2016年秋高中数学 第三章 函数的应用试题（打包5套）新人教A版必修1.zip

1第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教 A 版必修 1一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是 ( )导 学 号 22840944[答案] A[解析] 没有零点就是函数图象与 x 轴没有交点，故选 A.2．函数 f(x)＝2 x2－3 x＋1 的零点是 ( )导 学 号 22840945A．－ ，－1 B. ，112 12C. ，－1 D．－ ，112 12[答案] B[解析] 方程 2x2－3 x＋1＝0 的两根分别为 x1＝1， x2＝ ，12所以函数 f(x)＝2 x2－3 x＋1 的零点是 ，1.123．方程 log3x＋ x＝3 的解所在的区间为 ( )导 学 号 22840946A．(0,2) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[答案] C[解析] 令 f(x)＝log 3x＋ x－3，则 f(2)＝log 32＋2－3＝log 3 ＜0， f(3)2＝log 33＋3－3＝1＞0，所以方程 log3x＋ x＝3 的解所在的区间为(2,3)，故选 C.4．函数 f(x)＝ln x－ 的零点的个数是 ( )1x－ 1 导 学 号 22840947A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] 如答图所示，易知 y＝ln x 与 y＝ 的图象有两个交点．1x－ 125．已知曲线 y＝( )x与 y＝ x 的交点的横坐标是 x0，则 x0的取值范围是110( )导 学 号 22840948A．(0， ) B．( ，2)12 12C．( ，1) D．(1,2)12[答案] A[解析] 设 f(x)＝( )x－ x，110则 f(0)＝10，f( )＝( ) － ＝ － 0，∴ f(1)·f(2)0， f(2)0，与已知矛盾．2．已知函数 f(x)的图象是连续不断的，有如下的 x， f(x)对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7f(x) 123.5 21.5 －7.82 11.57 －53.7 －126.7 －129.6那么函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 ( )导 学 号 228409555A．2 个 B．3 个C．4 个 D．5 个[答案] B3．已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有 1003 个，则 f(x)的零点的个数为 ( )导 学 号 22840956A．1003 B．1004C．2006 D．2007[答案] D[解析] 由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有 1003 个，所以它在(－∞，0)内的零点也有 1003 个，又 f(x)的定义域为 R，所以 f(0)＝0.即 0 也是它的零点，故 f(x)的零点共有 2007 个．4．若 a＜ b＜ c，则函数 f(x)＝( x－ a)(x－ b)＋( x－ b)(x－ c)＋( x－ c)·(x－ a)的两个零点分别位于区间 ( )导 学 号 22840957A．( b， c)和( c，＋∞)内B．(－∞， a)和( a， b)内C．( a， b)和( b， c)内D．(－∞， a)和( c，＋∞)内[答案] C[解析] 由于 a＜ b＜ c，所以 f(a)＝( a－ b)(a－ c)＞0， f(b)＝( b－ a)(b－ c)＜0， f(c)＝( c－ b)(c－ a)＞0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间( a， b)和(b， c)内，故选 C.二、填空题5． m 的取值范围为________时，方程 x2－( m＋13) x＋ m2＋ m＝0 的一根大于 1，一根小于 1.导 学 号 22840958[答案] －2 m23 3[解析] 用数形结合的方法解题．设 f(x)＝ x2－( m＋13) x＋ m2＋ m，则它的开口向上，由图象可得，方程 x2－( m＋13) x＋ m2＋ m＝0 的一根大于 1，一根小于 1 的充要条件为 f(1)＝1－( m＋13)＋ m2＋ m＝ m2－120.解得－2 m2 .3 36．对于实数 a 和 b，定义运算“*”： a*b＝Error!设函数 f(x)＝( x2－2)*( x－1)，x∈R，若方程 f(x)＝ c 恰有两个不同的解，则实数 c 的取值范围是________.导 学 号 22840959[答案] (－2，－1]∪(1,2][解析] 由题意知 f(x)＝Error!画出 f(x)的图象，数形结合可得实数 c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．6三、解答题7．已知函数 f(x)＝log a(1－ x)＋log a(x＋3)(0＜ a＜1). 导 学 号 22840960(1)求函数 f(x)的定义域；(2)求函数 f(x)的零点．[解析] (1)要使函数有意义，则有Error!解得－3＜ x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为 f(x)＝log a[(1－ x)(x＋3)]＝log a(－ x2－2 x＋3)，由 f(x)＝0，得－ x2－2 x＋3＝1，即 x2＋2 x－2＝0，x＝－1± .3∵－1± ∈(－3,1)，∴ f(x)的零点是－1± .3 38．已知函数 f(x)＝ x2－2 x－3， x∈[－1,4]. 导 学 号 22840961(1)画出函数 y＝ f(x)的图象，并写出其值域；(2)当 m 为何值时，函数 g(x)＝ f(x)＋ m 在[－1,4]上有两个零点？[解析] (1)依题意： f(x)＝( x－1) 2－4， x∈[－1,4]，其图象如图所示．