2017届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 文（学案+单元检测）（打包12套）北师大版.zip

1课时 45 直线及其方程（课前预习案）班级： 姓名： 一、高考考纲要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．二、高考考点回顾1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线 与 x轴相交时，我们取 x轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角 α 叫做直线 的倾斜角．当直线 与 x轴平行或重合时，规定l ll它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为______________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角 α 的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即 k＝________，倾斜角是 90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2) (x1≠x 2)的直线的斜率公式为k＝______________________.2．直线的方向向量经过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的直线的一个方向向量为 ，其坐标为P1P2→ ________________，当斜率 k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．3．直线的方程和方程的直线已知二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B 2≠0)和坐标平面上的直线 ，如果直线 上任ll意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程 Ax＋By＋C＝0 的任意一个解作为坐标的点都在__________，就称直线 l是方程 Ax＋By＋C＝0 的直线，称方程 Ax＋By＋C＝0是直线 的方程．l4．直线方程的五种基本形式名称 方程 适用范围点斜式 不含垂直于 x轴的直线斜截式 不含垂直于 x轴的直线2两点式 不含垂直于坐标轴的直线截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点 P1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段 P1P2的中点 M的坐标为(x，y)，则Error! 此公式为线段 P1P2的中点坐标公式．三、课前检测1．若 A(－2,3)，B(3，－2)，C 三点共线，则 m的值为( )(12， m)A. B．－ C．－2 D．212 122．直线 与两条直线 x－y－7＝0，y＝1 分别交于 P、Q 两点，线段 PQ的中点为l(1，－1)，则直线 的斜率为( )lA．－ B. C. D．－32 32 23 233．下列四个命题中，假命题是( )A．经过定点 P(x0，y 0)的直线不一定都可以用方程 y－y 0＝k(x－x 0)表示B．经过两个不同的点 P1(x1，y 1)、P 2(x2，y 2)的直线都可以用方程(y－y 1)(x2－x 1)＝(x－x 1)(y2－y 1)来表示C．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程 ＋ ＝1 表示xa ybD．经过点 Q(0，b)的直线都可以表示为 y＝kx＋b4．如果 A·C0，13 34∴0°0，故直线 的斜率为 .l13【变式 1】 【答案】 D【解析】[直线 xsin α－y＋1＝0 的斜率是 k＝ sin α，又∵－1≤ sin α≤1，∴－1≤k≤1.当 0≤k≤1 时，倾斜角的范围是 ，[0，π4]当－1≤k2，b1)，xa yb由已知可得 ＋ ＝1.2a 1b(1)∵2 ≤ ＋ ＝1，∴ab≥8.2a·1b 2a 1b∴S △AOB ＝ ab≥4.12当且仅当 ＝ ＝ ，2a 1b 12即 a＝4，b＝2 时，S △AOB 取最小值 4，此时直线 的方程为 ＋ ＝1，lx4 y2即 x＋2y－4＝0.(2)由 ＋ ＝1，得 ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，2a 1b|PA|·|PB|＝ · 2－ a 2＋  1－ 0 2  2－ 0 2＋  1－ b 2＝ [ 2－ a 2＋ 1]·[ 1－ b 2＋ 4]≥ .2 a－ 2 ·4 b－ 1当且仅当 a－2＝1，b－1＝2，即 a＝3，b＝3 时，|PA|·|PB|取最小值 4.此时直线 的方程为 x＋y－3＝0.l【变式 3】如图所示建立直角坐标系，则 E(30,0)，F(0,20)，10∴线段 EF的方程为 ＋ ＝1(0≤x≤30)．x30 y20在线段 EF上取点 P(m，n)，作 PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥CD 于点 R，设矩形 PQCR的面积为 S，则 S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．又 ＋ ＝1(0≤m≤30)，m30 n20∴n＝20(1－ )．m30∴S＝(100－m)(80－20＋ m)23＝－ (m－5) 2＋ (0≤m≤30)．23 18 0503∴当 m＝5 时，S 有最大值，这时 ＝ ＝5.|EP||PF| 30－ 55所以当矩形草坪的两边在 BC、CD 上，一个顶点在线段 EF上，且这个顶点分 EF成5∶1 时，草坪面积最大．