2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何课件 理（打包11套）北师大版.zip

第八章 平面解析几何第一 节 直 线 的 倾 斜角和斜率、直 线 的方程 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考纲 1.在平面直角坐 标 系中， 结 合具体 图 形，确定直 线 位置的几何要素； 2.理解直 线 的 倾 斜角和斜率的概念，掌握 过 两点的直 线 斜率的计 算公式； 3.掌握确定直 线 位置的几何要素，掌握直 线 方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系。J 基 础 知 识 自主学 习1． 直线的倾斜角(1)定 义 ：在平面直角坐 标 系中， 对 于一条与 x轴 相交的直 线 l，把 x轴 (正方向 )按 方向 绕 着交点旋 转 到和直 线 l重合所成的角，叫作直 线 l的 倾 斜角，当直 线 l和 x轴 平行 时 ，它的 倾 斜角 为 。(2)倾 斜角的范 围为 。逆 时针[0， π)02． 直线的斜率(1)定 义 ：一条直 线 的 倾 斜角 α的 叫做 这 条直 线 的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即 k＝ ， 倾 斜角是 90°的直 线 没有斜率。(2)过 两点的直 线 的斜率公式：正切 值tan α3． 直线方程的五种形式y－ y0＝ k(x－ x0) 垂直于 x轴 y＝ kx＋ b 垂直于 x轴 垂直于坐 标轴 垂直于坐 标轴 过 原点 Ax＋ By＋ C＝ 0 (A， B不全 为 零 ) [判一判 ](1)坐 标 平面内的任何一条直 线 均有 倾 斜角与斜率。 ( )解析 错误。坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但斜率不一定存在。(2)过 点 M(a， b)， N(b， a)(a≠b)的直 线 的 倾 斜角是 45°。 ( )解析 错误。因为过点 M(a， b)， N(b， a)(a≠b)的直线的斜率为－ 1，故其倾斜角是 135°。× × (3)直 线 的 倾 斜角越大，斜率 k就越大。 ( )(4)经过 点 P(x0， y0)的直 线 都可以用方程 y－ y0＝ k(x－ x0)表示。 ( )解析 错误。经过点 P(x0， y0)的直线只有当其斜率存在时才可以用方程 y－ y0＝ k(x－ x0)表示。(5)直 线 的截距即是直 线 与坐 标轴 的交点到原点的距离。 ( )解析 错误。直线在 x(y)轴上的截距是直线与 x(y)轴交点的横 (纵 )坐标，所以截距是一个实数，可正，可负，也可为零，而不是距离。× × × 4． 经过 两点 M(1，－ 2)， N(－ 3,4)的直 线 方程 为 _______________。3x＋ 2y＋ 1＝ 0 5．直 线 l： ax＋ y－ 2－ a＝ 0在 x轴 、 y轴 上的截距相等， 则 a＝________。－ 2或 1 R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (1)直 线 xsin α－ y＋ 1＝ 0的 倾 斜角的 变 化范 围 是 ( )考点一 直线的倾斜角和斜率(2)(2015·沈阳联考 )已知 线 段 PQ两端点的坐 标 分 别为 P(－ 1,1)和Q(2,2)，若直 线 l： x＋ my＋ m＝ 0与 线 段 PQ有交点， 则实 数 m的取 值 范 围是 ________。【 规律方法 】 (1)求 倾 斜角的取 值 范 围 的一般步 骤 ：① 求出斜率 k＝ tan α的取 值 范 围 ；② 利用三角函数的 单调 性，借助 图 像或 单 位 圆 数形 结 合，确定 倾 斜角 α的取 值 范 围 。(2)求 倾 斜角 时 要注意斜率是否存在。【 例 2】 求适合下列条件的直 线 方程：考点二 求直线的方程(2)经过 点 P(3,2)，且在两坐 标轴 上的截距相等。【 规律方法 】 (1)在求直 线 方程 时 ， 应选择 适当的形式，并注意各种形式的适用条件。(2)对 于点斜式、截距式方程使用 时 要注意分 类讨论 思想的运用。变式训练 2 根据所 给 条件求直 线 的方程：(2)直 线过 点 (－ 3,4)，且在两坐 标轴 上的截距之和 为 12。直 线 方程是解析几何的一个基 础 内容，在高考中 经 常与其他知 识结 合考 查 ，多 为 中、低档 题 目、 难 度不大，且主要有以下几个命 题 角度。考点三 直线方程的综合应用角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．已知直 线 l过 点 M(1,1)，且与 x轴 ， y轴 的正半 轴 分 别 相交于 A， B两点， O为 坐 标 原点。求：(1)当 |OA|＋ |OB|取得最小 值时 ，直 线 l的方程；(2)当 |MA|2＋ |MB|2取得最小 值时 ，直 线 l的方程。第八章 平面解析几何第二 节 两条直 线 的位置关系 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.