2017届高三数学二轮复习 高考小题专攻练 理（打包7套）新人教版.zip

1高考小题专攻练 1.集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合 M= ,N= ,则 M∩N= ( ){x|(𝑥+2)(𝑥‒2)≤0} {x|𝑥‒11}所以 (A∪B)= =(-4,1].{x|‒40,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题为:“若方程 x2+x-m=0 无实根,则m≤0”.(2)对于命题 p:“∃x∈R 使得 x2+x+10,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题为:“若方程x2+x-m=0 无实根,则 m≤0”,故(1)正确;对于(2),命题 p:“∃x∈R 使得 x2+x+11当 x≤1 时,由 x2-1=3 得:x=-2 或 2(舍去),当 x1 时,由 log2x=3 得:x=8,综上可得:可以输入的 x 的个数为 2 个.8.下列命题中假命题是 ( )A.∀x∈R, 0(13)𝑥B.∃α,β∈R, 使 sin(α+β)=sinα+sinβC.∃m∈R, 使 f(x)=m 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增x𝑚2+2𝑚D.命题“∃ x∈R,x 2+13x”的否定是“∀x∈R,x 2+13x”【解析】选 D.由指数函数的性质知,∀x∈R, 0,A 正确 ,又当 α=β=0 时,sin(α+β)(13)𝑥=sinα+sinβ,所以 B 正确;又当 m=1 时,f(x)=x 3,且在(0,+∞)递增,所以 C 正确;选项 D 中的否定应为“∀x∈R,x 2+1≤3x”.9.如图所示的程序框图输出的结果为 S=35,则判断框中应填入的关于 k 的条件是 ( )4A.k7? B.k≤6? C.k6? D.k6?或 k≥7?10.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z(1-i)=1+i,则 z2016= ( )A.1 B.-1 C.i D.-i【解析】选 A.因为 z(1-i)=1+i,所以 z= = = =i,1+𝑖1‒𝑖(1+𝑖)(1+𝑖)(1‒𝑖)(1+𝑖)1+2𝑖+𝑖21‒𝑖2所以 z2016=i2016= =(-1)1008=1.(𝑖2)1 00811.如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过点 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点,且=x , =y ,则 x+2y 的最小值为 ( )→A𝑀→A𝐵→A𝑁→A𝐶A.2 B.13C. D.3+223 34【解析】选 C.取 BC 的中点 D,连接 GD,则 A,G,D 三点共线, = = × ( + )=→A𝐺23→𝐴𝐷23 12→A𝐵→A𝐶5+ = + ,又因为 M,G,N 共线,所以有 + =1,且 x0,y0,所以13→𝐴𝐵13→𝐴𝐶13𝑥→𝐴𝑀13𝑦→𝐴𝑁 13𝑥13𝑦x+2y=(x+2y) = + + + ≥(13𝑥+13𝑦)13232𝑦3𝑥x3𝑦1+2 =1+ ,当且仅当 = 时取等号.2𝑦3𝑥·𝑥3𝑦223 2𝑦3𝑥x3𝑦12.执行如图所示的一个程序框图,若 f(x)在[-1,a]上的值域为[0,2],则实数 a 的取值范围是 ( )A.(0,1] B.[1, ] C.[1,2] D.[ ,2]3 3【解析】选 B.由程序框图知:算法的功能是求 f(x)=的值,{x3‒3𝑥+2,𝑥≥0,𝑙𝑜𝑔2(1‒𝑥)+1,‒1≤𝑥0⇒x1 或 x0),若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为________.6【解析】因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q 是 p 的必要不充分条件,即 p⇒q,但 q 推不出 p,即 即 所以 m≥8.{1‒3𝑚≤‒2,3+𝑚≥11, {m≥1,𝑚≥8.答案:[8,+∞)15.已知| |=| |= ，且 · =1，若点 C 满足| + |=1，则| |的取值→O𝐴 →O𝐵 2 →O𝐴→O𝐵 →O𝐴→C𝐵 →O𝐶范围是________.【解析】因为 · =1，所以 × cos=1，所以 cos= .→O𝐴→O𝐵 2 2 →O𝐴→O𝐵 →O𝐴→O𝐵12所以 ， 的夹角为 .→O𝐴→O𝐵 π 3设 =( ，0)， = ，设 + = .则→O𝐴 2 →O𝐵( 22, 62) →O𝐴→O𝐵→O𝐷= + = ，→O𝐷→O𝐴→O𝐵(322, 62)所以| |= ，因为| + |=1，→O𝐷 6 →O𝐴→C𝐵所以| + - |=1，即| - |=| |=1.→O𝐴→O𝐵→O𝐶 →O𝐷→O𝐶 →C𝐷所以 C 在以 D 为圆心，以 1 为半径的圆上，所以| |的最小值为 -1，| |的最大值是 +1.→O𝐶 6 →O𝐶 6答案：[ -1， +1]6 616.