1、131 和角公式31.1 两角和与差的余弦 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算知识链接1当 ， 时，cos( )cos cos 成立那么当 、 R 时， 2 4cos( )cos cos 恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如 ， 时 3 62请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想cos 45cos 45sin 45sin 451cos_0；cos 60cos 30sin 60sin 30 cos 30；32cos 30cos 120sin 30si
2、n 1200cos(90)；cos 150cos 210sin 150sin 210 cos(60)12猜想：cos cos sin sin cos( )；即：cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ .预习导引1两角差的余弦公式C ：cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ ，其中 、 为任意角2两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以 替代 就得到两角和的余弦公式即 C ：cos( )cos ( )cos_ cos( )sin_ sin( )cos_ cos_ sin_ sin_ .要点一 运用公式求值例 1 计算：2(1)cos(15)；(2)cos 15cos 10
3、5sin 15sin 105.解 (1)方法一 原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45 32 22 12 22 .6 24方法二 原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 22 32 22 12 .6 24(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900.规律方法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值跟踪演练 1 计算：(1)sin 75；(2)sin xsin(x y)cos
4、xcos(x y)解 (1)sin 75cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 .22 32 22 12 6 24(2)原式cos x( x y)cos( y)cos y.要点二 给值求值例 2 设 cos ( ) ，sin ，其中 ， ，求 cos 2 19 ( 2 ) 23 ( 2， ) (0， 2). 23解 ， ，( 2， ) (0， 2) ， ， 2 ( 4， ) 2 ( 4， 2)sin .( 2) 1 cos2( 2) 1 181 459cos .( 2 ) 1 sin2( 2 ) 1 49 53cos cos 2 ( 2) ( 2 )co
5、s cos sin sin( 2) ( 2 ) ( 2) ( 2 ) .19 53 459 23 7527规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换其中角的变换是最基本的变换常见的有： ( ) ， ( )， (2 )( )， ， 等12 12 跟踪演练 2 已知 cos ，cos( ) ，且 、 ，求 cos 的17 1114 (0， 2)值解 、 ， (0，)(0， 2)又cos ，cos( ) ，17 1114sin ，1 cos2437sin( ) .1 cos2 5314又 ( ) ，cos cos( ) cos( )cos sin(
6、 )sin (1114) 17 5314 437 .12要点三 已知三角函数值求角4例 3 已知 、 均为锐角，且 cos ，cos ，求 的值255 1010解 、 均为锐角，sin ，sin .55 31010cos( )cos cos sin sin .255 1010 55 31010 22又 sin 0， 为锐角， . 41.公式 C 与 C 都是三角恒等式，既可正用，也可逆用要注意公式的结构特征如：cos cos sin sin cos( )2要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解3注意角的拆分技巧的积累，如： ( ) ( ) 等
7、2 2一、基础达标1化简 cos(45 )cos( 15)sin(45 )sin( 15)得( )A. B C. D12 12 32 32答案 A解析 原式cos( 45)cos( 15)sin( 45)sin( 15)cos( 45)( 15)cos(60) .122计算 cos 70cos 335sin 110sin 25的结果是( )A1 B. C. D.22 32 12答案 B解析 原式cos 70cos 25sin 70sin 25cos(7025)cos 45 .223若 cos( ) ，cos 2 ，并且 、 均为锐角且 0，cos( A B)0 即 cos( C)0，cos C
8、0，cos C C ， 2 ABC 为钝角三角形5若 sin( ) ， 是第二象限角，sin ， 是第三象限角，则35 ( 2 ) 255cos( )的值是( )A B. C. D.55 55 11525 5答案 B解析 sin( ) ，sin ，35 35 是第二象限角，cos .45sin ，cos ，( 2 ) 255 2558 是第三象限角，sin .55cos( )cos cos sin sin .(45) ( 255) 35 ( 55) 556若 cos( ) ，则(sin sin )2(cos cos )2_.13答案 83解析 原式22(sin sin cos cos )22c
