1、中中 华华 文文 化化 撷撷 英英 数 学（四）黄兵明 主编 北京银冠电子出版有限公司 图 书 在 版 编 目 (CIP)数 据中 华 文 化 撷 英 /黄 兵 明 主 编 北 京 ： 北 京 银 冠 电 子 出 版 有 限 公 司 ， 2003ISBN 7-900060-29-4中 黄 文化知识普及读物中国 Z228.527中国版本图书馆 CIP 数据核字(2003)第 007295 号北京银冠电子出版有限公司发行 (北 京 海 淀 区 增 光 路 45 号 100037) 全国各地新华书店经销 北京双青印刷厂印刷开 本 ： 7871092 1/32 印 张 ： 512 字 数 ： 4900
2、 千字 2003 年 12 月第 1 版 2003 年 12 月第 1 次印刷印 数 ： 1 500 册 版 号 ： ISBN 7-900060-29-4/Z03定 价 ： 9998.00 元 (1CD,含 配 套 书 )I目 录 数系 .1完数 一个新数种 .5数字的缺口 数字 2 的直观分析 .40数学奇才 耐普尔 .43 数学家博切尔兹 .44 诺维科夫 .45博学而另类的代数几何学家格罗腾迪克 .46 数学家吴文俊 48中国古代数学在几何学领域的独特贡献 .49 悖论 .51 费尔玛猜想 53 四色猜想 .55 比贝尔巴赫猜想 .58 广义克拉茨 59 6174 猜想 .61国际数学界
3、的最高奖菲尔兹奖和国际数学家大会. 64分形 自然几何 .93 毕达哥拉斯 97 布尔 .98II 帕斯卡 100 傅里叶 103 开普勒 104数 学 1 数系数 系 通 常 指 包 括 自 然 数 、 整 数 、 有 理 数 、 实 数 和复数的系统。 数 的 观 念 具 有 悠 久 的 历 史 ， 尤 其 是 自 然 数 的 观 念 ， 产 生 在 史 前 时 期 ， 详 情 已 难 于 追 索 ， 但 对 数 系 建立严谨的理论基础，则是 19 世纪下半期才完成。 1、自然数 建 立 自 然 数 概 念 通 常 有 基 于 基 数 与 基 于 序 数 两种方法。 基 于 基 数 的 自
4、 然 数 概 念 可 溯 源 于 原 始 人 类 用 匹 配 方 法 计 数 。 古 希 腊 人 用 小 石 卵 记 畜 群 的 头 数 或 部 落的人数。现在使用的英语 calculate（计算）一词 是从希腊文 c alculus（ 石 卵 ） 演 变 来 的 。 中 国 古 代 易 系 辞 中 说 ， 上 古 结 绳 而 治 ， 后 世 圣 人 易 之 以书契，这都是匹配计算法的反映。 集 合 的 基 数 具 有 元 素 “个 数 ”的 意 义 ， 当 集 合 是 有 限 集 时 ， 该 集 合 的 基 数 就 是 自 然 数 。 由 此 可 通 过 集 合 的 并 、 交 运 算 定
5、义 自 然 数 的 加 法 与 乘 法 （ 见 算术）。 为 了 计 数 ， 必 须 有 某 种 数 制 ， 即 建 立 一 个 依 次 排 列 的 标 准 集 合 。 随 后 对 某 一 有 限 集 合 计 数 。 就 是 将 该 集 合 中 每 个 元 素 顺 次 与 标 准 集 合 中 的 项 对 应 ，数 学 2所 对 应 的 最 后 的 项 ， 就 标 志 着 给 定 集 合 元 素 的 个 数。这种想法导致 G.皮亚诺 1889 年建立了自然数的 序数理论。 皮 亚 诺 规 定 自 然 数 集 满 足 下 列 五 条 公 理 ， 这 里 “集 合 ”、 “含 有 ”、 “自 然 数
6、 ”、 “后 粥 ”等 是 不加定义的。 是自然数。 不是任何其它自然数的后继。 每个自然数都有一个后继（a 的后记为） a/b/蕴含 ab 设 S 是自然数的一个集合。如果 S 含有 1，且 S 含有 a/蕴含 S 含有，则 S 含有任何自然数。 公 理 就 是 熟 知 的 数 学 归 纳 法 公 理 。 一 切 自 然 数集记为1,2,3, ，n ，简记为 N。 从 上 述 公 理 出 发 ， 可 以 定 义 加 法 和 乘 法 ， 它 们 满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。 整数 在自然数集 N 之外，再引入新的元素 0，1，2，3， ，n， 称 N 中的元素为正整数，称 0 为