对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为(-1,2),解关于 x 的不等式 ax2-bx+c0”,给出如下一种解法:解:由 ax2+bx+c0 的解集为(-1,2),得 a(-x)2+b(-x)+c0 的解集为(-2,1),即关于 x 的不等式 ax2-bx+c0 的解集为(-2,1).7参考上述解法,若关于 x 的不等式 + 0 的解集为 ∪ ,则k𝑥+𝑎x+𝑏𝑥+𝑐 (-1,‒13) (12,1)关于 x 的不等式 + 0 的解集为______________.k𝑥𝑎𝑥+1b𝑥+1𝑐𝑥+1【解析】关于 x 的不等式 + 0 的解集为 ∪ ,得 +k𝑥+𝑎x+𝑏𝑥+𝑐 (-1,‒13) (12,1) k1𝑥+𝑎0 的解集为(-3,-1)∪(1,2),即关于 x 的不等式 + 0 的解集为(-3,-1𝑥+𝑏1𝑥+𝑐 k𝑥𝑎𝑥+1b𝑥+1𝑐𝑥+11)∪(1,2).答案:(-3,-1)∪(1,2)1高考小题专攻练 2.函数、不等式、导数小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设 0b3 B. 1 D.lg(b-a) ,所以 B 不正确;1𝑎1𝑏由指数函数的图象与性质可知 ab0)有且只有两个零点，则实数 a 的取值范围是( )A.[0，1] B.(0，1)C.(1，+∞) D.(0，+∞)【解析】选 B.因为 f(x)=ex-3-x+2a(a0)，所以 f′(x)=e x-3-1，令 f′(x)=e x-3-10，所以 x3；令 f′(x)=e x-3-10)有且只有两个零点，则-2+2a0，所以 00,解得 xbc B.acbC.bca D.bac【解析】选 B.由 f(x+1)= 得：函数的周期为 2.1𝑓(𝑥)因为 f(x)在[-1，0]上是减函数，且 f(x)是定义域为 R 的偶函数，所以 f(x)在[0，1]上是增函数，且图象关于 y 轴对称，a=f(log 0.52)=f(-1)，b=f(log24)=f(2)=f(0)，c=f(20.5)=f( )=f( -2).可知：acb.2 26.实数 x,y,k 满足 z2=x2+y2,若 z2的最大值为 13,则 k 的值{x+𝑦‒3≥0,𝑥‒𝑦+1≥0,𝑥≤𝑘, 为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.由约束条件作出可行域如图,3联立 解得:A(k,k+1),{x=𝑘,𝑥‒𝑦+1=0,由图可知,使 z2=x2+y2取得最大值的最优解为 A(k,k+1),由 k2+(k+1)2=13,解得:k=2.7.已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是 ( )A. B.(0,12) (12,1)C.(1,2) D.(2,+∞)【解析】选 B.由题意可得函数 f(x)的图象和函数 g(x)的图象有两个交点,如图所示:kOA= ,12数形结合可得 0⇒a≠ ②.32结合①②得:10 时,有 0 的解集是 ( )A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)【解析】选 D.因为当 x0 时,有 0;在(2,+∞)内恒有 f(x)0;在(-2,0)内恒有 f(x)0 的解集,即不等式 f(x)0 的解集,所以答案为(-∞,-2)∪(0,2).12.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对∀x∈(0,+∞), 都有 f(f(x)-lnx)=e+1,则方程f(x)-f′(x)=e 的实数解所在的区间是 ( )A. B.(0,1𝑒) (1𝑒,1)C.(1,e) D.(e,3)【解析】选 C.因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对∀x∈(0,+∞),都有 f(f(x)-lnx)=e+1,所以设 f(x)-lnx=t,则 f(t)=e+1,即 f(x)=lnx+t,令 x=t,则 f(t)=lnt+t=e+1,则 t=e,即 f(x)=lnx+e,函数的导数 f′(x)= ,1𝑥7则由 f(x)-f′(x)=e 得 lnx+e- =e,1𝑥即 lnx- =0,1𝑥设 h(x)=lnx- ,1𝑥则 h(1)=ln1-1=-10,1𝑒 1𝑒所以函数 h(x)在(1,e)上存在一个零点,即方程 f(x)-f′(x)=e 的实数解所在的区间是(1,e).二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13. dx+ dx=__________.∫e 11𝑥 ∫2-2 4‒𝑥2【解析】因为 dx=lnx =lne-ln1=1，∫e 11𝑥 |𝑒1dx 的几何意义表示为 y= 对应上半圆的面积，∫2-2 4‒𝑥2 4‒𝑥2即 dx= ×π×2 2=2π，∫2-2 4‒𝑥2 12即 dx+ dx=2π+1.∫e 11𝑥 ∫2-2 4‒𝑥2答案：2π+114.设 f(x)= 则不等式 f(x)≥2 的解集为__________.{2𝑒𝑥‒1,𝑥≥0,𝑙𝑜𝑔2|𝑥‒1|,𝑥0,【解析】当 x≥0 时,2e x-1≥2,所以 x-1≥0,x≥1;当 x0 时, log2|x-1|≥2,所以|x-1|≥4,所以 x≤-3.综上可得:不等式 f(x)≥2 的解集为{x|x≤-3 或 x≥1}.答案:{x|x≤-3 或 x≥1}15.设函数 f(x)=xα +1(α∈Q)的定义域为[-b,-a]∪[a,b],其中 0ab.若函数 f(x)在区间8[a,b]上的最大值为 6,最小值为 3,则 f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值的和为__________.