(2)∵函数 g(x)＝ f(x)＋ m 在[－1,4]上有两个零点，∴方程 f(x)＝－ m 在 x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数 y＝ f(x)与 y＝－ m 的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－ m≤0，∴0≤ m＜4.∴当 0≤ m＜4 时，函数 y＝ f(x)与 y＝－ m 的图象有两个交点，故当 0≤ m＜4 时，函数g(x)＝ f(x)＋ m 在[－1,4]上有两个零点．1第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解习题 新人教 A版必修 1一、选择题1．用二分法求如图所示函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点是 ( )导 学 号 22840980A． x1 B． x2 C． x3 D． x4[答案] C[解析] 用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C.2．用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计算 f(0.64)0， f(0.68)0，则函数的一个精确度为 0.1 的正实数零点的近似值为( )导 学 号 22840981A．0.64 B．0.74 C．0.7 D．0.6[答案] C[解析] 因为 f(0.72)0， f(0.68)0, f(0)＝ 0, f(1)＝－ 0，6017 2817 417∴函数零点在(0,1)，又 f( )＝0，12∴方程 f(x)＝0 在区间(－1,1)上的根为 .1210．用二分法求方程 2x3＋3 x－3＝0 的一个正实数近似解(精确度 0.1).导 学 号 22840988[分析] (1)转化为用二分法求函数 f(x)＝2 x3＋3 x－3 的正的零点，故首先要选定初始区间[ a， b]，满足 f(a)·f(b)＜0，然后逐步逼近．(2)对于正实数所在的区间( a， b)，满足 b－ a＜0.1.[解析] 令 f(x)＝2 x3＋3 x－3，经计算， f(0)＝－3＜0， f(1)＝2＞0.f(0)·f(1)＜0，4所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点，即方程 2x3＋3 x－3＝0 在(0,1)内有解．取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)＜0.又因为 f(1)＞0，所以方程 2x3＋3 x－3＝0 在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a， b) 中点 c f(a) f(b) f( )a＋ b2(0,1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0(0.5,1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)＜0 f(0.75)＞0 f(0.625)＜0(0.625，0.75) 0.6875 f(0.625) ＜0 f(0.75)＞0 f(0.6875)＜0(0.6875，0.75) |0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1因为|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，所以 0.75 可作为方程的一个正实数近似解.一、选择题1．若函数 f(x)＝log 3x＋ x－3 的一个附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(2)＝－0.369 1 f(2.5)＝0.334 0f(2.25)＝－0.011 9f(2.375)＝0.162 4f(2.312 5)＝0.075 6f(2.281 25)＝0.031 9那么方程 x－3＋log 3x＝0 的一个近似根(精确度为 0.1)为 ( )导 学 号 22840989A．2.1 B．2.2C．2.3 D．2.4[答案] C[解析] 由参考数据可知f(2.25)f(2.312 5)0，且|2.312 5－2.25|＝0.062 50.1，所以当精确度为 0.1 时，可以将 x＝2.3 作为函数 f(x)＝log 3x＋ x－3 零点的近似值，也即方程 x－3＋log 3x＝0 根的近似值．52．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到 0.1 ( )导 学 号 22840990A．2 B．3C．4 D．5[答案] D[解析] 等分 1 次，区间长度为 1，等分 2 次，区间长度变为 0.5，…，等分 4 次，区间长度变为 0.125，等分 5 次，区间长度为 0.06250.1，符合题意，故选 D.3．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是 ( )导 学 号 22840991① y＝3 x2－2 x＋5；② y＝Error!；③ y＝ ＋1， x∈(－∞，0)；④ y＝ x3－2 x＋3；⑤ y＝2xx2＋4 x＋8.12A．①③ B．②⑤C．⑤ D．①④[答案] C[解析] 二分法只适用于在给定区间上图象连续不间断的函数变号零点的近似值的求解．题中函数①无零点，函数②③④都有变号零点，函数⑤有不变号零点－4，故不能用二分法求零点近似值，故选 C.4．已知 f(x)的一个零点 x0∈(2,3)，用二分法求精确度为 0.01 的 x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为 ( )导 学 号 22840992A．6 B．7C．8 D．9[答案] B[解析] 函数 f(x)的零点所在区间的长度是 1，用二分法经过 7 次分割后区间的长度变为 ＜0.01，故选 B.127二、填空题5．已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表： 导 学 号 22840993x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 98则下列判断正确的是________．