【当堂检测】1． 【答案】C【解析】α 必为钝角，且 sinα 的绝对值大，故选 C.2． 【答案】B【解析】由 ，1(3)244yy得： y＋2＝tan ＝－1.∴ y＝－3.3π43.【答案】B【解析】因为直线 的斜率为 ，且过点 ，故其方程为 .PQ12(,2)250xy4． 【答案】D【解析】令 x=1,y＝0 则(2 m2＋ m－3)＝4 m－1，∴ m＝2 或－ .121． B2.B3.B4.C5.D116．－27.[ π ， π )341.【答案】C【解析】如图，过点 M作 y轴的平行线与线段 PQ相交于点 N.kMP＝5，k MQ＝－ .25故直线 的斜率范围是(－∞，－ ]∪[5，＋∞)．]l252．(1)证明 直线 的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，l令Error! ，解之得Error! ，∴无论 k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当 k≠0 时直线在 x轴上的截距为－ ，1＋ 2kk在 y轴上的截距为 1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有Error!，解之得 k0；当 k＝0 时，直线为 y＝1，符合题意，故 k≥0.(3)解 由 的方程，得 A ，l(－1＋ 2kk ， 0)B(0,1＋2k)．依题意得Error!解得 k0.∵S＝ ·|OA|·|OB|12＝ · ·|1＋2k|12 |1＋ 2kk |＝ · ＝ ≥ ×(2×2＋4)＝4，12  1＋ 2k 2k 12(4k＋ 1k＋ 4) 12“＝”成立的条件是 k0且 4k＝ ，1k即 k＝ ，12∴S min＝4，此时 ：x－2y＋4＝0.l1课时 46 直线与直线的位置关系（课前预习案）班级： 姓名： 一、高考考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．二、高考考点回顾1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线 l1： y＝ k1x＋ b1， l2： y＝ k2x＋ b2，l1∥ l2⇔________________________.对于直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0， l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0( A2B2C2≠0)，l1∥ l2⇔________________________.(2)两直线垂直对于直线 l1： y＝ k1x＋ b1， l2： y＝ k2x＋ b2，l1⊥ l2⇔k1·k2＝____.对于直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0， l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0，l1⊥ l2⇔A1A2＋ B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0， l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是 l1和 l2的________，因此，l1、 l2是否有交点，就看 l1、 l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点 P(x0， y0)到一条直线 l： Ax＋ By＋ C＝0 的距离d＝________________________.(3)两平行线间的距离已知 l1、 l2是平行线，求 l1、 l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设 l1： Ax＋ By＋ C1＝0， l2： Ax＋ By＋ C2＝0，则 l1与 l2之间的距离2d＝________________.三、课前检测1．若点 P(a,3)到直线 4x－3 y＋1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋ y－30)；l2：－4 x＋2 y＋1＝0； l3： x＋ y－1＝0.且 l1与 l2的距离是 .7510(1)求 a 的值；(2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件：①点 P 在第一象限；②点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的 ；12③点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 ∶ .2 5若能，求点 P 的坐标；若不能，说明理由．【变式 3】已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1： x＋ y＋1＝0， l2： x＋ y＋6＝0 截得的线段长为 5，求直线 l 的方程．5【当堂检测】1． “m＝2”是“直线 2x＋ my＝0 与直线 x＋ y＝1 平行”的( )．A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．与直线 3x－4 y＋5＝0 关于 x 轴对称的直线方程为( )．A．3 x＋4 y＋5＝0 B．3 x＋4 y－5＝0C．－3 x＋4 y－5＝0 D．－3 x＋4 y＋5＝03．过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )．A． x＋2 y－5＝0 B．2 x＋ y－4＝0C． x＋3 y－7＝0 D．3 x＋ y－5＝04. 