7、零，称 1， 2， 3， ， n， 为 负 整 数 。 正整数、零与负整数构成整数系。 零 不 仅 表 示 “无 ”它 在 命 数 法 中 还 个 有 特 殊 的数 学 3意 义 ： 表 示 空 位 的 符 号 。 中 国 古 代 用 算 筹 计 数 并 进 行 运 算 ， 空 位 不 放 算 筹 ， 虽 无 空 位 记 号 ， 但 仍 能 为 位 值 记 数 与 四 则 运 算 创 造 良 好 条 件 。 印 度 阿 拉 伯 命 数 法 中 的 零 来 自 印 度 的 零 （ sunya） 字 ， 其 原 意 也是“空”或“空白”。 中 国 最 早 引 入 了 负 数 。 九 童 算 术 方
8、 程 中 论 述 的 “正 负 术 ”， 就 是 整 法 的 加 减 法 。 减 法 运 算 可看作求解方程 a+xb，如果 a，b 是自然数，则方 程 未 必 有 自 然 数 解 。 为 了 使 它 恒 有 解 ， 就 有 必 要 把 自然数系扩大为整数系。 关 于 整 数 系 的 严 格 理 论 ， 可 用 下 述 方 法 建 立 。 在 NN（ 即 自 然 数 有 序 对 的 集 ） 上 定 义 如 下 的 等 价 关 系 ： 对 于 自 然 有 序 对 （ a1， b1） ， （ a2 ，b 2 ） ， 如 果 a1+b2 a 2+b1 ， 就 说 （ a1 ， b1） （ a2 ，b
9、 2 ） ， N N， 关 于 上 述 等 价 关 系 的 等 价 类 ， 称 为 整 数 。 一 切 整 数的集记为 Z。 2、有理数 古埃及人约于公元前 17 世纪已使用分数，中国 九 童 算 术 中 也 载 有 分 数 的 各 种 运 算 。 分 数 的 使 用 是 由 于 除 法 运 算 的 需 要 。 除 法 运 算 可 以 看 作 求 解 方程 pxq（p0），如果 p，q 是整数，则方程不 一 定 有 整 数 解 。 为 了 使 它 恒 有 解 ， 就 必 须 把 整 数 系数 学 4扩大成为有理系。 关 于 有 理 数 系 的 严 格 理 论 ， 可 用 如 下 方 法 建 立
10、。在 Z（Z0）即整数有序对（但第二元不等 于 零 ） 的 集 上 定 义 的 如 下 等 价 关 系 ： 设 p1， p2Z， q2Z 0， 如 果 p1q2 p2q1 、 则 称 （ p1 ， q2 ） （ p2 ，q1） 。 Z（ Z 0） 关 于 这 个 等 价 关 系 的 等 价 类 ， 称 为 有 理 数 。 （ p， q） 所 在 的 有 理 数 ， 记 为 。 一 切 有 理 数 所 成 之 集 记 为 Q。 令 整 数 p 对 应 一 于 ， 即（ p， 1） 所 在 的 等 价 类 ， 就 把 整 数 集 嵌 入 到 有 理 数 的 集 中 。 因 此 ， 有 理 数 系
11、可 说 是 由 整 数 系 扩 大 后 的 数系。 3、引起数学危机的无理数 无 理 数 ， 顾 名 思 义 ， 与 有 理 数 相 对 。 那 么 它 就是 不 能 表 示 为 整 数 或 两 整 数 之 比 的 实 数 ， 比 如 等 等 。 如 果 不 作 数 学 计 算 ， 在 实 际 生 活 中 ， 我 们 是 不 会 碰 到 这 些 数 的 。 无 论 是 度 量 长 度 ， 重 量 ， 还 是 计 时。 第 一 个 被 发 现 的 无 理 数 ， 当 时 ， 毕 达 哥 拉 斯 学 派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究 1 和 2 的比 例中项时（若 1：XX：2，那么 X 叫 1
12、 和 2 的比例 中 项 ） ， 怎 么 也 想 不 出 这 个 比 例 中 项 值 。 后 来 ， 他 画一边长为 1 的 正 方 形 ， 设 对 角 线 为 X， 于 是 。 他数 学 5想，X 代表对角线长，而，那么 X 必定是确定的数。 但它是整数还是分数呢？显然，2 是之间的数，因而 X 应是 1 和 2 之间的数，因而不是整数。那么 X 会不 会 是 分 数 呢 ？ 毕 达 哥 拉 斯 学 派 用 归 谬 法 证 明 了 ， 这 个 数 不 是 有 理 数 ， 它 就 是 无 理 数 。 无 理 数 的 发 现 ， 对 以 整 数 为 基 础 的 毕 氏 哲 学 ， 是 一 次 致
