶ S△ ABF＝( )A．4∶10∶25 B．4∶9∶25C．2∶3∶5 D．2∶5∶25解析 由已知易得△ DEF∽△ BAF，且相似比为 2∶5，故 S△ DEF∶ S△ ABF＝4∶25。而△ BED 与△ BEA 有同底 BE，高之比为 2∶5，故 S△ BED∶ S△ BEA＝2∶5，即( S△ DEF＋ S△ BEF)∶( S△ ABF＋ S△ BEF)＝2∶5，由比例的性质可得： S△ DEF∶ S△ EBF∶ S△ ABF＝4∶10∶25。故选 A。答案 A3．如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 中点， F 是 AD 上一点，且 AF＝ AD， EG⊥ CF 于14G，则下列式子中不成立的是( )2A． EF·EC＝ EG·FC B． EC2＝ CG·GFC． AE2＋ AF2＝ FG·FC D． EG2＝ GF·GC解析 由题意，正方形 ABCD 中，E 是 AB 中点， F 是 AD 上一点，且 AF＝ AD，所以△ AEF∽△ BCE，14所以∠ AEF＝∠ BCE，所以∠ FEC＝90°，因为 EG⊥ CF，所以 EF·EC＝ EG·FC， AE2＋ AF2＝ EF2＝ FG·FC， EG2＝ GF·GC，即 A，C，D 正确，故选 B。答案 B4．(2015·湖北卷)如图， PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的割线，且 BC＝3 PB，则 ＝________。ABAC解析 由题意易知△ PBA∽△ PAC，则得 ＝ ＝ 。PBPA PAPC ABAC所以 PA2＝ PB·PC，又 BC＝3 PB，所以 PA2＝4 PB2，即 PA＝2 PB，故 ＝ ＝ 。ABAC PBPA 12答案 125．(2016·茂名模拟)如图，已知 AB∥ EF∥ CD，若 AB＝4， CD＝12，则EF＝________。解析 ∵ AB∥ CD∥ EF，∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ， ＝ ，ABEF BCCF BCBF CDEF 4EF BCBC－ BF BCBF 12EF3∴4( BC－ BF)＝12 BF，∴ BC＝4 BF，∴ ＝4＝ ，BCBF 12EF∴ EF＝3。答案 36．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB 于点 D， AD＝4，sin ∠ ACD＝ ，则45CD＝________， BC＝________。解析 在 Rt△ ADC 中， AD＝4，sin ∠ ACD＝ ＝ ，得 AC＝5， CD＝ ＝3，ADAC 45 AC2－ AD2又由射影定理 AC2＝ AD·AB，得 AB＝ ＝ 。AC2AD 254∴ BD＝ AB－ AD＝ －4＝ ，254 94由射影定理 BC2＝ BD·AB＝ × ，∴ BC＝ 。94 254 154答案 3 1547.如图，在四边形 ABCD 中， EF∥ BC， FG∥ AD，求 ＋ 的值。EFBC FGAD解 由平行线分线段成比例定理得＝ ， ＝ ，EFBC AFAC FGAD FCAC故 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1。EFBC FGAD AFAC FCAC ACAC8.如图所示，在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上任意一点， CF 交 AD 于点E。求证： AE·BF＝2 DE·AF。4证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M，交 FC 于点 N。在△ BCF 中， D 是 BC 的中点， DN∥ BF，∴ DN＝ BF。12∵ DN∥ AF，∴△ AFE∽△ DNE，∴ ＝ 。AEAF DEDN又 DN＝ BF，∴ ＝ ，12 AEAF 2DEBF即 AE·BF＝2 DE·AF。9. (2016·南阳模拟)如图，△ ABC 中， AB＝ AC，∠ BAC＝90°， AE＝ AC， BD＝ AB，13 13点 F 在 BC 上，且 CF＝ BC。求证：13(1)EF⊥ BC；(2)∠ ADE＝∠ EBC。证明 设 AB＝ AC＝3 a，则 AE＝ BD＝ a， CF＝ a。2(1) ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。