2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 理（课件+习题）（打包22套）北师大版.zip

1计时双基练五十一 两条直线的位置关系A组 基础必做1．直线 l过点(－1,2)且与直线 2x－3 y＋4＝0 垂直，则 l的方程是( )A．3 x＋2 y－1＝0 B．3 x＋2 y＋7＝0C．2 x－3 y＋5＝0 D．2 x－3 y＋8＝0解析 由题意知，直线 l的斜率是－ ，因此直线 l的方程为 y－2＝－ (x＋1)，即32 323x＋2 y－1＝0。答案 A2．不论 m为何值时，直线( m－1) x＋(2 m－1) y＝ m－5 恒过定点( )A. B．(－2,0)(1， －12)C．(2,3) D．(9，－4)解析 由( m－1) x＋(2 m－1) y＝ m－5，得( x＋2 y－1) m－( x＋ y－5)＝0，所以Error!得定点坐标为(9，－4)。答案 D3．(2016·广元模拟)若直线 l1： x－2 y＋ m＝0( m0)与直线 l2： x＋ ny－3＝0 之间的距离是 ，则 m＋ n＝( )5A．0 B．1C．－1 D．2解析 ∵直线 l1： x－2 y＋ m＝0( m0)与直线 l2： x＋ ny－3＝0 之间的距离为 。5∴Error!∴ n＝－2， m＝2(负值舍去)。∴ m＋ n＝0。答案 A4．当 00，故交点在第二象限。kk－ 1 2k－ 1k－ 1答案 B5．已知 A， B两点分别在两条互相垂直的直线 2x－ y＝0 与 x＋ ay＝0 上，且线段 AB的2中点为 P ，则线段 AB的长为( )(0，10a)A．11 B．10C．9 D．8解析 由两直线互相垂直，得－ ·2＝－1，解得 a＝2，所以中点 P的坐标为(0,5)，1a则 OP＝5，在直角三角形 OAB中，斜边 AB＝2 OP＝2×5＝10，所以线段 AB的长为 10。答案 B6.如图，已知 A(4,0)、 B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB反射后再射到直线OB上，最后经直线 OB反射后又回到 P点，则光线所经过的路程是( )A．2 B．610C．3 D．23 5解析 由题意知点 P关于直线 AB的对称点为 D(4,2)，关于 y轴的对称点为 C(－2,0)，则光线所经过的路程 PMN的长为| CD|＝2 。10答案 A7．点 P为 x轴上的一点， A(1,1)， B(3,4)，则| PA|＋| PB|的最小值是________。解析 点 A(1,1)关于 x轴的对称点 A′(1，－1)，则| PA|＋| PB|的最小值是线段 A′ B的长 。29答案 298．若直线 l经过两直线 7x＋5 y－24＝0 和 x－ y＝0 的交点，且点(5,1)到 l的距离为，则直线 l的方程是________。10解析 由Error!得交点的坐标为(2,2)。当直线 l的斜率不存在时不合题意，故设直线l的方程为 y－2＝ k(x－2)，即 kx－ y＋2－2 k＝0。∵ ＝ ，解得|5k－ 1＋ 2－ 2k|k2＋  － 1 2 10k＝3，∴直线 l的方程为 3x－ y－4＝0。答案 3 x－ y－4＝039．若直线 m被两平行线 l1： x－ y＋1＝0 与 l2： x－ y＋3＝0 所截得的线段的长为2 ，则 m的倾斜角可以是2①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________。解析 两直线 x－ y＋1＝0 与 x－ y＋3＝0 之间的距离为 ＝ ，又动直线 l1与 l2|3－ 1|2 2所截得的线段长为 2 ，故动直线与两直线的夹角应为 30°，又因为 l1， l2的倾斜角为245°，因此只有①⑤合适。答案 ①⑤10．已知直线 l的方程为 3x＋4 y－12＝0，求满足下列条件的直线 l′的方程。(1)l′与 l平行且过点(－1,3)；(2)l′与 l垂直且 l′与两坐标轴围成的三角形面积为 4；(3)l′是 l绕原点旋转 180°而得到的直线。解 (1)直线 l：3 x＋4 y－12＝0， kl＝－ 。34又∵ l′∥ l，∴ kl′ ＝ kl＝－ 。34∴直线 l′为 y＝－ (x＋1)＋3，即 3x＋4 y－9＝0。34(2)∵ l′⊥ l，∴ kl′ ＝ 。43设 l′在 x轴上的截距为 b，则 l′在 y轴上的截距为－ b，43由题意可知， S＝ |b|· ＝4，∴ b＝± 。12 |－ 43b| 6∴直线 l′为 y＝ (x＋ )或 y＝ (x－ )。43 6 43 6(3)∵ l′是 l绕原点旋转 180°而得到的直线，∴ l′与 l关于原点对称。任取点( x0， y0)在 l上，则在 l′上对称点为( x， y)。x＝－ x0， y＝－ y0，则－3 x－4 y－12＝0。∴直线 l′为 3x＋4 y＋12＝0。