【解析】令 g(x)=xα ,定义域为[-b,-a]∪[a,b],则因为函数 f(x)=xα +1(α∈Q)在区间[a,b]上的最大值为 6,最小值为 3,所以 g(x)=xα 在区间[a,b]上的最大值为 5,最小值为 2,若 g(x)=xα 是偶函数,则 g(x)=xα 在区间[-b,-a]上的最大值为 5,最小值为 2,所以函数 f(x)=xα +1(α∈Q)在区间[-b,-a]上的最大值为 6,最小值为 3,最大值与最小值的和为 9;若 g(x)=xα 是奇函数,则 g(x)=xα 在区间[-b,-a]上的最大值为-2,最小值为-5,所以函数f(x)=xα +1(α∈Q)在区间[-b,-a]上的最大值为-1,最小值为-4,最大值与最小值的和为-5.所以 f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值的和为-5 或 9.答案:-5 或 916.定义在 R 上的函数 f(x)，如果存在函数 g(x)=kx+b(k，b 为常数)，使得 f(x)≥g(x)对一切实数 x 都成立，则称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数.①对给定的函数 f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g(x)=2x 为函数 f(x)=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是 R 的函数 f(x)不存在承托函数.以上命题正确的是__________.【解题导引】对于①，若取 f(x)=sinx，则 g(x)=B(B-1)，都满足，且有无数个，故正确；对于②，即 x= 时，②错；32对于③，如取 f(x)=2x+3，即可看出其不符合，故错.抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想.【解析】对于①，若 f(x)=sinx，则 g(x)=B(B-1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如 y=tanx，y=lgx 就没有承托函数，所以命题①正确；对于②，因为当 x= 时，g =3，f =2 ，32 (32) (32) 2所以 f(x)g(x)，9所以 g(x)=2x 不是 f(x)=2x的一个承托函数，故错误；对于③，如 f(x)=2x+3 存在一个承托函数 y=2x+1，故错误.答案：①1高考小题专攻练 3.三角函数及解三角形小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知 α∈R,sinα+2cosα= ,则 tan2α 等于 ( )102A. B. C.- D.-43 34 34 43【解析】选 C.因为 sinα+2cosα= ,所以 sin2α+4sinα·cosα+4cos 2α= .102 52用降幂公式化简得:4sin2α=-3cos2α,所以 tan2α= =- .sin2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼342.在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 A= ，b=1，△ABC 的面积为 ，π 3 32则 a 的值为( )A.1 B.2 C. D.32 3【解析】选 D.因为 A= ，b=1，S △ABC = ，π 3 32所以 bcsinA= ，所以 c=2.12 32所以 a2=b2+c2-2bccosA=3，所以 a= .33.已知 sin2α=- ，α∈ ，则 sinα+cosα=( )2425 (-𝜋4,0)A.- B. C.- D.15 15 75 75【解析】选 B.因为 α∈ ，所以 cosα0sinα 且 cosα|sinα|，(-𝜋4,0)2则 sinα+cosα= = = .1+𝑠𝑖𝑛2𝛼1‒2425154.在△ABC 中，若 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)，则△ABC 的形状一定是( )A.等边三角形 B.不含 60°的等腰三角形C.钝角三角形 D.直角三角形【解析】选 D.sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB，所以 sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB，所以 sinAcosB+cosAsinB=1，即 sin(A+B)=1，则有 A+B= ，故△ABC 为直角三角形.π 25.已知 cos = ,则 sin = ( )(π 4‒𝛼)45 (π 4+𝛼)A. B. C.- D.-45 35 45 35【解析】选 A.因为 cos = ,(π4‒𝛼)45所以 sin =sin = .[π2‒(𝜋4‒𝛼)] (π4+𝛼)456.在△ABC 中,AC= ,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于 ( )7A. B. C. D.32 332 3+62 3+394【解析】选 B.设 AB=c,在△ABC 中,由余弦定理知 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即 7=c2+4-2×2×c×cos60°,c2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0.