2018高中数学 初高中衔接读本学案（打包19套）.zip

1第 1 讲 公式法与分组分解法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2．（3）立方和公式 23())；（4）立方差公式 2abab；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） ．探究一 公式法分解因式公式法主要由乘法公式与因式分解的逆向关系，套用公式进行因式分解。（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 22；（3）立方和公式 3())；（4）立方差公式 22abab.2【典例解析】分解因式：（1） 21ab；（2） 64； （3） 8x-；【分析】由题观察式子结构可联系乘法公式，进行因式分解；【解析】：（1） 21ab+-=2()ab＝ (1)()ab；(2) 64= )2(44222 a；(3) 38()())xxx---+；【解题反思】进行因式分解首先要善于观察和联系，同时要熟记乘法公式，注意因式分解的一般步骤。【变式训练】1.分解因式：（1） 3234abab；（2） 5x-； （3） 378 ； （4） 41ab；提示：（先提取公因式再运用立方和公式： 322())abab） 3【点评】(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 327()b，这里逆用了法则 nab；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．探究 2 分组分解法（1）分组后能提取公因式的【典例解析】把 22()()abcdabcd分解因式。【解析】：分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。 2222()()c abcd()()()()abdabcdabdca【点评】分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。（2）分组后能直接运用公式【典例解析】把 2248xyz分解因式。【点评】如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式。【变式训练】1.分解因式：（1） 321x； （2） 2xy；（3） 93x； （4） yx2；（5） 4；4（6） 22456xyxy；【解析】（1） (1)； （2） 2()2)xyxy；（3） ()3；（4） -；（5） 24x＝ 24x＝ 2()4(1)xx＝ 22()4(1)x＝ (1)＝ 1；（6） 2256yy= 22()56yy＝ (4)()3x= 3)x；1第 1 讲 公式法与分组分解法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2．（3）立方和公式 23())；（4）立方差公式 2abab；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） ．【高效演练】1．将（a﹣1） 2﹣1 分解因式，结果正确的是（ ）A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C． （a﹣2） （a﹣1） D． （a﹣2） （a+1）【解析】原式=（a﹣1+1） （a﹣1﹣1）=a（a﹣2） ．故选：B．【答案】B22．下列因式分解中，正确的个数为（ ）①x 3+2xy+x=x（x 2+2y） ；②x 2+4x+4=（x+2） 2；③﹣x 2+y2=（x+y） （x﹣y）A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个3.已知 2a﹣b=2，那么代数式 4a2﹣b 2﹣4b 的值是（ ）A．2 B．0 C．4 D．6【解析】∵2a﹣b=2，∴4a 2﹣b 2﹣4b=4a 2﹣（b+2） 2+4=（2a+b+2） （2a﹣b﹣2）+4=（2a+b+2）×（2﹣2）+4=4．故选：C．【答案】C4．多项式（x+2） （2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m） （2x+n） ，则 m﹣n 的值是（ ）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解析】（x+2） （2x﹣1）﹣（x+2）=（x+2） （2x﹣2）=（x+m） （2x+n） ，可得 m=2，n=﹣2，则 m﹣n=2﹣（﹣2）=2+2=4，故选 C【答案】C5．设 M= a（a+1） （a+2） ，N= a（a﹣1） （a+2） ，那么 M﹣N 等于（ ）A． （a+1） （a+2） B． a2+ a C． （a+1） （a+2） D． a2+ a【解析】∵M= a（a+1） （a+2） ，N= a（a﹣1） （a+2） ，∴M﹣N= a（a+1） （a+2）﹣ a（a﹣1） （a+2）= a（a+2）[（a+1）﹣（a﹣1）]= a2+ a．故选：D．【答案】D6．式子 2018﹣a 2+2ab﹣b 2的最大值是（ ）A．2015 B．2016 C．2017 D．20183【解析】2018﹣a 2+2ab﹣b 2=2018﹣（a 2﹣2ab+b 2）=2018﹣（a﹣b） 2，∵（a﹣b） 2≥0，∴原式的最大值为：2018．故选：D．【答案】D7. 已知 a、b、c 为△ABC 的三边长，且满足 a2c2－b 2c2＝a 4－b 4，判断△ABC 的形状( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8．