2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量学案（打包12套）苏教版必修4.zip

12．1 向量的概念及表示[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小．[预习导引]1．向量：既有大小又有方向的量称为向量．2．向量的几何表示：以 A 为起点、 B 为终点的向量记作 .AB→ 3．向量的有关概念(1)零向量：长度为 0 的向量，叫做零向量，记作 0.(2)单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量．(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)相反向量：与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量 a 平行于 b，记作 a∥b .②规定：零向量与任一向量平行.要点一 向量的概念例 1 给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若| a|＝| b|，则 a＝ b；2(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若 a＝ b， b＝ c，则 a＝ c；(7)若 a∥ b， b∥ c，则 a∥ c；(8)若四边形 ABCD 是平行四边形，则 ＝ ， ＝ .AB→ CD→ BC→ DA→ 其中正确命题的序号是________．答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定；(2)该命题不正确，| a|＝| b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度 1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确．由向量相等的定义知， a 与 b 的模相等， b 与 c 的模相等，从而 a 与 c 的模相等；又 a 与 b 的方向相同， b 与 c 的方向相同，从而 a 与 c 的方向也必相同，故 a＝ c；(7)该命题不正确．因若 b＝0，则对两不共线的向量 a 与 c，也有 a∥0，0∥ c，但 a∥ c 不成立；(8)该命题不正确．如图所示，显然有 ≠ ， ≠ .AB→ CD→ BC→ DA→ 规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．跟踪演练 1 下列命题中，正确的是________．① a， b 是两个单位向量，则 a 与 b 相等；②若向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；③两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同；④共线的单位向量必是相等向量．答案 ②解析 若 a 与 b 中有一个是零向量，则 a 与 b 是平行向量．要点二 向量的表示例 2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向量：3(1) ，使| |＝4 ，点 A 在点 O 北偏东 45°；OA→ OA→ 2(2) ，使| |＝4，点 B 在点 A 正东；AB→ AB→ (3) ，使| |＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°.BC→ BC→ 解 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又| |＝4 ，小方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小OA→ 2方格数都为 4，于是点 A 位置可以确定，画出向量 如图所示．OA→ (2)由于点 B 在点 A 正东方向处，且| |＝4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格数为AB→ 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位置可以确定，画出向量 如图所示．AB→ (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30°处，且| |＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点 C 距点BC→ B 的横向小方格数为 3，纵向小方格数为 3 ≈5.2，于是点 C 位置可以确定，画出向量 如3 BC→ 图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练 2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在 A 处，可跳到 A1处，也可跳到 A2处，用向量 或 表示马走了“一步” ．试在图中画出马在AA1→ AA2→ B， C 处走了“一步”的所有情况．4解 根据规则，画出符合要求的所有向量．马在 B 处走了“一步”的情况如图(1)所示；马在 C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例 3 如图，在正方形 ABCD 中， M， N 分别为 AB 和 CD 的中点，在以 A， B， C， D， M， N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解 不妨设正方形的边长为 2，则以 A， B， C， D， M， N 为起点和终点的向量中：①模为 2 的相等向量共有 8 对， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝AB→ DC→ BA→ CD→ AD→ BC→ DA→ CB→ AD→ MN→ DA→ NM→ BC→ ， ＝ .MN→ CB→ NM→ ②模为 1 的相等向量有 12 对，其中与 同向的有 ， ， ，这四个向量组成相等的向量有AM→ MB→ DN→ NC→ 6 对，即 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，同理与 反向的也有 6 对．