①函数 f(x)在区间(－1,0)内有零点；②函数 f(x)在区间(2,3)内有零点；③函数 f(x)在区间(5,6)内有零点；④函数 f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．[答案] ①②③[解析] f(－1)· f(0)＜0， f(2)·f(3)＜0， f(5)·f(6)＜0，又 f(x)的图象连续不6断，所以函数 f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： 导 学 号 22840994x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 …y＝2 x 0.3298 0.3789 0.4352 0.5 0.5743 0.6597 0.7578 0.8705 1 …y＝ x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …若方程 2x＝ x2有一个根位于区间( a， a＋0.4)( a 在表格中第一栏里的数据中取值)，则a 的值为________．[答案] －1 或－0.8[解析] 令 f(x)＝2 x－ x2，由表中的数据可得 f(－1)＜0， f(－0.6)＞0； f(－0.8)＜0， f(－0.4)＞0，∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，∴ a＝－1 或 a＝－0.8.三、解答题7．某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在 500～1000 元，选手开始报价 1000 元，主持人回答高了；紧接着报900 元，高了；700 元，低了；800 元，低了；880 元，高了；850 元，低了；851 元，恭喜你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“逼近”的思想，试设计出可行的猜价方案. 导 学 号 22840995[解析] 取价格区间[500,1000]的中点 750，低了；就再取[750,1000]的中点 875，高了；就取[750,875]的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去可以猜价：750,875,812,843,859,851，经过 6 次即能猜中价格．8．利用二分法求 的一个近似值(精确度 0.01).3 导 学 号 22840996[解析] 令 f(x)＝ x2－3，因为 f(1)＝－2＜0， f(2)＝1＞0，所以函数在区间(1,2)内存在零点 x0，即为 ，取区间 (1,2)为二分法计算的初始区间，列表如下：3(a， b) (a， b) 的中点 f(a) f(b) f( )a＋ b2(1,2) 1.5 f(1)＜0 f(2)＞0 f(1.5)＜0(1.5,2) 1.75 f(1.5)＜0 f(2)＞0 f(1.75)＞0(1.5,1.75) 1.625 f(1.5)＜0 f(1.75)＞0 f(1.65)＜0(1.625，1.75) 1.6875 f(1.625)＜0 f(1.75)＞0 f(1.6875)＜0(1.6875，1.75) 1.71875 f(1.6875)＜0 f(1.75)＞0 f(1.71875)＜0(1.71875，1.75) 1.734375 f(1.71875)＜0 f(1.75)＞0 f(1.734375)＞0(1.71875，1.734375 1.7265625 f(1.71875)＜0 f(1.734375) f(1.7265625)7) ＞0 ＜0因为 1.734375－1.7265625＝0.0078125＜0.01，所以可取 1.734375 为 的一个近似3值．1第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型习题 新人教 A版必修 1一、选择题1．下列函数中，增长速度最慢的是 ( )导 学 号 22841013A． y＝6 x B． y＝log 6xC． y＝ x6 D． y＝6 x[答案] B[解析] 由函数的特征可知，对数函数 y＝log 6x 增长速度最慢．2．以下四种说法中，正确的是 ( )导 学 号 22841014A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的 x＞0， xn＞log axC．对任意的 x＞0， ax＞log axD．不一定存在 x0，当 x＞ x0时，总有 ax＞ xn＞log ax[答案] D[解析] 对于 A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于 B，C，当 0＜ a＜1 时，显然不成立．当a＞1， n＞0 时，一定存在 x0，使得当 x＞ x0时，总有 ax＞ xn＞log ax，但若去掉限制条件“a＞1， n＞0” ，则结论不成立．3．如图，能使不等式 log2x＜ x2＜2 x成立的自变量 x 的取值范围是 ( )导 学 号 22841015A． x＞0 B． x＞2C． x＜2 D．0＜ x＜2[答案] D[解析] 由函数图象可知，当 01，即 MN.MN因此，生长 5 年后重新栽树木可获得较大的木材量．10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有 a 升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中， t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y＝ ae－ nt，假设过 5 分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有 .a8导 学 号 228410214[解析] 由题意得， ae－5 n＝ a－ ae－5 n，即 e－5 n＝ ，设再过 t 分钟水桶甲中的水只有 ，12 a8得 ae－ n(t＋5) ＝ ，a8所以( ) ＝(e －5 n) ＝e － n(t＋5) ＝ ＝( )3，12t+55 t+55 18 12∴ ＝3，∴ t＝10.t＋ 55∴再过 10 分钟水桶甲中的水只有 .a8一、选择题1．