1、1第一章 立体几何初步章末检测(一)一、选择题(本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分)1.设 m， n是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m ， n ，则 m n；若 ， ， m ，则 m ；若m ， n ，则 m n；若 ， ，则 .其中正确命题的序号是( )A. B.和 C.和 D.和解析 正确；若 ， ， m ，则 m 或 m ，错；若m ， n ，则 m n，而同平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，错；垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，错.答案 A2.在如右图所示的三棱锥 A BCD中，VA BPQ2， VC APQ6， VC DPQ
2、12，则 VA BCD等于( )A.20 B.24C.28 D.56解析 由 ，得 ，所以 VP BDQ VP CDQ4，所以VA BPQVC APQ 26 13 VP BDQVP CDQ 13 13VA BCD2612424.答案 B3.如图， l， A、 B ， C ，且 Cl，直线 AB l M，过A， B， C三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过( )A.点 A B.点 BC.点 C但不过点 M D.点 C和点 M解析 AB ， M AB， M .又 l， M l， M .根据公理 3可知，点 M在 与 的交线上.同理可知，点 C也在 与 的交线上.答案 D4.平面 截球 O的球面所
3、得圆的半径为 1，球心 O到平面 的距离为 ，则此球的体积2为( )2A. B.4 6 3C.4 D.6 6 3解析 如图，设截面圆的圆心为 O，M为截面圆上任一点，则 OO ， O M1，2 OM ，（ 2） 2 1 3即球的半径为 ， V ( )34 .343 3 3答案 B5.如图所示，将等腰直角 ABC沿斜边 BC上的高 AD折成一个二面角，此时 B AC60，那么这个二面角大小是( )A.90 B.60C.45 D.30解析 连接 B C，则 AB C为等边三角形，设 AD a，则 B D DC a， B C AC a，2所以 B DC90.答案 A6.如图，平面 平面 ，点 A ，
4、点 B ， AB与两平面 ， 所成的角分别为 45和 30.过点 A， B分别作两平面交线的垂线，垂足为A， B，若 AB12，则 A B( )A.4 B.6 C.8 D.9解析 如图所示，连接 A B， AB，由题意得 BB ， AA ， BAB45， ABA30，BB A B， AA A B， AA A B.因为 AB12，所以BA ABcos ABA6 ， BB ABsin BAB6 ，故3 2A B 6.BA 2 BB 2答案 B7.已知矩形 ABCD， AB1， BC ，将 ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折，在2翻折过程中( )A.存在某个位置，使得直线 AC与直线 BD
5、垂直B.存在某个位置，使得直线 AB与直线 CD垂直C.存在某个位置，使得直线 AD与直线 BC垂直D.对任意位置，三对直线“ AC与 BD”， “AB与 CD”， “AD与 BC”均不垂直3解析 A 错误，理由如下：过 A作 AE BD，垂足为 E，连接 CE.若直线 AC与直线 BD垂直，则可得 BD平面 ACE，于是 BD CE，而由矩形 ABCD边长的关系可知 BD与 CE并不垂直.所以直线 AC与直线 BD不垂直；B 正确，理由如下：翻折到点 A在平面 BCD内的射影恰好在直线 BC上时，平面 ABC平面 BCD，此时由 CD BC可证 CD平面 ABC，于是有 AB CD；C 错误
6、，理由如下：若直线 AD与直线 BC垂直，则由 BC CD可知 BC平面 ACD，于是 BC AC，但是 ABPA知正确；由 E、 F分别是棱 PC、 PD的中点，可得 EF CD，又 AB CD， EF AB，故 AE与 BF共面，故错.答案 16.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是_.7解析 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其中PA1， BC2，取 BC的中点 M，连接 AM， MP，则 AM2， AM BC，故AC AB ，由主视图和左视图可知 PA平面BM2 AM2 1 4 5ABC，因此可得 PC PB ， PM PA2 AB2 1 5 6 PA2 AM2 ，所以三
7、棱锥的表面积为 S ABC S PAB S PAC S PBC 22 1 1 4 512 12 5 121 2 22 .512 5 5答案 22 5三、解答题(本大题共 6个小题，共 70分)17.(10分)由四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1 B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形， O为 AC与 BD的交点， E为 AD的中点， A1E平面 ABCD.(1)证明： A1O平面 B1CD1；(2)设 M是 OD的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.证明 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1， A1O1，由于 ABCD A1B1C1D1是四棱柱
8、，所以 A1O1 OC， A1O1 OC，因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1O O1C，又 O1C 平面 B1CD1， A1O 平面 B1CD1，所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 AC BD， E， M分别为 AD和 OD的中点，8所以 EM BD，又 A1E平面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 A1E BD，因为 B1D1 BD，所以 EM B1D1， A1E B1D1，又 A1E， EM 平面 A1EM， A1E EM E，所以 B1D1平面 A1EM，又 B1D1 平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1.18.(12分)一个多面体的直观图及三视