AM→ MB→ AM→ DN→ AM→ NC→ MB→ DN→ MB→ NC→ DN→ NC→ AM→ ③模为 的相等向量共有 4 对， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .5 AN→ MC→ NA→ CM→ MD→ BN→ DM→ NB→ 规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练 3 如图所示， O 为正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED、 OCFB 都是正方形．(1)写出与 相等的向量；AO→ (2)写出与 共线的向量；AO→ 5(3)向量 与 是否相等？AO→ CO→ 解 (1)与 相等的向量有： 、 、 .AO→ OC→ BF→ ED→ (2)与 共线的向量有： 、 、 、 、 、 、 、 、 .AO→ OA→ OC→ CO→ AC→ CA→ ED→ DE→ BF→ FB→ (3)向量 与 不相等，因为 与 的方向相反，所以它们不相等.AO→ CO→ AO→ CO→ 1．下列说法正确的是________．①零向量没有大小，没有方向；②零向量是唯一没有方向的向量；③零向量的长度为 0；④任意两个单位向量方向相同．答案 ③解析 零向量的长度为 0，方向是任意的，故①②错误，③正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故④错误．2．如图，在△ ABC 中，若 DE∥ BC，则图中向量是共线向量的有________．答案 与 ， 与 ， 与ED→ CB→ AD→ BD→ AE→ CE→ 3．在四边形 ABCD 中， ∥ 且| |≠| |，则四边形 ABCD 的形状是________．AB→ CD→ AB→ CD→ 答案 梯形解析 ∵ ∥ 且| |≠| |，AB→ CD→ AB→ CD→ ∴ AB∥ DC，但 AB≠ DC，∴四边形 ABCD 是梯形．4．如图所示，以 1×2 方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与 、 相等的向量；AF→ AE→ (2)写出与 模相等的向量．AD→ 6解 (1) ＝ ＝ ， ＝ .AF→ BE→ CD→ AE→ BD→ (2) ， ， .DA→ CF→ FC→ 1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标1.如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E， F 分别在两腰 AD， BC 上， EF过点 P，且 EF∥ AB，则下列正确的是______．① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ .AD→ BC→ AC→ BD→ PE→ PF→ EP→ PF→ 答案 ④解析 由平面几何知识知， 与 方向不同，故 ≠ ； 与 方向不同，故 ≠ ； 与AD→ BC→ AD→ BC→ AC→ BD→ AC→ BD→ PE→ 模相等而方向相反，故 ≠ ； 与 模相等且方向相同，所以 ＝ .PF→ PE→ PF→ EP→ PF→ EP→ PF→ 2．下列说法正确的有________．(填相应的序号)①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为 0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．答案 ②⑤7解析 ②与⑤正确，其余都是错误的．3．若 a 为任一非零向量， b 为模为 1 的向量，下列各式：①| a|＞| b|；② a∥ b；③| a|＞0；④| b|＝±1.其中正确的是________．(填相应的序号)答案 ③解析 a 任一非零向量，故| a|＞0.4．有下列说法：①若向量 a 与向量 b 不平行，则 a 与 b 方向一定不相同；②若向量 ， 满足| | |，且 与 同向，则 ；AB→ CD→ AB→ CD→ AB→ CD→ AB→ CD→ ③若| a|＝| b|，则 a， b 的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中，正确说法的个数是________．答案 1解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由| a|＝| b|，只能说明 a， b 的长度相等，不能确定它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．5．给出下列四个条件：① a＝ b；②| a|＝| b|；③ a 与 b 方向相反；④| a|＝0 或| b|＝0.其中能使 a∥ b 成立的条件是________．答案 ①③④解析 因为 a＝ b⇒a∥ b，即①能够使 a∥ b 成立；由于| a|＝| b|并没有确定 a 与 b 的方向，即②不能够使 a∥ b 成立；因为 a 与 b 方向相反时， a∥ b，即③能够使 a∥ b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以| a|＝0 或| b|＝0 时， a∥ b 能够成立．故使 a∥ b 成立的条件是①③④.6．下列结论中，正确的是________．(填相应的序号)①若向量 ， 共线，则向量 ∥ ；AB→ CD→ AB→ CD→ ②若向量 ∥ ，则向量 与 共线；AB→ CD→ AB→ DC→ ③若向量 ＝ ，则向量 ＝ ；AB→ CD→ BA→ DC→ ④若 ＝ ，则四边形 ABCD 是正方形．AB→ DC→ 答案 ①②③解析 根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确．87．如图，在四边形 ABCD 中， ＝ ， N、 M 分别是 AD、 BC 上的点，且 ＝ .求证： ＝AB→ DC→ CN→ MA→ DN→ .MB→ 证明 ∵ ＝ ，AB→ DC→ ∴| |＝| |且 AB∥ CD，AB→ CD→ ∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴| |＝| |，且 DA∥ CB.DA→ CB→ 又∵ 与 的方向相同，DA→ CB→ ∴ ＝ .同理可证，四边形 CNAM 是平行四边形，CB→ DA→ ∴ ＝ .∵| |＝| |，| |＝| |，CM→ NA→ CB→ DA→ CM→ NA→ ∴| |＝| |.DN→ MB→ ∵ DN∥ MB 且 与 的方向相同，∴ ＝ .DN→ MB→ DN→ MB→ 二、能力提升8．下列说法正确的是________．(填相应的序号)①向量 ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线；②长度相等的向量叫做相等向量；③AB→ CD→ AB→ CD→ 零向量长度等于 0；④共线向量是在一条直线上的向量．