能根据两条直 线 的斜率判断 这 两条直 线 平行或垂直； 2.能用解方程 组 的方法求两条相交直 线 的交点坐 标 ； 3.掌握两点间 的距离公式、点到直 线 的距离公式，会求两条平行直 线间 的距离。J 基 础 知 识 自主学 习1． 两条直 线 平行与垂直的判定(1)两条直 线 平行对 于两条不重合的直 线 l1， l2，其斜率分 别为 k1， k2， 则 有l1∥ l2⇔ ____________。特 别 地，当直 线 l1， l2的斜率都不存在时 ， l1与 l2____________。(2)两条直 线 垂直如果两条直 线 l1， l2斜率存在， 设为 k1， k2， 则l1⊥ l2⇔ _________，特 别 地，当一条直 线 斜率 为 零，另一条直 线 斜率不存在 时 ，两直 线 ________。k1＝ k2平行k1·k2＝－ 1垂直2． 两直 线 的交点(1)若方程 组 有唯一解， 则 l1与 l2 ，此解就是 l1、 l2交点的坐 标 ；(2)若方程 组 无解， 则 l1与 l2 ，此 时 l1∥ l2；(3)若方程 组 有无数 组 解， 则 l1与 l2重合。相交无公共点3． 距离公式(1)两点 间 的距离平面上的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)间 的距离公式|AB|＝_________________________。(2)点到直 线 的距离点 P(x0， y0)到直 线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0的距离d＝ _____________________。[判一判 ](1)当直 线 l1和 l2斜率都存在 时 ，一定有 k1＝k2⇒ l1∥ l2。 ( )解析 错误。当直线 l1和 l2斜率都存在时，虽然有 k1＝ k2，但有可能重合。(2)如果两条直 线 l1与 l2垂直， 则 它 们 的斜率之 积 一定等于－1。 ( )解析 错误。两条直线 l1与 l2垂直，它们的斜率之积等于－ 1，或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零。× × (3)若两直 线 的方程 组 成的方程 组 有唯一解， 则 两直 线 相交。 ( )解析 正确。若两条直线组成的方程组有唯一解时，两条直线必相交。解析 错误。点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式。√ × [练 一 练 ]1． (2016·合肥模 拟 )点 (1,1)到直 线 x＋ 2y＝ 5的距离 为 ( )4． 过 点 (1,0)且与直 线 x－ 2y－ 2＝ 0平行的直 线 方程是 ()A． x－ 2y－ 1＝ 0 B． x－ 2y＋ 1＝ 0C． 2x＋ y－ 2＝ 0 D． x＋ 2y－ 1＝ 05．已知直 线 l1的方程 为 3x＋ 4y－ 7＝ 0，直 线 l2的方程 为 6x＋ 8y＋ 1＝ 0， 则 直 线 l1与 l2的距离 为 ________。R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (1)(2016·济 南模 拟 )已知两条直 线 l1： (a－ 1)·x＋ 2y＋ 1＝ 0， l2： x＋ ay＋ 3＝ 0平行， 则 a＝ ( )A．－ 1 B． 2C． 0或－ 2 D．－ 1或 2考点一 两条直 线 的平行与垂直(2)(2015·浙江名校 联 考 )已知直 线 l1： x＋ (a－ 2)y－ 2＝ 0， l2： (a－ 2)x＋ ay－ 1＝ 0， 则 “a＝－ 1”是“l1⊥ l2”的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【 解析 】 若 a＝－ 1，则 l1： x－ 3y－ 2＝ 0， l2：－ 3x－ y－ 1＝ 0，显然两条直线垂直；若 l1⊥ l2，则 (a－ 2)＋a(a－ 2)＝ 0， ∴ a＝－ 1或 a＝ 2，因此， “a＝－ 1”是“l1⊥ l2”的充分不必要条件，故选 A。【 答案 】 A【 规 律方法 】 (1)当直 线 的方程中存在字母参数 时 ，不 仅 要考虑 到斜率存在的一般情况，也要考 虑 到斜率不存在的特殊情况。同 时还 要注意 x， y的系数不能同 时为 零 这 一 隐 含条件。(2)在判断两直 线 的平行、垂直 时 ，也可直接利用直 线 方程的系数间 的关系得出 结论 。设 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝ 0， l2： A2x＋ B2y＋ C2＝ 0。① l1∥ l2⇔ A1B2－ A2B1＝ 0且 B1C2－ B2C1≠0。② l1⊥ l2⇔ A1A2＋ B1B2＝ 0。变 式 训练 1 已知 过 点 A(－ 2， m)和点 B(m,4)的直 线为l1，直 线 2x＋ y－ 1＝ 0为 l2，直 线 x＋ ny＋ 1＝ 0为 l3.若l1∥ l2， l2⊥ l3， 则实 数 m＋ n的 值为 ( )A．