已知点 A(1，－2)， B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x＋2 y－2＝0，则实数 m的值是( )．A．－2 B．－7 C．3 D．15．若直线 ax－2 y＋2＝0 与直线 x＋( a－3) y＋1＝0 平行，则实数 a 的值为________．6.若直线 x－2y＋5＝0 与直线 2x＋my－6＝0 互相垂直，则实数 m＝________.6课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30 分钟1．直线 3x＋2 y＋4＝0 与 2x－3 y＋4＝0( )A．平行 B．垂直C．重合 D．关于直线 y＝－ x 对称2．若直线 x＋ ay－ a＝0 与直线 ax－(2 a－3) y－1＝0 互相垂直，则 a 的值是( )A．2 B．－3 或 1 C．2 或 0 D．1 或 03．已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l1经过点 A(3,2)、 B(a，－1)，且 l1与 l 垂直，3π4直线 l2：2 x＋ by＋1＝0 与直线 l1平行，则 a＋ b 等于( )A．－4 B．－2 C．0 D．24． P 点在直线 3x＋ y－5＝0 上，且点 P 到直线 x－ y－1＝0 的距离为 ，则 P 点坐标2为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)5．设两条直线的方程分别为 x＋ y＋ a＝0， x＋ y＋ b＝0，已知 a、 b 是方程x2＋ x＋ c＝0 的两个实根，且 0≤ c≤ ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是18( )7A. ， B. ，24 12 2 22C. ， D. ，212 22 126．直线 l1： x＋ my＋6＝0 和 l2：3 x－3 y＋2＝0，若 l1∥ l2，则 m 的值为______．7．设直线 l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线 l 的距离最大时，直线 l 的方程为______________．8.k 为何值时，直线 l1： y＝ kx＋3 k－2 与直线 l2： x＋4 y－4＝0 的交点在第一象限．1．若直线 m 被两平行线 l1： x－ y＋1＝0 与 l2： x－ y＋3＝0 所截得的线段的长为2 ，则 m 的倾斜角可以是2①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________．2．过点 P(3,0)作一直线，使它夹在两直线 l1：2 x－ y－2＝0 与 l2： x＋ y＋3＝0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程．8参考答案课前检测1．D2.B3.A4.C5. 5【典例 1】 (1)由已知可得 l2的斜率必存在，且 k2＝1－a.若 k2＝0，则 a＝1.由 l1⊥l 2，l 1的斜率不存在，∴b＝0.又 l1过(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即 k2≠0.若 k2≠0，即 k1＝ ，k 2＝1－a.ab由 l1⊥l 2，得 k1k2＝ (1－a)＝－1.ab由 l1过(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0，解之得 a＝2，b＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴l 1的斜率存在，9∴k 1＝k 2，即 ＝1－a.ab又原点到两直线的距离相等，且 l1∥l 2，∴l 1、l 2在 y 轴上的截距互为相反数，即 ＝b.4b解之得Error! 或Error!∴a、b 的值为 2 和－2 或 和 2.23【变式 1】(1)方法一 当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l 1与 l2不平行；当 a＝0 时，l 1：y＝－3，l 2：x－y－1＝0，l 1与 l2不平行；当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 l1：y＝－ x－3，a2l2：y＝ x－(a＋1)，11－ al1∥l 2⇔Error! 解得 a＝－1 ，综上可知，a＝－1 时，l 1∥l 2，否则 l1与 l2不平行．方法二 由 A1B2－A 2B1＝0，得 a(a－1)－1×2＝0.由 A1C2－A 2C1≠0，得 a(a2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔Error!⇔Error!∴a＝－1，故当 a＝－1 时，l 1∥l 2，否则 l1与 l2不平行．(2)方法一 当 a＝1 时，l 1：x＋2y＋6＝0，l 2：x＝0，l 1与 l2不垂直；当 a＝0 时，l 1：y＝－3，l 2：x－y－1＝0，l 1与 l2不垂直；当 a≠1 且 a≠0 时，l 1：y＝－ x－3，a2l2：y＝ x－(a＋1)，11－ a由 · ＝－1⇒a＝ .(－a2) 11－ a 23方法二 由 A1A2＋B 1B2＝0，得 a＋2(a－1)＝0⇒a＝ .23【典例 2】当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形．①三条直线共点时，由Error! 得 ，24,3xmy3即 l2与 l3的交点为 ，(42－ 3m2， － 4m2－ 3m2)代入 l1的方程得 4× ＋7× －4＝0，42－ 3m2 － 4m2－ 3m2解得 m＝ ，或 m＝2.13②当 l1∥l 2时，4＝7m，∴m＝ ；4710当 l1∥l 3时，4×3m＝7×2，∴m＝ ；76当 l2∥l 3时，3m 2＝2，即 m＝± .63∴m 取集合 中的元素时，三条直线不能构成三角形．