长为 a、宽为 b 的矩形，它的周长为 16，面积为 12，则 a2b+ab2的值为 ．【解析】∵长为 a、宽为 b 的矩形，它的周长为 16，面积为 12，∴ab=12，a+b=8，∴a 2b+ab2=ab（a+b）=12×8=96．【答案】969．若 x2+2（3﹣m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，则 m 的值为 ．【解析】∵x 2+2（3﹣m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）=±10,解得：m=﹣2 或 8．【答案】﹣2 或 8．10.因式分解（1）16(x－y) 2－9(x＋y) 2（2） ()()1ab+-；4（3）3278ab（4） 6-【答案】（1）16(x－y) 2－9(x＋y) 2=[4(x－y)－3(x＋y)][4(x－y)+3(x＋y)]=(x－7y)(7x－y)；（2）2()()1()abab+-=+-；（3）2964；（4）622 42())()(16)aaaa-=-+=-+；11．已知 ,3b，求代数式 22b的值．【解析】 22()，由 ,23b，代入原式可得 283。12．证明：当 n为大于 2 的整数时， 534n能被 120 整除．13．已知 0abc，求证： 3230acba．【解析】因式分解可得； 22()()bac因为 c，所以成立。1第 2 讲 十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2．（3）立方和公式 23())；（4）立方差公式 2abab；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） ．【精讲深剖】1．对于二次项系数为 1 的二次三项式 2()xpq+型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是 1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和。即； 22() ()()()xpqxpxqxpqxpxq注：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常借助画十字交叉线的办法来确定，故称为十字相乘法。2【典例解析】把下列各式因式分解：(1) 256x；(2) 13； (3) 24x；【解题反思】当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因数的符号与一次项的系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。【变式训练】1.把下列各式因式分解：（1） 652x__________________________________________________。（2） 7+=__________________________________________________。（3） __________________________________________________。（4） 652x__________________________________________________。（5） a1__________________________________________________。（6） 82__________________________________________________。（7） x-+__________________________________________________。（8） 226y__________________________________________________。（9）若 4xba则 a， b。3（10）  3 42 xx【答案】（1） (6)1； （2） (6)1x； （3） 23x； （4） ； （5） ()a； （6） ()9x；（7） 4x； （8） 32)y；（9） 2,8b； （10） 1；【点评】注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。2．对于一般二次三项式 2axbc型的因式分解因为， 21211212()()()cxacx．反过来，就得到； 12 2()()cac我们发现，二次项系数 a分解成 12，常数项 c分解成 12，把 12,写成 12ac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 c，如果它正好等于 axbc的一次项系数 b，那么2axbc就可以分解成 12()()ax，其中 1,c位于上一行， 2,位于下一行。【典例解析】把下列各式因式分解：(1) 215；(2) 268xy【解析】：(1) (32)41xx41(2) 22568()54)xyxy41 254y【解题反思】用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。【变式训练】1.把下列各式分解因式：(1) 2245mn； (2) 42718x； (3) 673x； (4) 235ba； （5） 2281y ； (6) ()()2【点评】对于二次项系数不为 1 的二次三项式运用十字相乘法分解，需要更多尝试，达到熟练掌握。1第 2 讲 十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2．（3）立方和公式 23())；（4）立方差公式 2abab；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） ．