如图所示给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )导 学 号 22841022A．指数函数： y＝2 t B．对数函数： y＝log 2tC．幂函数： y＝ t3 D．二次函数： y＝2 t2[答案] A[解析] 由散点图可知，与指数函数似合的最贴切，故选 A.2．下列函数中在某个区间( x0，＋∞)内随 x 增大而增大速度最快的是( )导 学 号 22841023A． y＝2 007ln x B． y＝ x2 007C． y＝ D． y＝2 007·2 xex2 007[答案] C[解析] 由于当自变量 x 大于某个数 x0时，指数的增长是“爆炸式”的，且底数越大，增长越快，又 e2，故函数 y＝ 随 x 增大而增大的速度最快．ex2 0073．据报道，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若按此规律，设 2015 年的湖水量5为 m，从 2015 年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为 ( )导 学 号 22841024A． y＝0.9 B． y＝(1－0.1 )mx50x50C． y＝0.9 m D． y＝(1－0.1 50x)mx50[答案] C[解析] 设每年湖水量为上一年的 q%，则( q%)50＝0.9，∴ q%＝0.9 ， x 年后的湖水150量为 y＝0.9 m，故选 C.x504．如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动，设 M 是 CD 的中点，则当 P 沿 ABCM 运动时，点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 之间的函数 y＝ f(x)的图象大致是( )导 学 号 22841025[答案] A[解析] 依题意，当 0＜ x≤1 时， S△ APM＝ ×1×x＝ x；12 12当 1＜ x≤2 时， S△ APM＝ S 梯形 ABCM－ S△ ABP－ S△ PCM＝ ×(1＋ )×1－ ×1×(x－1)12 12 12－ × ×(2－ x)＝－ x＋ .12 12 14 34二、填空题5．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 y＝e kt(其中 k 为常数， t 表示时间，单位：小时， y 表示病毒个数)，则 k＝________，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为________个. 导 学 号 22841026[答案] 2ln2,1024[解析] ∵当 t＝0.5 时， y＝2，∴2＝e ，∴ k＝2ln2，∴ y＝e 2tln2.当 t＝5 时，k2y＝e 10ln2＝2 10＝1024.66．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量 m kg、火箭的最大速度 v m/s和燃料的质量 Mkg 的函数关系是 v＝2000ln(1＋ )．当燃料质量是火箭质量的________倍Mm时，火箭的最大速度可达 12 km/s.导 学 号 22841027[答案] e 6－1[解析] 设 M＝ tm，则有 2000ln(1＋ t)＝12000，即 ln(1＋ t)＝6 解得 t＝e 6－1.三、解答题7．某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，54,58.为了预测以后各月的患 病人数，甲选择了模型 y＝ ax2＋ bx＋ c，乙选择了模型 y＝ p·qx＋ r，其中 y 为患病人数， x 为月份数， a， b， c， p， q， r 都是常数．结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66,82,115，你认为谁选择的模型较好？ 导 学 号 22841028[解析] 依题意：得Error!即Error! 解得Error!∴甲： y1＝ x2－ x＋52，又Error!①－②，得 p·q2－ p·q1＝2 ④②－③，得 p·q3－ p·q2＝4 ⑤⑤÷④，得 q＝2，将 q＝2 代入④式，得 p＝1，将 q＝2， p＝1 代入①式，得 r＝50，∴乙： y2＝2 x＋50，计算当 x＝4 时， y1＝64， y2＝66；当 x＝5 时， y1＝72， y2＝82；当 x＝6 时， y1＝82， y2＝114.可见，乙选择的模型较好．8．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 y＝( )t－ a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：116导 学 号 228410297(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．[解析] (1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y 与时间 t 成正比，∴设 y＝ kt，代入点(0.1,1)，得 k＝10，∴ y＝10 t(0≤ t≤0.1)．同理，将点(0.1,1)代入解析式 y＝( )t－ a，得 a＝0.1，116综上可知 y＝Error!(2)令 y＝0.25，解得 t1＝0.025， t2＝0.6，∴从药物释放开始，至少需要 0.6 小时后，学生才能回到教室．1第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例习题 新人教 A 版必修 1一、选择题1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v 与时间 t 的关系图象如图，则 t＝2 时，汽车已行驶的路程为 ( )导 学 号 22841046A．100 km B．125 kmC．150 km D．