{－63， 13， 63， 47， 76， 2}【变式 2】可以判断 A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设 AB，AC 边上的高所在直线的方程分别为 2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，则可求得 AB，AC 边所在直线的方程分别为y－2＝－ (x－1)，y－2＝x－1，32即 3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.由 得 B(7，－7)，,由 得 C(－2，－1)，,2310xy所以 BC 边所在直线的方程为 2x＋3y＋7＝0.【典例 3】(1)∵l 1：4x－2y＋2a＝0 (a0)，l 2：4x－2y－1＝0，∴两条平行线 l1与 l2间的距离为 d＝ ，|2a＋ 1|25由已知，可得 ＝ .|2a＋ 1|25 7510又 a0，可解得 a＝3.(2)设点 P 的坐标为(x，y)，由条件①，可知 x0，y0.由条件②和③，可得|23|421|,55|||·,xyxy化简得 4|23|421|,xyxy于是可得 4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，也就是 4(x＋y－1)＝4x－2y－1，或 4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，解得 y＝ ，或 8x＋2y－5＝0.12当 y＝ 时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，12解得 x＝－30 或 x＝－ 0，均舍去．23由 850,||1|,y化简得 或24,x8250,3,yx11解得 或 (舍去)．1,937,8xy20,316xy即存在满足题设条件的点 P，其坐标为 .(19， 3718)【变式 3】方法一 若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x＝3，此时与 l1，l 2的交点分别是 A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线 l 的斜率存在时，则设直线 l 的方程为 y＝k(x－3)＋1，分别与直线 l1，l 2的方程联立，由Error! 解得 A .(3k－ 2k＋ 1， 1－ 4kk＋ 1)由Error! 解得 B .(3k－ 7k＋ 1， 1－ 9kk＋ 1)由两点间的距离公式，得＋ ＝25，2k24解得 k＝0，即所求直线方程为 y＝1.综上可知，直线 l 的方程为 x＝3 或 y＝1.方法二 因为两平行线间的距离d＝ ＝ ，|6－ 1|2 522如图，直线 l 被两平行线截得的线段长为 5，设直线 l 与两平行线的夹角为 θ，则 sin θ＝ ，所以 θ＝45°.22因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为 0.又因为直线 l 过点 P(3,1)，所以直线 l 的方程为 x＝3 或 y＝1.【当堂检测】1． 【答案】A【解析】 m＝2 时，直线 2x＋ my＝0 与直线 x＋ y＝1 平行，故充分性成立；反之，直线2x＋ my＝0 与直线 x＋ y＝1 平行时， m＝2，故必要性成立．所以“ m＝2”是“直线2x＋ my＝0 与直线 x＋ y＝1 平行”的充要条件．2． 【答案】A【解析】与直线 3x－4 y＋5＝0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x－4(－ y)＋5＝0，即3x＋4 y＋5＝0.3． 【答案】A【解析】所求直线过点 A 且与 OA 垂直时满足条件，此时 kOA＝2，故所求直线的斜率为12－ ，所以直线方程为 y－2＝－ (x－1)，即 x＋2 y－5＝0.12 124.【答案】C【解析】由已知条件可知线段 AB 的中点 在直线 x＋2 y－2＝0 上，把中点坐标代(1＋ m2 ， 0)入直线方程，解得 m＝3.5． 【答案】1【解析】由两直线平行的条件得 a(a－3)＝－2，解得 a＝1 或 2，经检验， a＝2 时两直线重合，所以两直线平行时，实数 a 的值为 1.6.【答案】1【解析】∵直线 x－2y＋5＝0 与直线 2x＋my－6＝0 垂直，∴1×2－2×m＝0，即 m＝1.1．B2.C3.B4.C5.D6．－17.3x－2y＋5＝08.解：由 得 (5 分)32,40ykx12,47.kxy∵两直线的交点在第一象限，∴ ∴ k1.(11 分)12,470,k27即当 k1 时，27两直线的交点在第一象限．(12 分)1.①⑤2．解 设点 A(x，y)在 l1上，由题意知Error!∴点 B(6－x，－y)，解方程组Error!13得Error! ∴k＝ ＝8.163－ 0113－ 3∴所求的直线方程为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0. 1课时 47 圆的方程（课前预习案）班级： 姓名： 一、高考考纲要求1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二、高考考点回顾1．圆的定义在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．2．确定一个圆最基本的要素是________和________．3．圆的标准方程(x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2 (r0)，其中________为圆心，____为半径．