－ 10 B．－ 2C． 0 D． 8【 例 2】 求 经过 直 线 l1： 3x＋ 2y－ 1＝ 0和 l2： 5x＋ 2y＋1＝ 0的交点，且垂直于直 线 l3： 3x－ 5y＋ 6＝ 0的直 线 l的方程。考点二 两条直 线 的交点 问题【 规 律方法 】 (1)求两直 线 的交点坐 标 ，就是解由两直 线 方程组 成的二元一次方程 组 。(2)经过 两条直 线 交点的直 线 方程的 设 法经过 两相交直 线 A1x＋ B1y＋ C1＝ 0和 A2x＋ B2y＋ C2＝ 0的交点的直 线 系方程 为 A1x＋ B1y＋ C1＋ λ(A2x＋ B2y＋ C2)＝ 0(其中 λ∈ R， 这 个直 线 系方程中不包括直 线 A2x＋ B2y＋ C2＝ 0)。变 式 训练 2 如 图 ， 设 一直 线过 点 (－ 1,1)，它被两平行直 线l1： x＋ 2y－ 1＝ 0， l2： x＋ 2y－ 3＝ 0所截的 线 段的中点在直线 l3： x－ y－ 1＝ 0上，求其方程。【 例 3】 (2016·荆 州模 拟 )已知点 P(2，－ 1)。(1)求 过 P点且与原点距离 为 2的直 线 l的方程；考点三 距离公式的 应 用(2)求 过 P点且与原点距离最大的直 线 l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在 过 P点且与原点距离 为 6的直 线 ？若存在，求出方程；若不存在， 请说 明理由。【 解 】 不存在。由 (2)可知，过点 P不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点 P且与原点距离为 6的直线。【 规 律方法 】 距离的求法(1)点到直 线 的距离可直接利用点到直 线 的距离公式来求，但要注意此 时 直 线 方程必 须为一般式。(2)两平行直 线间 的距离① 利用 “化 归 ”法将两条平行 线间 的距离 转 化 为 一条直 线 上任意一点到另一条直 线 的距离；② 利用两平行 线间 的距离公式。提醒：在 应 用两条平行 线间 的距离公式 时 ， 应 把直 线 方程化 为 一般形式，且使 x， y的系数分 别对应 相等。第八章 平面解析几何第三 节 圆 的方程 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考纲 掌握确定 圆 的几何要素，掌握 圆 的 标 准方程与一般方程。J 基 础 知 识 自主学 习1． 圆的定义与方程(1)圆 的定 义在平面内，到定点的距离等于定 长 的点的集合叫作 圆 。(2)圆 的方程(x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2(r0) (a， b) r 2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比 较 点与 圆 心的距离与半径的大小关系。(2)三种关系：圆 的 标 准方程 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2，点 M(x0， y0)。① (x0－ a)2＋ (y0－ b)2＝ r2⇔ 点在 圆 上；② ________________⇔ 点在 圆 外；③ ________________⇔ 点在 圆 内。(x0－ a)2＋ (y0－ b)2r2(x0－ a)2＋ (y0－ b)20时才表示圆心为 (a， b)，半径为 t的一个圆。√ × (3)方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＝ 0不一定表示 圆 。 ( )解析 错误。方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＝ 0可化为 (x＋ 2m)2＋ (y－ 1)2＝ 4m2＋ 1，由于 4m2＋ 10，所以此方程一定表示圆。(4)若点 M(x0， y0)在 圆 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0外， 则 x＋ y＋ Dx0＋ Ey0＋ F0。 ( )解析 正确。若点 M(x0， y0)在圆 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0外，则必有 x＋ y＋ Dx0＋ Ey0＋ F0成立。× √ [练一练 ]1． 圆 x2＋ y2－ 4x＋ 6y＝ 0的 圆 心坐 标 是 ( )A． (2,3) B． (－ 2,3)C． (－ 2，－ 3) D． (2，－ 3)解析 圆的方程可化为 (x－ 2)2＋ (y＋ 3)2＝ 13，所以圆心坐标是 (2，－ 3)。答案 D3．若点 (1,1)在 圆 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4的内部， 则实 数 a的取 值 范 围 是( )A．－ 11或 a－ 1 D． a＝ ±1解析 ∵ 点 (1,1)在圆的内部，∴ (1－ a)2＋ (1＋ a)24， ∴ － 1a1。答案 A4．