答案 ③解析 向量 ∥ 包含 所在的直线平行于 所在的直线和 所在的直线与 所在的直线重AB→ CD→ AB→ CD→ AB→ CD→ 合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以①②④均错．9.如图，已知四边形 ABCD 为正方形，△ CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与 共线的向量有____________；AB→ (2)图中与 相等的向量有____________；AB→ 9(3)图中与 模相等的向量有____________．AB→ 答案 (1) ， ， ， ， ， ，BA→ BE→ EB→ AE→ EA→ CD→ DC→ (2) ，DC→ BE→ (3) ， ， ， ， ， ， ， ，BA→ BE→ EB→ DC→ CD→ AD→ DA→ BC→ CB→ 10．一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向北偏西 40°走了200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点．(1)作出向量 、 、 ；AB→ BC→ CD→ (2)求| |.AD→ 解 (1)向量 、 、 如图所示．AB→ BC→ CD→ (2)由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，又| |＝| |，AB→ CD→ AB→ CD→ AB→ CD→ ∴在四边形 ABCD 中， AB∥ CD 且 AB＝ CD.∴四边形 ABCD 为平行四边形．∴ ＝ ，∴ ＝| |＝200 km.AD→ BC→ |AD|→ BC→ 11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进 1 米，逆时针方向转变 α 度，继续按直线向前行进 1 米，再逆时针方向转变 α 度，按直线向前行进 1 米，按此方法继续操作下去．(1)按 1∶100 比例作图说明当 α ＝45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点， α 应满足什么条件？解 (1)如图所示，操作 8 次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－ α 的正多边形，故有 n·(180°－ α )＝( n－2)·180°.即 α ＝ ， n 为不小于 3 的整数．360°n1012．如图平面图形中，已知 ＝ ＝ .求证：AA′→ BB′→ CC′→ (1)△ ABC≌△ A′ B′ C′；(2) ＝ ， ＝ .AB→ A′ B′→ AC→ A′ C′→ 证明 (1)∵ ＝ ，AA′→ BB′→ ∴| |＝| |，且 ∥ .AA′→ BB′→ AA′→ BB′→ 又∵ A 不在 上，∴ AA′∥ BB′.BB′→ ∴四边形 AA′ B′ B 是平行四边形．∴| |＝| |.AB→ A′ B′→ 同理| |＝| |，| |＝| |.AC→ A′ C′→ BC→ B′ C′→ ∴△ ABC≌△ A′ B′ C′.(2)∵四边形 AA′ B′ B 是平行四边形，∴ ∥ ，且| |＝| |.AB→ A′ B′→ AB→ A′ B′→ ∴ ＝ .AB→ A′ B′→ 同理可证 ＝ .AC→ A′ C′→ 三、探究与创新13.如图，在平行四边形 ABCD 中， O 是两对角线 AC， BD 的交点，设点集 S＝{ A， B， C， D， O}，向量集合 T＝{ |M， N∈ S，且 M， N 不重合}，试求集合 T 中元素的个数．MN→ 解 由题意知，集合 T 中的元素实质上是 S 中任意两点连成的有向线段，共有 20 个，即 ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， .由平行四边形AB→ AC→ AD→ AO→ BA→ BC→ BD→ BO→ CA→ CB→ CD→ CO→ DA→ DB→ DC→ DO→ OA→ OB→ OC→ OD→ 的性质可知，共有 8 对向量相等，即 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，AB→ DC→ BA→ CD→ AD→ BC→ DA→ CB→ AO→ OC→ OA→ CO→ ＝ ， ＝ .DO→ OB→ OD→ BO→ 11∵集合中元素具有互异性，∴集合 T 中的元素共有 12 个．12．2.3 向量的数乘[学习目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．[知识链接]1．已知非零向量 a，作出 a＋ a＋ a 和(－ a)＋(－ a)＋(－ a)，你能说明它们与向量 a 之间的关系吗？答＝ ＋ ＋ ＝ a＋ a＋ a＝3 a； a＋ a＋ a 的长度是 a 的长度的 3 倍，其方向与 a 的方向相OC→ OA→ AB→ BC→ 同；＝ ＋ ＋ ＝(－ a)＋(－ a)＋(－ a)＝－3 a，(－ a)＋(－ a)＋(－ a)的O′ C′→ O′ A′→ A′ B′→ B′ C′→ 长度是 a 长度的 3 倍，其方向与 a 的方向相反．2．已知非零向量 a，你能说明实数 λ 与向量 a 的乘积 λ a 的几何意义吗？答 λ a 仍然是一个向量．当 λ 0 时， λ a 与 a 的方向相同；当 λ 0 时， λ a 与 a 方向相同；当 λ 0 时， λ a 与 a 方向相反；当 a＝0 时， λ a＝0；当 λ ＝0 时， λ a＝0.实数 λ 与向量 a 相乘，叫做向量的数乘．2．向量数乘的运算律(1)λ (μ a)＝( λμ )a.(2)(λ ＋ μ )a＝ λ a＋ μ a.2(3)λ (a＋ b)＝ λ a＋ λ b.3．向量共线定理如果有一个实数 λ ，使 b＝ λ a(a≠0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数 λ ，使 b＝ λ a.要点一 向量的数乘运算例 1 化简下列各式：(1)2(3a－2 b)＋3( a＋5 b)－5(4 b－ a)；(2) [2(2a＋8 b)－4(4 a－2 b)]．16解 (1)原式＝6 a－4 b＋3 a＋15 b－20 b＋5 a＝14 a－9 b.(2)原式＝ (4a＋16 b－16 a＋8 b)＝ (－12 a＋24 b)16 16＝－2 a＋4 b.规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形方法．跟踪演练 1 若向量 a＝3 i－4 j， b＝5 i＋4 j，则 －3 ＋(2 b－ a)＝________.