2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末复习提升学案（打包7套）新人教B版必修4.zip

13．1 和角公式3．1.1 两角和与差的余弦 [学习目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．[知识链接]1．当 α ＝ ， β ＝ 时，cos( α － β )＝cos α ＋cos β 成立．那么当 α 、 β ∈R 时，π 2 π 4cos(α － β )＝cos α ＋cos β 恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如 α ＝ ， β ＝ 时．π 3 π 62．请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos_0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝ ＝cos 30°；32③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝ ＝cos(－60°)．12猜想：cos α cos β ＋sin α sin β ＝cos( α － β )；即：cos( α － β )＝cos_ α cos_β ＋sin_ α sin_β .[预习导引]1．两角差的余弦公式Cα － β ：cos( α － β )＝cos_ α cos_β ＋sin_ α sin_β ，其中 α 、 β 为任意角．2．两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以－ β 替代 β 就得到两角和的余弦公式．即 Cα ＋ β ：cos(α ＋ β )＝cos[ α －(－ β )]＝cos_ α cos(－ β )＋sin_ α ·sin(－ β )＝cos_ α cos_β －sin_ α sin_β .要点一 运用公式求值例 1 计算：2(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝ × ＋ ×32 22 12 22＝ .6＋ 24方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝ × ＋ ×22 32 22 12＝ .6＋ 24(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.规律方法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值．跟踪演练 1 计算：(1)sin 75°；(2)sin xsin(x＋ y)＋cos xcos(x＋ y)．解 (1)sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ .22 32 22 12 6＋ 24(2)原式＝cos[ x－( x＋ y)]＝cos(－ y)＝cos y.要点二 给值求值例 2 设 cos (α － )＝－ ，sin ＝ ，其中 α ∈ ， β ∈ ，求 cos β 2 19 (α 2－ β ) 23 (π 2， π ) (0， π 2).α ＋ β23解 ∵ α ∈ ， β ∈ ，(π 2， π ) (0， π 2)∴ α － ∈ ， － β ∈ ，β 2 (π 4， π ) α 2 (－ π 4， π 2)∴sin ＝ ＝ ＝ .(α －β 2) 1－ cos2(α － β 2) 1－ 181 459cos ＝ ＝ ＝ .(α 2－ β ) 1－ sin2(α 2－ β ) 1－ 49 53∴cos ＝cosα ＋ β2 [(α － β 2)－ (α 2－ β )]＝cos cos ＋sin sin(α －β 2) (α 2－ β ) (α － β 2) (α 2－ β )＝－ × ＋ × ＝ .19 53 459 23 7527规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有： α ＝( α ＋ β )－ β ， α ＝ β －( β － α )， α ＝(2 α － β )－( α － β )，α ＝ ， α ＝ 等．12[ α ＋ β  ＋  α － β  ] 12[ β ＋ α  －  β － α  ]跟踪演练 2 已知 cos α ＝ ，cos( α ＋ β )＝－ ，且 α 、 β ∈ ，求 cos β 的17 1114 (0， π 2)值．解 ∵ α 、 β ∈ ，∴ α ＋ β ∈(0，π)．(0，π 2)又∵cos α ＝ ，cos( α ＋ β )＝－ ，17 1114∴sin α ＝ ＝ ，1－ cos2α437sin(α ＋ β )＝ ＝ .1－ cos2 α ＋ β 5314又∵ β ＝( α ＋ β )－ α ，∴cos β ＝cos[( α ＋ β )－ α ]＝cos( α ＋ β )cos α ＋sin( α ＋ β )sin α＝ × ＋ ×(－1114) 17 5314 437＝ .12要点三 已知三角函数值求角4例 3 已知 α 、 β 均为锐角，且 cos α ＝ ，cos β ＝ ，求 α － β 的值．255 1010解 ∵ α 、 β 均为锐角，∴sin α ＝ ，sin β ＝ .55 31010∴cos( α － β )＝cos α cos β ＋sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .255 1010 55 31010 22又 sin α 0，∴ α ＋ β 为锐角，∴ α ＋ β ＝ .π 41.公式 Cα － β 与 Cα ＋ β 都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征．如：cos α cos β ±sin α sin β ＝cos( α ∓β )．