若 圆 C的半径 为 1，其 圆 心与点 P(1,0)关于直 线 y＝ x对 称， 则圆 C的 标 准方程 为 __________________。解析 因为圆 C的圆心与点 P(1,0)关于直线 y＝ x对称，所以圆 C的圆心坐标为 (0,1)，且圆 C的半径为 1，所以所求圆的标准方程为 x2＋ (y－ 1)2＝ 1。x2＋ (y－ 1)2＝ 1 5． 经过 三点 (2，－ 1)、 (5,0)、 (6,1)的 圆 的一般方程 为________________________。x2＋ y2－ 4x－ 8y－ 5＝ 0 R 热 点命 题 深度剖析考点一 求圆的方程(x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 4 【 规律方法 】 求 圆 的方程的两种方法(1)几何法：根据 圆 的几何性 质 ，直接求出 圆 心坐 标 和半径， 进 而写出方程。(2)待定系数法：① 若已知条件与 圆 心 (a， b)和半径 r有关， 则设圆 的 标 准方程，依据已知条件列出关于 a， b， r的方程 组 ，从而求出 a， b， r的 值 ；② 若已知条件没有明确 给 出 圆 心或半径， 则选择圆 的一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F的方程 组 ， 进 而求出 D， E， F的 值 。(2)过 点 A(4,1)的 圆 C与直 线 x－ y－ 1＝ 0相切于点 B(2,1)， 则圆 C的方程 为 _______________。(x－ 3)2＋ y2＝ 2 与 圆 有关的最 值问题 是高考命 题 的 热 点，多以 选择题 、填空 题 的形式出 现 ， 试题难 度不大，多 为 容易 题 、中档 题 ，且主要有以下几个命 题角度：考点二 与圆有关的最值问题角度一：斜率型最值问题答案 B角度三：距离型最值问题3． (2016·广州模拟 )设 P(x， y)是 圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 1上的任意一点， 则(x－ 5)2＋ (y＋ 4)2的最大 值为 ( )A． 6 B． 25C． 26 D． 36第八章 平面解析几何第四 节 直 线 与 圆 、 圆 与 圆 的位置关系 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.能根据 给 定直 线 、 圆 的方程判断直 线 与 圆 的位置关系；能根据 给 定两个 圆 的方程判断两 圆 的位置关系； 2.能用直 线 和 圆 的方程解决一些 简单 的 问题 ； 3.初步了解用代数方法 处 理几何 问题 的思想。J 基 础 知 识 自主学 习1． 直 线 与 圆 的位置关系设 直 线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0(A2＋ B2≠0)，圆 ： (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2(r0)，d为圆 心 (a， b)到直 线 l的距离， 联 立直 线 和 圆 的方程，消元后得到的一元二次方程的判 别 式 为 Δ。方法位置关系 几何法 代数法相交 d_____r Δ_____0相切 d_____r Δ_____0相离 d_____r Δ_____0＝ ＝ r1＋ r2 无解d＝ r1＋ r2|r1－ r2|dr1＋ r2两 组 不同的 实 数解[判一判 ](1)如果直 线 与 圆组 成的方程 组 有解， 则 直 线 与 圆 相交或相切。 ( )解析 正确。直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交。(2)如果两个 圆 的方程 组 成的方程 组 只有一 组实 数解， 则 两 圆 外切。 ( )解析 错误。因为除外切外，还可能内切。(3)如果两 圆 的 圆 心距小于两 圆 的半径之和， 则 两 圆 相交。 ( )解析 错误。因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含。√ × × (4)从两 圆 的方程中消掉二次 项 后得到的二元一次方程是两 圆 的公共弦所在的直 线 方程。 ( )解析 错误。只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程。(5)过圆 O： x2＋ y2＝ r2外一点 P(x0， y0)作 圆 的两条切线 ，切点 为 A， B， 则 O， P， A， B四点共 圆 且直 线 AB的方程是 x0x＋y0y＝ r2。 ( )× √ [练 一 练 ]1． 圆 (x＋ 2)2＋ y2＝ 4与 圆 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 9的位置关系 为 ( )A．内切 B．相交C．外切 D．相离2．已知点 M(a， b)在 圆 O： x2＋ y2＝ 1外， 则 直 线 ax＋by＝ 1与 圆 O的位置关系是 ( )A．相切 B．相交C．相离 D．不确定图 (1) 图 (2)答案 A4．