(13a－ b) (a＋ 23b)答案 －16 i＋ j323解析 －3 ＋(2 b－ a)(13a－ b) (a＋ 23b)＝ a－ b－3 a－2 b＋2 b－ a＝－ a－ b13 113＝－ (3i－4 j)－(5 i＋4 j)113＝－11 i＋ j－5 i－4 j443＝－16 i＋ j.323要点二 用已知向量表示未知向量例 2 如图所示，已知▱ ABCD 的边 BC， CD 上的中点分别为 K， L，且 ＝ e1， ＝ e2，试用AK→ AL→ e1， e2表示 ， .BC→ CD→ 3解 方法一 设 ＝ x，则 ＝ x，BC→ BK→ 12＝ ＋ ＝ e1－ x， ＝ ＝ e1－ x，AB→ AK→ KB→ 12 DL→ 12AB→ 12 14又 ＝ x，由 ＋ ＝ ，AD→ AD→ DL→ AL→ 得 x＋ e1－ x＝ e2，12 14解方程得 x＝ e2－ e1，即 ＝ e2－ e1，43 23 BC→ 43 23由 ＝－ ， ＝ e1－ x，CD→ AB→ AB→ 12得 ＝－ e1＋ e2.CD→ 43 23方法二 设 ＝ x， ＝ y，BC→ CD→ 则 ＝ x， ＝－ y.BK→ 12 DL→ 12由 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，AB→ BK→ AK→ AD→ DL→ AL→ 得Error!由－2×②＋①得 x－2 x＝ e1－2 e2， x＝ (2e2－ e1)，12 23同理得 y＝ (－2 e1＋ e2)，23即 ＝ e2－ e1， ＝－ e1＋ e2.BC→ 43 23 CD→ 43 23方法三 如图所示，延长 BC 与 AL 交于点 E，则△ DLA≌△ CLE，从而 ＝2 ， ＝ ，AE→ AL→ CE→ AD→ ＝ ，KE→ 32BC→ 4由 ＝ － ，得 ＝2 e2－ e1，KE→ AE→ AK→ 32BC→ 即 ＝ (2e2－ e1)＝ e2－ e1.BC→ 23 43 23同理可得 ＝ (－2 e1＋ e2)＝－ e1＋ e2.CD→ 23 43 23规律方法 (1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如方法三．(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题方法一、方法二．跟踪演练 2 如图，△ ABC 中， ＝ ， DE∥ BC 交 AC 于 E， BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N，AD→ 23AB→ 设 ＝ a， ＝ b，用 a， b 表示向量 ， ， ， ， ， .AB→ AC→ AE→ BC→ DE→ DN→ AM→ AN→ 解 ∵ DE∥ BC， ＝ ，AD→ 23AB→ ∴ ＝ ＝ b， ＝ － ＝ b－ a.AE→ 23AC→ 23 BC→ AC→ AB→ 由△ ADE∽△ ABC，得 ＝ ＝ (b－ a)．DE→ 23BC→ 23又 M 是△ ABC 底边 BC 的中点， DE∥ BC，∴ ＝ ＝ (b－ a)．DN→ 12DE→ 13＝ ＋ ＝ a＋ ＝ a＋ (b－ a)＝ (a＋ b)．AM→ AB→ BM→ 12BC→ 12 12∵△ ADN∽△ ABM， ＝ ，AD→ 23AB→ ∴ ＝ ＝ (a＋ b)．AN→ 23AM→ 13要点三 共线向量定理的应用例 3 已知非零向量 e1， e2不共线．(1)如果 ＝ e1＋ e2， ＝2 e1＋8 e2， ＝3( e1－ e2)，求证： A， B， D 三点共线；AB→ BC→ CD→ (2)欲使 ke1＋ e2和 e1＋ ke2共线，试确定实数 k 的值．(1)证明 ∵ ＝ e1＋ e2， ＝ ＋ ＝2 e1＋8 e2＋3 e1－3 e2＝5( e1＋ e2)＝5 .AB→ BD→ BC→ CD→ AB→ ∴ ， 共线，且有公共点 B，AB→ BD→ 5∴ A， B， D 三点共线．(2)解 ∵ ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线，∴存在 λ ，使 ke1＋ e2＝ λ (e1＋ ke2)，即( k－ λ )e1＝( λk －1) e2，由于 e1与 e2不共线，只能有Error!∴ k＝±1.规律方法 (1)本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a≠0)共线⇔ b＝ λ a，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．跟踪演练 3 如图所示，已知在▱ ABCD 中，点 M 为 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 3BN＝ BD.求证： M、 N、 C 三点共线．证明 设 ＝ a， ＝ b，则 ＝ ＋ ＝－ a＋ b，AB→ AD→ BD→ BA→ AD→ ＝ ＝－ a＋ b， ＝ a， ＝ ＝ b，BN→ 13BD→ 13 13 MB→ 12 BC→ AD→ ∴ ＝ ＋ ＝ a＋ b，MC→ MB→ BC→ 12＝ ＋ ＝ a－ a＋ b＝ ，MN→ MB→ BN→ 12 13 13 13(12a＋ b)∴ ＝ ，∴ ∥ ，MN→ 13MC→ MN→ MC→ 又 M 为公共点．∴ M、 N、 C 三点共线．1．化简：(1)8(2 a－ b＋ c)－6( a－2 b＋ c)－2(2 a＋ c)；(2) .13[12 2a＋ 8b －  4a－ 2b ]解 (1)原式＝16 a－8 b＋8 c－6 a＋12 b－6 c－4 a－2 c＝(16－6－4) a＋(－8＋12) b＋(8－6－2) c＝6 a＋4 b.(2)原式＝ [(a＋4 b)－(4 a－2 b)]13＝ (－3 a＋6 b)＝2 b－ a.1362．如图， ＝ ， ＝ .AM→ 13AB→ AN→ 13AC→ 求证： ＝ .MN→ 13BC→ 证明 ∵ ＝ ， ＝ ，AM→ 13AB→ AN→ 13AC→ ∴ ＝ －MN→ AN→ AM→ ＝ － ＝ ( － )13AC→ 13AB→ 13AC→ AB→ ＝ .13BC→ 3．设 e1， e2是两个不共线的非零向量，如果 ＝3 e1－2 e2， ＝4 e1＋ e2， ＝8 e1－9 e2.AB→ BC→ CD→ 求证： A， B， D 三点共线．证明 ∵ ＝ ＋ ＝4 e1＋ e2＋8 e1－9 e2BD→ BC→ CD→ ＝12 e1－8 e2＝4(3 e1－2 e2)＝4 ，AB→ ∴ 与 共线．AB→ BD→ ∵ 与 有公共点 B，∴ A， B， D 三点共线．