9、图如图所示(其中 M、 N分别是 AF、 BC的中点).(1)求证： MN平面 CDEF；(2)求多面体 A CDEF的体积.解 由题图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，其中 AB BC BF2， DE CF2， CBF90.2(1)证明 取 BF的中点 G，连接 MG、 NG.由 M、 N分别为 AF、 BC的中点，可得 NG CF， MG AB，又 AB EF， MG EF， MG NG G， EF CF F，平面 MNG平面 CDEF， MN 平面 MNG， MN平面 CDEF.(2)取 DE的中点 H，连接 AH.因为 AD AE，所以 AH DE.在直三棱柱 ADE BCF中，
10、平面 ADE平面 CDEF，平面 ADE平面 CDEF DE，所以 AH平面 CDEF，所以多面体 A CDEF是以 AH为高，矩形 CDEF为底面的棱锥.9AH ， S 矩形 CDEF DEEF4 ，2 2所以棱锥 A CDEF的体积 V S 矩形 CDEFAH .13 8319.(12分)如图， AB是圆 O的直径， PA垂直圆 O所在的平面， C是圆 O上的点.设 Q为 PA的中点， G为 AOC的重心，求证： QG平面 PBC.证明 连接 OG并延长交 AC于点 M，连接 QM， QO， OC，由 G为 AOC的重心，得 M为 AC中点.由 Q为 PA中点，得 QM PC，又 O为 A
11、B中点，得 OM BC.因为 QM MO M， QM 平面 QMO， MO 平面 QMO， BC PC C， BC 平面 PBC， PC 平面PBC，所以平面 QMO平面 PBC.因为 QG 平面 QMO，所以 QG平面 PBC.20.(12分)如图，四边形 ABCD为菱形， G为 AC与 BD的交点， BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若 ABC120， AE EC，三棱锥 E ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.63(1)证明 因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD.因为 BE平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以 AC BE.又 BE BD B
12、，所以 AC平面 BED.又AC 平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)解 设 AB x，在菱形 ABCD中，由 ABC120，可得 AG GC x， GB GD .32 x2因为 AE EC，所以在 Rt AEC中，可得 EG x.32由 BE平面 ABCD，知 EBG为直角三角形，由勾股定理可得 BE x.22由已知得，三棱锥 E ACD的体积 VE ACD ACGDBE x3 ，故 x2.13 12 624 6310从而可得 AE EC ED .6所以 EAC的面积为 3， EAD的面积与 ECD的面积均为 .5故三棱锥 E ACD的侧面积为 32 .521.(12分)如图，
13、在四棱锥 P ABCD中， PD底面ABCD， AB CD， AB2， CD3， M为 PC上一点，且 PM2 MC.(1)求证： BM平面 PAD；(2)若 AD2， PD3， BAD ，求三棱锥 P ADM的体积.3解 (1)如图，过 M作 MN CD交 PD于点 N，连接 AN. PM2 MC， MN CD.23又 AB CD，且 AB CD，23 AB綊 MN，四边形 ABMN为平行四边形， BM AN.又 BM平面 PAD， AN 平面 PAD， BM平面 PAD.(2)如图，过 B作 AD的垂线，垂足为 E. PD平面 ABCD， BE 平面 ABCD， PD BE.又 AD 平面
14、 PAD， PD 平面PAD，AD PD D. BE平面 PAD.由(1)知， BM平面 PAD，点 M到平面 PAD的距离等于点 B到平面 PAD的距离，即 BE.连接 BD，在 ABD中， AB AD2， BAD ， BE ，3 3则三棱锥 P ADM的体积 VP ADM VM PAD S PADBE 3 .13 13 3 322.(12分)如图(1)，在 Rt ABC中， C90， D， E分别为 AC， AB的中点，点 F为线段CD上的一点，将 ADE沿 DE折起到 A1DE的位置，使 A1F CD，如图(2).11(1)求证： DE平面 A1CB；(2)求证： A1F BE；(3)线
15、段 A1B上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？并说明理由.(1)证明 D， E分别为 AC， AB的中点， DE BC.又 DE平面 A1CB， BC 平面 A1CB， DE平面 A1CB.(2)证明 由已知得 AC BC且 DE BC， DE AC. DE A1D， DE CD， A1D CD D， DE平面 A1DC.而 A1F 平面 A1DC， DE A1F.又 A1F CD， DE CD D， A1F平面 BCDE， BE 平面 BCDE， A1F BE.(3)解 线段 A1B上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ.理由如下：如图，分别取 A1C， A1B的中点 P， Q，则 PQ BC.又 DE BC， DE PQ.平面 DEQ即为平面 DEP.由(2)知， DE平面 A1DC， A1C 平面 A1DC， DE A1C.又 P是等腰三角形 DA1C底边 A1C的中点， A1C DP， DE DP D， A1C平面 DEP.从而 A1C平面 DEQ.故线段 A1B上存在点 Q(中点)，使得 A1C平面 DEQ.