13、 命 的 打 击 ， 以 至 于 有 一 段 时 间 ， 他 们 费 了 很 大 的 精 力 ， 将 此 事 保 密 ， 不 准 外 传 ， 并 且 将 希 帕 索 斯 本 人 也 扔 到 大 海 中 淹 死 了 。 但 是 ， 人 们 很 快 发 现 了 等 更 多 的 无 理 数 ， 随 着 时 间 的 推 移 ， 无 理 数 的 存 在 已 成 为 人 所 共 知的事实。 无 理 数 的 发 现 ， 是 毕 氏 学 派 最 伟 大 成 就 之 一 ， 也是数学史上的重要里程碑。 完数一个新数种一、逻辑不定式 数的直观与分析以及对它们的肯定和否定： 关 于 “0”、 “1”和 “无 限 ”
14、、 “无 穷 ”的 解哲学解及其“逻辑不定式”的发现 提 示 ： 所 谓 “不 定 ”是 肯 定 和 否 定 之 间 的 逻 辑状 态 ， 或 者 说 是 “否 定 ”没 有 最 后 完 成 的 状 态 ， 或 者 说 是 世 界 仍 处 在 “逻 辑 暗 演 过 程 ”而 未 达 到 它 肯 定性结果的状态。我把这称之为“逻辑不定式”。 数 学 6（ 一 ） 什 么 是 数 的 直 观 和 分 析 ？ 数 的 直 观 就 是 对 “1”的 绝 对 肯 定 ： 1； 1.1； 1.1.1； 1 ，以至 “无 穷 ”。 可 以 理 解 为 “绝 态 无 穷 ”。 数 的 逻 辑 与 语 言 逻
15、辑 一 样 ， 都 是 用 肯 定 和 否 定 的 逻 辑 基 本 方 式 进 行 的 。 与 实 体 世 界 的 肯 定 性 相 比 ， 人 只 多 了 一 样 “否 定 ”的 东 西 。 这 个 东 西 使 逻 辑 从 世 界 认 知 的 不 定 性 达 到 肯 定 性 成 为 可 能 。 因 此 ， 数 的 “绝 态 无 穷 ”的 直 观 要 用 数 的 分 析 规 定 ， 即 规 定 “1”的 肯 定 形 式 和 否 定 形 式 。 这 样 ， 数 就 有 了 它 的 自 由 和 描 述 世 界 肯 定 性 的 功 用 。 数 的 分 析 可 理 解 为 “1”的 相 对 肯 定 与
16、否 定 的 集 合 形 式 和 关 系 。 数 的 肯 定 形 式 ， 使 “1”在 数 的 世 界 里 获 得 了 不 可 丧 失 的 绝 对 地 位 ； 数 的 否 定 形 式 的 出 现 ， 使 “1”的 绝 对 直 观 成 为 分 析 的 相对关系物，也就是“集态有穷”。 （ 二 ） “0”是 什 么 ？ “0”是 对 “1”的 相 对 否 定 ， “ 1”是 对 “0”的 相 对 否 定 ， 以 此 类 推 ， 如 此 而 已 。 “2”是 什 么 呢 ？ 是 两 个 “1”的 肯 定 ， 以 此 类 推 ， 如 此 而 已 。 2、 3、 4、 12、 36， 0、 1、 2、 3
17、、 4、 12、 36， 等 等 ， 这 些 符 号 是 用 来 说 明 “1”的 集 合 肯 定 和 否 定 态 的 ， 表 明 某 个 符 号（如 4 或4）含有“1、1、1、1”，“1、1、1、1”，如此而已。 数 学 7（ 三 ） 数 的 肯 定 分 析 为 “正 ”， 否 定 分 析 为 “负 ”。 “4”是 肯 定 的 集 态 ， 4 是 否 定 的 集 态 。 2 2 4， 为 否 定 之 否 定 等 于 肯 定 的 数 学 形 式 ， 即 ， 正 集 态 概 念 “4”否 定 了 两 个 “对 它 来 说 ”不 存 在 的 “ 2”。 2（ 2） 4， 为 肯 定 之 否 定
18、等 于 不 定 的 数 学 形 式 ， 即 ， 集 态 概 念 “4”仍 处 于 “对 它 来 说 ”的 “不 定 ”状 态 之 中 ， 没 有 成 为 一 个 最 终 物 可 被 “数 ”携 带 而 成 的 一 个 直 观 对 象 和 物 理 事 态 ， 它 仍 作 为 “原 料 ”留 在 “数 学 装 置 ”中 被 “搅 拌”。 （ 四 ） 我 们 可 以 说 ， 数 学 是 数 的 “1”的 直 观 和 数 的 分 析 对 “1”的 肯 定 和 否 定 统 一 而 成 的 逻 辑 自 足 装 置 表 现 。 数 学 家 用 “1”的 绝 对 直 观 性 和 对 “1” 的 相 对 肯 定