CECB 2a32a 23 CFCA 2a3a 23又∠ C 为公共角，故△ BAC∽△ EFC，由∠ BAC＝90°，∴∠ EFC＝90°，∴ EF⊥ BC。(2)由(1)得 EF＝ a，故 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，2AEEF a2a 22 ADFB 2a22a 22∴ ＝ ，∵∠ DAE＝∠ BFE＝90°，AEEF ADFB∴△ ADE∽△ FBE，∴∠ ADE＝∠ EBC。10. (2016·哈尔滨模拟)如图，已知在△ ABC 中，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC， E 是 AC 的中5点， ED 交 AB 的延长线于 F。求证： ＝ 。ABAC DFAF证明 ∵∠ BAC＝90°， AD⊥ BC，∴∠ ADB＝∠ ADC＝∠ BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠ C＝90°。∴∠1＝∠ C。∴△ ABD∽△ CAD，∴ ＝ 。ABAC BDAD又∵ E 是 AC 的中点，∴ DE＝ EC，∴∠3＝∠ C。又∵∠3＝∠4，∠1＝∠ C，∴∠1＝∠4。又∠ F＝∠ F，△ FBD∽△ FDA，∴ ＝ ，∴ ＝ 。BDAD DFAF ABAC DFAF1计时双基练七十五 圆与直线、圆与四边形 1．(2015·天津卷)如图，在圆 O 中， M， N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD， CE 分别经过点 M， N。若 CM＝2， MD＝4， CN＝3，则线段 NE 的长为( )A. B．383C. D.103 52解析 由相交弦定理，得Error!因为 M， N 是弦 AB 的三等分点，所以 AM＝ MN＝ NB， MB＝ AN。所以 AM·MB＝ AN·NB。所以 CM·MD＝ CN·NE，即 2×4＝3· NE，解得 NE＝83答案 A2．(2016·宿州模拟)如图， A， B， C， D 是⊙ O 上的四个点，过点 B 的切线与 DC 的延长线交于点 E，若∠ BCD＝110°，则∠ DBE＝( )A．75° B．70°C．60° D．55°解析 因为 A， B， C， D 是⊙ O 上的四个点，所以∠ A＋∠ BCD＝180°，因为∠ BCD＝110°，所以∠ A＝70°，因为 BE 与⊙ O 相切于点 B，所以∠ DBE＝∠ A＝70°。答案 B23.如图，△ ABC 是圆的内接三角形，∠ BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于点 E，过点 B的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F。在上述条件下，给出下列四个结论：① BD 平分∠ CBF；② FB2＝ FD·FA；③ AE·CE＝ BE·DE；④ AF·BD＝ AB·BF。则所有正确结论的序号是( )A．①② B．③④C．①②③ D．①②④解析 由弦切角定理知∠ FBD＝∠ BAD，∵ AD 平分∠ BAC，∠ CBD＝∠ CAD，∴∠ BAD＝∠ DBC。∴∠ FBD＝∠ CBD，即 BD 平分∠ CBF，∴①正确；由切割线定理知，∴②正确；由相交弦定理知， AE·ED＝ BE·EC，∴③不正确；∵△ ABF∽△ BDF，∴ ＝ 。ABBD AFBF∴ AF·BD＝ AB·BF，∴④正确。故选 D。答案 D4.如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P。若PB＝1， PD＝3，则 的值为________。BCAD解析 ∵ ABCD 为圆内接四边形，∴∠ PBC＝∠ ADP，又∠ P＝∠ P，∴△ BCP∽△ DAP，∴＝ ＝ 。BCAD PBPD 13答案 135．(2015·重庆卷)如图，圆 O 的弦 AB， CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA＝6， AE＝9， PC＝3， CE∶ ED＝2∶1，则 BE＝________。3解析 因为 PA 是圆的切线，所以有 PA2＝ PC·PD，于是 PD＝ ＝ ＝12，因此 CD＝ PD－ PC＝9。PA2PC 623又因为 CE∶ ED＝2∶1，所以 CE＝6， ED＝3。又由相交弦定理可得 AE·BE＝ CE·ED，所以 BE＝ ＝2。6×39答案 26．