以点 A(－ 1,3)为圆 心，且与 圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 9外切的 圆 的方程 为 ____________________。(x＋ 1)2＋ (y－ 3)2＝ 4 5．在平面直角坐 标 系 xOy中，直 线 x＋ 2y－ 3＝ 0被 圆 (x－2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4截得的弦 长为_______________。R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (1)直 线 x－ y＋ m＝ 0与 圆 x2＋ y2－ 2x－ 1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件 ( )A．－ 3m1 B．－ 4m2C． 0m1 D． m1考点一 直 线 与 圆 的位置关系(2)(2016·南昌模 拟 )若 过 点 (1,2)总 可以作两条直 线 与圆 x2＋ y2＋ kx＋ 2y＋ k2－ 15＝ 0相切， 则实 数 k的取 值 范 围 是_________________________。【 规 律方法 】 判断直 线 与 圆 的位置关系的常 见 方法(1)几何法：利用 d与 r的关系。(2)代数法： 联 立方程之后利用 Δ判断。(3)点与 圆 的位置关系法：若直 线 恒 过 定点且定点在 圆 内，可判断直 线 与 圆 相交。上述方法中最常用的是几何法，点与 圆 的位置关系法适用于 动 直 线问题 。(2)对 任意的 实 数 k，直 线 y＝ kx＋ 1与 圆 x2＋ y2＝ 2的位置关系一定是 ( )A．相离 B．相切C．相交但直 线 不 过圆 心 D．相交且直 线过圆 心【 例 2】 (1)(2015·山 东 卷 )一条光 线 从点 (－ 2，－ 3)射出， 经 y轴 反射后与 圆 (x＋ 3)2＋ (y－ 2)2＝ 1相切， 则 反射光线 所在直 线 的斜率 为 ( )考点二 切 线 、弦 长问题【 答案 】 D (2)已知 圆 x2＋ y2＋ 2x－ 2y＋ a＝ 0截直 线 x＋ y＋ 2＝ 0所得弦的 长 度 为 4， 则实 数 a的 值 是 ( )A．－ 2 B．－ 4C．－ 6 D．－ 8【 规 律方法 】 (1)处 理直 线 与 圆 的弦 长问题时 多用几何法，即弦 长 一半、弦心距、半径构成直角三角形。(2)圆 的切 线问题 的 处 理要抓住 圆 心到直 线 的距离等于半径建立关系解决 问题 。变 式 训练 2 (1)直 线 l1和 l2是 圆 x2＋ y2＝ 2的两条切 线 。若l1与 l2的交点 为 (1,3)， 则 l1与 l2的 夹 角的正切 值 等于________。(2)已知直 线 ax＋ y－ 2＝ 0与 圆 心 为 C的 圆 (x－ 1)2＋(y－ a)2＝ 4相交于 A， B两点，且 △ ABC为 等 边 三角形， 则实 数 a＝________。【 例 3】 (1)若 圆 C1： x2＋ y2＝ 1与 圆 C2： x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ m＝ 0外切， 则 m＝ ( )A． 21 B． 19C． 9 D．－ 11考点三 圆 与 圆 的位置关系第八章 平面解析几何第五 节 椭圆 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.了解 圆锥 曲 线 的 实际 背景，了解 圆锥 曲 线 在刻画现实 世界和解决 实际问题 中的作用； 2.掌握 椭圆 的定 义 、几何 图 形、标 准方程及 简单 几何性 质 ； 3.了解 圆锥 曲 线 的 简单应 用； 4.理解数形 结 合的思想。J 基 础 知 识 自主学 习1． 椭圆 的定 义(1)我 们 把平面内到两个定点 F1、 F2的距离之 等于常数 (大于 |F1F2|)的点的集合叫作 椭圆 。 这 两个定点 F1，F2叫作 椭圆 的焦点，两个焦点 F1， F2间 的距离叫作 椭圆 的 。(2)集合 P＝ {M||MF1|＋ |MF2|＝ 2a}， |F1F2|＝ 2c，其中 a0， c0，且 a， c为 常数：① 若 ， 则 集合 P为椭圆 ；② 若 ， 则 集合 P为线 段；③ 若 ， 则 集合 P为 空集。和焦距aca＝ ca0，所以 m＝ 3。【 答案 】 B [0,4] 第八章 平面解析几何第六 节 抛物 线 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.了解 圆锥 曲 线 的 实际 背景，了解 圆锥 曲 线 在刻画现实 世界和解决 实际问题 中的作用； 2.掌握抛物 线 的定 义 、几何 图 形、 标 准方程及 简单 性 质 ； 3.了解 圆锥 曲 线 的 简单应 用； 4.理解数形结 合的思想。J 基 础 知 识 自主学 习1． 抛物 线 的定 义平面内与一个定点 F和一条定直 线 l(l不 过 F)的距离 的点的集合叫作抛物 线 。 这 个定点 F叫作抛物 线 的 ， 这 条定直 线 l叫作抛物 线 的 。