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：α ＝( α ＋ β )－ β ＝( α － β )＋ β ＝ ＋ 等．α ＋ β2 α － β2一、基础达标1．化简 cos(45°－ α )cos(α ＋15°)－sin(45°－ α )sin(α ＋15°)得( )A. B．－ C. D．－12 12 32 32答案 A解析 原式＝cos( α －45°)cos( α ＋15°)＋sin( α －45°)sin( α ＋15°)＝cos[( α －45°)－( α ＋15°)]＝cos(－60°)＝ .122．计算 cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是( )A．1 B. C. D.22 32 12答案 B解析 原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝ .223．若 cos(α － β )＝ ，cos 2α ＝ ，并且 α 、 β 均为锐角且 α 0，∴cos( A＋ B)0 即 cos(π－ C)0，∴－cos C0，∴cos C C ，π 2∴△ ABC 为钝角三角形．5．若 sin(π＋ θ )＝－ ， θ 是第二象限角，sin ＝－ ， φ 是第三象限角，则35 (π 2＋ φ ) 255cos(θ － φ )的值是( )A．－ B. C. D.55 55 11525 5答案 B解析 ∵sin(π＋ θ )＝－ ，∴sin θ ＝ ，35 35∵ θ 是第二象限角，∴cos θ ＝－ .45∵sin ＝－ ，∴cos φ ＝－ ，(π 2＋ φ ) 255 2558∵ φ 是第三象限角，∴sin φ ＝－ .55∴cos( θ － φ )＝cos θ cos φ ＋sin θ sin φ＝ × ＋ × ＝ .(－45) (－ 255) 35 (－ 55) 556．若 cos(α － β )＝ ，则(sin α ＋sin β )2＋(cos α ＋cos β )2＝________.13答案 83解析 原式＝2＋2(sin α sin β ＋cos α cos β )＝2＋2cos( α － β )＝ .837．已知 cos α －cos β ＝ ，sin α －sin β ＝－ ，求 cos(α － β )．12 13解 由 cos α －cos β ＝ 两边平方得12(cos α －cos β )2＝cos 2α ＋cos 2β －2cos α cos β ＝ .①14由 sin α －sin β ＝－ 两边平方得13(sin α －sin β )2＝sin 2α ＋sin 2β －2sin α sin β ＝ .②19①＋②得2－2(cos α cos β ＋sin α sin β )＝ .1336∴cos α cos β ＋sin α sin β ＝ ，5972∴cos( α － β )＝ .5972二、能力提升8．将函数 y＝ cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m＞0)个单位长度后，所得到的图3象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是( )A. B. C. D.π12 π 6 π 3 5π6答案 B解析 y＝ cos x＋sin x＝2cos ，将函数 y＝2cos 的图象向左平移 m(m＞0)3 (x－π 6) (x－ π 6)个单位长度后，得到 y＝2cos ，此时关于 y 轴对称，则 m－ ＝ kπ， k∈Z，所(x＋ m－π 6) π 69以 m＝ ＋ kπ， k∈Z，所以当 k＝0 时， m 的最小值是 ，选 B.π 6 π 69．已知 sin α ＋sin β ＋sin γ ＝0，cos α ＋cos β ＋ cos γ ＝0，则 cos(α － β )的值是________．答案 －12解析 sin α ＋sin β ＝－sin γ ，①cos α ＋cos β ＝－cos γ ， ②① 2＋② 2⇒2＋2(sin α sin β ＋cos α cos β )＝1⇒cos(α － β )＝－ .1210．若 sin α ＋sin β ＝ ，cos α ＋cos β ＝－ ，则 cos(α － β )＝________.75 75答案 242511．已知：cos(2 α － β )＝－ ，sin( α －2 β )＝ ，且 0， x∈R)的最小正周期为 10π.π 6(1)求 ω 的值；(2)设 α ， β ∈[0， ]， f(5α ＋ π)＝－ ， f(5β － π)＝ ，求 cos α cos β －sin π 2 53 65 56 1617α sin β 的值；(3)求 f(x)的单调递增区间．解 (1)因为 T＝ ＝10π，所以 ω ＝ .2πω 15(2)f(5α ＋ π)53＝2cos[ (5α ＋ π)＋ ]15 53 π 6＝2cos( α ＋ )＝－2sin α ＝－ ，π 2 65所以 sin α ＝ .35f(5β － π)＝2cos[ (5β － π)＋ ]＝2cos β ＝ ，56 15 56 π 6 1617所以 cos β ＝ ，因为 α ， β ∈[0， ]，817 π 2所以 cos α ＝ ＝ ，1－ sin2α45sin β ＝ ＝ ，1－ cos2β1517所以 cos α cos β －sin α sin β＝ × － × ＝－ .45 817 35 1517 1385(3)f(x)＝2cos( ＋ )，x5 π 6由 2kπ－π≤ ＋ ≤2 kπ， k∈Z，x5 π 611得 10kπ－ ≤ x≤10 kπ－ ， k∈Z，35π6 5π6所以单调递增区间为[10 kπ－ ，10 kπ－ ](k∈Z).35π6 5π613.1.2 两角和与差的正弦 [学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如 f(x)＝ asin x＋ bcos x 的性质．