11．已知直线 l经过直线 2x＋ y－5＝0 与 x－2 y＝0 的交点。(1)若点 A(5,0)到 l的距离为 3，求 l的方程；(2)求点 A(5,0)到 l的距离的最大值。解 (1)经过两已知直线的交点的直线系方程为(2 x＋ y－5)＋ λ (x－2 y)＝0，即(2＋ λ )x＋(1－2 λ )y－5＝0，4∴ ＝3，|10＋ 5λ － 5| 2＋ λ  2＋  1－ 2λ  2即 2λ 2－5 λ ＋2＝0，∴ λ ＝2 或 ，12∴ l的方程为 x＝2 或 4x－3 y－5＝0。(2)由Error! 得交点 P(2,1)，设 d为点 A到直线 l的距离，由图易知 d≤| PA|(当 l⊥ PA时取等号)，∴ dmax＝| PA|＝ 。10B组 培优演练1．已知直线 y＝2 x是△ ABC中∠ C的平分线所在的直线，若点 A， B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点 C的坐标为( )A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)解析 点 A关于直线 y＝2 x对称的点为(4，－2)，且点 A关于 y＝2 x对称的点在直线BC上，于是 BC方程为 3x＋ y－10＝0，由Error!得点 C的坐标为(2,4)。答案 C2．若动点 A， B分别在直线 l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 上移动，则线段 AB的中点 M到原点的距离的最小值为( )A．3 B．22 2C．3 D．43 2解析 依题意，设点 M的轨迹方程为 x＋ y＋ m＝0，根据两平行线间的距离公式得＝ ⇒|m＋7|＝| m＋5|⇒ m＝－6，∴有 x＋ y－6＝0，∴点 M到原点的距离的最|m＋ 7|2 |m＋ 5|2小值为 ＝3 。|－ 6|2 2答案 C3．已知平面上三条直线 x＋2 y－1＝0， x＋1＝0， x＋ ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k的所有取值为________。解析 若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时 k＝0或 2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时 k＝1，故实数 k的所有取值为 0,1,2。答案 0,1,24．已知直线 l1： x＋ a2y＋1＝0 和直线 l2：( a2＋1) x－ by＋3＝0( a， b∈R)。(1)若 l1∥ l2，求 b的取值范围；(2)若 l1⊥ l2，求| ab|的最小值。解 (1)因为 l1∥ l2，所以－ b－( a2＋1) a2＝0，5即 b＝－ a2(a2＋1)＝－ a4－ a2＝－ 2＋ ，(a2＋12) 14因为 a2≥0，所以 b≤0。又因为 a2＋1≠3，所以 b≠－6。故 b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]。(2)因为 l1⊥ l2，所以( a2＋1)－ a2b＝0，显然 a≠0，所以 ab＝ a＋ ，| ab|＝| a＋ |≥2，1a 1a当且仅当 a＝±1 时，取等号，因此| ab|的最小值为 2。1计时双基练五十二 圆的方程A组 基础必做1．若直线 3x＋ y＋ a＝0 过圆 x2＋ y2＋2 x－4 y＝0 的圆心，则 a的值为( )A．－1 B．1C．3 D．－3解析 因为圆 x2＋ y2＋2 x－4 y＝0 的圆心为(－1,2)，所以 3×(－1)＋2＋ a＝0，解得 a＝1。答案 B2．设圆的方程是 x2＋ y2＋2 ax＋2 y＋( a－1) 2＝0，若 00，即 ，所以原点在圆外。 0＋ a 2＋  0＋ 1 2 2a答案 B3．(2016·银川模拟)圆心在 y轴上且过点(3,1)的圆与 x轴相切，则该圆的方程是( )A． x2＋ y2＋10 y＝0 B． x2＋ y2－10 y＝0C． x2＋ y2＋10 x＝0 D． x2＋ y2－10 x＝0解析 设圆心为(0， b)，半径为 r，则 r＝| b|，∴圆的方程为 x2＋( y－ b)2＝ b2，∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－ b)2＝ b2，解得 b＝5，∴圆的方程为 x2＋ y2－10 y＝0。答案 B4．已知圆 C1：( x－2) 2＋( y－3) 2＝1，圆 C2：( x－3) 2＋( y－4) 2＝9， M， N分别是圆C1， C2上的动点， P为 x轴上的动点，则| PM|＋| PN|的最小值为( )A．5 －4 B. －12 17C．