相等焦点准 线2． 抛物 线 的 标 准方程和几何性 质(0,0) y＝ 0 x＝ 0 1 [判一判 ](1)平面内与一个定点 F和一条定直 线 l的距离相等的点的 轨 迹一定是抛物 线 。 ( )解析 错误。当定点不在定直线上时才表示抛物线。(2)抛物 线 y2＝ 4x的焦点到准 线 的距离是 4。 ( )解析 错误。抛物线 y2＝ 4x的焦点到准线的距离是 2而非 4。(3)抛物 线 既是中心 对 称 图 形，又是 轴对 称 图 形。 ( )解析 错误。抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。× × × × 解析 抛物线方程为 x2＝ 4y， ∴ p＝ 2。∴ 准线方程为 y＝－ 1。答案 A3．若点 P到直 线 x＝－ 1的距离比它到点 (2,0)的距离小 1， 则 点 P的 轨 迹 为 ( )A． 圆 B． 椭圆C．双曲 线 D．抛物 线解析 由题意知，点 P到点 (2,0)的距离与 P到直线 x＝－ 2的距离相等，由抛物线定义得点 P的轨迹是以 (2,0)为焦点，以直线 x＝－ 2为准线的抛物线，故选 D。答案 D5． (2015·吉林 长 春 质检 二 )过 抛物 线 y2＝ 4x的焦点作 倾 斜角 为 45°的直 线 l交抛物 线 于 A， B两点， O为 坐 标 原点， 则 △ OAB的面积为 ________。R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (1)已知抛物 线 x2＝ 4y上有一条 长为 6的 动 弦 AB，则 AB的中点到 x轴 的最短距离 为 ( )考点一 抛物 线 的定 义 及其 应 用(2)已知抛物 线 方程 为 y2＝ 4x，直 线 l的方程 为 x－ y＋ 5＝ 0，在抛物 线 上有一 动 点 P到 y轴 的距离 为 d1，到直 线 l的距离 为 d2，则 d1＋ d2的最小 值为 ________。【 规 律方法 】 与抛物 线 有关的最 值问题 的解 题 策略该类问题 一般情况下都与抛物 线 的定 义 有关。 实现 由点到点的距离与点到直 线 的距离的 转 化。(1)将抛物 线 上的点到准 线 的距离 转 化 为该 点到焦点的距离，构造出 “两点之 间线 段最短 ”，使 问题 得解。(2)将抛物 线 上的点到焦点的距离 转 化 为 到准 线 的距离，利用 “与直线 上所有点的 连线 中垂 线 段最短 ”原理解决。变 式 训练 1 (1)已知抛物 线 y2＝ 4x， 过 焦点 F的直 线 与抛物 线 交于 A， B两点， 过 A， B分 别 作 y轴 垂 线 ，垂足分 别为 C， D， 则|AC|＋ |BD|的最小 值为 ________。解析 由题意知 F(1,0)， |AC|＋ |BD|＝ |AF|＋|FB|－ 2＝ |AB|－ 2，即 |AC|＋ |BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值。依抛物线定义知当 |AB|为通径，即 |AB|＝ 2p＝4时，为最小值，所以 |AC|＋ |BD|的最小值为 2。2 (2)已知抛物 线 的方程 为 x2＝ 8y， F是焦点，点 A(－ 2,4)，在此抛物 线 上求一点 P，使 |PF|＋ |PA|的 值 最小。解 ∵ (－ 2)20)的准 线经过 点 (－ 1,1)， 则该 抛物 线 焦点坐 标为( )A． (－ 1,0) B． (1,0)C． (0，－ 1) D． (0,1)考点二 抛物 线 的 标 准方程与几何性 质(2)设 抛物 线 C： y2＝ 2px(p0)的焦点 为 F，点 M在 C上，|MF|＝ 5，若以 MF为 直径的 圆过 点 (0,2)， 则 C的方程 为 ( )A． y2＝ 4x或 y2＝ 8x B． y2＝ 2x或 y2＝ 8xC． y2＝ 4x或 y2＝ 16x D． y2＝ 2x或 y2＝ 16x【 规 律方法 】 (1)涉及抛物 线 几何性 质 的 问题 常 结 合 图 形思考，通 过图 形可以直 观 地看出抛物 线 的 顶 点、 对 称 轴 、开口方向等几何特征，体 现 了数形 结 合思想解 题 的直 观 性。(2)求抛物 线 方程 应 注意的 问题① 当坐 标 系已建立 时 ， 应 根据条件确定抛物 线 方程属于四种 类 型中的哪一种；② 要注意把握抛物 线 的 顶 点、 对 称 轴 、开口方向与方程之 间 的 对应关系；③ 要注意参数 p的几何意 义 是焦点到准 线 的距离，利用它的几何意 义来解决 问题 。变 式 训练 2 (1)(2015·石家庄 调 研 )若抛物 线 y2＝ 2px上一点 P(2， y0)到其准 线 的距离 为 4， 则 抛物 线 的 标 准方程 为 ( )A． y2＝ 4x B． y2＝ 6xC． y2＝ 8x D． y2＝ 10x考点三 直 线 与抛物 线 的位置关系第八章 平面解析几何第七 节 双曲 线 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.了解 圆锥 曲 线 的 实际 背景，了解 圆锥 曲 线 在刻画现实 世界和解决 实际问题 中的作用； 2.