9、os( ) .837已知 cos cos ，sin sin ，求 cos( )12 13解 由 cos cos 两边平方得12(cos cos )2cos 2 cos 2 2cos cos .14由 sin sin 两边平方得13(sin sin )2sin 2 sin 2 2sin sin .19得22(cos cos sin sin ) .1336cos cos sin sin ，5972cos( ) .5972二、能力提升8将函数 y cos xsin x(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图3象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是( )A. B. C. D.12 6
10、 3 56答案 B解析 y cos xsin x2cos ，将函数 y2cos 的图象向左平移 m(m0)3 (x 6) (x 6)个单位长度后，得到 y2cos ，此时关于 y 轴对称，则 m k， kZ，所(x m 6) 69以 m k， kZ，所以当 k0 时， m 的最小值是 ，选 B. 6 69已知 sin sin sin 0，cos cos cos 0，则 cos( )的值是_答案 12解析 sin sin sin ，cos cos cos ， 2 222(sin sin cos cos )1cos( ) .1210若 sin sin ，cos cos ，则 cos( )_.75
11、75答案 242511已知：cos(2 ) ，sin( 2 ) ，且 0， xR)的最小正周期为 10. 6(1)求 的值；(2)设 ， 0， ， f(5 ) ， f(5 ) ，求 cos cos sin 2 53 65 56 1617 sin 的值；(3)求 f(x)的单调递增区间解 (1)因为 T 10，所以 .2 15(2)f(5 )532cos (5 ) 15 53 62cos( )2sin ， 2 65所以 sin .35f(5 )2cos (5 ) 2cos ，56 15 56 6 1617所以 cos ，因为 ， 0， ，817 2所以 cos ，1 sin245sin ，1 c
12、os21517所以 cos cos sin sin .45 817 35 1517 1385(3)f(x)2cos( )，x5 6由 2k 2 k， kZ，x5 611得 10k x10 k ， kZ，356 56所以单调递增区间为10 k ，10 k (kZ).356 5613.1.2 两角和与差的正弦 学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如 f(x) asin x bcos x 的性质知识链接1cos( )与 cos cos 相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊
13、情况下也有相等的时候例如，当 60， 60时，cos(6060)cos 60cos(60)2你能结合三角函数诱导公式，由公式 C 或 C 推导出公式 S 吗？答 sin( )cos 2 cos cos cos sin sin ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )sin cos cos sin .预习导引1两角和与差的余弦公式C ：cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ .C ：cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ .2两角和与差的正弦公式S ：sin( )sin_ cos_ cos_ sin_ .S ：sin( )sin_ cos_ cos_ sin_ .3辅助角公式使
14、 asin x bcos x sin(x ) cos(x )成立时，cos a2 b2 a2 b2 ，sin ，sin ，cos ，其中 、 称aa2 b2 ba2 b2 aa2 b2 ba2 b2为辅助角，它的终边所在象限由点( a， b)决定.要点一 利用和(差)角公式化简例 1 化简下列各式：2(1)sin 2sin cos ；(x 3) (x 3) 3 (23 x)(2) 2cos( )sin 2 sin 解 (1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos 3 3 3 3 3 23x sin sin x323 sin x cos x
15、sin x cos x cos x sin x12 32 3 32 32 sin x cos x(12 1 32) (32 3 32)0.(2)原式sin 2cos sin sin sin cos cos sin sin sin sin .sin sin 规律方法 化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少(3)使三角函数式的次数尽可能低(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式跟踪演练 1 化简：(tan 10 ) .3cos 10sin 50解 原式(tan 10tan 60)cos 10sin 50 (sin 10cos 10 sin
16、 60cos 60)cos 10sin 50 sin 10cos 60 cos 10sin 60cos 10cos 60 cos 10sin 50 sin 50cos 10cos 60cos 10sin 50 2.1cos 60要点二 利用和(差)角公式求值3例 2 若 sin ，cos ，且 00，( 2， 2) 1010所以 00，cos ，且 ， 为相邻象限的角， 为第一象限角且 23 14为第二象限角；或 为第二象限角且 为第三象限角(1)当 为第一象限角且 为第二象限角时，cos ，sin ，53 154sin( )sin cos cos sin .23 ( 14) 53 154 2