AB→ BD→ 4．如图，在▱ OADB 中，设 ＝ a， ＝ b， ＝ ， ＝ .试用 a， b 表示 ， 及 .OA→ OB→ BM→ 13BC→ CN→ 13CD→ OM→ ON→ MN→ 解 由题意知，在▱ OADB 中， ＝ ＝BM→ 13BC→ 16BA→ ＝ ( － )＝ (a－ b)＝ a－ b，16OA→ OB→ 16 16 16则 ＝ ＋ ＝ b＋ a－ b＝ a＋ b.OM→ OB→ BM→ 16 16 16 56＝ ＝ ( ＋ )＝ (a＋ b)＝ a＋ b，ON→ 23OD→ 23OA→ OB→ 23 23 23＝ － ＝ (a＋ b)－ a－ b＝ a－ b.MN→ ON→ OM→ 23 16 56 12 1671.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ ＋ a， λ － a 是没有意义的．2． λ a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的| λ |倍．向量表示与向量 a 同向的单位向量．a|a|3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、基础达标1．设 e1， e2是两个不共线的向量，若向量 m＝－ e1＋ ke2 (k∈R)与向量 n＝ e2－2 e1共线，则 k＝________.答案 12解析 － e1＋ ke2与 e2－2 e1共线，则存在实数 λ ，使－ e1＋ ke2＝ λ (e2－2 e1)由于 e1与 e2不共线，比较系数得Error!解得 k＝ λ ＝ .122．设 D， E 分别是△ ABC 的边 AB， BC 上的点， AD＝ AB， BE＝ BC.若12 23＝ λ 1 ＋ λ 2 (λ 1， λ 2为实数)，则 λ 1＋ λ 2的值为________．DE→ AB→ AC→ 答案 12解析 如图 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝－ ＋ ，则DE→ DB→ BE→ 12AB→ 23BC→ 12AB→ 23AC→ AB→ 16AB→ 23AC→ λ 1＝－ ， λ 2＝ ， λ 1＋ λ 2＝ .16 23 123．已知向量 a、 b，且 ＝ a＋2 b， ＝－5 a＋6 b， ＝7 a－2 b，则一定共线的三点是AB→ BC→ CD→ ________．答案 A、 B、 D8解析 ∵ ＝ ＋ ＝2 a＋4 b＝2 ，BD→ BC→ CD→ AB→ ∴ A、 B、 D 三点共线．4．已知△ ABC 的三个顶点 A， B， C 及平面内一点 P，且 ＋ ＋ ＝ ，则下列结论正确的PA→ PB→ PC→ AB→ 是________．① P 在△ ABC 内部；② P 在△ ABC 外部；③ P 在 AB 边上或其延长线上；④ P 在 AC 边上．答案 ④解析 ＋ ＋ ＝ － ，PA→ PB→ PC→ PB→ PA→ ∴ ＝－2 ，∴ P 在 AC 边上．PC→ PA→ 5．在△ ABC 中，点 D 在直线 CB 的延长线上，且 ＝4 ＝ r ＋ s ，则 r－ s＝________.CD→ BD→ AB→ AC→ 答案 83解析 ∵ ＝ ＋ ＝4 ，∴ ＝3 .CD→ CB→ BD→ BD→ CB→ BD→ ∴ ＝ － ＝ ＋ － ＝ ＋ －CD→ AD→ AC→ AB→ BD→ AC→ AB→ 13CB→ AC→ ＝ ＋ ( － )－ ＝ －AB→ 13AB→ AC→ AC→ 43AB→ 43AC→ ∴ r＝ ， s＝－ ， r－ s＝ .43 43 836．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ＋ ＝ λ ，则 λ ＝________.AB→ AD→ AO→ 答案 2解析 因为四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 ＋ ＝ ，又 O 为 AC 的中点，所以 ＝2 ，所以 ＋ ＝2 ，AB→ AD→ AC→ AC→ AO→ AB→ AD→ AO→ 因为 ＋ ＝ λ ，所以 λ ＝2.AB→ AD→ AO→ 7．如图， ABCD 为一个四边形， E、 F、 G、 H 分别为 BD、 AB、 AC 和 CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明 ∵ F、 G 分别是 AB、 AC 的中点．∴ ＝ .同理， ＝ .FG→ 12BC→ EH→ 12BC→ 9∴ ＝ .FG→ EH→ ∴四边形 EFGH 为平行四边形．二、能力提升8．已知 m， n 是实数， a， b 是向量，则下列命题中正确的为________．① m(a－ b)＝ ma－ mb；②( m－ n)a＝ ma－ na；③若 ma＝ mb，则 a＝ b；④若 ma＝ na，则 m＝ n.答案 ①②解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若 m＝0，则不能推出 a＝ b，错误；④中，若 a＝0，则 m， n 没有关系，错误．9．已知△ ABC 和点 M 满足 ＋ ＋ ＝0.若存在实数 m 使得 ＋ ＝ m 成立，则 m 的值为MA→ MB→ MC→ AB→ AC→ AM→ ________．答案 3解析 ∵ ＋ ＋ ＝0，MA→ MB→ MC→ ∴点 M 是△ ABC 的重心．∴ ＋ ＝3 ，∴ m＝3.AB→ AC→ AM→ 10．已知 O 是平面内一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ＝ ＋ λOP→ OA→ (λ ∈[0，＋∞))，则点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的________．(AB→ |AB→ |＋AC→ |AC→ |)①外心；②内心；③重心；④垂心．答案 ②解析 为 上的单位向量， 为 上的单位向量，则 ＋ 的方向为∠ BAC 的角AB→ |AB→ | AB→ AC→ |AC→ | AC→ AB→ |AB→ |AC→ |AC→ |平分线 的方向．又 λ ∈[0，＋∞)，AD→ ∴ λ 的方向与 ＋ 的方向相同．而 ＝ ＋ λ ，∴点 P 在(AB→ |AB→ |＋AC→ |AC→ |)AB→ |AB→ |AC→ |AC→ | OP→ OA→ (AB→ |AB→ |＋AC→ |AC→ |)上移动．∴点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心．AD→ 11.