[知识链接]1．cos( α ＋ β )与 cos α ＋cos β 相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当 α ＝60°，β ＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式 Cα ＋ β 或 Cα － β 推导出公式 Sα － β 吗？答 sin( α － β )＝cos [π 2－  α － β  ]＝cos ＝cos cos β －sin sin β[(π 2－ α )＋ β ] (π 2－ α ) (π 2－ α )＝sin α cos β －cos α sin β .[预习导引]1．两角和与差的余弦公式Cα － β ：cos( α － β )＝cos_ α cos_β ＋sin_ α sin_β .Cα ＋ β ：cos( α ＋ β )＝cos_ α cos_β －sin_ α sin_β .2．两角和与差的正弦公式Sα ＋ β ：sin( α ＋ β )＝sin_ α cos_β ＋cos_ α sin_β .Sα － β ：sin( α － β )＝sin_ α cos_β －cos_ α sin_β .3．辅助角公式使 asin x＋ bcos x＝ sin(x＋ φ )＝ cos(x－ θ )成立时，cos a2＋ b2 a2＋ b2φ ＝ ，sin φ ＝ ，sin θ ＝ ，cos θ ＝ ，其中 φ 、 θ 称aa2＋ b2 ba2＋ b2 aa2＋ b2 ba2＋ b2为辅助角，它的终边所在象限由点( a， b)决定.要点一 利用和(差)角公式化简例 1 化简下列各式：2(1)sin ＋2sin － cos ；(x＋π 3) (x－ π 3) 3 (2π3－ x)(2) －2cos( α ＋ β )．sin 2α ＋ β sin α解 (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin － cos cos π 3 π 3 π 3 π 3 3 2π3x－ sin sin x32π3＝ sin x＋ cos x＋sin x－ cos x＋ cos x－ sin x12 32 3 32 32＝ sin x＋ cos x(12＋ 1－ 32) (32－ 3＋ 32)＝0.(2)原式＝sin[ α ＋ β  ＋ α ]－ 2cos α ＋ β  sin αsin α＝sin α ＋ β  cos α － cos α ＋ β  sin αsin α＝sin[ α ＋ β  － α ]sin α＝ .sin βsin α规律方法 化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练 1 化简：(tan 10°－ ) .3cos 10°sin 50°解 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝ (sin 10°cos 10°－ sin 60°cos 60°)cos 10°sin 50°＝ ·sin 10°cos 60°－ cos 10°sin 60°cos 10°cos 60° cos 10°sin 50°＝ ·sin － 50°cos 10°cos 60°cos 10°sin 50°＝－ ＝－2.1cos 60°要点二 利用和(差)角公式求值3例 2 若 sin ＝ ，cos ＝ ，且 00，(－π 2， π 2) 1010所以 00，cos β ＝－ ，且 α ， β 为相邻象限的角，∴ α 为第一象限角且 β23 14为第二象限角；或 α 为第二象限角且 β 为第三象限角．(1)当 α 为第一象限角且 β 为第二象限角时，cos α ＝ ，sin β ＝ ，53 154∴sin( α ＋ β )＝sin α cos β ＋cos α sin β＝ × ＋ × ＝ .23 (－ 14) 53 154 － 2＋ 5312∴sin( α － β )＝sin α cos β －cos α sin β＝ × － ×23 (－ 14) 53 154＝ ＝－ .－ 2－ 5312 2＋ 5312(2)当 α 为第二象限角且 β 为第三象限角时，∵sin α ＝ ，cos β ＝－ ，23 14∴cos α ＝－ ，sin β ＝－ ，53 15413∴sin( α ＋ β )＝sin α cos β ＋cos α sin β＝ × ＋ × ＝ .23 (－ 14) (－ 53) (－ 154) 53－ 212sin(α － β )＝sin α cos β －cos α sin β＝ × － × ＝－ ，23 (－ 14) (－ 53) (－ 154) 2＋ 5312综上可知：sin( α ＋ β )＝ ，sin( α － β )＝－ .53－ 212 53＋ 212三、探究与创新13．已知函数 f(x)＝ Asin(x＋ ) ， x∈R，且 f( )＝ .π 4 5π12 32(1)求 A 的值；(2)若 f(θ )＋ f(－ θ )＝ ， θ ∈(0， )，求 f( － θ )．32 π 2 3π4解 (1)∵ f( )＝ Asin( ＋ )＝ Asin 5π12 5π12 π 4 2π3＝ Asin ＝ A＝ ，∴ A＝ .π 3 32 32 3(2)由(1)知 f(x)＝ sin(x＋ )，3π 4故 f(θ )＋ f(－ θ )＝ sin(θ ＋ )＋ sin(－ θ ＋ )＝ ，3π 4 3 π 4 32∴ [ (sin θ ＋cos θ )＋ (cos θ －sin θ )]＝ ，322 22 32∴ cos θ ＝ ，∴cos θ ＝ .632 64又 θ ∈(0， )，∴sin θ ＝ ＝ ，π 2 1－ cos2θ 104∴ f( － θ )＝ sin(π－ θ )＝ sin θ ＝ .3π4 3 3 30413.1.3 两角和与差的正切 [学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．