225 km[答案] C[解析] t＝2 时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150 km，故选 C.2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： y＝Error!其中，x 代表拟录用人数， y 代表面试人数，若应聘的面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( )导 学 号 22841047A．15 B．40C．25 D．130[答案] C[解析] 令 y＝60，若 4x＝60，则 x＝15＞10，不合题意；若 2x＋10＝60，则x＝25，满足题意：若 1.5x＝60，则 x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为 25，故选 C.3．某林场计划第一年造林 10000 亩，以后每年比前一年多造林 20%，则第四年造林( )导 学 号 22841048A．14400 亩 B．172800 亩C．20736 亩 D．17280 亩[答案] D[解析] 设年份为 x，造林亩数为 y，则 y＝10000×(1＋20%) x－1 ，∴ x＝4 时，y＝17280，故选 D.4．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长 44%，若每年的平均增长率相同(设为 x)，则下列结论中正确的是 ( )导 学 号 22841149A． x22%2B． x0 且 a≠1)．由图可知 2＝ a1.∴ a＝2，即底数为 2，∴说法①正确；∵2 5＝3230，∴说法②正确；4∵指数函数增加速度越来越快，∴说法③不正确；t1＝1， t2＝log 23， t3＝log 26，∴ t1＋ t2＝ t3.∴说法④正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法⑤不正确．综上，①②④说法正确．10．某企业生产 A， B 两种产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润与投资成正比，其关系如图 1； B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2(注：利润和投资单位：万元). 导 学 号 22841054(1)分别将 A， B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A， B 两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析] (1)设 A， B 两种产品分别投资 x 万元， x≥0，所获利润分别为 f(x)万元、g(x)万元．由题意可设 f(x)＝ k1x， g(x)＝ k2 .x根据图象可解得 f(x)＝0.25 x(x≥0)．g(x)＝2 (x≥0)．x(2)①由(1)得 f(9)＝2.25， g(9)＝2 ＝6.∴总利润 y＝8.25 万元．9②设 B 产品投入 x 万元， A 产品投入(18－ x)万元，该企业可获总利润为 y 万元．则 y＝ (18－ x)＋2 ，0≤ x≤18.14 x令 ＝ t， t∈[0,3 ]，x 2则 y＝ (－ t2＋8 t＋18)＝－ (t－4) 2＋ .14 14 172∴当 t＝4 时， ymax＝ ＝8.5，此时 x＝16,18－ x＝2.172∴当 A， B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5万元.5一、选择题1．一个人以 6 米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车 25 米时，交通灯由红变绿，汽车以 1 米/秒 2的加速度均加速开走，那么 ( )导 学 号 22841055A．人可在 7 秒内追上汽车B．人可在 10 秒内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为 5 米D．人追不上汽车，其间距最少为 7 米[答案] D[解析] 设汽车经过 t 秒行驶的路程为 s 米，则 s＝ t2，车与人的间距 d＝( s＋25)12－6 t＝ t2－6 t＋25＝ (t－6) 2＋7，当 t＝6 时， d 取得最小值为 7，故选 D.12 122．随着我国经济不断发展，人均 GDP(国内生产总值)呈高速增长趋势．已知 2008 年年底我国人均 GDP 为 22640 元，如果今后年平均增长率为 9%，那么 2020 年年底我国人均GDP 为 ( )导 学 号 22841056A．22640×1.09 12元 B．22640×1.09 13元C．22640×(1＋0.09 12)元 D．22640×(1＋0.09 13)元[答案] A[解析] 由于 2008 年年底人均 GDP 为 22640 元，由 2008 年年底到 2020 年年底共 12年，故 2020 年年底我国人均 GDP 为 22640×1.0912元．3．根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x)＝Error! (A， c 为常数)．已知工人组装第 4 件产品用时 30 min，组装第 A 件产品用时 15 min，那么 c 和 A 的值分别是 ( )导 学 号 22841057A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16[答案] D[解析] 由题意知，组装第 A 件产品所需时间为 ＝15，故组装第 4 件产品所需时间cA为 ＝30 ，解得 c＝60.将 c＝ 60 代入 ＝15，得 A＝16.c4 cA4．一个高为 H，盛水量为 V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深 h 时水的体积为 V，则函数 V＝ f(h)的图象大致是( )导 学 号 228410586[答案] D[解析] 水深 h 越大，水的体积 V 就越大，故函数 V＝ f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选 D.