19、 和 否 定 的 分 析 ， 运 用 逻 辑 工 具 ， 做 成 各 种 数 学 装 置 ， 实 现 “绝 态 无 穷 ”和 “集 态 有 穷 ”的 统一。这个统一使世界的可知性成为可能。 （ 五 ） 物 理 学 将 “感 知 物 ”推 知 为 “可 知 物 ”， 就 是 得 助 于 数 学 这 个 本 质 的 。 牛 顿 的 太 阳 系 行 星 运 动 规 律 就 是 这 样 推 知 出 来 的 ， 爱 因 斯 坦 的 广 义 相 对 论 “测 地 线 ” 对 太 阳 系 行 星 运 动 的 另 一 种 解 释 ， 也 是 这 样 推 知 出 来 的 。 物 理 学 携 带 由 观 念 感
20、知 的 、 由 数 指 称 的 那 个 “1”的 事 态 ， 与 其 他数 学 8“1”的 事 态 发 生 逻 辑 联 系 。 于 是 ， 我 们 在 练 习 纸 上 看 到 的 由 数 学 装 置 处 理 后 的 “1”的 展 演 公 式 ， 如 狭 义 相 对 论 的 逻 辑 起 点 公 式 ， 就 是 我 们 看 到 的 由 数 的 绝 对 观 念 “1”与 它 的 概 念 群 项 所 表 达 的 钟 表 尺 度 事 态 、 光 速 事 态 、 时 间 效 应 事 态 、 观 察 者 事 态 的 物 理 世 界 的 一 组 图 象 。 牛 顿 钟 表 尺 度 的 “1”联 系 着 低 速
21、 运 动 行 星 “1”的 事 态 ， 爱 因 斯 坦 钟 表 时 间 联 系 着 高 速 运 动 光 速 “1”的 事 态 。 至 于 后 者 那 个 “1”的 事 态 是 如 何 被 “ 1”的 数 学 装 置 描 述 为 所 谓 “时 间 效 应 ”事 态 ， 则 与 另 外 一 个 “1”有 关 。 这 个 “1”就是人、观察者。 （ 六 ） 人 、 观 察 者 在 物 理 学 中 是 应 该 作 为 “数 ”的 观 念 和 概 念 来 看 待 的 。 人 也 是 “1 ”和 “1”的 肯 定 和 否 定 的 关 系 数 。 这 个 “ 1”本 身 是 被 感 知 观 念 化 和 推
22、知 概 念 化 了 的 物 理 对 象 “运 动 ”的 起 始 。 这 是 物 理 学 切 切 不 可 忘 记 的 。 如 果 相 对 论 不 把 观 察 者 看 成 是 数 在 几 何 空 间 所 表 达 的 “1”的 话 ， 其 他 物 理 对 象 的 “1”就 是 莫 名 其 妙 的 东 西 。 因 为 那 些 “1”仍 然 没 有 组 成 以 观 念 感 知 为 基 础 的 物 理 世 界 所推知的最高抽象关系。 （ 七 ） 相 对 论 找 到 的 实 际 是 对 运 动 的 感 知 和 推 知 ， 并 且 没 有 对 人 、 观 察 者 作 为 “1”的 肯 定 和 否 定数 学 9
23、进 行 严 格 定 义 ， 从 而 将 真 实 的 、 合 法 的 物 理 身 份 赋 予 给 了 “时 间 的 相 对 效 应 ”。 对 此 ， 有 必 要 说 一 说 。 所 谓 “运 动 ”的 直 观 和 分 析 ， 运 动 的 直 观 就 是 “有 的 转 换 ”， 运 动 的 分 析 就 是 “转 换 的 速 度 ”。 从 数 学 意 义 上 说 ， “有 的 转 换 ”就 是 “ 1”和 “1” 的转换，“转换的速度”是由“本 1”（物体）性质 决定并由“它 1”（空间和时间）说明的。运动通过 它的速度对“本 1”实施搬运。为了使搬运成立，必 须 要 有 空 间 和 时 间 。 空
24、 间 可 以 让 这 个 “运 动 ”将 “本 1”“相 对 地 ”安 放 在 逻 辑 同 意 的 任 一 “绝 对 的 ”地 方 ， 而 时 间 只 能 让 这 个 “运 动 ”在 自 己 这 里 获得“本 1”速 度 的 相 对 自 由 。 在 空 间 的 某 “1”绝 对处，运动的“本 1”诸群是不能“同时”到达的。 之所以不能同时到达，就是因为“本 1”（物体）及 它 的 转 换 、 速 度 没 有 绝 对 自 由 。 如 果 “本 1”（ 物 体 ） 给 予 转 换 、 速 度 以 无 差 别 的 绝 对 形 式 ， 也 就 没 有 物 理 世 界 的 图 象 了 ， 也 就 没 有