[知识链接]1．如何化简 tan 呢？(π2－ β )答 因为 tan 的值不存在，不能利用公式 Tα － β ，所以改用诱导公式来解．π2tan ＝ ＝ .(π2－ β )sin(π2－ β )cos(π2－ β ) cos βsin β2．你能根据同角三角函数基本关系式 tan α ＝ ，从两角和的正弦、余弦公式出发，sin αcos α推导出用任意角 α ， β 的正切值表示 tan(α ＋ β )的公式吗？答 当 cos(α ＋ β )≠0 时，tan(α ＋ β )＝ ＝ .sin α ＋ β cos α ＋ β  sin α cos β ＋ cos α sin βcos α cos β － sin α sin β当 cos α cos β ≠0 时，分子分母同除以 cos α cos β ，得tan(α ＋ β )＝ .tan α ＋ tan β1－ tan α tan β[预习导引]1．两角和与差的正切公式(1)Tα ＋ β ：tan( α ＋ β )＝ .tan α ＋ tan β1－ tan α tan β(2)Tα － β ：tan( α － β )＝ .tan α － tan β1＋ tan α tan β2．两角和与差的正切公式的变形(1)Tα ＋ β 的变形：tan α ＋tan β ＝tan( α ＋ β )(1－tan_ α tan_β )．tan α ＋tan β ＋tan α tan β tan(α ＋ β )＝tan( α ＋ β )．tan α tan β ＝1－ .tan α ＋ tan βtan α ＋ β 2(2)Tα － β 的变形：tan α －tan β ＝tan( α － β )(1＋tan_ α tan_β )．tan α －tan β －tan α tan β tan(α － β )＝tan( α － β )．tan α tan β ＝ －1.tan α － tan βtan α － β 要点一 利用和(差)角的正切公式求值例 1 求下列各式的值：(1) ；3＋ tan 15°1－ 3tan 15°(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝ ＝tan(60°＋15°)tan 60°＋ tan 15°1－ tan 60°tan 15°＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋ tan 45°1－ tan 30°tan 45°＝ ＝2＋ .33＋ 11－ 33 3(2)∵tan 45°＝ ＝1，tan 15°＋ tan 30°1－ tan 15°tan 30°∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°，∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法 公式 Tα ＋ β ，T α － β 是变形较多的两个公式，公式中有 tan α tan β ，tan α ＋tan β (或 tan α －tan β )，tan( α ＋ β )(或 tan(α － β ))三者知二可表示或求出第三个．跟踪演练 1 求下列各式的值：(1) ；cos 75°－ sin 75°cos 75°＋ sin 75°(2)tan 36°＋tan 84°－ tan 36°tan 84°.3解 (1)原式＝ ＝1－ tan 75°1＋ tan 75°tan 45°－ tan 75°1＋ tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ .33(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－ tan 36°tan 84°33＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－ tan 36°tan 84°3＝tan 120°＝－ .3要点二 利用和(差)角的正切公式求角例 2 若 α ， β 均为钝角，且(1－tan α )(1－tan β )＝2，求 α ＋ β .解 ∵(1－tan α )(1－tan β )＝2，∴1－(tan α ＋tan β )＋tan α tan β ＝2，∴tan α ＋tan β ＝tan α tan β －1，∴ ＝－1.∴tan( α ＋ β )＝－1.tan α ＋ tan β1－ tan α tan β∵ α ， β ∈ ，∴ α ＋ β ∈(π，2π)．∴ α ＋ β ＝ .(π2， π ) 7π4规律方法 此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．跟踪演练 2 已知 tan α ，tan β 是方程 x2＋3 x＋4＝0 的两根，且3－ 0，∴00，12∴－π α － β － .π2∴2 α － β ∈(－π，0)．∴2 α － β ＝－ .3π41．公式 Tα ±β 的适用范围、结构特点和符号规律(1)由正切函数的定义可知 α 、 β 、 α ＋ β (或 α － β )的终边不能落在 y轴上，即不为kπ＋ (k∈Z)．π2(2)公式 Tα ±β 的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差，分母为 1与6tan α tan β 的差或和．(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反” ．2．公式 Tα ±β 的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如 tan ＝1，tan ＝ ，tan ＝ 等．π4 π6 33 π3 3要特别注意 tan ＝ ，tan ＝ .