如图所示，设 M， N 为△ ABC 内的两点，且 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，则△ ABM 的面AM→ 14AB→ 13AC→ AN→ 25AB→ 12AC→ 积与△ ABN 的面积之比为________．10答案 2∶3解析 如图所示，设 ＝ ， ＝ ，则 ＝ ＋ .AP→ 14AB→ AQ→ 13AC→ AM→ AP→ AQ→ 由平行四边形法则知， MQ∥ AB，∴ ＝ ＝ .S△ ABMS△ ABC |AQ→ ||AC→ | 13同理 ＝ .∴ ＝ .S△ ABNS△ ABC 12 S△ ABMS△ ABN 2312．已知 e1， e2是两个非零不共线的向量， a＝2 e1－ e2， b＝ ke1＋ e2，若 a 与 b 是共线向量，求实数 k 的值．解 ∵ a 与 b 是共线向量，∴ a＝ λ b，∴2 e1－ e2＝ λ (ke1＋ e2)＝ λk e1＋ λ e2，∴Error! ∴Error! ∴ k＝－2.三、探究与创新13．已知向量 a＝2 e1－3 e2， b＝2 e1＋3 e2， c＝2 e1－9 e2，其中 e1， e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数 λ ， μ ，使向量 d＝ λ a＋ μ b 与 c 共线？解 d＝ λ a＋ μ b＝ λ (2e1－3 e2)＋ μ (2e1＋3 e2)＝(2 λ ＋2 μ )e1＋(3 μ －3 λ )e2.要使 c∥ d，则应存在实数 k，使 d＝ kc，即(2 λ ＋2 μ )e1＋(3 μ －3 λ )e2＝ k(2e1－9 e2)＝2 ke1－9 ke2，∵ e1， e2不共线，∴Error!∴ λ ＝－2 μ .故存在这样的实数 λ ， μ ，满足 λ ＝－2 μ ，就能使 d 与 c 共线．12．3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理[学习目标] 1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量基本定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理．[知识链接]1．如图所示， e1， e2是两个不共线的向量，试用 e1， e2表示向量 ， ， ， ， ， a.AB→ CD→ EF→ GH→ HG→ 答 通过观察，可得：＝2 e1＋3 e2， ＝－ e1＋4 e2， ＝4 e1－4 e2，AB→ CD→ EF→ ＝－2 e1＋5 e2， ＝2 e1－5 e2， a＝－2 e1.GH→ HG→ 2．0 能不能作为基底？答 由于 0 与任何向量都是共线的，因此 0 不能作为基底．3．平面向量的基底唯一吗？答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．[预习导引]1．平面向量基本定理(1)定理：如果 e1， e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ 1， λ 2，使 a＝ λ 1e1＋ λ 2e2.(2)基底：把不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组基底 e1， e2表示成 a＝ λ 1e1＋ λ 2e2的形式，我们称它为向量 a 的分解．当 e1， e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量 a 的正交分解.2要点一 平面向量基本定理的理解例 1 下列说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④ e1， e2是平面内所有向量的一组基底，若实数 λ 1， λ 2使 λ 1e1＋ λ 2e2＝0，则λ 1＝ λ 2＝0；⑤ e1与 e2是一组基底，则 λ 1e1＋ λ 2e2不一定在平面内．其中正确的是________．(写出正确的所有序号)答案 ②③④解析 平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线向量都可以作为平面向量的一组基底．零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的向量，故②③正确；④正确；⑤错，因为在平面内任一向量都可以表示为 λ 1e1＋ λ 2e2的形式，故 λ 1e1＋ λ 2e2表示的向量在平面内．规律方法 对平面向量基本定理的理解是解题的关键，因为零向量与任意向量共线，故不能作基底， λ 1e1＋ λ 2e2＝0，在 e1与 e2不共线时，有 λ 1＝ λ 2＝0.跟踪演练 1 给出下面四个命题：①若 a∥ b，则必存在唯一的实数 λ ，使 b＝ λ a；②若 λ a＝ μ a，则 λ ＝ μ (λ ， μ ∈R)；③若 e1和 e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么向量 e1＋ e2和 e1－ e2也能作为一组基底；④若 λ 1e1＋ λ 2e2＝ μ 1e1＋ μ 2e2(λ 1， λ 2， μ 1， μ 2∈R)，则 λ 1＝ μ 1， λ 2＝ μ 2.写出其中所有正确命题的序号________．答案 ③解析 ①若 a 为零向量，满足 a∥ b(b≠0)，但不存在实数 λ ，使 b＝ λ a；②若 a 为零向量满足 3a＝2 a，但 3≠2；③假设 e1＋ e2与 e1－ e2共线，则存在实数 λ ，使e1＋ e2＝ λ (e1－ e2)．即(1－ λ )e1＝－(1＋ λ )e2，所以 e1和 e2共线，与 e1和 e2不共线矛盾．从而 e1＋ e2与 e1－ e2不共线，故它们可以作为一组基底；④当 e1与 e2共线时，结论不一定成立．要点二 用基底表示向量例 2 如图所示，设 M， N， P 是△ ABC 三边上的点，且 ＝ ， ＝ ，BM→ 13BC→ CN→ 13CA→ ＝ ，若 ＝ a， ＝ b，AP→ 13AB→ AB→ AC→ 3试用 a， b 将 、 、 表示出来．MN→ NP→ PM→ 解 ＝ － ＝ － ＝ a－ b，NP→ AP→ AN→ 13AB→ 23AC→ 13 23＝ － ＝－ － ＝－ b－ (a－ b)MN→ CN→ CM→ 13AC→ 23CB→ 13 23＝－ a＋ b，23 13＝－ ＝－( ＋ )＝ (a＋ b)．PM→ MP→ MN→ NP→ 13规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．(2)将向量 c 用 a， b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c＝ xa＋ yb，其中x， y∈R，然后得到关于 x， y 的方程组求解．