了解双曲 线 的定 义 、几何 图 形和 标 准方程，知道它的 简单 几何性 质 ； 3.了解 圆锥 曲 线 的 简单应 用；4.理解数形 结 合的思想。J 基 础 知 识 自主学 习1． 双曲 线 的定 义(1)我 们 把平面内到两定点 F1， F2的距离之差的 等于常数 (大于零且小于 |F1F2|)的点的集合叫作双曲 线 ，定点 F1， F2叫作双曲 线 的 _________，两个焦点之 间 的距离叫作双曲线 的焦距。(2)集合 P＝ {M|||MF1|－ |MF2||＝ 2a}，|F1F2|＝ 2c，其中 a， c为 常数且 a0， c0。① 当 时 ， M点的 轨迹是双曲 线 ；② 当 __________时 ， M点的 轨 迹是两条射 线 ；③ 当 时 ， M点不存在。绝对值焦点2a|F1F2|2． 双曲 线 的 标 准方程和几何性 质x∈R， y≤－ a或 y≥a 坐 标轴 原点 A1(－ a,0)， A2(a,0) a2＋ b2 [判一判 ](1)平面内到点 F1(0,4)， F2(0，－ 4)距离之差等于6的点的 轨 迹是双曲 线 。 ( )解析 错误。平面内到点 F1(0,4)， F2(0，－ 4)距离之差等于 6的点的轨迹是双曲线的一支。(2)平面内到点 F1(0,4)， F2(0，－ 4)距离之差的 绝对值 等于 8的点的 轨 迹是双曲 线 。 ( )解析 错误。平面内到点 F1(0,4)， F2(0，－ 4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是以 F1， F2为顶点的射线。× × (4)若直 线 与双曲 线 交于一点， 则 直 线 与双曲 线 相切。 ( )解析 错误。直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切或相交。× × √ [练 一 练 ]1．双曲 线 2x2－ y2＝ 8的 实轴长 是 ( )解析 由双曲线的定义知， ||PF1|－ |PF2||＝ 6。因为 |PF1|＝ 3，所以 |PF2|＝ 9。答案 B解析 由题意知， (|k|－ 2)(5－ k)5。答案 D5．已知 F1(0，－ 5)，一曲 线 上任意一点 M满 足 |MF1|－|MF2|＝ 8，若 该 曲 线 的一条 渐 近 线 的斜率 为 k，离心率 为 e， 则|k|·e＝ ________。R 热 点命 题 深度剖析考点一 双曲 线 的定 义 及其 应 用【 答案 】 A 【 规 律方法 】 双曲 线 定 义 运用中的两个注意点(1)在解决与双曲 线 的焦点有关的距离 问题时 ，通常考 虑 利用双曲 线 的定 义 ；(2)在运用双曲 线 的定 义 解 题时 ， 应 特 别 注意定 义 中的条件 “差的绝对值 ”，弄清楚是指整条双曲 线还 是双曲 线 的一支。44 考点二 双曲 线 的 标 准方程【 规 律方法 】 求双曲 线 的 标 准方程的方法(1)定 义 法：由条件判定 动 点的 轨 迹是双曲 线 ，求出 a2， b2，写出方程。(2)待定系数法：即 “先定位，后定量 ”，如果不能确定焦点的位置， 应 注意分 类讨论 或恰当 设 置 简 化 讨论 。(2)与双曲 线 x2－ 2y2＝ 2有公共 渐 近 线 ，且 过 点 M(2，－ 2)；第八章 平面解析几何第八 节 曲 线 与方程 基础知识基础知识自主学习自主学习热点命题热点命题深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提升感悟提升最新考 纲 1.了解方程的曲 线 与曲 线 的方程的 对应 关系； 2.了解解析几何的基本思想和利用坐 标 法研究曲 线 的 简单 性 质 ； 3.能 够 根据所 给 条件 选择 适当的方法求曲 线 的 轨 迹方程。J 基 础 知 识 自主学 习1． 曲 线 与方程一般地，在平面直角坐 标 系中，如果某曲 线 C(看作 满 足某条件的点的集合或 轨 迹 )上的点与一个二元方程的 实 数解建立了如下关系：(1)曲 线 上点的坐 标 都是 ______________。(2)以 这 个方程的解 为 坐 标 的点都是______________。那么 这 条曲 线 叫做____________， 这 个方程叫做________________。2． 求 动 点的 轨 迹方程的步 骤(1)建系 —— 建立适当的坐 标 系。(2)设 点 —— 设轨 迹上的任一点 P(x， y)。(3)列式 —— 列出 动 点 P所 满 足的关系式。(4)代 换 —— 依条件式的特点， 选 用距离公式、斜率公式等将其 转化 为 x， y的方程式，并化 简 。(5)证 明 —— 证 明所求方程即 为 符合条件的 动 点 轨 迹方程。这 个方程的解曲 线 上的点方程的曲 线 曲 线 的方程3． 圆锥 曲 线 的共同特征圆锥 曲 线 上的点到 ___________的距离与它到______________的距离之比 为 定 值 e。一个定点 一条定直 线e的范 围 圆锥 曲 线 表示的曲 线_______ 椭圆_____ 双曲 线______ 抛物 线01e＝ 14.