(π4＋ α ) 1＋ tan α1－ tan α (π4－ α ) 1－ tan α1＋ tan α3．公式 Tα ±β 的变形应用只要见到 tan α ±tan β ，tan α tan β 时，要有灵活应用公式 Tα ±β 的意识，就不难想到解题思路．一、基础达标1．在△ ABC中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C的值是( )A．－ B. C. D．－22 22 12 12答案 B解析 由 tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，可得 ＝－1，即 tan(A＋ B)tan A＋ tan B1－ tan A·tan B＝－1，∵ A＋ B∈(0，π)，∴ A＋ B＝ ，则 C＝ ，cos C＝ .3π4 π4 222．已知 tan(α ＋ β )＝ ，tan ＝ ，那么 tan 等于( )35 (β － π4) 14 (α ＋ π4)A. B. C. D.1318 1323 723 16答案 C解析 tan ＝tan(α ＋π4) [ α ＋ β  － (β － π4)]7＝ ＝ .35－ 141＋ 35×14 7233．已知 tan α ＝ ，tan β ＝ ，0 α ，π β ，则 α ＋ β 的值是( )12 13 π2 3π2A. B. C. D.π4 3π4 5π4 7π4答案 C4． A， B， C是△ ABC的三个内角，且 tan A，tan B是方程 3x2－5 x＋1＝0 的两个实数根，则△ ABC是( )A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．无法确定答案 A解析 ∵tan A＋tan B＝ ，tan A·tan B＝ ，53 13∴tan( A＋ B)＝ ，∴tan C＝－tan( A＋ B)＝－ ，52 52∴ C为钝角．5. ＝________.1＋ tan 75°1－ tan 75°答案 － 36．如果 tan α ，tan β 是方程 x2－3 x－3＝0 的两根，则 ＝________.sin α ＋ β cos α － β 答案 －32解析 ＝sin α ＋ β cos α － β  sin α cos β ＋ cos α sin βcos α cos β ＋ sin α sin β＝ ＝ ＝－ .tan α ＋ tan β1＋ tan α tan β 31＋  － 3 327．求下列各式的值：(1)sin 15°·cos 15°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解 (1)∵sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ · － · ＝ ，22 32 22 12 6－ 24cos 15°＝ ，∴sin 15°·cos 15°＝ .6＋ 24 14(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°8＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.二、能力提升8．化简 tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A．1 B．2C．tan 10° D. tan 20°3答案 A解析 原式＝tan 10°tan 20°＋ tan 20°＋ tan 10°3 3＝ (tan 10°＋tan 20°＋ tan 10°tan 20°)＝ × ＝1.333 3 339．设 θ 为第二象限角，若 tan ＝ ，则 sin θ ＋cos θ ＝________.(θ ＋π4) 12答案 －105解析 因为 tan ＝ ＝ ，(θ ＋π4) tan θ ＋ 11－ tan θ 12所以 tan θ ＝－ ，13因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ ＝－ ＝－ ，sin θ ＝ ＝11＋ tan2 θ 31010 1－ cos2 θ，1010则 sin θ ＋cos θ ＝ － ＝－ .1010 31010 10510．已知 α 、 β 均为锐角，且 tan β ＝ ，则 tan(α ＋ β )＝________.cos α － sin αcos α ＋ sin α答案 1解析 ∵tan β ＝ ＝ ，cos α － sin αcos α ＋ sin α 1－ tan α1＋ tan α∴tan β ＋tan α tan β ＝1－tan α ，∴tan α ＋tan β ＋tan α tan β ＝1，∴tan α ＋tan β ＝1－tan α tan β ，∴ ＝1，∴tan( α ＋ β )＝1.tan α ＋ tan β1－ tan α tan β11．已知 A、 B、 C是△ ABC的三内角，向量 m＝(－1， )， n＝(cos A，sin A)，且3m·n＝1.9(1)求角 A；(2)若 tan ＝－3，求 tan C.(π4＋ B)解 (1)∵ m·n＝1，∴(－1， )·(cos A，sin A)＝1，3即 sin A－cos A＝1,2sin ＝1.3 (A－π6)∴sin ＝ .(A－π6) 12∵0 Aπ，∴－ A－ .π6 π65π6∴ A－ ＝ ，即 A＝ .π6 π6 π3(2)由 tan ＝ ＝－3，(π4＋ B) tan B＋ 11－ tan B解得 tan B＝2.又 A＝ ，∴tan A＝ .π3 3∴tan C＝tan[π－( A＋ B)]＝－tan( A＋ B)＝－ ＝－ ＝ .tan A＋ tan B1－ tan Atan B 3＋ 21－ 23 8＋ 531112．已知 sin(α － β )＝ ，sin( α ＋ β )＝－ ，且 α － β ∈( ，π)，513 513 π2α ＋ β ∈( ，2π)，求 cos 2β 的值．