二、填空题5．某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N＝ N0e－ λt ，其中 N0， λ 是正的常数．由放射性元素的这种性质，可以制造出高精度的时钟，用原子数 N 表示时间 t 为________.导 学 号 22841059[答案] t＝－ ln1λ NN0[解析] N＝ N0e－ λt ⇒ ＝ e－ λt ⇒－ λt ＝ln ⇒t＝－ ln .NN0 NN0 1λ NN06．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存 2KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据 64MB 内存(1MB＝2 10KB).导 学 号 22841060[答案] 45[解析] 设过 n 个 3 分钟后，该病毒占据 64MB 内存，则 2×2n＝64×2 10＝2 16⇒n＝15.故时间为 15×3＝45(分钟)．三、解答题7．大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务，其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少 20%，那么要让有害气体减少到原来的 5%，求至少要经过几次处理？参考数据：lg2≈0.3010.导 学 号 22841061[解析] 设工业废气在未处理前为 a，经过 x 次处理后变为 y，则 y＝ a(1－20%)x＝ a(80%)x.由题意得 ＝5%，ya即(80%) x＝5%，两边同时取以 10 为底的对数得 xlg0.8＝lg0.05，即 x＝ ≈13.4.lg0.05lg0.8因而需要 14 次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的 5%.78．2015 年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题： 导 学 号 22841062(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润 S(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到 30 万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？[解析] (1)由二次函数图象可知，设 S 与 t 的函数关系式为 S＝ at2＋ bt＋ c(a≠0)．由题意，得Error!或Error!或Error!无论哪个均可解得 a＝ ， b＝－2， c＝0；12∴所求函数关系式为 S＝ t2－2 t.12(2)把 S＝30 代入，得 30＝ t2－2 t，12解得 t1＝10， t2＝－6(舍去)，∴截止到第十个月末公司累积利润可达到 30 万元．(3)第八个月公司所获利润为×82－2×8－ ×72＋2×7＝5.5，12 12∴第八个月公司所获利润为 5.5 万元．1第三章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数 f(x)＝ πx ＋log 2x 的零点所在区间为 ( )导 学 号 22841078A．[0， ] B．[ ， ]18 18 14C．[ ， ] D．[ ，1]14 12 12[答案] C[解析] ∵ f(x)在其定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，而在四个选项中，只有f( )·f( )＜0，∴函数 f(x)的零点所在区间为[ ， ]，故选 C.14 12 14 122．若函数 f(x)在[ a， b]上连续，且同时满足 f(a)·f(b)＜0， f(a)·f( )＞0.则a＋ b2( )导 学 号 22841079A． f(x)在[ a， ]上有零点a＋ b2B． f(x)在[ ， b]上有零点a＋ b2C． f(x)在[ a， ]上无零点a＋ b2D． f(x)在[ ， b]上无零点a＋ b2[答案] B[解析] 由已知，易得 f(b)·f( )＜0，因此 f(x)在[ ， b]上一定有零点，但a＋ b2 a＋ b2在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．3．三个变量 y1， y2， y3随着变量 x 的变化情况如下表：x 1 3 5 7 9 11y1 5 135 625 1715 3645 6655y2 5 29 245 2189 19685 177149y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4则关于 x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( )导 学 号 228410802A． y1， y2， y3 B． y2， y1， y3C． y3， y2， y1 D． y1， y3， y2[答案] C[解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量 y3随 x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快， y2随 x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， y1随 x的变化符合此规律，故选 C.4．下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是 ( )导 学 号 22841081[答案] C[解析] ∵C 中零点左右两侧的函数值的符号相反．5．对于函数 f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下： f(2014)0，则下列叙述正确的是 ( )导 学 号 22841082A．函数 f(x)在(2014,2015)内不存在零点B．函数 f(x)在(2015,2016)内不存在零点C．函数 f(x)在(2015,2016)内存在零点，并且仅有一个D．