6－2 D.2 17解析 圆 C1， C2的圆心分别为 C1， C2，由题意知| PM|≥| PC1|－1，| PN|≥| PC2|－3，∴| PM|＋| PN|≥| PC1|＋| PC2|－4，故所求值为| PC1|＋| PC2|－4 的最小值。又 C1关于x轴对称的点为 C3(2，－3)，如图所示，2∴| PC1|＋| PC2|－4 的最小值为＝| C3C2|－4＝ －4＝5 －4。故选 A。 2－ 3 2＋  － 3－ 4 2 2答案 A5．点 P(4，－2)与圆 x2＋ y2＝4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．( x－2) 2＋( y＋1) 2＝1B．( x－2) 2＋( y＋1) 2＝4C．( x＋4) 2＋( y－2) 2＝4D．( x＋2) 2＋( y－1) 2＝1解析 设圆上任一点为 Q(x0， y0)， PQ的中点为 M(x， y)，则Error! 解得Error!因为点 Q在圆 x2＋ y2＝4 上，所以 x ＋ y ＝4，即(2 x－4)20 202＋(2 y＋2) 2＝4，化简得( x－2) 2＋( y＋1) 2＝1。答案 A6．设点 M(x0,1)，若在圆 O： x2＋ y2＝1 上存在点 N，使得∠ OMN＝45°，则 x0的取值范围是( )A．[－1,1] B.[－12， 12]C．[－ ， ] D.2 2 [－22， 22]解析 解法一(几何法)：如图所示，设点 A(0,1)关于直线 OM的对称点为 P，则点 P在圆 O上，且 MP与圆 O相切，而点 M在直线 y＝1 上运动，由圆上存在点 N使∠ OMN＝45°，则∠ OMN≤∠ OMP＝∠ OMA，∴∠ OMA≥45°，∴∠ AOM≤45°。当∠ AOM＝45°时， x0＝±1。∴结合图像知，当∠ AOM≤45°时，－1≤ x0≤1，3∴ x0的范围为[－1,1]。解法二(代数法)：设 MN与 x轴交点为 P，∠ MOP＝ α ，则∠ MPE＝ α ＋ ，π4所以 kMN＝tan ＝ ＝ ＝ ，利用点斜式建立 MN方程可得(α ＋π4) 1＋ tan α1－ tan α1＋ 1x01－ 1x0 x0＋ 1x0－ 1y－1＝ (x－ x0)，化简得(1＋ x0)x＋(1－ x0)y－( x ＋1)＝0，则 O到 MN的距离满足x0＋ 1x0－ 1 20≤1，化简得－1≤ x0≤1，故选 A。|x20＋ 1|2＋ 2x20答案 A7．若圆 C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y＝1 相切，则圆 C的方程是________。解析 如图，设圆心坐标为(2， y0)，则Error!解得 y0＝－ ， r＝ ，32 52∴圆 C的方程为( x－2) 2＋ 2＝ 。(y＋32) 254答案 ( x－2) 2＋ 2＝(y＋32) 2548．已知圆 x2＋ y2＋2 x－4 y＋ a＝0 关于直线 y＝2 x＋ b成轴对称，则 a－ b的取值范围是________。解析 ∵圆的方程可化为( x＋1) 2＋( y－2) 2＝5－ a，∴其圆心为(－1,2)，且 5－ a0，即 a0)，则 k、2 为 x2＋ Dx＋ F＝0的两根，∴ k＋2＝－ D,2k＝ F，即 D＝－( k＋2)， F＝2 k，又圆过 R(0,1)，故 1＋ E＋ F＝0。∴ E＝－2 k－1。故所求圆的方程为 x2＋ y2－( k＋2) x－(2 k＋1) y＋2 k＝0，圆心坐标为 。(k＋ 22， 2k＋ 12 )∵圆 C在点 P处的切线斜率为 1，∴ kCP＝－1＝ ，∴ k＝－3。2k＋ 12－ k∴ D＝1， E＝5， F＝－6。∴所求圆 C的方程为 x2＋ y2＋ x＋5 y－6＝0。11．已知以点 P为圆心的圆经过点 A(－1,0)和 B(3,4)，线段 AB的垂直平分线交圆 P于点 C和 D，且| CD|＝4 。10(1)求直线 CD的方程；(2)求圆 P的方程。解 (1)∵直线 AB的斜率 k＝1， AB的中点坐标为(1,2)，∴直线 CD的方程为 y－2＝－( x－1)，即 x＋ y－3＝0。(2)设圆心 P(a， b)，则由 P在 CD上得 a＋ b－3＝0。 ①又∵直径| CD|＝4 ，105∴| PA|＝2 。10∴( a＋1) 2＋ b2＝40。 ②由①②解得Error!或Error!∴圆心 P(－3,6)或 P(5，－2)。∴圆 P的方程为( x＋3) 2＋( y－6) 2＝40 或( x－5) 2＋( y＋2) 2＝40。B组 培优演练1．已知圆 C关于 y轴对称，经过点(1,0)且被 x轴分成两段弧长比为 1∶2，则圆 C的方程为( )A. 2＋ y2＝ B. 2＋ y2＝(x±33) 43 (x±33) 13C． x2＋ 2＝ D． x2＋ 2＝(y±33) 43 (y±33) 13解析 由已知得圆心在 y轴上，且被 x轴所分劣弧所对圆心角为 π，设圆心(0， a)，23半径为 r，则 rsin ＝1， rcos ＝| a|，解得 r＝ ，即 r2＝ ，| a|＝ ，π3 π3 23 43 33即 a＝± ，故圆 C的方程为 x2＋ 2＝ 。