3π2解 ∵sin( α － β )＝ ， α － β ∈( ，π)，513 π2∴cos( α － β )＝－ .1213∵sin( α ＋ β )＝－ ， α ＋ β ∈( ，2π)，513 3π2∴cos( α ＋ β )＝ .1213∴cos 2 β ＝cos[( α ＋ β )－( α － β )]＝cos( α ＋ β )cos(α － β )＋sin( α ＋ β )sin(α － β )＝ ×(－ )＋(－ )× ＝－1.1213 1213 513 513三、探究与创新13．已知 tan α ，tan β 是方程 x2－3 x－3＝0 的两根，试求 sin2(α ＋ β )－3sin( α ＋ β )cos(α ＋ β )－3cos 2(α ＋ β )的值．解 由已知有Error!10∴tan( α ＋ β )＝ ＝ ＝ .tan α ＋ tan β1－ tan α tan β 31－  － 3 34∴sin 2(α ＋ β )－3sin( α ＋ β )cos(α ＋ β )－3cos 2(α ＋ β )＝sin2 α ＋ β  － 3sin α ＋ β  cos α ＋ β  － 3cos2 α ＋ β sin2 α ＋ β  ＋ cos2 α ＋ β ＝tan2 α ＋ β  － 3tan α ＋ β  － 3tan2 α ＋ β  ＋ 1＝ ＝－3. 34 2－ 3×34－ 3 34 2＋ 113．2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．[知识链接]1．两角和公式与二倍角公式有联系吗？答 有联系．在 Sα ＋ β ，C α ＋ β ，T α ＋ β 中，令 β ＝ α 即可得 S2α ，C 2α ，T 2α .2．什么情况下 sin 2α ＝2sin α ，tan 2 α ＝2tan α ？答 一般情况下，sin 2α ≠2sin α ，例如 sin ≠2sin ，只有当 α ＝ kπ( k∈Z)时，π 3 π 6sin 2α ＝2sin α 才成立．只有当 α ＝ kπ( k∈Z)时，tan 2 α ＝2tan α 成立．[预习导引]1．倍角公式(1)S2α ：sin 2 α ＝2sin_ α cos_α ，sin cos ＝ sin α ；α 2 α 2 12(2)C2α ：cos 2 α ＝cos 2α －sin 2α ＝2cos 2α －1＝1－2sin 2α ；(3)T2α ：tan 2 α ＝ .2tan α1－ tan2α2．倍角公式常用变形(1) ＝cos_ α ， ＝sin_ α ；sin 2α2sin α sin 2α2cos α(2)(sin α ±cos α )2＝1±sin_2 α ；(3)sin2α ＝ ，cos 2α ＝ ；1－ cos 2α2 1＋ cos 2α2(4)1－cos α ＝2sin 2 ,1＋cos α ＝2cos 2 .α 2 α 2要点一 给角求值问题例 1 求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)1－2sin 2750°；(3) ；π12 π12 2tan 150°1－ tan2150°2(4) － ；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.1sin 10° 3cos 10°解 (1)原式＝ ＝ ＝ .2sinπ12cosπ122sinπ 62 14(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝ .12(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ .3(4)原式＝cos 10°－ 3sin 10°sin 10°cos 10°＝2(12cos 10°－ 32sin 10°)sin 10°cos 10°＝4 sin 30°cos 10°－ cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝ ＝4.4sin 20°sin 20°(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝ ＝ ＝ .2sin 80°·cos 80°8sin 20° sin 160°8sin 20°18规律方法 此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解．而(5)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．跟踪演练 1 求下列各式的值．(1)sin sin ；(2)cos 215°－cos 275°；π 8 3π8(3)2cos2 －1；(4) .5π12 tan 30°1－ tan230°解 (1)∵sin ＝sin( － )＝cos ，3π8 π 2 π 8 π 8∴sin sin ＝sin cos ＝ ·2sin cosπ 8 3π8 π 8 π 8 12 π 8 π 83＝ sin ＝ .12 π 4 24(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°，∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝ .32(3)2cos2 －1＝cos ＝－ .5π12 5π6 32(4) ＝ ＝ tan 60°＝ .tan 30°1－ tan230°12×2tan 30°1－ tan230° 12 32要点二 给值求值问题例 2 已知 sin ＝ ，00，∴ α ∈ ，2 α ∈(0，π)，13 (0， π 2)∴tan 2 α ＝ ＝ ＝ 0，2tan α1－ tan2α2×131－ (13)2 34∴2 α ∈ ，(0，π 2)又∵tan β ＝－ 0， β ∈(0，π)，∴ β ∈ ，17 (π 2， π )∴tan(2 α － β )＝ ＝ ＝1，tan 2α － tan β1＋ tan 2α tan β34－ (－ 17)1＋ 34×(－ 17)又∵2 α ∈ ， β ∈ ，(0，π 2) (π 2， π )∴2 α － β ∈(－π，0)，∴2 α － β ＝－ π.34规律方法 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步．