又 c0,所以 c=3.设 BC 边上的高等于 h,由三角形面积公式S△ABC = AB·BC·sinB= BC·h,12 12知 ×3×2×sin60°= ×2×h,解得 h= .12 12 33237.已知 tanα=2,则 = ( )2𝑠𝑖𝑛2𝛼+1𝑠𝑖𝑛2𝛼A. B.- C. D.53 134 135 134【解析】选 D.方法一(切化弦的思想):因为 tanα=2,所以 sinα=2cosα,cosα= sinα.12又因为 sin2α+cos 2α=1,所以解得 sin2α= .45所以 = = = = .2𝑠𝑖𝑛2𝛼+1𝑠𝑖𝑛2𝛼2𝑠𝑖𝑛2𝛼+12𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼2𝑠𝑖𝑛2𝛼+1𝑠𝑖𝑛2𝛼2×45+145 134方法二(弦化切的思想):因为 = = =2𝑠𝑖𝑛2𝛼+1𝑠𝑖𝑛2𝛼2𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼3𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼= = .3𝑡𝑎𝑛2𝛼+12𝑡𝑎𝑛𝛼3×22+12×2 1348.已知向量 a=(cosx,sinx),b=( , ),a·b= ,则 cos 等于 ( )2 285 (x‒𝜋4)A.- B.- C. D.35 45 35 45【解析】选 D.由 a·b= ,得 cosx+ sinx= ,所以 cosx+ sinx= ,85 2 2 85 22 22 45即 cos = .(x‒𝜋4)459.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cosC= ( )A. B.- C.± D.725 725 725 2425【解析】选 A.由 C=2B 得 sinC=sin2B=2sinBcosB,4由正弦定理及 8b=5c 得 cosB= = = ,sin𝐶2𝑠𝑖𝑛𝐵c2𝑏45所以 cosC=cos2B=2cos2B-1=2× -1= .(45)2 72510.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = ,则 B= ( )c‒𝑏𝑐‒𝑎 sin𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐵A. B. C. D.π 6 π 4 π 3 3𝜋4【解析】选 C.由 sinA= ,sinB= ,sinC= ,代入整理得 = ⇒c2-b2=ac-a2,a2𝑅 b2𝑅 c2𝑅 c‒𝑏𝑐‒𝑎 a𝑐+𝑏所以 a2+c2-b2=ac,即 cosB= ,所以 B= .12 π311.在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S,若 S+a2=(b+c)2,则 cosA 等于 ( )A. B.- C. D.-45 45 1517 1517【解析】选 D.S+a2=(b+c)2⇒a2=b2+c2-2bc .(14𝑠𝑖𝑛𝐴‒1)由余弦定理可得 sinA-1=cosA,结合 sin2A+cos2A=1,可得 cosA=- .14 151712.若抛物线 C:y2=2xcosA(其中角 A 为△ABC 的一个内角)的准线过点 ,则(25,4)cos2A+sin2A 的值为 ( )A.- B. C. D.825 85 825 1‒2625【解析】选 A.因为抛物线 C:y2=2xcosA(其中角 A 为△ABC 的一个内角)的准线过点 ,(25,4)所以抛物线 C:y2=2xcosA 的准线方程为 x= ,255所以 =- ,即 cosA=- ,cos𝐴2 25 45因为角 A 为△ABC 的一个内角,所以 sinA= ,35所以 cos2A+sin2A=cos2A+2sinAcosA= +2× × =- .(-45)2 35(-45) 825二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.设 θ 为第二象限角，若 tan = ，则 sinθ+cosθ=________.(θ +𝜋4)12【解析】因为 tan = ，所以 = ，解得 tanθ=- .(θ +𝜋4)12 1+𝑡𝑎𝑛𝜃1‒𝑡𝑎𝑛𝜃12 13所以(sinθ+cosθ) 2= =s𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃·𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃t𝑎𝑛2𝜃+2𝑡𝑎𝑛𝜃+1𝑡𝑎𝑛2𝜃+1= = .19‒23+119+1 25因为 θ 为第二象限角，tanθ=- ，13所以 2kπ+ θ2kπ+π，所以 sinθ+cosθ0，3𝜋4所以 sinθ+cosθ=- .105答案：-105614.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若 cosB= ,a=10,△ABC 的面积为 42,45则 b+ 的值等于 __________.a𝑠𝑖𝑛𝐴【解析】依题意可得 sinB= ,又 S△ABC = acsinB=42,则 c=14.35 12故 b= =6 ,所以 b+ =b+ =16 .a2+𝑐2‒2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵2 a𝑠𝑖𝑛𝐴b𝑠𝑖𝑛𝐵2答案:16 215.