【高效演练】1．将下列各式因式分解：（1） x267； （2）2x 3﹣6x 2+4x；（3） ab245； （4） x；（5） 5301xax；2（6） ab21639 ； （7） 57412xynnn；（8） x2 7；【答案】(1) (1)； （2）2x（x﹣1） （x﹣2） ；（3） 5ab； （4） ()()()()xxxx224131；（5） 3()8；（6）原式 abab21639（7）原式 541xyxynn（8）原式 xx22841632.把 49yxy分解因式的结果是________________。【解析】： 225yxx24229133.若 xym56能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为________________。 【解析】： xyxyxy2 56-6 可分解成 3或 2，因此，存在两种情况：（ 1） x+y -2 （ 2） x+y -3 x-y 3 x-y 2 由（1）可得： m1，由（1）可得： m1【答案】 【解题反思】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。34.已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足 acbac24。求证： bc5. 若 xxa3257有一因式 x1。求 a，并将原式因式分解。【解析】： 32有一因式∴当 10，即 时， x32570axxxx32225743113【解题反思】由条件知， x1时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是 x1，分解时尽量出现 ，从而分解彻底。6.已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足 xyxy220，求长方形的面积。【分析】要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。【解析】： xyxy2204xyxy22201()xy20或 xy0[又 8xyxy18或解得： y53或 4.∴长方形的面积为 15cm2或 632cm7. 在多项式 xxxxx12123， ， ， ， ， ，哪些是多项式24209的因式？【解析】： xx42xxxx22222 131∴其中 1122， ， ， 是多项式xx2409的因式。【解题反思】先正确分解，再判断。8. 已知多项式 1332k有一个因式，求 k 的值，并把原式分解因式。【解析】：设 12xxxab则 2331abk5解得：abk16且 213621621323 2xxxxx【解题反思】待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为 1。9. 分解因式： 352942xyxy【解析】：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设 22353222xymynxmny比较同类项系数，得： n194解得： mn413529434212xyxyxy10. 已知： 012， ，求 92y的值。【解析】： 12xy342xyxy053128，原 式【解题反思】用因式分解可简化计算。11.证明：若 4xy是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则 810322xy是 49 的倍数。【分析】：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。【解析】： 证明一： 8103242 y623467xyxy∵ 是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数）∴ xy是 7 的倍数而 2 与 7 互质，因此， 23xy是 7 的倍数，所以 810322xy是 49 的倍数。1第 1 讲 一元二次方程根的判别式现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根的判别式一元二次方程 20 ()axbca，用配方法将其变形为：24()bacx(1) 当 24时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： 2124,bacbacxx(2) 当 240时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： 1,2bxa(3) 当 bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用 2的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 24bc叫做一元二次方程 20 ()axc的根的判别式，表示为： 24bac【精讲深剖】一元二次方程根的判别式即是判定方程根的情况的充分条件，也是求解方程根的一般方法。【典例解析】1.判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1） x2－3 x＋3＝0； （2） x2－ ax－1＝0； （3） x2－ ax＋( a－1)＝0； （4） x2－2 x＋ a＝0．【解析】（1）∵Δ＝3 2－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式 Δ＝ a2－4×1×(－1)＝ a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根; 1x， 224ax．