33 (y±33) 43答案 C2．已知直线 ax＋ by＝1( a， b是实数)与圆 O： x2＋ y2＝1( O是坐标原点)相交于2A， B两点，且△ AOB是直角三角形，点 P(a， b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M上的任意一点，则圆 M的面积的最小值为________。解析 因为直线与圆 O相交所得△ AOB是直角三角形，可知∠ AOB＝90°，所以圆心 O到直线的距离为 ＝ ，12a2＋ b2 22所以 a2＝1－ b2≥0，即－ ≤ b≤ 。12 2 2设圆 M的半径为 r，则 r＝| PM|＝ a2＋  b－ 1 2＝ ＝ (2－ b)。12b2－ 2b＋ 2 22又－ ≤ b≤ ，所以 ＋1≥| PM|≥ －1，2 2 2 2所以圆 M的面积的最小值为(3－2 )π。2答案 (3－2 )π23．(2015·湖北卷)如图，圆 C与 x轴相切于点 T(1,0)，与 y轴正半轴交于两点A， B(B在 A的上方)，且| AB|＝2。6(1)圆 C的标准方程为________；(2)过点 A任作一条直线与圆 O： x2＋ y2＝1 相交于 M， N两点，下列三个结论：① ＝ ；② － ＝2；|NA||NB| |MA||MB| |NB||NA| |MA||MB|③ ＋ ＝2 。|NB||NA| |MA||MB| 2其中正确结论的序号是________。(写出所有正确结论的序号)解析 (1)由题意可设圆心 C坐标为(1， b)，取 AB中点为 P，连接 CP， CB，则△ BPC为直角三角形，得| BC|＝ r＝ ＝ b，2故圆 C的标准方程为( x－1) 2＋( y－ )2＝2。2(2)由(1)知圆 C的方程为( x－1) 2＋( y－ )2＝2，2令 x＝0，得 y1＝ －1 或 y2＝ ＋1，2 2所以 A(0， －1)， B(0， ＋1)。2 2设 M(cos θ ，sin θ )，则| MB|2＝cos 2θ ＋(sin θ － －1) 22＝4＋2 －2( ＋1)sin θ ，2 2|MA|2＝cos 2θ ＋[sin θ －( －1)] 22＝4－2 －2( －1)sin θ 。2 2∴ ＝|MB|2|MA|2 4＋ 22－ 2 2＋ 1 sin θ4－ 22－ 2 2－ 1 sin θ＝ ＝2＋ 2－  2＋ 1 sin θ2－ 2－  2－ 1 sin θ  2＋ 1  2－ sin θ  2－ 1  2－ sin θ ＝ ＝3＋2 。2＋ 12－ 1 2∴ ＝1＋ 。|MB||MA| 2同理 ＝1＋ 。|NB||NA| 2∴ ＝ ，即①成立。|NA||NB| |MA||MB|又 － ＝1＋ － ＝1＋ －( －1)＝2，|NB||NA| |MA||MB| 2 11＋ 2 2 27∴②也成立。又 ＋ ＝1＋ ＋ ＝2 ，∴③也成立。|NB||NA| |MA||MB| 2 11＋ 2 2综上所述，①②③都正确。答案 (1)( x－1) 2＋( y－ )2＝2 (2)①②③24．如图，已知圆 O的直径| AB|＝4，定直线 l到圆心的距离为 4，且直线 l垂直于直线 AB，点 P是圆 O上异于 A， B的任意一点，直线 PA， PB分别交 l于 M， N两点。(1)若∠ PAB＝30°，求以 MN为直径的圆的方程；(2)当点 P变化时，求证：以 MN为直径的圆必过圆 O内的一定点。解 如图，建立直角坐标系，得⊙ O的方程为 x2＋ y2＝4，直线 l的方程为 x＝4。(1)当点 P在 x轴上方时，因为∠ PAB＝30°，所以点 P的坐标为(1， )，3所以 lAP： y＝ (x＋2)， lBP∶ y＝－ (x－2)。33 3将 x＝4 分别代入，得 M(4,2 )， N(4，－2 )，3 3所以线段 MN的中点坐标为(4,0)，| MN|＝4 。3所以以 MN为直径的圆的方程为( x－4) 2＋ y2＝12。同理，当点 P在 x轴下方时，所求圆的方程仍是(x－4) 2＋ y2＝12。综上，以 MN为直径的圆的方程为( x－4) 2＋ y2＝12。(2)证明：设点 P的坐标为( x0， y0)，则 y0≠0，所以 x ＋ y ＝4( y0≠0)，20 20所以 y ＝4－ x ，20 208因为 lPA： y＝ (x＋2)， lPB： y＝ (x－2)，y0x0＋ 2 y0x0－ 2将 x＝4 分别代入，得 yM＝ ， yN＝ ，6y0x0＋ 2 2y0x0－ 2所以 M ， N ，(4，6y0x0＋ 2) (4， 2y0x0－ 2)所以| MN|＝ ＝ ，|6y0x0＋ 2－ 2y0x0－ 2| 4|x0－ 4||y0|线段 MN的中点坐标为 ，(4， －4 x0－ 1y0 )以 MN为直径的圆 O′截 x轴所得的线段长度为2 4 x0－ 4 2y20 － 16 x0－ 1 2y20＝ ＝ ＝4 。