17、 5312sin( )sin cos cos sin 23 ( 14) 53 154 . 2 5312 2 5312(2)当 为第二象限角且 为第三象限角时，sin ，cos ，23 14cos ，sin ，53 15413sin( )sin cos cos sin .23 ( 14) ( 53) ( 154) 53 212sin( )sin cos cos sin ，23 ( 14) ( 53) ( 154) 2 5312综上可知：sin( ) ，sin( ) .53 212 53 212三、探究与创新13已知函数 f(x) Asin(x ) ， xR，且 f( ) . 4 512 32(1
18、)求 A 的值；(2)若 f( ) f( ) ， (0， )，求 f( )32 2 34解 (1) f( ) Asin( ) Asin 512 512 4 23 Asin A ， A . 3 32 32 3(2)由(1)知 f(x) sin(x )，3 4故 f( ) f( ) sin( ) sin( ) ，3 4 3 4 32 (sin cos ) (cos sin ) ，322 22 32 cos ，cos .632 64又 (0， )，sin ， 2 1 cos2 104 f( ) sin( ) sin .34 3 3 30413.1.3 两角和与差的正切 学习目标 1.能利用两角和与差
19、的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识链接1如何化简 tan 呢？(2 )答 因为 tan 的值不存在，不能利用公式 T ，所以改用诱导公式来解2tan .(2 )sin(2 )cos(2 ) cos sin 2你能根据同角三角函数基本关系式 tan ，从两角和的正弦、余弦公式出发，sin cos 推导出用任意角 ， 的正切值表示 tan( )的公式吗？答 当 cos( )0 时，tan( ) .sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin 当 c
20、os cos 0 时，分子分母同除以 cos cos ，得tan( ) .tan tan 1 tan tan 预习导引1两角和与差的正切公式(1)T ：tan( ) .tan tan 1 tan tan (2)T ：tan( ) .tan tan 1 tan tan 2两角和与差的正切公式的变形(1)T 的变形：tan tan tan( )(1tan_ tan_ )tan tan tan tan tan( )tan( )tan tan 1 .tan tan tan 2(2)T 的变形：tan tan tan( )(1tan_ tan_ )tan tan tan tan tan( )tan( )
21、tan tan 1.tan tan tan 要点一 利用和(差)角的正切公式求值例 1 求下列各式的值：(1) ；3 tan 151 3tan 15(2)tan 15tan 30tan 15tan 30.解 (1)原式 tan(6015)tan 60 tan 151 tan 60tan 15tan 75tan(3045)tan 30 tan 451 tan 30tan 45 2 .33 11 33 3(2)tan 45 1，tan 15 tan 301 tan 15tan 30tan 15tan 301tan 15tan 30，原式(1tan 15tan 30)tan 15tan 301.规律
22、方法 公式 T ，T 是变形较多的两个公式，公式中有 tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan( )(或 tan( )三者知二可表示或求出第三个跟踪演练 1 求下列各式的值：(1) ；cos 75 sin 75cos 75 sin 75(2)tan 36tan 84 tan 36tan 84.3解 (1)原式 1 tan 751 tan 75tan 45 tan 751 tan 45tan 75tan(4575)tan(30)tan 30 .33(2)原式tan 120(1tan 36tan 84) tan 36tan 8433tan 120tan 120tan 36
23、tan 84 tan 36tan 843tan 120 .3要点二 利用和(差)角的正切公式求角例 2 若 ， 均为钝角，且(1tan )(1tan )2，求 .解 (1tan )(1tan )2，1(tan tan )tan tan 2，tan tan tan tan 1， 1.tan( )1.tan tan 1 tan tan ， ， (，2) .(2， ) 74规律方法 此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解跟踪演练 2 已知 tan ，tan
24、是方程 x23 x40 的两根，且3 0，00，12 .22 (，0)2 .341公式 T 的适用范围、结构特点和符号规律(1)由正切函数的定义可知 、 、 (或 )的终边不能落在 y轴上，即不为k (kZ)2(2)公式 T 的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1与6tan tan 的差或和(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反” 2公式 T 的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan 1，tan ，tan 等4 6 33 3 3要特别注意 tan ，tan .(4 ) 1 tan 1 tan (4 ) 1 tan 1 tan 3公式 T
25、 的变形应用只要见到 tan tan ，tan tan 时，要有灵活应用公式 T 的意识，就不难想到解题思路一、基础达标1在 ABC中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C的值是( )A B. C. D22 22 12 12答案 B解析 由 tan Atan Btan Atan B1，可得 1，即 tan(A B)tan A tan B1 tan Atan B1， A B(0，)， A B ，则 C ，cos C .34 4 222已知 tan( ) ，tan ，那么 tan 等于( )35 ( 4) 14 ( 4)A. B. C. D.1318 1323 723 1
