1、数学解题教学中的经验回归以一道高考题为例 于成宽 南宁市第二中学 乔治波利亚 (George Polya, 18871985) 是美籍匈牙利数学家、数学教育家。在解题方面, 是数学启发法 (指关于发现和发明的方法和规律, 亦译为探索法) 现代研究的先驱, 其编著的怎样解题畅销全球。著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过:“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”。“怎样解题表”是怎样解题一书的精华, 这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到, 表中所述看似很平常的解题步骤或方法, 其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤, 包括
2、“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”;其精髓是启发你去联想, 而联想起源于经验, 是对已有认知和经验的“再创造过程”。普通高中数学课程标准指出, 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。数学经验是保证学生顺利掌握数学知识、形成数学思想、把握数学观念的重要条件和学生认知活动必要的前提。数学经验的回归应作为数学学习的起始点, 解题教学中的生长点, 为数学经验的迁移提供正向迁移推动力。引例 1 (人教 A 版必修一 P29) 如图是定义在区间-5, 5上的函数 y=f (x) , 根据图像说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 它是增函数还是减函数?
3、解:函数 y=f (x) 的单调区间有-5, -2) , -2, 1) , 1, 3) , 3, 5, 其中 y=f (x) 在区间-5, -2) , 1, 3) 上是减函数, 在区间-2, 1) , 3, 5上是增函数。本例利用图像判定函数的单调区间及其单调性, 通过数形结合的方式, 直观描述函数单调性的定义。与此同时, 此图像也从代数关系上阐述了函数单调性的定义:一般地, 设 f 为定义在 D 上的函数。若对任何 x1、x 2D, 当 x1f (x2) 时, 称 f 为 D 上的严格减函数。反过来, 若函数 y=f (x) 在区间 D 上单调, 则根据单调性, 可以通过函数值大小关系比较自
4、变量的大小。【解析】本例中的函数 f (x) 没有给出解析式, 无法通过直接代入解不等式的方式解决, 同时, 没有解析式也无法利用画出函数图像或者利用导数工具判定单调性;利用代数不等式判定单调性, 再利用函数的单调性性质解决不等关系是解决该问题的主要方向。过程如下:对于 x11 时, g (x) 1 时, g (x) 0, (x) 的大致图像如图所示, 【解题经验应用】波利亚在怎样解题中也给我们阐述了这样一个观点:为当你解答的题目并不陌生, 有些似曾相识的时候可能会不以为然, 但你若因此而感到有兴趣, 并被好奇所激发时, 你的创造力将被激起, 并被发挥出来;特别是如果你用自己独一无二的方法做出
5、时, 你将饱含成就感。心理学家把人的知识和技能分为层层嵌套的三个圆环形区域:最内一层是“舒适区”, 是我们已经熟练掌握的各种技能;最外一层是“恐慌区”, 是我们暂时无法学会的技能, 二者中间则是“学习区”。只有在学习区里面练习, 一个人才可能进步。有效的练习任务必须精确的在受训者的“学习区”内进行, 具有高度的针对性。维果茨基提出了最近发展区的概念, 所谓最近发展区是指学生未受到成人指导能达到的水平与接受指导能达到的水平之间的区域。根据维果茨基的观点, 好的数学教学应当基于学生现有数学经验, 呈现稍微高于学生当前发展水平的材料, 也就是脱离“舒适区”, 迈向“学习区”的学习内容。因此, 回归数学经验的解题教学应该是解题教学中的出发点, 是解题教学之本;解题教学在经验回归中让学生去发现、激励、创造, 有助其解决问题的素养和能力的提升。参考文献1George Polya.怎样解题 2苏文玉.一道高考模拟题的多视角剖析.数学通讯J, 2016. (2) ;34-36 3罗世评.巧用对称性证明零点不等式.中学数学研究J, 2016, (8) ;32-33 4刑友宝.极值点偏移问题的处理策略.中学数学教学参考J, 2014 (7) ;19-22 5朱清风、徐解清.解题教学让学生学会回归.数学通讯J, 2016. (1) ;1-2