跟踪演练 2 已知梯形 ABCD 中， AB∥ DC，且 AB＝2 CD， E、 F 分别是 DC、 AB 的中点，设＝ a， ＝ b，试以 a、 b 为基底表示 、 、 .AD→ AB→ DC→ BC→ EF→ 解 如图，连结 FD.∵ DC∥ AB， AB＝2 CD， E、 F 分别是 DC、 AB 的中点，∴ DC∥ FB 且 DC＝ FB，∴四边形 DCBF 为平行四边形．∴ ＝ ＝ ＝ b，DC→ FB→ 12AB→ 12＝ ＝ － ＝ － ＝ a－ b，BC→ FD→ AD→ AF→ AD→ 12AB→ 12＝ － ＝－ － ＝－ －EF→ DF→ DE→ FD→ DE→ BC→ 12DC→ ＝－ － × b＝ b－ a.(a－12b) 12 12 14要点三 平面向量基本定理的应用4例 3 如图，在△ ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN＝2 NC.AM 与 BN 相交于点 P，求 AP∶ PM 的值．解 设 ＝ e1， ＝ e2，BM→ CN→ 则 ＝ ＋ ＝－3 e2－ e1，AM→ AC→ CM→ ＝ ＋ ＝2 e1＋ e2.BN→ BC→ CN→ ∵ A， P， M 和 B， P， N 分别共线，∴存在实数 λ ， μ ，使得＝ λ ＝－ λ e1－3 λ e2， ＝ μ ＝2 μ e1＋ μ e2.AP→ AM→ BP→ BN→ 故 ＝ － ＝( λ ＋2 μ )e1＋(3 λ ＋ μ )e2.BA→ BP→ AP→ 而 ＝ ＋ ＝2 e1＋3 e2，BA→ BC→ CA→ 由平面向量基本定理，得Error!解得Error!∴ ＝ ，∴ AP∶ PM＝4∶1.AP→ 45AM→ 规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．跟踪演练 3 如图，在△ OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝ AC， D 是将 分成 2∶1 的一个分点，OB→ DC 和 OA 交于点 E，设 ＝ a， ＝ b.OA→ OB→ (1)用 a， b 表示向量 ， ；OC→ DC→ (2)若 ＝ λ ，求实数 λ 的值．OE→ OA→ 解 (1)∵ A 为 BC 中点，∴ ＝ ( ＋ )，∴ ＝2 a－ b.OA→ 12OB→ OC→ OC→ ＝ － ＝ －DC→ OC→ OD→ OC→ 23OB→ 5＝2 a－ b－ b＝2 a－ b.23 53(2)∵ ＝ λ ，∴ ＝ － ＝ λ －OE→ OA→ CE→ OE→ OC→ OA→ OC→ ＝ λ a－2 a＋ b＝( λ －2) a＋ b.∵ 与 共线，∴存在实数 m，使得 ＝ m ，CE→ CD→ CE→ CD→ 即( λ －2) a＋ b＝ m ，(－ 2a＋53b)即( λ ＋2 m－2) a＋ b＝0.(1－53m)∵ a， b 不共线，∴Error!解得 λ ＝ .451．若 e1， e2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是________．① e1－2 e2和 e1＋2 e2；② e1与 3e2；③2 e1＋3 e2和－4 e1－6 e2；④ e1＋ e2与 e1.答案 ③解析 2 e1＋3 e2与－4 e1－6 e2共线不能作为基底．2．若 e1， e2是表示平面所有向量的一组基底，且 a＝3 e1－4 e2， b＝6 e1＋ ke2不能作为一组基底，则 k 的值为_______________________________________________________________．答案 －8解析 当 a∥ b 时， a， b 不能作为一组基底，故存在 λ ，使得 a＝ λ b，即3e1－4 e2＝ λ (6e1＋ ke2)，∴6 λ ＝3，且 kλ ＝－4.解得 λ ＝ ， k＝－8.123．如图，已知 ＝ a， ＝ b， ＝3 ，用 a， b 表示 ，则 ＝________.AB→ AC→ BD→ DC→ AD→ AD→ 答案 a＋ b14 34解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ＝ a＋ b.AD→ AB→ BD→ AB→ 34BC→ AB→ 34AC→ AB→ 14AB→ 34AC→ 14 344．已知 G 为△ ABC 的重心，设 ＝ a， ＝ b.试用 a、 b 表示向量 .AB→ AC→ AG→ 6解 如图，连结 AG 并延长，交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，＝ ＝ ( ＋ )AG→ 23AD→ 23AB→ BD→ ＝ ×23 (AB→ ＋ 12BC→ )＝ ＋ ＝ ＋ ( － )23AB→ 13BC→ 23AB→ 13AC→ AB→ ＝ ＋ ＝ a＋ b.13AB→ 13AC→ 13 131.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任一向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础达标1．若 e1， e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________．① e1－ e2， e2－ e1；②2 e1＋ e2， e1＋2 e2；③2 e2－3 e1,6e1－4 e2；④ e1＋ e2， e1－ e2.答案 ②④2．设 D， E， F 分别为△ ABC 的三边 BC， CA， AB 的中点，则 ＋ ＝________.EB→ FC→ 答案 AD→ 解析 如图， ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ( ＋ )＝ ·2 ＝ .EB→ FC→ EC→ CB→ FB→ BC→ EC→ FB→ 12AC→ AB→ 12 AD→ AD→ 73．若 ＝ a， ＝ b， ＝ λ (λ ≠－1)，则OP1→ OP2→ P1P→ PP2→ ＝________________________________________________________________________.OP→ 答案 a＋ b11＋ λ λ1＋ λ解析 ∵ ＝ λ ，∴ － ＝ λ ( － )，P1P→ PP2→ OP→ OP1→ OP2→ OP→ ∴(1＋ λ ) ＝ ＋ λ ，OP→ OP1→ OP2→ ∴ ＝ ＋ ＝ a＋ b.OP→ 11＋ λ OP1→ λ1＋ λ OP2→ 11＋ λ λ1＋ λ4.