4|y0| 12－ 3x20 43|y0| 4－ x20 3则圆 O′与 x轴的两交点坐标分别为(4－2 ，0)，(4＋2 ，0)，3 3又(4－2 )2＋0 2＝28－16 4，3 3所以⊙ O′必过⊙ O内定点(4－2 ，0)。31计时双基练五十三 直线与圆、圆与圆的位置关系A 组 基础必做1．(2015·安徽卷)直线 3x＋4 y＝ b 与圆 x2＋ y2－2 x－2 y＋1＝0 相切，则 b 的值是( )A．－2 或 12 B．2 或－12C．－2 或－12 D．2 或 12解析 由题意知，圆的标准方程为( x－1) 2＋( y－1) 2＝1，其圆心为(1,1)，半径为 1，则圆心到直线 3x＋4 y＝ b 的距离 d＝ ＝1，所以 b＝2 或 b＝12。|7－ b|5答案 D2．(2015·成都外国语学校模拟)已知圆 C1：( x＋1) 2＋( y－1) 2＝1，圆 C2与圆 C1关于直线 x－ y－1＝0 对称，则圆 C2的方程为( )A．( x＋2) 2＋( y－2) 2＝1 B．( x－2) 2＋( y＋2) 2＝1C．( x＋2) 2＋( y＋2) 2＝1 D．( x－2) 2＋( y－2) 2＝1解析 C1：( x＋1) 2＋( y－1) 2＝1 的圆心为(－1,1)，所以它关于直线 x－ y－1＝0 对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆 C2的方程为( x－2) 2＋( y＋2) 2＝1。答案 B3．(2016·合肥模拟)已知圆 C：( x－1) 2＋ y2＝1 与直线 l： x－2 y＋1＝0 相交于 A， B两点，则| AB|＝( )A. B.255 55C. D.235 35解析 圆 C：( x－1) 2＋ y2＝1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1，因为 C(1,0)到直线l： x－2 y＋1＝0 的距离为 ，所以| AB|＝2 ＝ 。故选 A。25 1－ 45 255答案 A4．(2015·北京西城区期末)已知圆 C：( x＋1) 2＋( y－1) 2＝1 与 x 轴切于 A 点，与 y轴切于 B 点，设劣弧 的中点为 M，则过点 M 的圆 C 的切线方程是( )ABA． y＝ x＋2－ B． y＝ x＋1－212C． y＝ x－2＋ D． y＝ x＋1－2 2解析 因为圆 C 与两轴相切，且 M 是劣弧 的中点，所以直线 CM 是第二、四象限的角AB平分线，所以斜率为－1，所以过 M 的切线的斜率为 1。因为圆心到原点的距离为 ，所以2|OM|＝ －1，所以 M ，所以切线方程为 y－1＋ ＝ x－ ＋1，整理得2 (22－ 1， 1－ 22) 22 222y＝ x＋2－ 。2答案 A5．(2015·江西卷)在平面直角坐标系中， A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB为直径的圆 C 与直线 2x＋ y－4＝0 相切，则圆 C 面积的最小值为( )A. B.4π5 3π4C．(6－2 )π D.55π4解析 解法一：设 A(a,0)， B(0， b)，圆 C 的圆心坐标为 ，2 r＝ ，由题(a2， b2) a2＋ b2知圆心到直线 2x＋ y－4＝0 的距离 d＝ ＝ r，即|a＋ b2－ 4|5|2a＋ b－8|＝2 r,2a＋ b＝8±2 r，由(2 a＋ b)2≤5( a2＋ b2)，得5 58±2 r≤2 r⇒r≥ ，即圆 C 的面积 S＝π r2≥ 。5 525 4π5解法二：由题意可知以线段 AB 为直径的圆 C 过原点 O，要使圆 C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小。又圆 C 与直线 2x＋ y－4＝0 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点 O 到直线 2x＋ y－4＝0 的距离，此时 2r＝ ，得 r＝ ，圆 C 的面积的最45 25小值为 S＝π r2＝ 。4π5答案 A6．已知直线 x＋ y－ k＝0( k0)与圆 x2＋ y2＝4 交于不同的两点 A， B， O 是坐标原点，且有| ＋ |≥ | |，那么 k 的取值范围是( )OA→ OB→ 33 AB→ A．( ，＋∞) B．[ ，＋∞)3 2C．[ ，2 ) D．