26、6答案 C解析 tan tan( 4) ( 4)7 .35 141 3514 7233已知 tan ，tan ，0 ， ，则 的值是( )12 13 2 32A. B. C. D.4 34 54 74答案 C4 A， B， C是 ABC的三个内角，且 tan A，tan B是方程 3x25 x10 的两个实数根，则 ABC是( )A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D无法确定答案 A解析 tan Atan B ，tan Atan B ，53 13tan( A B) ，tan Ctan( A B) ，52 52 C为钝角5. _.1 tan 751 tan 75答案 36如果 tan ，ta
27、n 是方程 x23 x30 的两根，则 _.sin cos 答案 32解析 sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin .tan tan 1 tan tan 31 3 327求下列各式的值：(1)sin 15cos 15；(2)(1tan 59)(1tan 76)解 (1)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 ，22 32 22 12 6 24cos 15 ，sin 15cos 15 .6 24 14(2)原式1tan 59tan 76tan 59tan 7681(tan 59tan 76)tan 59tan 761
28、tan 135(1tan 59tan 76)tan 59tan 7611tan 59tan 76tan 59tan 762.二、能力提升8化简 tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10的值等于( )A1 B2Ctan 10 D. tan 203答案 A解析 原式tan 10tan 20 tan 20 tan 103 3 (tan 10tan 20 tan 10tan 20) 1.333 3 339设 为第二象限角，若 tan ，则 sin cos _.( 4) 12答案 105解析 因为 tan ，( 4) tan 11 tan 12所以 tan ，13因为 为
29、第二象限角，所以 cos ，sin 11 tan2 31010 1 cos2 ，1010则 sin cos .1010 31010 10510已知 、 均为锐角，且 tan ，则 tan( )_.cos sin cos sin 答案 1解析 tan ，cos sin cos sin 1 tan 1 tan tan tan tan 1tan ，tan tan tan tan 1，tan tan 1tan tan ， 1，tan( )1.tan tan 1 tan tan 11已知 A、 B、 C是 ABC的三内角，向量 m(1， )， n(cos A，sin A)，且3mn1.9(1)求角 A；
30、(2)若 tan 3，求 tan C.(4 B)解 (1) mn1，(1， )(cos A，sin A)1，3即 sin Acos A1,2sin 1.3 (A6)sin .(A6) 120 A， A .6 656 A ，即 A .6 6 3(2)由 tan 3，(4 B) tan B 11 tan B解得 tan B2.又 A ，tan A .3 3tan Ctan( A B)tan( A B) .tan A tan B1 tan Atan B 3 21 23 8 531112已知 sin( ) ，sin( ) ，且 ( ，)，513 513 2 ( ，2)，求 cos 2 的值32解 si
31、n( ) ， ( ，)，513 2cos( ) .1213sin( ) ， ( ，2)，513 32cos( ) .1213cos 2 cos( )( )cos( )cos( )sin( )sin( ) ( )( ) 1.1213 1213 513 513三、探究与创新13已知 tan ，tan 是方程 x23 x30 的两根，试求 sin2( )3sin( )cos( )3cos 2( )的值解 由已知有Error!10tan( ) .tan tan 1 tan tan 31 3 34sin 2( )3sin( )cos( )3cos 2( )sin2 3sin cos 3cos2 sin2
32、 cos2 tan2 3tan 3tan2 1 3. 34 2 334 3 34 2 1132 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用知识链接1两角和公式与二倍角公式有联系吗？答 有联系在 S ，C ，T 中，令 即可得 S2 ，C 2 ，T 2 .2什么情况下 sin 2 2sin ，tan 2 2tan ？答 一般情况下，sin 2 2sin ，例如 sin 2sin ，只有当 k( kZ)时， 3 6sin 2 2sin 才成立只有当 k(
33、 kZ)时，tan 2 2tan 成立预习导引1倍角公式(1)S2 ：sin 2 2sin_ cos_ ，sin cos sin ； 2 2 12(2)C2 ：cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 ；(3)T2 ：tan 2 .2tan 1 tan22倍角公式常用变形(1) cos_ ， sin_ ；sin 22sin sin 22cos (2)(sin cos )21sin_2 ；(3)sin2 ，cos 2 ；1 cos 22 1 cos 22(4)1cos 2sin 2 ,1cos 2cos 2 . 2 2要点一 给角求值问题例 1 求下列各式的值：(1)s