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝ a2－4×1×( a－1)＝ a2－4 a＋4＝( a－ 2)2，所以，①当 a＝2 时，Δ＝0，2所以方程有两个相等的实数根： x1＝ x2＝1；②当 a≠2 时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根： x1＝1， x2＝ a－ 1．【解题反思】在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．【变式训练】1.已知关于 x的一元二次方程 230xk，根据下列条件，分别求出 k的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】 2()4312k(1) 410k；(2) 23；(3) 1k； (4) 014．【点评】本题已知根的情况，运用根的判别式，求方程中参数的取值范围。需要逆向思考，体现了思维的灵活性。2.（1）判断直线 1yx=+与抛物线 231yx=-+的交点个数；（2）若直线 2m与抛物线 有两个不同的交点，求 m的范围。3【分析】有题意，曲线交点个数可转化为对应方程组的解的个数，可借助根的判别式进行解决；（2）由 2yxmì=+ïíî，代入消元得； 2xm+=，整理得； 0-，由题意可得； 2()41D=+´，解得 1-，即当 1m-时，直线 yxm与抛物线 2yx=有两个不同的交点。【点评】判断两曲线交点个数问题时，基本方法为直接求解法，判别式法即图像法。而判别式法在解决二次曲线交点个数问题时更为高效。3．已知关于 x 的一元二次方程 22310xkxk.（1）求证：不管 k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形 ABC 的一边长 6a,另两边长 ,bc恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.【答案】 （1） 20kA；（2）16 或 22.【分析】 （1）计算出“根的判别式△的值” ，然后通过配方可知无论 k 去何值，△的值恒大于或等于 0，由此可得结论；（2）因为题目中没有告诉等腰△ABC 中边 a是腰还是底，故要分两种情况讨论：①当 a为腰时，则bc、中有一边为腰，即原方程有一根为 6，代入方程可解得 k 的值，进一步可求得方程的另一根，从而可求△ABC 的周长；②当 a为底时，则 bc、 都为腰，此时原方程有两个相等的实数根，则△=0，由此可求出k 的值，代入原方程求解，从而可求△ABC 的周长.【解析】(1)∵在方程 22310xkxk 中，△= 314k= 29618k= 21=2k，4∴无论 k 为何值，△ 0 ，∴不管 k 为何值，原方程总有实数根；②当 6a为底时，则 ,bc两边均为腰，即原方程有两个相等的实数根，所以 2(1)0kA，解得 1k，此时原方程为： 4x，解得： 12x即 ,bc两边均为 2，因为 6，此时 ,abc三边围不成三角形，此种情况不成立；综合①②可得的周长为 16 或 22【点评】问题从一元二次根的判别式“△”入手，通过化简、配方法等将“△”表达式转化为可判断其符号的形式，从而就可以判断原一元二次方程根的情况了；（2）这类问题通常要分“已知边是等腰三角形的腰和底”两种情况分别讨论，同时要特别注意在涉及三角形三边的问题中，求出三边后，一定要用三角形三边间的关系进行检验，看能否围成三角形.1第 1 讲 一元二次方程根的判别式现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根的判别式一元二次方程 20 ()axbca，用配方法将其变形为：24()bacx(1) 当 24时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： 2124,bacbacxx(2) 当 240时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： 1,2bxa(3) 当 bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用 2的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 24bc叫做一元二次方程20 ()xc的根的判别式，表示为： 24bac【高效演练】1.关于 x的方程 2kx10的根的情况描述正确的是（）A． k为任何实数，方程都没有实数根B． 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C． 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据 k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【解析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：∵一元二次方程根的判别式为△=（2k） 2－4×（k－1）=4k 2－4k+4=（2k﹣1） 2+3＞0，∴不论 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选 B。【答案】B22.若关于 x 的方程 2310kx有实数根，则 k 的取值范围为（ ）A. k≥0 B. k＞0 C. k≥ 49 D. k＞ 49【解析】由题意得 2()4()A，得 0kA，又 0k，综上则选 A【答案】A3.下列四个结论中，正确的是（ ）A．方程 1x+=2有两个不相等的实数根 B．方程 有两个不相等的实数根C．方程 1x2有两个不相等的实数根D．