[ ，2 )2 2 3 2解析 如图，当| ＋ |＝ | |时， O， A， B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA→ OB→ 33 AB→ OA＝ OB，∠ AOB＝120°，从而圆心 O 到直线 x＋ y－ k＝0( k0)的距离为 1，此时 k＝ ；当2k 时， | ＋ | | |，又直线与圆 x2＋ y2＝4 有两个不同的交点，故 k0)，直线 l： x0x＋ y0y＝ r2，有以下几个结论：①若点 P 在圆 O 上，则直线 l 与圆 O 相切；②若点 P 在圆 O 外，则直线 l 与圆 O 相离；③若点 P 在圆 O 内，则直线 l 与圆 O 相交；④无论点 P 在何处，直线 l 与圆 O 恒相切。其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析 根据点到直线的距离公式有 d＝ ，若点 P 在圆 O 上，则r2x20＋ y20x ＋ y ＝ r2， d＝ r，相切；若点 P 在圆 O 外，则 x ＋ y r2， dr，相离，故只有①正确。20 20答案 A3．(2015·北京市东城区高三上学期期末)已知圆 C： x2＋ y2＝2，直线l： x＋2 y－4＝0，点 P(x0， y0)在直线 l 上，若存在圆 C 上的点 Q，使得∠ OPQ＝45°( O 为坐标原点)，则 x0的取值范围是( )A．[0,1] B.[0，85]C. D.[－12， 1] [－ 12， 85]解析 计算知，直线 l 与圆相离，过直线 l 上一点 P 作圆 C 的两条切线，记该点对圆6C 的张角为 θ ，则圆上存在点 Q 使得∠ OPQ∈ 。(0，θ 2)由此知只需在直线 l 上寻找对圆的张角等于 90°的两点 P1、 P2，则线段 P1P2即是符合题意的 P 点所形成的轨迹。事实上，张角等于 90°时， P 点与圆心及切点构成的四边形为正方形，OP＝ · ＝2 。2 2记 P ，则(x0，12 4－ x0 )x ＋ (4－ x0)2＝4，2014解得 x0＝0 或 x0＝ ，故选 B。85答案 B4．(2015·广东广州二模)已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点(0,0)和(－1,1)，圆 D 的方程为( x－4) 2＋ y2＝4。(1)求圆 C 的方程；(2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A， B 两点，求| AB|的取值范围。解 (1)设圆 C 的方程为：( x－ a)2＋ y2＝ r2(r0)，因为圆 C 过点(0,0)和(－1,1)，所以Error! 解得 a＝－1， r＝1。所以圆 C 的方程为( x＋1) 2＋ y2＝1。(2)设圆 D 上的动点 P 的坐标为( x0， y0)，则( x0－4) 2＋ y ＝4，20即 y ＝4－( x0－4) 2≥0，解得 2≤ x0≤6。20由圆 C 与圆 D 的方程可知，过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在，设 PA 的方程为： y－ y0＝ k1(x－ x0)， PB 的方程为： y－ y0＝ k2(x－ x0)。则点 A 的坐标为(0， y0－ k1x0)，点 B 的坐标为(0， y0－ k2x0)，所以| AB|＝| k1－ k2|x0。因为 PA， PB 是圆 C 的切线，所以 k1， k2满足 ＝1，即 k1， k2是方程( x|－ k＋ y0－ kx0|k2＋ 1＋2 x0)k2－2 y0(x0＋1) k＋ y －1＝0 的两根，20 20即Error!所以| AB|＝| k1－ k2|x07＝ x0 。[2y0 x0＋ 1x20＋ 2x0 ]2－ 4 y20－ 1x20＋ 2x0因为 y ＝4－( x0－4) 2，20所以| AB|＝2 。25x0－ 6 x0＋ 2 2设 f(x0)＝ ，则 f′( x0)＝ 。5x0－ 6 x0＋ 2 2 － 5x0＋ 22 x0＋ 2 3由 2≤ x0≤6，可知 f(x0)在 上是增函数，在 上是减函数，[2，225] (225， 6]所以[ f(x0)]max＝ f ＝ ，(225) 2564[f(x0)]min＝min{ f(2)， f(6)}＝min ＝ ，{14， 38} 14所以| AB|的取值范围为 。[2，524]1计时双基练五十四 椭圆A组 基础必做1．椭圆 ＋ ＝1 的焦距为 4，则 m等于( )x210－ m y2m－ 2A．4 B．8C．4 或 8 D．12解析 当焦点在 x轴上时，10－ mm－20，10－ m－( m－2)＝4，∴ m＝4。当焦点在 y轴上时， m－210－ m0， m－2－(10－ m)＝4，∴ m＝8。答案 C2．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，且长轴长为 12，离心率为 ，则椭圆的方13程是( )A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1x2144 y2128 x236 y220C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1x232 y236 x236 y232解析 由题意知 2a＝12， ＝ ，即 a＝6， c＝2，故 b2＝36－4＝32。