若△ABC 的内角满足 sinA+ sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是__________.2【解析】因为 sinA+ sinB=2sinC.由正弦定理可得 a+ b=2c,即 c= ,2 2a+2𝑏2cosC= =a2+𝑏2‒𝑐22𝑎𝑏 a2+𝑏2‒(𝑎+2𝑏2 )22𝑎𝑏=3𝑎2+2𝑏2‒22𝑎𝑏8𝑎𝑏≥ = ,26𝑎𝑏‒22𝑎𝑏8𝑎𝑏 6‒ 24当且仅当 3a2=2b2即 = 时等号成立.a𝑏 23所以 cosC 的最小值为 .6‒ 24答案:6‒ 2416.如图，在△ABC 中，sin = ，AB=2，点 D 在线段 AC 上，且 AD=2DC，BD=∠ 𝐴𝐵𝐶2 337，则 cosC=________.433【解析】由条件得 cos∠ABC= ，sin∠ABC= .13 223在△ABC 中，设 BC=a，AC=3b，则 9b2=a2+4- a. ①43因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以 cos∠ADB=-cos∠CDB，所以 =- ，4𝑏2+163‒41633 𝑏b2+163‒𝑎2833𝑏所以 3b2-a2=-6， ②联合①②解得 a=3，b=1，所以 AC=3，BC=3.在△ABC 中，cosC= = = .B𝐶2+𝐴𝐶2‒𝐴𝐵22𝐵𝐶·𝐴𝐶32+32‒222×3×3 79答案：791高考小题专攻练 4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列，a 1+a3+a5=105，a 2+a4+a6=99，则 a20=( )A.-1 B.1 C.3 D.7【解析】选 B.因为 a1+a3+a5=105，即 3a3=105，所以 a3=35.同理可得 a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以 a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1等于 ( )A. B.- C. D.-13 13 19 19【解析】选 C.设等比数列{a n}的公比为 q,由 S3=a2+10a1得 a1+a2+a3=a2+10a1,即 a3=9a1,所以 q2=9,又 a5=a1q4=9,所以 a1= .193.在等比数列{a n}中,若 a4,a8是方程 x2-4x+3=0 的两根,则 a6的值是 ( )A. B.- C.± D.±33 3 3【解析】选 A.依题意得,a 4+a8=4,a4a8=3,故 a40,a80,因此 a60(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a 6= = .a4𝑎8 34.等差数列{a n}中,a 10,公差 d0,公差 d0 的等差数列{a n}的四个命题:p 1:数列{a n}是递增数列;p 2:数列{na n}是递增数列;p 3:数列 是递增数列;p 4:数列{a n+3nd}是递增数列 .{a𝑛𝑛}其中的真命题为 ( )A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4【解析】选 D.设 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以 p1为真命题;若 an=3n-12,则满足已知,但 nan=3n2-12n 并非递增数列,所以 p2为假命题;若 an=n+1,则满足已知,但 =1+a𝑛𝑛是递减数列,所以 p3为假命题;a n+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列 ,所以 p4为真命题.1𝑛8.在等差数列{a n}中,满足 3a4=7a7,且 a10,Sn是数列{a n}前 n 项的和,若 Sn取得最大值,则n= ( )A.7 B.8 C.9 D.103【解析】选 C.设公差为 d,由题设 3(a1+3d)=7(a1+6d),所以 d=- a10,即433a1+(n-1) 0,所以 n0,同理可得 n≥10 时,a n0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2016)+f(a2017)的值 ( )A.恒为正数 B.恒为负数C.恒为 0 D.可正可负【解析】选 A.因为{a n}是等差数列,所以 a1+a2017=a2+a2016=…=2a10090,得 a1-a2017,a2-a2016,…,又 f(x)是定义在 R 上的单调增函数,且 f(-x)=-f(x),所以 f(a1)-f(a2017),即 f(a1)+f(a2017)0,同理,f(a 2)+f(a2016)0,…,所以 f(a1)+f(a2)+…+f(a2016)+f(a2017)的值恒为正数.10.已知数列{a n}的通项公式为 an=(-1)n(2n-1)·cos +1(n∈N *),其前 n 项和为 Sn,则n𝜋2S60= ( )A.-30 B.-60 C.90 D.120【解析】选 D.由题意可得,当 n=4k-3(k∈N *)时,a n=a4k-3=1;当 n=4k-2(k∈N *)时,a n=a4k-2=6-8k;当 n=4k-1(k∈N *)时,a n=a4k-1=1;当 n=4k(k∈N *)时,a n= =8k.所以 a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4𝑘=8,所以 S60=8×15=120.a4𝑘11.