方程 +=a（其中 a 为常数，且 a2）有两个不相等的实数根4.关于 x 的一元二次方程 2310kx有实数根，则 k的取值范围是（ ）A. 94k B. 94且  C. 94 D. 94且 0k【解析】∵关于 x的一元二次方程 2kx有实数根，∴ 20{ 341kA，解得 94，且 0k.故选 B.【答案】B5.若反比例函数 kyx与一次函数 yx2的图像没有交点，则 k的值可以是（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【解析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出 k 的取值范围，找出符3合条件的 k 的值即可：∵反比例函数 yx与一次函数 y=x+2 的图象没有交点，∴ y2① ②无解，即 k=2无解，整理得 x2+2x-k=0，∴△=4+4k＜0，解得 k＜－1。四个选项中只有-2＜-1，所以只有 A 符合条件。故选 A。【答案】A。6.如图，直线 y= x+2 与双曲线 y= m3x在第二象限有两个交点，那么 m 的取值范围在数轴上表示为【 】 (D)(C) (B)(A)-2-1 432-2-1 432 -2-1 432-2-1 43201 1010 10【解析】因为直线 y= x+2 与双曲线 y= m3x在第二象限有两个交点，联立两方程求出 m 的取值范围即可，然后在数轴上表示出 m 的取值范围：由 x+2= 3得 2+2 +3﹣m=0，∵ y= +2 与 = x有两个交点，∴方程 2+2 +3﹣m=0 有两不相等的实数根。即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得 m＞2。又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。∴m 的取值范围为：2＜m＜3。故在数轴上表示为 B。故选 B。【答案】B。7．已知关于 x的一元二次方程 210kxkx有两个不相等的实根，则 k的取之范围为（ ）A. 423k且 B. 423且 4C. 324k且 D. 324k且【解析】根据题意得 k−2≠0 且△＝（2k＋1）²−4（k− 2）²＞0，解得：k＞ 且 k≠2．故选 C．【答案】C8.若关于 x 的方程(k－1)x 2＋4x＋1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是( )A. k＞5 B. k＜5 且 k≠1 C. k≤5 且 k≠1 D. k≤5【解析】 关于 的方程 240x有实数根,当 10时，方程是一元一次方程，有实数根.当 k时，方程是一元二次方程， 210,k解得： 5且 1.k综上所述， 5k. 故选 D.【答案】D9.方程 x2－(m＋6)x＋m 2＝0 有两个相等的实数根，且满足 x1＋x 2＝x 1x2，则 m 的值是( )A. －2 或 3 B. 3 C. －2 D. －3 或 2【答案】C10.方程 ax2+x+1=0 有两个不等的实数根，则 a 的取值范围是________。【解析】∵方程 10ax有两个不等的实数根，∴ 20{ 14A ，解得 4且 a.【答案】a＜ 且 a≠011.有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于 x 的一元二次方程2xa0有两个不相等的实数根，且以 x 为自变量的二次函数 2ya12的图象不5经过点（1，0）的概率是 。【解析】∵ 2xa130有两个不相等的实数根，∴△＞0。∴[﹣2（a﹣1）] 2﹣4a（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。将（1，0）代入 2yax；得：a 2+a﹣2=0，解得 a1=1，a 2=﹣2。可见，符合要求的点为 0，2，3。∴P（符合要求）= 37。【答案】 37。12.二次函数 2yaxb的图象如图，若一元二次方程 2axbm0有实数根，则 m的最大值为 【答案】313.已知关于 x的方程 223410.kxk（1）若这个方程有实数根，求实数 k 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x1、x 2，且满足 21127x,求实数 k 的值.【解析】分析：（1）根据方程有实根可得△≥0，进而可得[-2（k-3）] 2-4×1×（k 2-4k-1）≥0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得 x1+x2=2（k-3） ，x 1•x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得 x12+x22=（x 1+x2）62-2x1x2，代入 x1+x2=2（k-3） ，x 1•x2= k2-4k-1 可计算出 m 的值．解析：（1）∵x 2-2（k-3）x+k 2-4k-1=0 有实数根，∴△=4（k-3） 2-4（k 2-4k-1）=4k 2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0，解得：k≤5；（2）∵方程的两实数根分别为 x1，x 2，∴x 1+x2=2（k-3） ，x 1•x2= k2-4k-1．∵x 12+x22=x1x2+7，∴( x1+x2)2-3x1x2-7=0，∴k 2-12k+32=0，解得：k 1=4，k 2=8．又∵k≤5，∴k=4． 【答案】 （1） k≤5；（2）4.14.已知 a，b，c 为一个三角形的三条边长，且方程 22110bxacx有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状。 