4．圆的一般方程x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝0 表示圆的充要条件是_________________，其中圆心为___________________，半径 r＝____________________________.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)_______________________________________________________________________；(2)_______________________________________________________________________；(3)_______________________________________________________________________．6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2，点 M(x0， y0)，(1)点 M 在圆上：( x0－ a)2＋( y0－ b)2____r2；(2)点 M 在圆外：( x0－ a)2＋( y0－ b)2____r2；(3)点 M 在圆内：( x0－ a)2＋( y0－ b)2____r2.2三、 课前检测1．方程 x2＋y 2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的条件是( )A. 114C． m114 142．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A． x2＋( y－2) 2＝1B． x2＋( y＋2) 2＝1C．( x－1) 2＋( y－3) 2＝1D． x2＋( y－3) 2＝13．点 P(2，－1)为圆( x－1) 2＋ y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是( )A． x－ y－3＝0 B．2 x＋ y－3＝0C． x＋ y－1＝0 D．2 x－ y－5＝04．已知点(0,0)在圆： x2＋ y2＋ ax＋ ay＋2 a2＋ a－1＝0 外，则 a 的取值范围是________________．5．过圆 x2＋ y2＝4 外一点 P(4,2)作圆的切线，切点为 A、 B，则△ APB 的外接圆方程为________．3课内探究案班级： 姓名： 考点一 求圆的方程【典例 1】求经过点 A(－2，－4)，且与直线 l： x＋3 y－26＝0 相切于点 B(8,6)的圆的方程．【变式 1】根据下列条件，求圆的方程．(1)与圆 O： x2＋ y2＝4 相外切于点 P(－1， )，且半径为 4 的圆的方程；3(2)圆心在原点且圆周被直线 3x＋4 y＋15＝0 分成 1∶2 两部分的圆的方程．4考点二 圆的几何性质的应用【典例 2】已知圆 x2＋ y2＋ x－6 y＋ m＝0 和直线 x＋2 y－3＝0 交于 P， Q 两点，且OP⊥ OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．【变式 2】如图，已知圆心坐标为( ，1)的圆 M 与 x 轴及直线 y＝ x 分别相切于3 3A、 B 两点，另一圆 N 与圆 M 外切且与 x 轴及直线 y＝ x 分别相切于 C、 D 两点．3(1)求圆 M 和圆 N 的方程；(2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l，求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度．5考点三 与圆有关的最值问题【典例 3】已知实数 x、 y 满足方程 x2＋ y2－4 x＋1＝0.(1)求 y－ x 的最大值和最小值；(2)求 x2＋ y2的最大值和最小值．【变式 3】如果实数 x， y 满足方程( x－3) 2＋( y－3) 2＝6，求 的最大值与最小值．yx6【当堂检测】1．已知点 A(1，－1)， B(－1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是( )．A． x2＋ y2＝2 B． x2＋ y2＝ 2C． x2＋ y2＝1 D． x2＋ y2＝42．已知圆 C1：( x＋1) 2＋( y－1) 2＝1，圆 C2与圆 C1关于直线 x－ y－1＝0 对称，则圆 C2的方程为( )A．( x＋2) 2＋( y－2) 2＝1B．( x－2) 2＋( y＋2) 2＝1C．( x＋2) 2＋( y＋2) 2＝1D．( x－2) 2＋( y－2) 2＝13．直线 y＝ x－1 上的点到圆 x2＋ y2＋4 x－2 y＋4＝0 的最短距离为( )A．2 B. －12 2C．2 －1 D．124．若圆( x－3) 2＋( y＋5) 2＝ r2上有且只有两个点到直线 4x－3 y－2＝0 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是( )．A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]5．已知圆 C 经过 A(5,1)， B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为________．6．过两点 A(0,4)， B(4,6)，且圆心在直线 x－2 y－2＝0 上的圆的标准方程是________．课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30 分钟71．在圆 x2＋ y2－2 x－6 y＝0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( )A．