函数 f(x)在(2014,2015)内可能存在零点[答案] D[解析] 在区间(2015,2016)内零点的个数不确定，故 B，C 错误，在区间(2014,2015)内可能有零点，故选 D.6．已知 x0是函数 f(x)＝2 x＋ 的一个零点．若 x1∈(1， x0)， x2∈( x0，＋∞)，则11－ x( )导 学 号 22841083A． f(x1)＜0， f(x2)＜0 B． f(x1)＜0， f(x2)＞0C． f(x1)＞0， f(x2)＜0 D． f(x1)＞0， f(x2)＞0[答案] B[解析] 由于函数 g(x)＝ ＝－ 在(1，＋∞)上单调递增，函数 h(x)＝2 x在11－ x 1x－ 1(1，＋∞)上单调递增，故函数 f(x)＝ h(x)＋ g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点 x0，且 f(x1)＜0， f(x2)＞0，故选 B.7．二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(x∈R)的部分对应值如下表：3x －3 －2 －1 0 1 2 3 4y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6由此可以判断方程 ax2＋ bx＋ c＝0 的两个根所在的区间是 ( )导 学 号 22841084A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵ f(－3)＝6＞0， f(－1)＝－4＜0，∴ f(－3)· f(－1)＜0.∵ f(2)＝－4＜0， f(4)＝6＞0，∴ f(2)·f(4)＜0.∴方程 ax2＋ bx＋ c＝0 的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．8．某研究小组在一项实验中获得一组关系 y、 t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画 y 与 t 之间关系 ( )导 学 号 22841085A． y＝2 t B． y＝2 t2C． y＝ t3 D． y＝log 2t[答案] D[解析] 由点(2,1)，(4,2)，(8,4)，故选 D.9．某厂原来月产量为 a，一月份增产 10%，二月份比一月份减产 10%，设二月份产量为 b，则 ( )导 学 号 22841086A． a＞ b B． a＜ bC． a＝ b D．无法判断[答案] A[解析] ∵ b＝ a(1＋10%)(1－10%)＝ a(1－ )，1100∴ b＝ a× ，∴ b＜ a，故选 A.9910010．设 a， b， k 是实数，二次函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b 满足： f(k－1)与 f(k)异号，f(k＋1)与 f(k)异号．在以下关于 f(x)的零点的说法中，正确的是 ( )导 学 号 22841087A．该二次函数的零点都小于 k4B．该二次函数的零点都大于 kC．该二次函数的两个零点之间差一定大于 2D．该二次函数的零点均在区间( k－1， k＋1)内[答案] D[解析] 由题意得 f(k－1)· f(k)＜0， f(k)·f(k＋1)＜0，由零点的存在性定理可知，在区间( k－1， k)，( k， k＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故 D 正确．11．若函数 f(x)＝ x3－ x－1 在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125f(x) －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151那么方程 x3－ x－1＝0 的一个近似根(精确度为 0,1)为 ( )导 学 号 22841088A．1.2 B．1.3125C．1.4375 D．1.25[答案] B[解析] 由于 f(1.375)＞0， f(1.3125)＜0，且1．375－1.3125＜0.1，故选 B.12．已知三个函数 f(x)＝2 x＋ x， g(x)＝ x－2， h(x)＝log 2x＋ x 的零点依次为a， b， c，则 ( )导 学 号 22841089A． a＜ b＜ c B． a＜ c＜ bC． b＜ a＜ c D． c＜ a＜ b[答案] B[解析] 因为 f(－1)＝ －1＝－ ＜0， f(0)＝1＞0，12 12所以 f(x)的零点 a∈(－1,0)；因为 g(2)＝0，所以 g(x)的零点 b＝2；因为 h( )＝－1＋ ＝－ ＜0， h(1)＝1＞0，12 12 12所以 h(x)的零点 c∈( ，1)．12因此 a＜ c＜ b.第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13．若函数 y＝ mx2＋ x－2 没有零点，则实数 m 的取值范围是________.导 学 号 228410905[答案] m0)，若 f(m)0.∴ f(x)在( m， m＋1)上零点的个数是 1.15．已知 y＝ x(x－1)( x＋1)的图象如图所示．令 f(x)＝ x(x－1)( x＋1)＋0.01，则下列关于 f(x)＝0 的解叙述正确的是________. 导 学 号 22841092①有三个实根；② x＞1 时恰有一实根；③当 0＜ x＜1 时恰有一实根；④当－1＜ x＜0 时恰有一实根；⑤当 x＜－1 时恰有一实根(有且仅有一实根)．[答案] ①⑤[解析] f(x)的图象是将函数 y＝ x(x－1)( x＋1)的图象向上平移 0.01 个单位得到．故 f(x)的图象与 x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0， )和( ，1)内，12 12故只有①⑤正确．16．某工程由 A、 B、 C、 D 四道工序完成，完成它们需用的时间依次 2、5、 x、4 天，四道工序的先后顺序及相互关系是： A、 B 可以同时开工； A 完成后， C 可以开工； B、 C 完成后， D 可以开工，若完成该工程总时间数为 9 天，则完成工序 C 需要的天数 x 最大为________.