25、 被 感 知 的 有 了 ， 物 理推知本身也就没有意义了。 （八）“本 1”的差别带来物理学的意义，但这 个 差 别 自 己 不 能 说 明 自 己 ， 它 需 要 一 个 更 抽 象 的 直 观 和 分 析 空 间 和 时 间 来 说 明 。 在 人 、 观 察 者 作 为 “1”的 数 的 参 照 关 系 的 前 提 下 ， 空 间 说 明数 学 10“本 1”（在这里未考虑静止态，在量子领域中就必 须 考 虑 ） 在 “自 1”中 转 换 ， 时 间 说 明 “本 1”在 “自 1”中的到达。人在这个转换和到达中获得安全 与满足。 （ 九 ） 数 学 中 的 “悖 论 ”是 人 们 熟
26、 知 的 。 其 问 题 就 出 在 对 数 的 直 观 和 分 析 关 系 缺 乏 符 合 逻 辑 本 性 的 理 解 对 无 穷 阴 影 的 反 思 无 力 。 微 积 分 中 的 无 穷 小 量 、 无 穷 大 量 的 概 念 ， 本 质 上 应 理 解 为 对 “1” 的 绝 对 性 的 相 对 肯 定 和 否 定 的 规 定 。 量 的 大 小 是 比 较而成的，没有绝对的小量或大量，10 的 n 次方的 分之 1，仍是“1”，A 点向 B 的无限趋近，也只是 “1”和 “1”的 相 对 排 列 ， 即 ， 所 有 被 集 合 了 的 “1”的 全 体 之 中 的 某 两 个 “ 1
27、”的 排 列 ； 换 言 之 ， “1”集 合 了 自 己 “一 半 ”的 分 子 与 另 一 个 集 合 同 样 多 分 子 “1”的 排 列 。 前 者 是 全 体 中 的 两 个 绝 对 的 “1”和 “1”的 排 列 ， 后 者 是 “1”的 全 体 中 两 个 等 量 部 分 的 “1”和 “1”的 排 列 ， 也 是 绝 对 的 。 作 为 数 的 比 量 （ 相 对 概 念 ） 关 系 ， 后 者 比 前 者 “大 ”， 作 为 数 的 等 量 （ 绝 对 观 念 ） ， 两 者 一 样 “大 ”， 即 都 是 “1”和 “1”的 关 系 。 这 个 给 予 “1”和 “1” 可
28、以相对地排列的东西，就是“1”的直观本身。 （ 十 ） 在 数 的 世 界 ， “ 1 ”也 可 以 指 谓 “无 数 学 11限 ”、 “无 穷 ”。 没 有 无 “ 1”的 无 限 、 无 穷 。 “1”同样可以表征无限、无穷的全集形态。 （ 十 一 ） “1”是 数 的 世 界 “逻 辑 最 先 （ 终 ） 物 ”的 基 石 。 “0”和 它 的 正 负 助 手 们 是 “基 石 ”的 建 设 者 和 测 量 者 ， 负 责 “基 石 ”的 时 空 安 置 和 量 比 配 置 。 在 绝 对 意 义 上 ， “1”是 不 可 被 “0 ”吞 没 的 ， “1”也 不 无 穷 地 趋 向
29、“ 0”， 它 趋 向 的 是 它 自 己 。 “0”是 “1”的 直 接 否 定 物 ， 不 再 具 有 直 接 回 归 “1”的 合 法 权 利 。 最 终 说 来 ， “0”的 权 利 就 是 保 护 “1”的 绝 对 地 位 不 受 侵 犯 ， 它 和 它 的 正 、 负 、 虚 数 、 根 、 有 理 数 、 无 理 数 的 助 手 们 ， 组 成 复 杂 万 分 的 数 的 世 界 ， 通 过 逻 辑 否 定 装 置 的 处 理 ， 最 终 让 我 们 真 正 看 清 用 以 联 结 世 界 关 系 的 那 个 伟 大 的 、 肯 定性的“1”。 （ 十 二 ） 数 的 直 观 与
30、 分 析 相 统 一 的 本 质 ， 使 我 们 必 须 认 真 对 付 “ 4”和 “ 4”等 等 概 念 符 号 以 及 它 们 造 成 的 逻 辑 问 题 。 这 个 问 题 的 解 决 ， 或 许 能 为 逻辑通往自由开辟出一条新的道路。 （ 十 三 ） 这 种 考 虑 应 被 看 成 是 正 当 的 ： 数 不 能 说 因 为 自 己 是 “4”和 “ 4”， 就 说 “1”没 有 了 ， 这 样 说 就 有 问 题 了 。 没 有 “1”作 为 集 合 态 的 直 观 底 蕴 ， “4”、 “ 4”等 等 符 号 概 念 也 就 成 了 莫 名 其数 学 12妙 的 东 西 了 。