已知 f(x)=x+1,g(x)=2x+1,数列{a n}满足 a1=1,an+1={f(𝑎𝑛),𝑛为 奇数 ,𝑔(𝑎𝑛),𝑛为 偶数 ,则 a2016= ( )A.22016-2016 B.21007-2016C.22016-2 D.21009-2【解析】选 D.a2n+2=a2n+1+1=(2 +1)+1=2 +2.即 a2n+2+2=2( +2),所以{ +2}是以a2𝑛 a2𝑛 a2𝑛 a2𝑛2 为公比,a 2+2=4 为首项的等比数列.所以 +2=4×2n-1=2n+1.所以 =2n+1-2.所以a2𝑛 a2𝑛a2016=21009-2.412.设函数 f1(x)=x,f2(x)=log2016x,ai= (i=1,2,…,2016),记 Ik=|fk(a2)-fk(a1)i2 016|+|fk(a3)-fk(a2)|+…+|fk(a2016)-fk(a2015)|,k=1,2,则 ( )A.I1I2D.I1与 I2的大小关系无法确定【解析】选 A.依题意知,f 1(ai+1)-f1(ai)=ai+1-ai= - = ,i+12 016i2 01612 016因此 I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a2016)-f1(a2015)|= .2 0152 016因为 f2(ai+1)-f2(ai)=log2016ai+1-log2016ai=log2016 -log2016 0,i+12 016 i2 016所以 I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a2016)-f2(a2015)|= +(log2016 -log2016 )+…+(l𝑜𝑔2 01622 016‒𝑙𝑜𝑔2 01612 016) 32 016 22 016(l𝑜𝑔2 0162 0162 016‒𝑙𝑜𝑔2 0162 0152 016)=log2016 -log2016 =1,因此 I1I2.2 0162 016 12 016二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知 log2(a5+a9)=3,则等差数列{a n}的前 13 项的和 S13=________.【解析】因为 log2(a5+a9)=3,所以 a5+a9=23=8.所以 S13= = = =52.13×(𝑎1+𝑎13)2 13×(𝑎5+𝑎9)2 13×82答案:5214.已知等差数列{a n}中,a 1,a99是函数 f(x)=x2-10x+16 的两个零点,则5a50+a20+a80=________.12【解析】依题意 a1+a99=10,所以 a50=5.所以 a50+a20+a80= a50+2a50= .12 12 252答案:25215.数列{a n}的通项公式 an= ,若{a n}的前 n 项和为 24,则 n=________.1𝑛+𝑛+1【解析】a n= = - .所以( -1)+( - )+…+( -1𝑛+𝑛+1 n+1 n 2 3 2 n+1)=24,所以 =25,所以 n=624.n n+1答案:62416.对正整数 n，设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an，则的前 n 项和是________.{ a𝑛𝑛+1}【解析】曲线 y=xn(1-x)=xn-xn+1，曲线导数为 y′=nx n-1-(n+1)xn，所以切线斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1，切点为(2，-2 n)，所以切线方程为 y+2n=-(n+2)2n-1(x-2)，令 x=0得，y+2 n=(n+2)2n，即 y=(n+1)2n，所以 an=(n+1)2n，所以 =2n，所以数列a𝑛𝑛+1是以 2 为首项，q=2 为公比的等比数列，所以 Sn= =2n+1-2.{ a𝑛𝑛+1} 2(1‒2𝑛)1‒2答案：2 n+1-21高考小题专攻练 5.立体几何小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A.若 α⊥β,m⊂α,n⊂β,则 m⊥nB.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥βC.若 m⊥n,m⊂α,n⊂β,则 α⊥βD.若 α∥β,m⊂α,n⊂β,则 m∥n【解析】选 B.若 α⊥β,m⊂α,n⊂ β,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 A 错误;因为 m⊥α,m∥n,所以 n⊥α,又因为 n∥β,所以 α⊥β,故 B 正确;若 m⊥n,m⊂α,n⊂β,则 α⊥β 或 α 与 β 相交,故 C 错误;若 α∥β,m⊂α,n⊂β,则 m∥n 或 m,n 异面,故 D 错误.2.一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形.若该几何体的体积为 V,并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体,则 V,n 的值是 ( )A.V=32,n=2 B.V= ,n=3643C.V= ,n=6 D.V=16,n=4323【解析】选 B.