导 学 号 22841093[答案] 3[解析] 如图， A(2 天)→ C(x)天 B(5 天) D(4 天)6设工程所用总天数为 f(x)，则由题意得：当 x≤3 时， f(x)＝5＋4＝9，当 x3 时， f(x)＝2＋ x＋4＝6＋ x，∴ f(x)＝Error!，∵工程所用总天数 f(x)＝9，∴ x≤3，∴ x 最大值为 3.三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分 10 分)设函数 f(x)＝Error!求函数 g(x)＝ f(x)－ 的零点.14 导 学 号 22841094[解析] 求函数 g(x)＝ f(x)－ 的零点，即求方程 f(x)－ ＝0 的根．14 14当 x≥1 时，由 2x－2－ ＝0 得 x＝ ；14 98当 x1 时，由 x2－2 x－ ＝0 得 x＝ (舍去)或 x＝ .14 2＋ 52 2－ 52∴函数 g(x)＝ f(x)－ 的零点是 或 .14 98 2－ 5218．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝ ax2＋( b－8) x－ a－ ab 的两个零点分别是－3 和2； 导 学 号 22841095(1)求 f(x)；(2)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时，求函数 f(x)的值域．[解析] (1)因为 f(x)的两个零点分别是－3,2，所以Error!即Error! 解得Error!故 f(x)＝－3 x2－3 x＋18.(2)由(1)知 f(x)＝－3 x2－3 x＋18，其图象的对称轴为 x＝－ ，开口向下，所以 f(x)12在[0,1]上为减函数，则 f(x)的最大值为 f(0)＝18，最小值为 f(1)＝12.所以值域为[12,18]．19．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝Error!若方程 f(x)＝ k 无实数解，求 k 的取值范围. 导 学 号 22841096[解析] 当 x≥ 时，函数 f(x)＝lg x 是增函数，32∴ f(x)∈[lg ，＋∞]；327当 x 时，函数 f(x)＝lg(3－ x)是减函数，32∴ f(x)∈(lg ，＋∞)．故 f(x)∈[lg ，＋∞)．32 32要使方程无实数解，则 klg .32故 k 的取值范围是(－∞，lg )．3220．(本小题满分 12 分)某公司从 1999 年的年产值 100 万元，增加到 10 年后 2009 年的 500 万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋ x)≈ x，lg2＝0.3，ln10＝2.30) 导 学 号 22841097[解析] 设每年年增长率为 x，则 100(1＋ x)10＝500，即(1＋ x)10＝5，两边取常用对数，得10·lg(1＋ x)＝lg5，∴lg(1＋ x)＝ ＝ (lg10－lg2)＝ .lg510 110 0.710又∵lg(1＋ x)＝ ，ln 1＋ xln10∴ln(1＋ x)＝lg(1＋ x)·ln10.∴ln(1＋ x)＝ ×ln10＝ ×2.30＝0.161＝16.1%.0.710 0.710又由已知条件：ln(1＋ x)≈ x 得 x≈16.1%.故每年的平均增长率约为 16.1%.21．(本小题满分 12 分)关于 x 的方程 x2－2 x＋ a＝0，求 a 为何值时：导 学 号 22841098(1)方程一根大于 1，一根小于 1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；(3)方程的两个根都大于零？[解析] 设 f(x)＝ x2－2 x＋ a，(1)结合图象知，当方程一根大于 1，一根小于 1 时，f(1)＜0，得 1－2＋ a＜0，所以 a＜1.(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得Error!即Error!解得－3＜ a＜0.(3)由方程的两个根都大于零，得Error!解得 0＜ a＜1.22．(本小题满分 12 分)一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积8至少要保留原面积的 ，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 .14 22 导 学 号 22841099(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[分析] (1)根据 10 年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解．(2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的 ，列方程求解．22(3)求出第 n 年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的 列不等式求解．14[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0x1)，则 a(1－ x)10＝ a，即(1－ x)10＝ .12 12解得 x＝1－( ) .12110 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 ，则22a(1－ x)m＝ a，即( ) ＝( ) ，22 12m10 1212 ＝ ，解得 m＝5.m10 12故到今年为止，已砍伐了 5 年．(3)设从今年开始，以后砍伐了 n 年，则 n 年后剩余面积为 a(1－ x)n.22令 a(1－ x)n≥ a，即(1－ x)n≥ ，22 14 24( ) ≥( ) ， ≤ ，解得 n≤15.12n10 1232 n10 32故今后最多还能砍伐 15 年．[点评] 通过本题，重点强调高次方程、指数不等式的解法．对于高次方程应让学生明确，主要是开方运算；对于指数不等式，强调化为同底，应用指数函数的单调性求解，本题中化为同底是一大难点．