(2015·广东卷)如图，已知 AB 是圆 O 的直径， AB＝4， EC 是圆 O 的切线，切点为C， BC＝1，过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD＝________。解析 设 OD 交劣弧 于点 M，由 OP∥ BC，得 OP＝ ， P 为 AC 的中点， PM＝ 。AC12 32由切割线定理得 DC2＝ DM·(DM＋4)。①在△ ABC 中， AC 为直角边，且 AC＝ ＝ ＝ ，所以 CP＝ 。AB2－ BC2 42－ 12 15152在 Rt△ DCP 中， DC2＝( DM＋ PM)2＋ CP2，②联立①②可求得 DM＝6，所以 OD＝8。答案 87．(2015·陕西卷)如图， AB 切⊙ O 于点 B，直线 AO 交⊙ O 于 D， E 两点， BC⊥ DE，垂足为 C。(1)证明：∠ CBD＝∠ DBA；(2)若 AD＝3 DC， BC＝ ，求⊙ O 的直径。2解 (1)证明：因为 DE 为⊙ O 直径，4则∠ BED＋∠ EDB＝90°。又 BC⊥ DE，所以∠ CBD＋∠ EDB＝90°，从而∠ CBD＝∠ BED。又 AB 切⊙ O 于点 B，得∠ DBA＝∠ BED，所以∠ CBD＝∠ DBA。(2)由(1)知 BD 平分∠ CBA，则 ＝ ＝3，BABC ADCD又 BC＝ ，从而 AB＝3 。2 2所以 AC＝ ＝4，所以 AD＝3。AB2－ BC2由切割线定理得 AB2＝ AD·AE，即 AE＝ ＝6，AB2AD故 DE＝ AE－ AD＝3，即⊙ O 直径为 3。8．(2015·湖南卷)如图，在⊙ O 中，相交于点 E 的两弦 AB， CD 的中点分别是 M， N。直线 MO 与直线 CD 相交于点 F。证明：(1)∠ MEN＋∠ NOM＝180°；(2)FE·FN＝ FM·FO。证明 (1)如图所示，因为 M， N 分别是弦 AB， CD 的中点，所以 OM⊥ AB， ON⊥ CD，即∠ OME＝90°，∠ ENO＝90°，因此∠ OME＋∠ ENO＝180°。又四边形的内角和等于 360°，故∠ MEN＋∠ NOM＝180°。(2)由(1)知， O， M， E， N 四点共圆，故由割线定理即得 FE·FN＝ FM·FO。9. (2015·课标全国Ⅰ卷)如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是⊙ O 的切线， BC 交⊙ O 于点E。(1)若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是⊙ O 的切线；5(2)若 OA＝ CE，求∠ ACB 的大小。3解 (1)证明：连接 AE，由已知得， AE⊥ BC， AC⊥ AB。在 Rt△ AEC 中，由已知得， DE＝ DC，故∠ DEC＝∠ DCE。连接 OE，则∠ OBE＝∠ OEB。又∠ ACB＋∠ ABC＝90°，所以∠ DEC＋∠ OEB＝90°，故∠ OED＝90°， DE 是⊙ O 的切线。(2)设 CE＝1， AE＝ x，由已知得 AB＝2 ， BE＝ 。3 12－ x2由射影定理可得， AE2＝ CE·BE，所以 x2＝ ，即 x4＋ x2－12＝0。12－ x2可得 x＝ ，所以∠ ACB＝60°。310. (2015·课标全国Ⅱ卷)如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，⊙ O 与△ ABC 的底边 BC交于 M， N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E， F 两点。(1)证明： EF∥ BC；(2)若 AG 等于⊙ O 的半径，且 AE＝ MN＝2 ，求四边形 EBCF 的面积。3解 (1)证明：由于△ ABC 是等腰三角形， AD⊥ BC，所以 AD 是∠ CAB 的平分线。又因为⊙ O 分别与 AB， AC 相切于点 E， F，所以 AE＝ AF，故 AD⊥ EF。从而 EF∥ BC。(2)由(1)知， AE＝ AF， AD⊥ EF，6故 AD 是 EF 的垂直平分线。又 EF 为⊙ O 的弦，所以 O 在 AD 上。连接 OE， OM，则 OE⊥ AE。由 AG 等于⊙ O 的半径得 AO＝2 OE，所以∠ OAE＝30°。因此△ ABC 和△ AEF 都是等边三角形，因为 AE＝2 ，3所以 AO＝4， OE＝2。因为 OM＝ OE＝2， DM＝ MN＝ ，12 3所以 OD＝1。于是 AD＝5， AB＝ 。所以四边形 EBCF 的面积为10 33× 2× － ×(2 )2× ＝ 。12 (10 33 ) 32 12 3 32 16 33