如图所示，平面内的两条直线 OP1和 OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若 ＝ a ＋ b ，且点 P 落在第Ⅰ部分，则实数 a， b 满足________．OP→ OP1→ OP2→ ① a0， b0；② a0， b0；④ a0.5．设向量 m＝2 a－3 b， n＝4 a－2 b， p＝3 a＋2 b，若用 m， n 表示 p，则 p＝________.答案 － m＋ n74 138解析 设 p＝ xm＋ yn，则 3a＋2 b＝ x(2a－3 b)＋ y(4a－2 b)＝(2 x＋4 y)a＋(－3 x－2 y)b，得Error! ⇒Error!所以 p＝－ m＋ n.74 1386．在△ ABC 中， ＝ c， ＝ b.若点 D 满足 ＝2 ，则 ＝____________.AB→ AC→ BD→ DC→ AD→ 答案 b＋ c23 13解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ＝ b＋ c.AD→ AB→ BD→ AB→ 23BC→ AB→ 23AC→ AB→ 13AB→ 23AC→ 23 137．如图，在▱ ABCD 中， ＝ a， ＝ b， E、 F 分别是 AB、 BC 的中点， G 点使 ＝ ，试以AB→ AD→ DG→ 13DC→ 8a， b 为基底表示向量 与 .AF→ EG→ 解 ＝ ＋ ＝ ＋AF→ AB→ BF→ AB→ 12BC→ ＝ ＋ ＝ a＋ b.AB→ 12AD→ 12＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋EG→ EA→ AD→ DG→ 12AB→ AD→ 13DC→ ＝－ a＋ b＋ a＝－ a＋ b.12 13 16二、能力提升8．如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 上的一点，且 ＝ ，连结 CF 并延长AFFD 15交 AB 于 E，则 ＝________.AEEB答案 110解析 设 ＝ a， ＝ b， ＝ λ .AB→ AC→ AEEB∵ ＝ ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ( ＋ )－ ＝ － ＝ a－ b.AFFD 15 CF→ CA→ AF→ CA→ 16AD→ 112AB→ AC→ AC→ 112AB→ 1112AC→ 112 1112＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b.CE→ CA→ AE→ CA→ λ1＋ λ AB→ λ1＋ λ AB→ AC→ λ1＋ λ∵ ∥ ，∴ ＝ .∴ λ ＝ .CF→ CE→ λ1＋ λ112 11112 1109．如图，已知△ ABC 中， ＝2 ， ＝2 ，若 F 为 DE 的中点， ＝ λ ＋ μ ，则AD→ DB→ BE→ EC→ AF→ AB→ AC→ λ ＝________， μ ＝________.9答案 12 13解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＝ ＋ ( ＋ )＝ ＋ ＋ ( － )AF→ AD→ DF→ 23AB→ 12DE→ 23AB→ 12DB→ BE→ 23AB→ 1213AB→ 23BC→ 23AB→ 16AB→ 13AC→ AB→ ＝ ＋ ，12AB→ 13AC→ ∴ λ ＝ ， μ ＝ .12 1310．如图，△ ABC 中， ＝ ＝ ，若 ＝ a， ＝ b， ＝ λ a＋ μ b，则 λ ＋ μ ＝________.CDDA AEEB 12 BC→ CA→ DE→ 答案 0解析 ∵ ＝ － ＝ － ＝ ( ＋ )＋ ＝－ b－ a＋ b＝ b－ a，DE→ AE→ AD→ 13AB→ 23AC→ 13AC→ CB→ 23CA→ 13 13 23 13 13∴ λ ＋ μ ＝－ ＋ ＝0.13 1311．在平行四边形 ABCD 中， ＝ a， ＝ b，AB→ AD→ (1)如图 1，如果 E， F 分别是 BC， DC 的中点，试用 a， b 分别表示 ， .BF→ DE→ (2)如图 2，如果 O 是 AC 与 BD 的交点， G 是 DO 的中点，试用 a， b 表示 .AG→ 解 (1) ＝ ＋ ＝ ＋BF→ BC→ CF→ AD→ 12CD→ ＝ － ＝－ a＋ b.AD→ 12AB→ 12＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b.DE→ DC→ CE→ AB→ 12AD→ 12(2) ＝ － ＝ b－ a，∵ O 是 BD 的中点， G 是 DO 的中点，∴ ＝ ＝ (b－ a)，BD→ AD→ AB→ BG→ 34BD→ 34∴ ＝ ＋ ＝ a＋ (b－ a)＝ a＋ b.AG→ AB→ BG→ 34 14 3412.如图所示，在△ ABC 中，点 M 为 AB 的中点，且 ＝ ， 与 相交于点 E，设 ＝ a，AN→ 12NC→ BN→ CM→ AB→ 10＝ b，试以 a， b 为基底表示 .AC→ AE→ 解 ∵ ＝ ＝ b， ＝ ＝ a，AN→ 13AC→ 13 AM→ 12AB→ 12由 N， E， B 三点共线知存在实数 λ 满足 ＝ λ ＋(1－ λ ) ＝ λ b＋(1－ λ )a.AE→ AN→ AB→ 13由 C， E， M 三点共线知存在实数 μ 满足＝ μ ＋(1－ μ ) ＝ a＋(1－ μ )b.AE→ AM→ AC→ μ 2∴Error! 解得Error!∴ ＝ a＋ b.AE→ 25 15三、探究与创新13．如图，在△ ABC 中， AD 为三角形 BC 边上的中线且 AE＝2 EC， BE 交 AD 于 G，求 及 的AGGD BGGE值．解 设 ＝ λ ， ＝ μ .AGGD BGGE∵ ＝ ，即 － ＝ － ，BD→ DC→ AD→ AB→ AC→ AD→ ∴ ＝ ( ＋ )．AD→ 12AB→ AC→ 又∵ ＝ λ ＝ λ ( － )，AG→ GD→ AD→ AG→ ∴ ＝ ＝ ＋ .AG→ λ1＋ λ AD→ λ2 1＋ λ  AB→ λ2 1＋ λ  AC→ 又∵ ＝ μ ，即 － ＝ μ ( － )，BG→ GE→ AG→ AB→ AE→ AG→ ∴(1＋ μ ) ＝ ＋ μ ， ＝ ＋ .AG→ AB→ AE→ AG→ 11＋ μ AB→ μ1＋ μ AE→ 又 ＝ ，∴ ＝ ＋ .AE→ 23AC→ AG→ 11＋ μ AB→ 2μ3 1＋ μ  AC→ ∵ ， 不共线，AB→ AC→ ∴Error! 解得Error!11∴ ＝4， ＝ .AGGD BGGE 32