31、 换 言 之 ， 如 果 肯 定 了 “1”对 “4”的 概 念 的 直 观 底 蕴 ， 同 时 又 因 “4”的 强 烈 表 象 而 否 定 “1”， “4”就 不 知 为 何 物 了 。 相 对 论 对 时 间 问 题 的处置就是这样做的。 （ 十 四 ） 所 谓 “不 定 ”是 肯 定 和 否 定 之 间 的 逻 辑 状 态 ， 或 者 说 是 “否 定 ”没 有 最 后 完 成 的 状 态 ， 或 者 说 是 世 界 仍 处 在 “逻 辑 暗 演 过 程 ”而 未 达 到 它 肯 定 性 结 果 的 状 态 。 我 把 这 称 之 为 “逻 辑 不 定式”。 （ 十 五 ） 逻 辑 不
32、 定 式 可 初 步 认 为 是 在 直 观 否 定 性 入 侵 分 析 、 或 分 析 否 定 性 入 侵 直 观 时 发 生 的 “逻 辑 暗 演 ”。 这 是 一 种 极 其 隐 蔽 的 逻 辑 形 式 。 逻 辑 在 没 有 得 到 它 的 最 终 物 （ 直 观 和 分 析 的 统 一 ， 世 界 的 肯 定 性 ） 的 同 时 ， 造 成 逻 辑 虚 象 、 假 象 ， 对 世 界 肯 定 性 认 知 产 生 危 害 。 当 然 ， 消 除 了 它 的 虚 象 、 假 象 ， 它 就 成 为 一 种 合 法 的 逻 辑 形 式 了 。 逻 辑 不 定 式 坚定我们对世界肯定性的最后
33、决断。 （ 十 六 ） 逻 辑 暗 演 可 分 为 两 种 形 式 。 一 种 是 数 的 观 念 和 数 的 概 念 暗 演 形 式 。 如 2（ 2） 4 和 ( 2)( 2)4 ， 一 个 “+2”和 一 个 “ 2”相 乘 得 “ 4”， 而 两 个 不 存 在 的 “ 2”相 乘 反 而 得 “+4”。 这 种 形 式 上 面 已 经 提 及 过 。 后 者 “4”已 经数 学 13完 成 了 它 的 肯 定 式 ， 前 者 “ 4”仍 处 在 数 学 装 置 中 肯 定 与 否 定 的 “不 定 ”状 态 。 这 个 不 定 态 实 际 上 已 由 数 学 装 置 自 我 完 成
34、了 它 的 最 终 定 态 ， 只 是 留 下 了 “悖 论 ”的 阴 影 。 消 除 办 法 就 是 肯 定 了 “1 ”对 “4”和 “ 4”的 概 念 的 观 念 底 蕴 ， 把 “4”的 肯 定 式 和 “ 4”的 不 定 式 看 成 是 “1”的 逻 辑 实 现 物 和 逻辑未实现物。 （ 十 七 ） 另 一 种 形 式 是 语 词 的 直 观 和 概 念 数 的 逻 辑 暗 演 。 相 对 论 时 间 就 是 这 种 “逻 辑 暗 演 ”的 产 物 。 肯 定 时 间 的 相 对 性 相 当 于 肯 定 数 的 “4”的 概 念 ， 否 定 时 间 的 绝 对 性 相 当 于 否
35、定 数 的 “1”的 直 观。既肯定时间的相对性（即肯定“1”作为 4 的逻 辑 底 蕴 ） ， 又 否 定 时 间 的 绝 对 性 （ 即 又 否 定 “1”作 为 4 的 逻 辑 底 蕴 ） ， 最 后 得 到 时 间 的 不 定 性 （ 4 0 ， 即 4 （ 0 ） 0 ） ， 时 间 （ 没 有 “ 1 ”的 那 个 “4”）“消失”了。 （ 十 八 ） 相 对 论 对 时 间 的 认 知 是 逻 辑 不 定 式 的 逻 辑 必 然 。 由 它 所 造 成 的 巨 大 时 间 逻 辑 的 虚 象 、 假 象 ， 是 我 们 产 生 常 识 性 时 间 认 知 和 相 对 论 时 间
36、认 知 之 间 深 刻 矛 盾 的 原 因 之 所 在 。 由 于 这 个 原 因 ， 在 时 间 问 题 出 现 了 旷 日 持 久 的 混 乱 。 这 个 混 乱 还 在 持 续。 数 学 14（ 十 九 ） 鉴 上 ， 数 学 家 和 物 理 学 家 应 该 深 刻 反 思 数 学 和 物 理 学 。 要 把 数 学 图 象 和 物 理 图 象 统 一 起 来 ， 要 把 感 知 和 推 知 统 一 起 来 ， 要 把 人 态 和 事 态 统 一 起 来 ， 要 把 有 限 、 有 穷 和 无 限 、 无 穷 统 一 起 来 。 要 把 “0”和 “1”作 为 构 建 数 学 大 厦 的