跟踪演练 3 已知 tan α ＝ ，sin β ＝ ，且 α ， β 为锐角，求 α ＋2 β 的值．17 1010解 ∵tan α ＝ 1，且 α 为锐角，∴0 α ，17 π 4又∵sin β ＝ ，且 β 为锐角，∴0 β ，1010 22 π 45∴0 α ＋2 β .3π4由 sin β ＝ ， β 为锐角，得 cos β ＝ ，1010 31010∴tan β ＝ ，∴tan( α ＋ β )＝ ＝ ，13 tan α ＋ tan β1－ tan α tan β 12∴tan( α ＋2 β )＝ ＝ ＝1，tan α ＋ β  ＋ tan β1－ tan α ＋ β  tan β12＋ 131－ 12×13故 α ＋2 β ＝ .π 41．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )A. B. C. D．1＋62 32 54 34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋ sin 30°＝1＋ ＝ .12 14 542．sin 4 －cos 4 等于( )π12 π12A．－ B．－ C. D.12 32 12 32答案 B解析 原式＝ ·(sin2π12＋ cos2π12) (sin2π12－ cos2π12)＝－ ＝－cos ＝－ .(cos2π12－ sin2π12) π 6 323. ＝________.tan 7.5°1－ tan27.5°答案 1－32解析 原式＝ · ＝ ·tan 15°12 2tan 7.5°1－ tan27.5°12＝ tan(60°－45°)＝ × ＝1－ .12 12 3－ 11＋ 3 324．设 sin 2α ＝－sin α ， α ∈ ，则 tan 2α 的值是(π 2， π )6________________________________________________________________________．答案 3解析 因为 sin 2α ＝2sin α cos α ＝－sin α ， α ∈ ，(π 2， π )所以 cos α ＝－ ，sin α ＝ ＝ ，12 1－ cos2 α 32所以 tan α ＝－ ，3则 tan 2α ＝ ＝ ＝ .2tan α1－ tan2 α － 231－  － 3 2 31.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α 是 4α 的二倍；6 α 是 3α 的二倍；4 α 是 2α 的二倍；3 α 是 α 的二倍； 是 的32 α 2 α 4二倍； 是 的二倍； ＝ (n∈N ＋ )．α 3 α 6 α2n 2·α2n＋ 12．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α ＝2cos 2α ，②cos 2α ＝ ，③1－cos 2α ＝2sin 2α ，④sin 2α ＝1＋ cos 2α2. 1－ cos 2α2一、基础达标1．若 sin ＝ ，则 cos α 等于( )α 2 33A．－ B．－ C. D.23 13 13 23答案 C解析 cos α ＝1－2sin 2 ＝1－2× 2＝ .α 2 (33) 132. 的值是( )3－ sin 70°2－ cos210°A. B. C．2 D.12 22 32答案 C7解析 原式＝ ＝ ＝2.3－ sin 70°2－ 12 1＋ cos 20° 2 3－ cos 20°3－ cos 20°3．函数 f(x)＝sin xcos x＋ cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )32A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2答案 A解析 f(x)＝sin xcos x＋ cos 2x32＝ sin 2x＋ cos 2x12 32＝sin .(2x＋π 3)所以最小正周期为 π，振幅为 1.故选 A.4．若 ＝1，则 的值为( )1－ tan θ2＋ tan θ cos 2θ1＋ sin 2θA．3 B．－3 C．－2 D．－12答案 A解析 ∵ ＝1，∴tan θ ＝－ .1－ tan θ2＋ tan θ 12∴ ＝ ＝cos 2θ1＋ sin 2θ cos2θ － sin2θ sin θ ＋ cos θ  2 cos θ － sin θcos θ ＋ sin θ＝ ＝ ＝3.1－ tan θ1＋ tan θ1－ (－ 12)1＋ (－ 12)5．若 α ∈ ，则 ＋ 的值为( )[5π2， 7π2] 1＋ sin α 1－ sin αA．2cos B．－2cos α 2 α 2C．2sin D．－2sin α 2 α 2答案 D解析 ∵ α ∈ ，∴ ∈ ，[5π2， 7π2] α 2 [5π4， 7π4]8∴原式＝ ＋|sinα 2＋ cosα 2| |sinα 2－ cosα 2|＝－sin －cos －sin ＋cos ＝－2sin .α 2 α 2 α 2 α 2 α 26．若 α ∈ ，且 sin2 α ＋cos 2 α ＝ ，则 tan α 的值等于________．(0，π 2) 14答案 3解析 由 sin2 α ＋cos 2α ＝ 得 sin2 α ＋1－ 2sin2 α ＝1－sin 2 α ＝cos 2 14α ＝ .∵ α ∈ ，∴cos α ＝ ，∴ α ＝ ，∴tan α ＝tan ＝ .14 (0， π 2) 12 π 3 π 3 37．