由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥,2所以 V= ×4×4×4= ,13 643边长为 4 的正方体 V=64,所以 n=3.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ( )A.(2+ )π B.(4+ )π C.4π D.6π5 5【解析】选 A.由三视图可知,该几何体由一个半球和一个圆锥构成,其表面积为S= ×(4×π×1 2+ ×2π)=(2+ )π.12 5 53.已知直线 l⊥平面 α,直线 m⊂平面 β,有下面四个命题:(1)α∥β⇒ l⊥m.(2)α⊥β⇒ l∥m.(3) l∥m⇒ α⊥β.(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的是 ( )A.(1)与(2) B.(1)与(3) C.(2)与(4) D.(3)与(4)【解析】选 B.因为直线 l⊥平面 α,α∥β,所以 l⊥平面 β,又因为直线 m⊂平面 β,所以 l⊥m,故(1)正确;因为直线 l⊥平面 α,α⊥β,所以 l∥平面 β,或 l⊂平面 β,又因为直线 m⊂平面 β,所以 l 与 m 可能平行也可能相交,还可能异面,故(2)错误;因为直线 l⊥平面 α, l∥m,所以 m⊥α,因为直线 m⊂平面 β,所以 α⊥β,故(3)正确;因为直线 l⊥平面 α, l⊥m,所以 m∥α 或 m⊂α,又因为直线 m⊂平面 β,则 α 与 β 可能平行也可能相交,故(4)错误.4.一个几何体的三视图如图,则其表面积为 ( )3A.20 B.18 C.14+2 D.14+23 2【解析】选 A.由三视图得其直观图如下,由正方体截去四个角得到,故其表面积 S=2×2+ ×2×2+4× ×2×2+4× × × =20.12 12 12 2 22+12【加固训练】多面体 MN-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,多面体及其正(主)视图和侧(左)视图如图所示,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长为 ( )A. B. C. D.23 5 6 2【解析】选 C.如图所示,E,F 分别为 AD,BC 的中点,则四边形 MNFE 为等腰梯形.过 M 作 MO⊥EF 于 O.4由正(主)视图为等腰梯形,可知 MN=2,AB=4,所以 EO=1.由侧(左)视图为等腰三角形,可知 AD=2,MO=2,所以 ME= = .E𝑂2+𝑀𝑂2 5在△AME 中,AE=1,所以 AM= = .A𝐸2+𝑀𝐸2 65.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若 M 为 AB 的中点,则点 C 到平面 A1DM 的距离为 ( )A. a B. a C. a D. a63 66 22 12【解析】选 A.如图所示.在△A 1DM 中,A 1M=DM= a.52取 A1D 的中点 E,连接 ME,则 ME⊥A 1D.所以 ME= M𝐷2‒𝐷𝐸2= = a.( 52𝑎)2‒( 22𝑎)2 32所以 = × a× a= a2.S△𝐴1𝐷𝑀12 2 32 645根据等体积法,设点 C 到平面 A1DM 的距离为 d,则 = .V𝐶‒𝐴1𝐷𝑀V𝐴1‒𝑀𝐷𝐶即 ·d= S△MDC ·A1A,13𝑆△𝐴1𝐷𝑀13所以 d= = = a.S△𝑀𝐷𝐶·𝑎𝑆△𝐴1𝐷𝑀12𝑎364𝑎2 636.已知一个平放的棱长均为 4 的三棱锥内有一小球 O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时,小球与该三棱锥各侧面均78相切(与水面也相切),则球的表面积等于 ( )A. π B. π C. π D. π76 43 23 12【解析】选 C.由题意,没有水的部分的体积是正四面体体积的 ,18因为正四面体的各棱长均为 4,所以正四面体体积为 × ×42× = .13 34 16‒1631623所以没有水的部分的体积是 ,223设其棱长为 a,则 × a2× a= ,13 34 63 223所以 a=2.设小球的半径为 r,则 4× × ×22r= ,13 34 223所以 r= ,66所以球的表面积 S=4π· = π.162367.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=60°,AB⊥平面 BCD,则球 O 的表面积为 ( )A.8π B. π C. π D. π823 833 163【解析】选 D.如图,因为 BC=CD=1,∠BCD=60°,所以底面△BCD 为等边三角形,取 CD 中点为 E,连接 BE,所以△BCD 的外心 G 在 BE 上,取 BC 中点 F,连接 GF,则 BF= BC= ,12 12又在 Rt△BFG 中,得 BG= = ,12𝑐𝑜𝑠30°33过 G 作 AB 的平行线与 AB 的中垂线 HO 交于 O,则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心,即 R=OB,因为 AB⊥平面 BCD,所以 OG⊥BG,在 Rt△BGO 中,OB= = = .O𝐺2+𝐵𝐺2 12+( 33)2233所以球 O 的表面积为 4π· = .(233)216𝜋38.