5 B．102 2C．15 D．202 22．方程 x2＋ y2＋ ax＋2 ay＋2 a2＋ a－1＝0 表示圆，则 a 的取值范围是( )A． a B．－ 0，圆心坐标为 ，半径 r＝ .(－12， 3) 52方法二 如图所示，设弦 PQ 中点为 M，∵O 1M⊥PQ，∴ ＝2.Ok又圆心坐标为 ，(－12， 3)∴O 1M 的方程为 y－3＝2 ，即 y＝2x＋4.(x＋12)由方程组Error!解得 M 的坐标为(－1,2)．则以 PQ 为直径的圆可设为(x＋1) 2＋(y－2) 2＝r 2.∵OP⊥OQ，∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上．∴(0＋1) 2＋(0－2) 2＝r 2，即 r2＝5，MQ 2＝r 2.在 Rt△O 1MQ 中，O 1M2＋MQ 2＝O 1Q2.∴ 2＋(3－2) 2＋5＝ .(－12＋ 1) 1＋  － 6 2－ 4m4∴m＝3.∴半径为 ，圆心为 .52 (－ 12， 3)【变式 2】(1)∵M 的坐标为( ，1)，∴M 到 x 轴的距离为 1，即圆 M 的半径为 1，3则圆 M 的方程为(x－ )2＋(y－1) 2＝1.311设圆 N 的半径为 r，连接 MA，NC，OM，则 MA⊥x 轴，NC⊥x 轴，由题意知：M，N 点都在∠COD 的平分线上，∴O，M，N 三点共线．由 Rt△OAM∽ Rt△OCN 可知，|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即 ＝ ⇒r＝3，23＋ r 1r则 OC＝3 ，则圆 N 的方程为(x－3 )2＋(y－3) 2＝9.3 3(2)由对称性可知，所求的弦长等于过 A 点与 MN 平行的直线被圆 N 截得的弦的长度，此弦的方程是 y＝ (x－ )，即 x－ y－ ＝0，33 3 3 3圆心 N 到该直线的距离 d＝ ，32则弦长为 2 ＝ .r2－ d2 33【典例 3】(1)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时 ＝ ，解得 b＝－2± .|2－ 0＋ b|2 3 6所以 y－x 的最大值为－2＋ ，最小值为－2－ .6 6(2)x2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 ＝2， 2－ 0 2＋  0－ 0 2所以 x2＋y 2的最大值是(2＋ )2＝7＋4 ，3 3x2＋y 2的最小值是(2－ )2＝7－4 .3 3【变式 3】设 P(x，y)，则 P 点的轨迹就是已知圆 C：(x－3) 2＋(y－3) 2＝6.而 的几何意义就是直线 OP 的斜率，yx设 ＝k，则直线 OP 的方程为 y＝kx.yx当直线 OP 与圆相切时，斜率取最值．因为点 C 到直线 y＝kx 的距离 d＝ ，|3k－ 3|k2＋ 1所以当 ＝ ，|3k－ 3|k2＋ 1 6即 k＝3±2 时，直线 OP 与圆相切．2即 的最大值为 3＋2 ，最小值为 3－2 .yx 2 2【当堂检测】1． 【答案】A【解析】 AB 的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝ ＝2 ，212∴圆的方程为 x2＋ y2＝2.122． 【答案】B【解析】只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C2的圆心为( a， b)，则依题意，有Error!解得Error! 对称圆的半径不变，为 1.3． 【答案】C 【解析】圆心(－2,1)到已知直线的距离为 d＝2 ，圆的半径为 r＝1，2故所求距离 dmin＝2 －1.24． 【答案】A【解析】因为圆心(3，－5)到直线 4x－3 y－2＝0 的距离为 5，所以当半径 r＝4 时，圆上有 1 个点到直线 4x－3 y－2＝0 的距离等于 1，当半径 r＝6 时，圆上有 3 个点到直线4x－3 y－2＝0 的距离等于 1，所以圆上有且只有两个点到直线 4x－3 y－2＝0 的距离等于 1时，4＜ r＜6.5． 【答案】( x－2) 2＋ y2＝10【解析】线段 AB 的中垂线方程为 2x－ y－4＝0，与 x 轴的交点(2,0)即为圆心 C 的坐标，所以半径为| CB|＝ ，所以圆 C 的方程为( x－2) 2＋ y2＝10.106． 【答案】( x－4) 2＋( y－1) 2＝25【解析】设圆心坐标为( a， b)，圆半径为 r，则圆方程为( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2，∵圆心在直线 x－2 y－2＝0 上，∴ a－2 b－2＝0，①又∵圆过两点 A(0,4)， B(4,6)，∴(0－ a)2＋(4－ b)2＝ r2，②且(4－ a)2＋(6－ b)2＝ r2，③由①②③得 a＝4， b＝1， r＝5，∴圆的方程为( x－4) 2＋( y－1) 2＝25.1． 【答案】B【解析】圆的方程化为标准形式为(x－1) 2＋(y－3) 2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2 ，最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中点，设点 F 为其圆心，坐标为(1,3)．10故|EF|＝ ，∴|BD|＝2 ＝2 ，5 10－  5 2 5∴S 四边形 ABCD＝ AC·BD＝10 .12 22.D3.A4.B5.A6．(x＋1) 2＋y 2＝27.(x－2) 2＋(y－1) 2＝28.01．解(1)∵AB 的中垂线方程为 3x＋2y－15＝0，由Error! 解得Error!(3 分)∴圆心为 C(7，－3)．又|CB|＝ ，65故所求圆的方程为(x－7) 2＋(y＋3) 2＝65.