37、 基 础 材 料 ， 在 这 个 数 的 世 界 里 消 灭 “悖 论 ”， 进 入 新 的 自 由 领 域。数学的自由是人类自由的根本保障。 （ 二 十 ） 直 观 、 分 析 经 由 逻 辑 实 现 同 一 ， 是 真 理 的 最 后 归 途 。 由 此 ， 哲 学 家 和 逻 辑 学 家 应 该 受 到 鼓舞。 二 、 数 的 直 观 与 分 析 关 于 微 积 分 的 逻 辑 基础 数 的 直 观 和 分 析 是 一 个 新 问 题 。 此 前 没 人 专 门论 述 过 。 笔 者 认 为 ， 数 学 作 为 人 的 一 种 意 识 形 式 ， 与 其 他 意 识 形 式 一 样 ，
38、同 样 要 受 到 直 观 的 支 配 。 数 学 是 人 的 直 观 对 感 知 事 物 的 最 高 抽 象 反 映 。 我 们 迄 今 为 止 还 不 知 道 有 何 种 反 映 比 数 学 在 分 析 和 逻 辑 关 系 上 达 到 了 更 高 的 意 识 反 映 。 研 究 数 的 直 观 和 数 的 分 析 之 间 的 关 系 ， 对 于 深 化 对 数 学 本 质 的 认 识 ， 深 究 数 学 中 “悖 论 ”发 生 的 原 因 ， 把 数 学 大 厦 构 筑 在 坚实的逻辑基础上，都不无裨益。 数 学 是 用 抽 象 符 号 来 构 筑 自 己 的 直 观 和 分 析 群数 学
39、 15项 体 系 的 。 什 么 是 数 的 直 观 和 分 析 呢 ？ 从 人 类 数 学 活 动 的 实 践 看 ， 可 作 为 数 的 直 观 的 东 西 ， 一 定 是 在 数 学 的 整 个 体 系 当 中 具 有 绝 对 性 质 、 普 遍 性 质 的 东 西 ， 这 个 东 西 作 为 数 的 分 析 的 直 观 底 蕴 ， 从 始 至 终 控 制 着 数 学 活 动 的 全 过 程 。 直 观 的 本 质 就 是 绝 对 的 、 普 遍 的 ， 并 把 它 所 涵 盖 的 分 析 群 项 保 持 在 自 己 的 绝 对 性 和 普 遍 性 之 中 。 直 观 的 这 一 性 质
40、 ， 使 分 析 在 它 的 逻 辑 行 进 当 中 ， 无 论 联 结 何 种 复 杂 的 群 项 ， 都不会尚失自己的合法性。 根 据 笔 者 的 看 法 ， 这 个 带 有 绝 对 性 质 、 普 遍 性 质 的 东 西 就 是 我 们 常 见 的 数 学 符 号 “1”。 数 的 直 观 就 是 自 然 数 “ 1”。 这 个 由 数 的 直 观 指 称 的 “ 1”， 可 称 之 为 “直 观 基 量 ”。 直 观 基 量 可 初 步 定 义 为 ： 由 数 学 意 识 所 反 映 、 抽 象 的 ， 用 以 表 征 客 观 事 物 普 遍 性 质 的 一 种 量 的 全 涵 形 式
41、 。 “1”既 可 以 指 谓 客 观 事 物 “全 体 ”， 也 可 以 指 谓 客 观 事 物 中 的 “任一 ”。 “全 体 ”是 由 “任 一 ”组 成 的 。 “任 一 ”在 自 态 范 围 内 也 可 以 指 谓 为 “全 体 ”。 “全 体 ”和 “任 一 ”在 本 质 上 是 无 差 别 的 ， 都 是 “1”的 普 遍 、 全 涵 反 映 。 因 此 可 以 说 ， 数 的 世 界 首 先 是 由 自 然 数 “1”的 直 观 基 量 来 构 筑 的 。 直 观 基 量 的 这 一 普 遍 、 全 涵 性 质 ， 为 数 学 描 述 特 殊 、 变 量 事 物 提 供 了 绝
42、 对数 学 16依 据 。 直 观 基 量 如 同 空 气 ， 弥 漫 于 整 个 感 知 空 间 ， 数学从中获得自由的呼吸。 直 观 基 量 不 能 停 留 在 自 己 的 本 质 上 ， 必 须 要 对 直 观 基 量 作 进 一 步 规 定 ， 即 规 定 由 直 观 基 量 涵 盖 的 分 析 群 项 所 分 配 的 变 量 关 系 以 及 对 这 种 关 系 的 肯 定 和 否 定 的 逻 辑 形 式 ， 才 能 实 现 对 数 学 对 特 殊 、 变 量 事 物 的 最 终 描 述 。 但 是 ， 必 须 特 别 强 调 ， 数 的 直 观 形 式 ， 即 由 “1”表 征 的