ca 13答案 D3．如果方程 x2＋ ky2＝2 表示焦点在 y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．(0,1]解析 由 x2＋ ky2＝2，得 ＋ ＝1。x22 y22k∵椭圆的焦点在 y轴上，∴ 2，即 －10，2k 1k∴ 0⇔k(k－1)b0)上一点 P向 x轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1， A是椭圆与x2a2 y2b2x轴正半轴的交点， B是椭圆与 y轴正半轴的交点，且 AB∥ OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A. B.24 12C. D.22 32解析 由题意可设 P(－ c， y0)(c为半焦距)，kOP＝－ ， kAB＝－ ，由于 OP∥ AB，y0c ba∴－ ＝－ ， y0＝ ，y0c ba bca把 P 代入椭圆方程得 ＋ ＝1，(－ c，bca)  － c 2a2 (bca)2b2而 2＝ ，∴ e＝ ＝ 。选 C。(ca) 12 ca 22答案 C37．过点( ，－ )，且与椭圆 ＋ ＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程为________。3 5y225 x29解析 解法一：椭圆 ＋ ＝1 的焦点为(0，－4)，(0,4)，即 c＝4。由椭圆的定义知，y225 x292a＝ ＋ ， 3－ 0 2＋  － 5＋ 4 2  3－ 0 2＋  － 5－ 4 2解得 a＝2 。5由 c2＝ a2－ b2可得 b2＝4。所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1。y220 x24解法二：因为所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1 的焦点相同，所以其焦点在 y轴上，且y225 x29c2＝25－9＝16。设它的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)。y2a2 x2b2因为 c2＝16，且 c2＝ a2－ b2，故 a2－ b2＝16。①又点( ，－ )在所求椭圆上，3 5所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1。② － 5 2a2  3 2b2 5a2 3b2由①②得 b2＝4， a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1。y220 x24答案 ＋ ＝1y220 x248．若椭圆 ＋ ＝1 的离心率 e＝ ，则 k的值为________。x2k＋ 8 y29 12解析 (1)若焦点在 x轴上，即 k＋890 时， a2＝ k＋8， b2＝9， e2＝ ＝ ＝ ＝ ，解得 k＝4。c2a2 a2－ b2a2 k－ 1k＋ 8 14(2)若焦点在 y轴上，即 0b0)相交于 A， B两点，若12 x2a2 y2b2M是线段 AB的中点，则椭圆 C的离心率等于________。解析 由题意可设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则可得Error! Error!①－②，并整理得 ＝－ 。 (*)x1＋ x2a2 y1＋ y2 y1－ y2b2 x1－ x2∵ M是线段 AB的中点，且过点 M(1,1)的直线斜率为－ ，12∴ x1＋ x2＝2， y1＋ y2＝2， k＝ ＝－ 。y1－ y2x1－ x2 12∴(*)式可化为 ＝ ，1a2 12b2即 a2＝2 b2＝2( a2－ c2)，整理得 a2＝2 c2，即 ＝ 。c2a2 12∴ e＝ ＝ 。ca 22答案 2210．(2015·安徽卷)设椭圆 E的方程为 ＋ ＝1( ab0)，点 O为坐标原点，点 A的x2a2 y2b2坐标为( a,0)，点 B的坐标为(0， b)，点 M在线段 AB上，满足| BM|＝2| MA|，直线 OM的斜率为 。510(1)求 E的离心率 e；(2)设点 C的坐标为(0，－ b)， N为线段 AC的中点，证明： MN⊥ AB。解 (1)由题设条件知，点 M的坐标为 ，(23a， 13b)又 kOM＝ ，从而 ＝ 。510 b2a 510进而 a＝ b， c＝ ＝2 b，故 e＝ ＝ 。5 a2－ b2ca 255(2)证明：由 N是 AC的中点知，点 N的坐标为 ，可得 ＝ 。