(6 分)13(2)设圆的方程为 x2＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 P、Q 点的坐标分别代入得(8 分)2D4EF=,3+1.①②又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，③由|x 1－x 2|＝6 有 D2－4F＝36. ④由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8 或 D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为 x2＋y 2－2x－4y－8＝0，或 x2＋y 2－6x－8y＝0.(12 分)2．解 (1)设 t＝x＋y，则 y＝－x＋t，t 可视为直线 y＝－x＋t 的纵截距，所以x＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即 ＝1，解得 t＝ －1 或 t＝－ －1，|2＋  － 3 － t|2 2 2所以 x＋y 的最大值为 －1，2最小值为－ －1.2(2) 可视为点(x，y)与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆yx yx有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线方程为 y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，|2k－  － 3 |1＋ k2解得 k＝－2＋ 或 k＝－2－ ，233 233所以 的最大值为－2＋ ，yx 233最小值为－2－ .233(3) ，x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ 5即 ，其最值可视为点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，[x－  － 1 ]2＋  y－ 2 2可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点(－1,2)的距离为 ，所以 的最大值为34 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ 5＋ 1，最小值为 －1.34 341课时 48 直线和圆的位置的关系（课前预习案）班级： 姓名： 一、高考考纲要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．二、高考考点回顾1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式 Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去 x 或 y 整理成一元二次方程后，计算判别式 20,4.bac(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：dr⇔________.2．圆的切线方程若圆的方程为 x2＋ y2＝ r2，点 P(x0， y0)在圆上，则过 P 点且与圆 x2＋ y2＝ r2相切的切线方程为____________________________．注：点 P 必须在圆 x2＋ y2＝ r2上．经过圆( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2上点 P(x0， y0)的切线方程为________________________．3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝ |xA－ xB|1＋ k2＝ . 1＋ k2 [ xA＋ xB 2－ 4xAxB]说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________.判断圆与圆的位置关系常用方法：2(几何法)设两圆圆心分别为 O1、 O2，半径为 r1、 r2 (r1≠ r2)，则|O1O2|r1＋ r2________；| O1O2|＝ r1＋ r2______；| r1－ r2|0)的公共弦的长为 2 ，则3a＝________.5．已知点 A 是圆 C： x2＋ y2＋ ax＋4 y－5＝0 上任意一点， A 点关于直线 x＋2 y－1＝0的对称点也在圆 C 上，则实数 a＝________.6．设直线 3x＋4 y－5＝0 与圆 C1： x2＋ y2＝4 交于 A， B 两点，若圆 C2的圆心在线段 AB上，且圆 C2与圆 C1相切，切点在圆 C1的劣弧 上，则圆 C2的半径的最大值是________．1．自点 A(－3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋ y2－4 x－4 y＋7＝0 相切，求光线 l 所在直线的方程．82.已知两圆 x2＋ y2－2 x－6 y－1＝0 和 x2＋ y2－10 x－12 y＋ m＝0.求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)m＝45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．参考答案课前检测1.A2.D3.B94.B5.B【典例 1】 解：将圆 C 配方得(x＋1) 2＋(y－2) 2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 y＝kx，由 ＝ ，解得 k＝2± ，得 y＝(2± )x.|k＋ 2|1＋ k2 2 6 6②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 x＋y－a＝0，由 ＝ ，|－ 1＋ 2－ a|2 2得|a－1|＝2，即 a＝－1，或 a＝3.