1、1数学活动一、活动导入1.导入课题：老师在黑板上画 1 个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”.(板书课题)2.活动目标：(1)通过观察点阵(数学模型)，了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律.(2)探究三角点阵中前 n 行的点数和的计算公式.(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前 n 行的点数和的计算公式解决问题.(4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.3.活动重、难点：重点：探究三角点阵中前 n 行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角点阵中前 n 行的点数
2、和的计算公式解决问题.难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前 n 行的点数和的计算公式解决问题.二、活动过程活动 1 三角形点阵1.活动指导(1)活动内容：三角形点阵.(2)活动时间：10 分钟.(3)活动方法：完成活动参考提纲.(4)活动参考提纲：图 1 是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有2 个点第 n 行有 n 个观察图形，完成下面各题.下表是该点阵前 n 行的点数和，请你按要求把它填写完整.若该三角点阵前 n 行的点数和是 300，求行数 n.2由知前 n 行的点数和为 =300，解得 n1=24，n 2= -25(舍去)，即行数 n 为 24.(+
3、1)2该三角点阵前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出其行数 n；如果不能，请说明理由.前 n 行的点数和 =600,解得 n1= , n2= ,因为 n 是正整(+1)2 1+48012 1 48012数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前 n 行的点数和不能是 600.如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2，4，6，2n，你能探究出前 n 行的点数和满足什么规律吗？前 n 行的点数和为 =n(n+1)(2+2)2在中，三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.依题意,n(n+1)=600.解得 n1=24，n 2
4、= -25(舍去).即 n 的值为 24.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：(1)师助生：明了学情：明了学生归纳公式、建立一元二次方程模型等方面的情况.差异指导：对困难学生从归纳公式、建立一元二次方程模型等方面进行指导.(2)生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：(1)三角点阵中前 n 行的点数和的计算公式.(2)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前 n 行的点数和的计算公式解决问题的一般过程.活动 2 正六边形点阵1.活动指导(1)活动内容：正六边形点阵. (2)活动时间：8 分钟.(3)活动方法：完成活动参考提纲.(4)活动参考提纲：如图 2 是一个形如正六边形的点阵，
5、它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有3两个点，第三层每边有三个点，依此类推.填写下表：写出第 n 层所对应的点数(n2)；6(n-1)写出 n 层正六边形点阵的总点数(n2)；1+61+62+6(n-1)=1+6 (n-1)=1+3n(n-1)1+12如果点阵中所有层的总点数为 331，请求出它共有几层？1+3n(n-1)=331解得：n 1=11，n 2=-10(舍去)，它共有 11 层.点阵设计大赛：设计时间：5 分钟.设计要求：A. 每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前 4 个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.B. 每组评选出优秀作品，派代表
6、说明设计的方法及点阵中的规律.C. 优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学:(1)师助生:明了学情：明了学生是否会归纳 n 层正六边形点阵的总点数.差异指导：对困难学生在归纳 n 层正六边形点阵的总点数方面进行指导.(2)生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：(1)n 层正六边形点阵总点数的计算公式.4(2)运用一元二次方程的知识和 n 层正六边形点阵总点数的计算公式解决问题的一般过程.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：从学生回答问题、课堂的注意力等方面进行评价
7、.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：本课时是规律探究类问题的学习，解决问题的方法是列一元二次方程，也体现了一元二次方程用途的广泛性.教学思路是以学生自主探究为主，教师引导为辅，让学生成为获取知识的主动者，从而达到让学生在掌握知识技能的同时并会运用的目的.(时间：12 分钟满分：100 分)一、基础巩固(50 分)1.(30 分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10，这样的数称为“三角形数” ，而把 1，4，9，16这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.(1)下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在后面的横线上
8、写出相应的等式；1=1；1+2=3；1+2+3=6；1+2+3+4=10.(2)通过猜想，写出(1)中与第九个点阵相对应的等式：1+2+3+9=45. (3)2015 是“三角形数”吗？为什么？5解：不是.“三角形数”都可以写成 的形式，令 2015= ，(+1)2 (+1)2因为 n 是正整数，方程的两根均不符合条件，所以 2015 不是“三角形数”.(4)从下图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.结合(1)观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式.1=1 2；1+3=2 2；3+6=3 2；6+10=4 2；10+15=5 2.(5)通过猜
9、想，写出(4)中与第 n 个点阵相对应的等式： + =n2.(1)2 (+1)2(6)判断 225 是不是“正方形数” ，如果不是，说明理由；如果是，225 可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？解：是.15 2=225.225 是“正方形数”.由(5)， + =152，15(151)2 15(15+1)2225 可以看作 105，120 这两个相邻的“三角形数”之和.2.(20 分)如图，由等圆组成的一组图中，第 1 个图由 1 个圆组成，第 2 个图由 7 个圆组成，第 3 个图由 19 个圆组成，按照这样的规律排列下去，则第几个图形由 217 个圆组成？解：第 n 个图形由 1+3n(n
10、-1)个圆组成.令 1+3n(n-1)=217,解得 n1=9,n2=-8(舍去).6第 9 个图形由 217 个圆组成.二、综合应用(20 分)3.(20 分)如图是一个正五边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.这个五边形点阵前 n 层共有 331 个点,求 n；这个五边形点阵会不会存在前 n 层共有 1261 个点的情形？如果存在，求 n 的值；如果不存在，说明理由.解：前 n 层共有 1+ 个点.5(1)2由 1+ =331,解得 n1=12，n 2= -11(舍去).5(1)2令 1+ =1261,解得 n1= n2= .5(1)2 1+201
11、7,)2 1 2017,)2n 为正整数，方程的两根均不合题意.即这个五边形点阵不会存在前 n 层共有 1261 个点的情形.三、拓展延伸(30 分)4.(30 分)如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：(1)在第 n 个图中，每一横行共有(n+3)块瓷砖，每一竖列共有(n+2)块瓷砖(均用含 n的代数式表示)；(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了 506 块瓷砖，求此时 n 的值；(3) 若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题(3)中，共需花多少元钱购买瓷砖?(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?解：(2)第 n 个图共有(n+5n+6)块瓷砖.由 n2+5n+6=506.解得 n1=20,n2=-25(舍去).n=20.(3)白瓷砖块数是 n(n+1)=20(20+1)=420,黑瓷砖块数是 506-420=86.864+4203=1604(元).共需 1604 元钱购买瓷砖.7(4)不存在.理由如下.在第 n 个图中白瓷砖块数是 n(n+1).则有 n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)化简得 n2-3n-6=0.解得 n1= , n2= .3+332 3 332n 为正整数，方程的两根均不合题意.不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