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上的一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则下列命题正确的是 ( )7A.AD⊥平面 PBC 且三棱锥 D-ABC 的体积为83B.BD⊥平面 PAC 且三棱锥 D-ABC 的体积为83C.AD⊥平面 PBC 且三棱锥 D-ABC 的体积为163D.BD⊥平面 PAC 且三棱锥 D-ABC 的体积为163【解析】选 C.因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC.又 AC⊥BC,PA∩AC=A,所以 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥AD.又由三视图可得,在△PAC 中,PA=AC=4,D 为 PC 的中点,所以 AD⊥PC,又 PC∩BC=C,故 AD⊥平面 PBC.又由三视图可知 BC=4,而∠ADC=90°,BC⊥平面 PAC,故 VD-ABC=VB-ADC= × ×2 ×2 ×4= .1312 2 2 1639.如图所示,等腰直角三角形 ABC 中,AB=2,D,E,F 分别在边 AB,BC,CA 上,且 DE∥AC,EF∥AB,现沿 DE 折叠,使平面 BDE⊥平面 ADEF,若此时棱锥 B-ADEF 的体积最大,则 BD 的长为 ( )8A. B. C.1 D.23 43 32【解析】选 B.设 BD 的长为 x 时,棱锥 B-ADEF 的体积最大.因为等腰直角三角形 ABC 中,AB=2,DE∥AC,EF∥AB,所以 BD 为棱锥 B-ADEF 的高,此时底面 ADEF 为矩形,AD=2-x,DE=x,故棱锥 B-ADEF 的体积 V= ×AD×DE×BD13= (2-x)·x·x=- x3+ x2.13 13 23V′=-x 2+ x,当 00,此时函数为增函数;43 43当 x2 时,V′0,此时函数为减函数,43故当 x= 时函数取得最大值,即当 BD= 时,棱锥 B-ADEF 的体积最大.43 43二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)10.如图所示，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，将此正方形沿 EF 折成直二面角后，异面直线 AF 与 BE 所成角的余弦值为________.【解析】过 F 点作 HF∥BE，与 BC 交于点 H.过 A 点作 EF 的垂线 AG，垂足为 G，连接HG，HE，AH.设正方形 ABCD 的边长为 2，因为平面 AEF⊥平面 BCDFE，且 AG⊥EF，所以 AG⊥平面 BCDFE.因为 BE=BH=AE=AF=1，所以 EH=EF= .29因为 G 为 EF 的中点，所以 EG= ，AG= .22 22又因为 HF=2，所以∠HEG=90°，所以在 Rt△EHG 中，HG= = .( 22)2+( 2)2 102所以在 Rt△AGH 中，AH= = .( 102)2+( 22)2 3因为 HF∥BE，所以 AF 与 BE 所成的角即为∠AFH.在△AHF 中，AF=1，HF=2，AH= ，所以∠HAF=90°.3所以 cos∠AFH= = .A𝐹𝐻𝐹12答案：1211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为________.【解析】由三视图可知，几何的直观图如图所示.平面 AED⊥平面 BCDE，四棱锥 A-BCDE 的高为 1，四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形，10则 S△AED = ×1×1= ，12 12S△ABC =S△ABE = ×1× = ，S △ACD = ×1× = .12 2 22 12 5 52答案：5212.如图所示,△ABC 中,∠C=90°,∠B=60°,AB=2 ,在三角形内挖去半圆(圆心 O 在边 AC3上,半圆与 BC,AB 相切于点 C,M,与 AC 交于 N),则图中阴影部分绕直线 AC 旋转一周所得旋转体的内外表面积之比为__________.【解析】在 Rt△ABC 中,因为∠C=90°,∠B=60°,AB=2 ,所以 BC= ,AC=3.3 3所以几何体的外表面积为 S1=πBC 2+π×BC×AB=9π.设圆 O 的半径为 r,由圆的性质得 BM=BC= ,所以 AM= ,OM=r,3 3因为 Rt△AOM∽Rt△ABC,所以 = ,即 = ,解得 r=1.A𝑀𝐴𝐶O𝑀𝐵𝐶 33 r3所以几何体的内表面积 S2=4πr 2=4π.所以几何体的内外表面积之比为 = .S2𝑆149答案:4913.三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，PA=PC=AB=2 ，AC=4，∠BAC=30°.若三棱锥3P-ABC 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.11【解析】因为 AB=2 ，AC=4，∠BAC=30°，3所以 BC= =2，所以 AB2+BC2=AC2，12+16‒2×23×4×32所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC=90°，所以三角形 ABC 的外接圆直径 AC=4，设球心为 O，AC 的中点为 D，球的半径为 R，则 PD=2 ，2所以 R2=(2 -R)2+4，2则有该三棱锥的外接球的半径 R= ，322所以该三棱锥的外接球的表面积为 S=4πR 2=4π× =18π.(322)2答案：18π