(a2， － b2) NM→ (a6， 5b6)又 ＝(－ a， b)，从而有AB→ · ＝－ a2＋ b2＝ (5b2－ a2)。AB→ NM→ 16 56 16由(1)的计算结果可知 a2＝5 b2，所以 · ＝0，AB→ NM→ 5故 MN⊥ AB。11．(2015·山东卷)平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的离心x2a2 y2b2率为 ，且点 在椭圆 C上。32 (3， 12)(1)求椭圆 C的方程；(2)设椭圆 E： ＋ ＝1， P点为椭圆 C上任意一点，过点 P的直线 y＝ kx＋ m交椭x24a2 y24b2圆 E于 A， B两点，射线 PO交椭圆 E于点 Q。①求 的值；|OQ||OP|②求△ ABQ面积的最大值。解 (1)由题意知 ＋ ＝1，3a2 14b2又 ＝ ，解得 a2＝4， b2＝1，a2－ b2a 32所以椭圆 C的方程为 ＋ y2＝1。x24(2)由(1)知椭圆 E的方程为 ＋ ＝1。x216 y24①设 P(x0， y0)， ＝ λ ，由题意知 Q(－ λx 0，－ λy 0)。因为 ＋ y ＝1，|OQ||OP| x204 20又 ＋ ＝1，即 ＝1， － λ x0 216  － λ y0 24 λ 24(x204＋ y20)所以 λ ＝2，即 ＝2。|OQ||OP|②设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，将 y＝ kx＋ m代入椭圆 E的方程，可得(1＋4 k2)x2＋8 kmx＋4 m2－16＝0，由 Δ0，可得 m2b0)，∴ c＝2。x2a2 y2b2∵ ＝ ，∴ a＝4。∴ b2＝ a2－ c2＝12，ca 12于是椭圆方程为 ＋ ＝1。x216 y212∵抛物线的准线方程为 x＝－2，将其代入椭圆方程可得 A(－2,3)， B(－2，－3)，∴| AB|＝6。答案 B2．已知椭圆 C： ＋ ＝1，点 M与 C的焦点不重合。若 M关于 C的焦点的对称点分x29 y24别为 A， B，线段 MN的中点在 C上，则| AN|＋| BN|＝________。解析 如图，设 MN的中点为 P，则由 F1是 AM的中点，可知| AN|＝2| PF1|。7同理可知| BN|＝2| PF2|。∴| AN|＋| BN|＝2(| PF1|＋| PF2|)＝4 a＝12。答案 123.(2015·乌鲁木齐诊断)如图，椭圆 的中心在坐标原点 O，顶点分别是A1， A2， B1， B2，焦点分别为 F1， F2，延长 B1F2与 A2B2交于 P点，若∠ B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________。解析 设椭圆的方程为 ＋ ＝1( ab0)，∠ B1PA2为钝角可转化为 ， 所夹的x2a2 y2b2 B2A2→ F2B1→ 角为钝角，则( a，－ b)·(－ c，－ b)0，即(ca) cae2＋ e－10， e 或 eb0)y2a2 x2b2的一个焦点。 C1与 C2的公共弦的长为 2 。过点 F的直线 l与 C1相交于 A， B两点，与 C26相交于 C， D两点，且 与 同向。AC→ BD→ (1)若 C2的方程；(2)若| AC|＝| BD|，求直线 l的斜率。解 (1)由 C1： x2＝4 y知其焦点 F的坐标为(0,1)。因为 F也是椭圆 C2的一个焦点，所以 a2－ b2＝1。①又 C1与 C2的公共弦的长为 2 ， C1与 C2都关于 y轴对称，且 C1的方程为 x2＝4 y，由6此易知 C1与 C2的公共点的坐标为 ，所以 ＋ ＝1。②(±6，32) 94a2 6b2联立①②得 a2＝9， b2＝8 ，故 C2的方程为 ＋ ＝1。y29 x288(2)如图，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)。因 与 同向，且| AC|＝| BD|，所以 ＝ ，从而 x3－ x1＝ x4－ x2，即AC→ BD→ AC→ BD→ x1－ x2＝ x3－ x4，于是( x1＋ x2)2－4 x1x2＝( x3＋ x4)2－4 x3x4，③设直线 l的斜率为 k，则 l的方程为 y＝ kx＋1。由Error! 得 x2－4 kx－4＝0，而 x1， x2是这个方程的两根，所以x1＋ x2＝4 k， x1x2＝－4。④由Error! 得(9＋8 k2)x2＋16 kx－64＝0，而 x3， x4是这个方程的两根，所以 x3＋ x4＝－ ， x3x4＝－ 。⑤16k9＋ 8k2 649＋ 8k2将④，⑤代入③，得 16(k2＋1)＝ ＋ ，162k2 9＋ 8k2 2 4×649＋ 8k2即 16(k2＋1)＝ ，所以(9＋8 k2)2＝16×9，解得 k＝± ，即直线 l162×9 k2＋ 1 9＋ 8k2 2 64的斜率为± 。64