直 线 与 圆锥 曲 线 的交点[判一判 ](1)f(x0， y0)＝ 0是点 P(x0， y0)在曲 线 f(x，y)＝ 0上的充要条件。 ( )解析 正确。由 f(x0， y0)＝ 0可知点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)＝ 0上，又 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)＝ 0上时，有 f(x0， y0)＝ 0。所以 f(x0， y0)＝ 0是 P(x0，y0)在曲线 f(x， y)＝ 0上的充要条件。(2)方程 x2＋ xy＝ x的曲 线 是一个点和一条直 线 。 ( )解析 错误。方程变形为 x(x＋ y－ 1)＝ 0，所以 x＝ 0或 x＋ y－ 1＝ 0。故方程表示直线 x＝ 0或直线 x＋ y－ 1＝ 0。(3)到两条互相垂直的直 线 距离相等的点的 轨 迹方程是 x2＝ y2。( )解析 错误。当以两条互相垂直的直线为 x轴、 y轴时，是 x2＝y2，否则不正确。(4)方程 y＝与 x＝ y2表示同一曲 线 。 ( )解析 错误。因为方程 y＝表示的曲线只是方程 x＝ y2表示曲线的一部分，故其不正确。√ √ × × [练 一 练 ] 1．已知命 题 “曲 线 C上的点的坐 标 是方程 f(x， y)＝ 0的解 ”是正确的， 则 下列命 题 中正确的是 ( )A． 满 足方程 f(x， y)＝ 0的点都在曲 线 C上B．方程 f(x， y)＝ 0是曲 线 C的方程C．方程 f(x， y)＝ 0所表示的曲 线 不一定是曲 线 CD．以上 说 法都正确解析 因为曲线 C可能只是方程 f(x， y)＝ 0所表示的曲线上的某一小段，因此只有 C正确。答案 C 2．已知曲 线 C的方程 为 x2－ xy＋ y－ 5＝ 0， 则 下列各点中，在曲 线 C上的点是 ( )A． (－ 1,2) B． (1，－ 2)C． (2，－ 3) D． (3,6)解析 将四个点的坐标一一代入曲线 C的方程，只有 A选项成立，因此 (－ 1,2)在曲线 C上。答案 A3．已知点 P是直 线 2x－ y＋ 3＝ 0上的一个 动 点，定点 M(－1,2)， Q是 线 段 PM延 长线 上的一点，且 |PM|＝ |MQ|， 则 Q点的 轨 迹方程是 ( )A． 2x＋ y＋ 1＝ 0 B． 2x－ y－ 5＝ 0C． 2x－ y－ 1＝ 0 D． 2x－ y＋ 5＝ 0解析 由题意知， M为 PQ中点，设 Q(x， y)，则 P为 (－ 2－ x,4－ y)，代入 2x－ y＋ 3＝ 0得 2x－ y＋ 5＝ 0。答案 DA. B.C. D. 5．已知 圆 的方程 为 x2＋ y2＝ 4，若抛物 线过 点 A(－ 1,0)，B(1,0)且以 圆 的切 线为 准 线 ， 则 抛物 线 的焦点 轨 迹方程是__________________。解析 设抛物线焦点为 F，过 A， B， O作准线的垂线 AA1， BB1，OO1，则 |AA1|＋ |BB1|＝ 2|OO1|＝ 4，由抛物线定义得|AA1|＋ |BB1|＝ |FA|＋ |FB|， ∴ |FA|＋ |FB|＝ 4，故 F点的轨迹是以 A， B为焦点，长轴长为 4的椭圆 (去掉长轴两端点 )。R 热 点命 题 深度剖析【 例 1】 (1)(2016·北京模 拟 )△ ABC的 顶 点 A(－5,0)， B(5,0)， △ ABC的内切 圆圆 心在直 线 x＝ 3上， 则顶 点 C的 轨 迹方程是 ________________。考点一 定 义 法求 轨 迹方程(2)(2016·亳州模 拟 )已知两个定 圆 O1和 O2，它 们 的半径分别 是 1和 2，且 |O1O2|＝ 4， 动圆 M与 圆 O1内切，又与 圆 O2外切，建立适当的坐 标 系，求 动圆圆 心 M的 轨 迹方程，并 说 明 轨 迹是何种曲 线。【 解 】 如图所示，以 O1O2的中点 O为原点， O1O2所在直线为 x轴建立平面直角坐标系。【 规 律方法 】 定 义 法求 轨 迹方程及其注意点(1)在利用 圆锥 曲 线 的定 义 法求 轨 迹方程 时 ，若所求的 轨 迹符合某种 圆锥 曲 线 的定 义 ， 则 根据曲 线 的方程，写出所求的 轨 迹方程；(2)利用定 义 法求 轨 迹方程 时 ， 还 要看 轨 迹是否是完整的 圆 、 椭圆、双曲 线 、抛物 线 ，如果不是完整的曲 线 ， 则应对 其中的 变 量 x或 y进行限制。直接法求点的 轨 迹方程是求 轨 迹方程的一种重要方法，也是高考考 查的重要内容。 该 部分 试题 大多以解答 题 (一般是解答 题 的某一 问 )形式出现 ，考 查 求 轨 迹方程的方法、曲 线 与方程的定 义 、基本运算等，且主要有以下几个命 题 角度：考点二 直接法求 轨 迹方程 (2)若 动 点 P(x0， y0)为椭圆 C外一点，且点 P到 椭圆 C的两条切 线 相互垂直，求点 P的 轨 迹方程。【 规 律方法 】 直接法求 轨 迹方程的常 见类 型及解 题 策略(1)题 目 给 出等量关系，求 轨 迹方程，可直接代入即可得出方程。(2)题 中未明确 给 出等量关系，求 轨 迹方程。可利用已知条件 寻 找等量关系，得出方程。