43、内 涵 ， 在 数 的 世 界 里 获 得 了 不 可 丧 失 的 绝 对 地 位 。 数 的 任 何 其 他 形 式 都 要 受 到 它 的 绝 对 管 制 和 统 领 。 在 数 学 描 述 中 ， 分 析 变 量 应 该 把 自 己 的 关 系 持 守 在 直 观 基 量 的 普 遍 、 全 涵 性 质 之 中 ， 不 能 失 缺 或 逾 越 直 观 基 量 ， 一 旦 失 缺 或 愈 越 ， 就 会 “悖 论 ”众 生 ， 最 终 导 致 数 学 逻 辑 基 础 的 丧失。 对 直 观 基 量 的 进 一 步 规 定 是 由 数 的 分 析 和 数 的 逻 辑 来 实 现 的 。 什
44、么 是 数 的 分 析 呢 ？ 在 直 观 基 量 的 意 义 下 ， 数 的 分 析 就 是 对 直 观 基 量 “1”的 连 续 集 合 的 比 量 。 由 数 的 分 析 表 达 的 对 直 观 基 量 的 连 续 集 合 可 称 为 “分 析 比 量 ”。 分 析 比 量 可 初 步 定 义 为 ： 由 直 观 基 量 限 制 的 ， 用 以 表 征 客 观 事 物 特 殊 性 质 的 一 种量的次级形式。 数 的 符 号 逻 辑 与 其 他 语 言 符 号 逻 辑 一 样 ， 都 是数 学 17用 肯 定 和 否 定 的 逻 辑 基 本 方 式 进 行 的 。 与 现 存 世 界 的
45、 肯 定 性 相 比 ， 人 只 多 了 一 样 可 以 对 事 物 进 行 “否 定 ”的 东 西 。 什 么 是 数 的 逻 辑 呢 ？ 在 数 的 直 观 基 量 和 分 析 比 量 的 意 义 下 ， 数 的 逻 辑 就 是 对 直 观 基 量 和 分 析 比 量 的 肯 定 形 式 和 否 定 形 式 。 数 的 逻 辑 是 通 过 “正 ”、 “负 ”、 “零 ”这 样 的 基 本 逻 辑 形 式 来 实 现 肯 定 和 否 定 的 。 肯 定 形 式 为 “正 ”， 否 定 形 式 为 “负 ”， “零 ”是 对 正 与 负 的 两 极 否 定 。 数 的 逻 辑 的 肯 定 形
46、 式 和 否 定 形 式 可 进 一 步 区 分 为 绝 对 肯 定 和 绝对否定、相对肯定和相对否定。 绝 对 肯 定 和 绝 对 否 定 ： 对 直 观 基 量 “1”的 绝 对 肯 定 和 绝 对 否 定 是 通 过 “0”这 一 逻 辑 形 式 来 实 现 的 ， 即 区 分 和 表 明 直 观 基 量 和 分 析 比 量 所 处 的 正 与 负 的 两 极 数 域 。 也 就 是 数 学 上 所 称 的 实 数 集 。 “0” 对 “1”的 绝 对 肯 定 是 用 “+1”来 表 明 的 ， 对 “1” 的 绝 对 否 定 是 用 “ 1”来 表 明 的 。 “0”对 “1”的 肯
47、定 和 否 定 是 贯 彻 始 终 的 。 “ 0”除 表 明 “1”的 两 极 数 域 外 ， 并 进 一 步 在 两 级 数 域 中 表 明 对 “1”或 “1”的次级关系的绝对肯定和绝对否定。 0 在 数 的 世 界 中 具 有 非 常 重 要 的 特 殊 地 位 和 作用。但 0 究竟是什么？如何认识 0 的数学本质？对 这些问题有必要进一步讨论一下。 数 学 18传统上认为 0 是一个整数，也是一个偶数，0 既 不是正数，也不是负数，是唯一的中性数。0 的相反 数是 0，0 的绝对值是 0，00，|0|0，0 没有 倒数。但笔者认为，0 并不是一个数的分析，而是纯 粹的逻辑分析。认清
48、这一点非常关键。 举 例 说 明 一 下 这 个 问 题 。 比 如 ， 在 0.1,0.02,0.003 ； 0.1, 0.02, 0.003这 些 数 学 量 中 ， “0”们 在 这 里 说 的 究 竟 是 什 么 意 思 呢 ？ 实 际 上 ， 所 谓 “ 0.1”中 的 “ 0”， 说 的 就 是 把 先 “ 1 ”看 成 “全 体 ”， 再 把 “全 体 ”看 成 是 由 “1、 1、 1、 1、 1、 1、 1、 1、 1、 1”组 成 的 “全 体 ”（ 十 个 “1”） ， 在 这 些 “全 体 ”构 件 中 ， 只 有 一个“1”的构件被 0 绝对肯定了（同时也就意味有 “1、 1、 1、 1、 1、 1、 1、 1、 1”被 “0”绝 对 否 定，0。1 才 真 正 是 在 十 个 “1”中 被 0 肯定了一个 “1”的 数 的 事 物 ） ， “ 0”在 这 里 说 的 就 是 这 个 意 思 。 所 谓 0。 2， 就 是 在 “全 体 ”的 负 构 件 中 ， 有 “