已知 α ∈ ，sin α ＝ .(π 2， π ) 55(1)求 sin 的值；(π 4＋ α )(2)求 cos 的值．(5π6－ 2α )解 (1)因为 α ∈ ，sin α ＝ ，(π 2， π ) 55所以 cos α ＝－ ＝－ .1－ sin2α255故 sin ＝sin cos α ＋cos sin α(π 4＋ α ) π 4 π 4＝ × ＋ × ＝－ .22 (－ 255) 22 55 1010(2)由(1)知 sin 2α ＝2sin α cos α＝2× × ＝－ ，55 (－ 255) 45cos 2α ＝1－2sin 2α ＝1－2× 2＝ ，(55) 35所以 cos ＝cos cos 2α ＋sin sin 2α(5π6－ 2α ) 5π6 5π6＝ × ＋ ×(－32) 35 12 (－ 45)＝－ .4＋ 3310二、能力提升8．4cos 50°－tan 40°等于( )9A. B.22＋ 32C. D．2 －13 2答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝ ＝4cos 50°cos 40°－ sin 40°cos 40° 4sin 40°cos 40°－ sin 40°cos 40°＝ ＝2sin 80°－ sin 40°cos 40° 2sin 60°＋ 20° － sin 60°－ 20°cos 40°＝ ＝ ＝ ，选 C.32cos 20°＋ 32sin 20°cos 40° 3cos 40°cos 40° 39．函数 y＝sin 2x＋2 sin2 x 的最小正周期 T 为3________________________________________________________________________．答案 π解析 y＝sin 2 x＋2 sin2 x＝sin 2 x＋2 × ＝sin 2 x－ cos 2x＋3 31－ cos 2x2 3 3＝2sin ＋ ，(2x－π 3) 3所以周期 T＝ ＝π.2π210．已知 tan ＝3，则 ＝______.θ 2 1－ cos θ ＋ sin θ1＋ cos θ ＋ sin θ答案 3解析 ＝1－ cos θ ＋ sin θ1＋ cos θ ＋ sin θ2sin2θ 2＋ 2sin θ 2cos θ 22cos2θ 2＋ 2sin θ 2cos θ 2＝ ＝tan ＝3.2sin θ 2(sin θ 2＋ cos θ 2)2cos θ 2(cos θ 2＋ sin θ 2) θ 211．(1)已知 π α π，化简 ＋ ；32 1＋ sin α1＋ cos α － 1－ cos α 1－ sin α1＋ cos α ＋ 1－ cos α(2)化简：sin 50°(1＋ tan 10°)．3解 (1)∵π α π，∴ π，32 π 2 α 234∴ ＝ |cos |＝－ cos ，1＋ cos α 2α 2 2 α 210＝ |sin |＝ sin .1－ cos α 2α 2 2 α 2∴ ＋1＋ sin α1＋ cos α － 1－ cos α 1－ sin α1＋ cos α ＋ 1－ cos α＝ ＋1＋ sin α－ 2 cos α 2＋ sin α 21－ sin α2 sin α 2－ cos α 2＝ ＋ cos α 2＋ sin α 2 2－ 2 cos α 2＋ sin α 2 sin α 2－ cos α 2 22 sin α 2－ cos α 2＝－ cos .2α 2(2)原式＝sin 50°cos 10°＋ 3sin 10°cos 10°＝ ＝2sin 50°sin 10°＋ 30°cos 10° 2sin 50°sin 40°cos 10°＝ ＝ ＝1.2sin 40°cos 40°cos 10° sin 80°cos 10°12．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在角 α 的终边上，点 Q(sin2 θ ，－1)(12， cos2 θ )在角 β 的终边上，且 · ＝－ .OP→ OQ→ 12(1)求 cos 2θ 的值；(2)求 sin(α ＋ β )的值．解 (1)因为 · ＝－ ，OP→ OQ→ 12所以 sin2 θ －cos 2 θ ＝－ ，12 12即 (1－cos 2 θ )－cos 2 θ ＝－ ，所以 cos2 θ ＝ ，12 12 23所以 cos 2θ ＝2cos 2 θ －1＝ .13(2)因为 cos2 θ ＝ ，所以 sin2 θ ＝ ，23 13所以点 P ，点 Q ，(12， 23) (13， － 1)又点 P 在角 α 的终边上，(12， 23)11所以 sin α ＝ ，cos α ＝ .45 35同理 sin β ＝－ ，cos β ＝ ，31010 1010所以 sin(α ＋ β )＝sin α cos β ＋cos α sin β＝ × ＋ × ＝－ .45 1010 35 (－ 31010) 1010三、探究与创新13．已知向量 a＝ ， b＝( sin x，cos 2 x)， x∈R，设函数 f(x)＝ a·b.(cos x， －12) 3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在 上的最大值和最小值．[0，π 2]解 (1) f(x)＝ a·b＝cos x· sin x－ cos 2x312＝ sin 2x－ cos 2x＝sin .32 12 (2x－ π 6)最小正周期 T＝ ＝π.2π2所以 f(x)＝sin 的最小正周期为 π.(2x－π 6)(2)当 x∈ 时， ∈ ，[0，π 2] (2x－ π 6) [－ π 6， 5π6]由正弦函数 y＝sin x 在 上的图象知，[－π 6， 5π6]f(x)＝sin ∈ .(2x－π 6) [－ 12， 1]所以， f(x)在 上的最大值和最小值分别为 1，－ .[0，π 2] 12