【解析】分析：把方程 化为一般形式可得：(b+c)x²−2ax−b+c=0，由由 b、c 的实际意义可知 b+c＞0，即原方程是关于 x的一元二次方程；由方程有两个相等的实数根可得“△=0” ，列出关系式化简，由勾股定理逆定理可判断该三角形为直角三角形.解析：方程 2211xax化为一般形式可得：(b+c)x²−2ax− b+c=0，由 b、c 的实际意义可知：b+c＞0∴原方程是关于 的一元二次方程，∵原方程有两个相等的实数根, ∴△=(−2a)²−4 (b+c) (c−b)=0整理,得：4a²+4b²−4c²=0，即 a²+b²−c²=0，移项,得：a 2+b2=c2∴由直角三角形勾股定理逆定理可知：这个三角形是直角三角形.【答案】直角三角形1第 2 讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程 20 ()axbca的两个根为：2244,bx所以：2212 4bacbacbx，222212 24()4)acca  定理：如果一元二次方程 20 ()axbca的两个根为 12,x，那么：1212,bcxxa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是 0．【典例解析】1.已知方程 256xk的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．【分析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值．【解析】解法一：∵2 是方程的一个根，∴5×2 2＋ k×2－6＝0，∴ k＝－7．所以，方程就为 5x2－7 x－6＝0，解得 x1＝2， x2＝－ 35．所以，方程的另一个根为－ 3， k 的值为－7．2解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2 x1＝－ 65，∴ x1＝－ 35．由 （－ ）＋2＝－ k，得 k＝－7．所以，方程的另一个根为－ 35， k 的值为－7．【解题反思】本题两种解法进行比较，解法一将已知的根代入方程求解出 k 的值，再求另一个根；而解法二直接运用韦达定理，建立二元一次方程求解更加高效。2. 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x2＋5 x－3＝0 的两根．（1）求 的值； （2）求 21x的值；（3） x13＋ x23．【解析】∵ x1和 x2分别是一元二次方程 2x2＋5 x－3＝0 的两根，∴ 5， 12．（1）∵| x1－ x2|2＝ x12+ x22－2 x1x2＝( x1＋ x2)2－4 x1x2＝ 253()4()＝ 25＋6＝ 49，∴| x1－ x2|＝ 7．（2）22211121 5325()()() 3749xxx ．（3） x13＋ x23＝( x1＋ x2)( x12－ x1x2＋ x22)＝( x1＋ x2)[ ( x1＋ x2) 2－3 x1x2]＝(－ 5)×[(－ )2－3×( 3)]＝－ 58．【解题反思】为了解题简便，我们探讨出一般规律：设 12,x分别是一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的根，则运用根与系数的关系以下变形需掌握；① 211()xx② 21 2()4③ 1122xx④ 2111()()4xx；或322212444bacbacbacx24||bac【变式训练】1.若 12,x是方程 2018x的两个根，试求下列各式的值；（1） ； （2） 12x；（3） (5)； （4） 12；【分析】本题若运用求根公式先求解，运算量太大，借助韦达定理是一条更加高效的解题思路；【点评】掌握韦达定理的常见变形可帮助我们提升解题速度。2.已知关于 x 的方程 x2＋2( m－ 2)x＋ m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值．【分析】本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．【解析】设 x1， x2是方程的两根，由韦达定理，得； x1＋ x2＝－2( m－ 2)， x1·x2＝ m2＋4．∵ x12＋ x22－ x1·x2＝21，∴( x1＋ x2)2－3 x1·x2＝21，即 [－2( m－ 2)] 2－3( m2＋4)＝21，化简，得 m2－16 m－17＝0， 解得； m＝－1，或 m＝17．当 m＝－1 时，方程为 x2＋6 x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；4当 m＝17 时，方程为 x2＋30 x＋293＝0，Δ＝30 2－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上， m＝17．【点评】（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可．（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．3.已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数．【分析】我们可以设出这两个数分别为 x， y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程； x2－4 x－12＝0 的两个根．解这个方程，得； x1＝－2， x2＝6．所以，这两个数是－2 和 6．【点评】从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．