∴直线方程为 x＋y＋1＝0，或 x＋y－3＝0.综上，圆的切线方程为 y＝(2＋ )x，或 y＝(2－ )x，或 x＋y＋1＝0，6 6或 x＋y－3＝0.【变式 1】设圆切线方程为 y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0，∴1＝ ，|k＋ 2－ 2k|k2＋ 1∴k＝ ，另一条斜率不存在，方程为 x＝2.34∴切线方程为 x＝2 或 3x－4y＋6＝0.圆心 C 为(1,1)，∴k PC＝ ＝2，3－ 12－ 1∴过两切点的直线斜率为－ ，又 x＝2 与圆交于(2,1)，12∴过切点的直线方程为 x＋2y－4＝0.【典例 2】(1)方法一 如图所示，|AB|＝4 ，取 AB 的中点 D，连接 CD，则 CD⊥AB，连接 AC、BC，3则|AD|＝2 ，|AC|＝4，3在 Rt△ACD 中，可得|CD|＝2.当直线 的斜率存在时，设其斜率为 k，则直线的方程为 y－5＝kx，l即 kx－y＋5＝0.由点 C 到直线的距离公式，得 ＝2，|－ 2k－ 6＋ 5|k2＋  － 1 2解得 k＝ .34当 k＝ 时，直线 l 的方程为 3x－4y＋20＝0.34又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x＝0.∴所求直线的方程为 3x－4y＋20＝0 或 x＝0.方法二 当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y－5＝kx，即 y＝kx＋5.联立直线与圆的方程Error!消去 y，得(1＋k 2)x2＋(4－2k)x－11＝0.①10设方程①的两根为 x1，x 2，由根与系数的关系，得Error!②由弦长公式，得 |x1－x 2|＝ ＝4 .1＋ k2  1＋ k2 [ x1＋ x2 2－ 4x1x2] 3将②式代入，解得 k＝ ，34此时直线方程为 3x－4y＋20＝0.又 k 不存在时也满足题意，此时直线方程为 x＝0. ∴所求直线的方程为 x＝0 或 3x－4y＋20＝0.(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 M(x，y)，则 CM⊥PM，即 · ＝0，M∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为 x2＋y 2＋2x－11y＋30＝0.【变式 2】(1)证明：由 kx－y－4k＋3＝0，得(x－4)k－y＋3＝0.∴直线 kx－y－4k＋3＝0 过定点 P(4,3)．由 x2＋y 2－6x－8y＋21＝0，得(x－3) 2＋(y－4) 2＝4，又 =(4－3) 2＋(3－4) 2＝20， y00，则切线方程为 x0x＋ y0y＝1.分别令 x＝0， y＝0 得 A ， B ，01,01,∴| AB|＝ ＝ ≥ ＝2.22001xy1x0y0 1x20＋ y2023． 【答案】B【解析】若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有 ≤1，|a＋ 2|5解得－2－ ≤ a≤－2＋ .5 54． 【答案】C【解析】设与两坐标轴都相切的圆的方程为( x－ a)2＋( y－ a)2＝ a2，将点(4,1)代入得a2－10 a＋17＝0，解得 a＝5±2 ，设 C1(5－2 ，5－2 )，则 C2(5＋2 ，5＋2 )，则2 2 2 2 2|C1C2|＝ ＝8.32＋ 325． 【答案】B【解析】如图，若| MN|＝2 ，则由圆与直线的位置关系3可知圆心到直线的距离满足 d2＝2 2－( )2＝1.3∵直线方程为 y＝ kx＋3，∴ d＝ ＝1，解得|k·2－ 3＋ 3|1＋ k2k＝± .若| MN|≥2 ，则－ ≤ k≤ .33 3 33 336． 【答案】2π【解析】(数形结合法)如图，圆 x2＋ y2－12 y＋27＝0可化为 x2＋( y－6) 2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为 3.在 Rt△ OBC 中可得：∠ OCB＝ ，∴∠ ACB＝ ，π 3 2π3∴所求劣弧长为 2π.121.C2.C3.D4.15.-106．11.解 已知圆 C：x 2＋y 2－4x－4y＋7＝0 关于 x 轴对称的圆为C1：(x－2) 2＋(y＋2) 2＝1，其圆心 C1的坐标为(2－2)，半径为 1，由光的反射定律知，入射光线所在直线与圆 C1相切．设 的方程为 y－3＝k(x＋3)，则l＝1，|5k＋ 2＋ 3|12＋ k2即 12k2＋25k＋12＝0.∴k 1＝－ ，k 2＝－ .43 34则 的方程为 4x＋3y＋3＝0 或 3x＋4y－3＝0.l2．解 两圆的标准方程分别为(x－1) 2＋(y－3) 2＝11，(x－5) 2＋(y－6) 2＝61－m，圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，半径分别为 和 .11 61－ m(1)当两圆外切时， ＝ ＋ . 5－ 1 2＋  6－ 3 2 11 61－ m解得 m＝25＋10 .11(2)当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心间距离，故只有 － ＝5.11 61－ m 11解得 m＝25－10 .11(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y 2－2x－6y－1)－(x 2＋y 2－10x－12y＋45)＝0，即 4x＋3y－23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2× ＝2 . 11 2－ [|4＋ 3×3－ 23|42＋ 32 ]2 7