34、in cos ；(2)12sin 2750；(3) ；12 12 2tan 1501 tan21502(4) ；(5)cos 20cos 40cos 80.1sin 10 3cos 10解 (1)原式 .2sin12cos122sin 62 14(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60 .12(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60 .3(4)原式cos 10 3sin 10sin 10cos 102(12cos 10 32sin 10)sin 10cos 104 sin 30cos 10 cos 30sin 102si
35、n 10cos 10 4.4sin 20sin 20(5)原式2sin 20cos 20cos 40cos 802sin 202sin 40cos 40cos 804sin 20 .2sin 80cos 808sin 20 sin 1608sin 2018规律方法 此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解而(5)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形
36、，从而使问题迎刃而解跟踪演练 1 求下列各式的值(1)sin sin ；(2)cos 215cos 275； 8 38(3)2cos2 1；(4) .512 tan 301 tan230解 (1)sin sin( )cos ，38 2 8 8sin sin sin cos 2sin cos 8 38 8 8 12 8 83 sin .12 4 24(2)cos 275cos 2(9015)sin 215，cos 215cos 275cos 215sin 215cos 30 .32(3)2cos2 1cos .512 56 32(4) tan 60 .tan 301 tan230122tan 3
37、01 tan230 12 32要点二 给值求值问题例 2 已知 sin ，00， ，2 (0，)，13 (0， 2)tan 2 0，2tan 1 tan22131 (13)2 342 ，(0， 2)又tan 0， (0，)， ，17 ( 2， )tan(2 ) 1，tan 2 tan 1 tan 2 tan 34 ( 17)1 34( 17)又2 ， ，(0， 2) ( 2， )2 (，0)，2 .34规律方法 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角其中确定角的范围是关键的一步跟踪演练 3 已知 tan ，sin ，且 ， 为锐角，求 2 的值17 1
38、010解 tan 1，且 为锐角，0 ，17 4又sin ，且 为锐角，0 ，1010 22 450 2 .34由 sin ， 为锐角，得 cos ，1010 31010tan ，tan( ) ，13 tan tan 1 tan tan 12tan( 2 ) 1，tan tan 1 tan tan 12 131 1213故 2 . 41cos 275cos 215cos 75cos 15的值等于( )A. B. C. D162 32 54 34答案 C解析 原式sin 215cos 215 sin 301 .12 14 542sin 4 cos 4 等于( )12 12A B C. D.12
39、32 12 32答案 B解析 原式 (sin212 cos212) (sin212 cos212) cos .(cos212 sin212) 6 323. _.tan 7.51 tan27.5答案 132解析 原式 tan 1512 2tan 7.51 tan27.512 tan(6045) 1 .12 12 3 11 3 324设 sin 2 sin ， ，则 tan 2 的值是( 2， )6_答案 3解析 因为 sin 2 2sin cos sin ， ，( 2， )所以 cos ，sin ，12 1 cos2 32所以 tan ，3则 tan 2 .2tan 1 tan2 231 3 2
40、 31.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4 是 2 的二倍；3 是 的二倍； 是 的32 2 4二倍； 是 的二倍； (nN ) 3 6 2n 22n 12二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛二倍角的常用形式：1cos 2 2cos 2 ，cos 2 ，1cos 2 2sin 2 ，sin 2 1 cos 22. 1 cos 22一、基础达标1若 sin ，则 cos 等于( ) 2 33A B C. D.23 13 13 23答案 C解析 cos 12sin 2 12 2 . 2 (33) 132. 的值是
41、( )3 sin 702 cos210A. B. C2 D.12 22 32答案 C7解析 原式 2.3 sin 702 12 1 cos 20 2 3 cos 203 cos 203函数 f(x)sin xcos x cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )32A，1 B，2C2，1 D2，2答案 A解析 f(x)sin xcos x cos 2x32 sin 2x cos 2x12 32sin .(2x 3)所以最小正周期为 ，振幅为 1.故选 A.4若 1，则 的值为( )1 tan 2 tan cos 21 sin 2A3 B3 C2 D12答案 A解析 1，tan .1 tan
42、2 tan 12 cos 21 sin 2 cos2 sin2 sin cos 2 cos sin cos sin 3.1 tan 1 tan 1 ( 12)1 ( 12)5若 ，则 的值为( )52， 72 1 sin 1 sin A2cos B2cos 2 2C2sin D2sin 2 2答案 D解析 ， ，52， 72 2 54， 748原式 |sin 2 cos 2| |sin 2 cos 2|sin cos sin cos 2sin . 2 2 2 2 26若 ，且 sin2 cos 2 ，则 tan 的值等于_(0， 2) 14答案 3解析 由 sin2 cos 2 得 sin2
43、1 2sin2 1sin 2 cos 2 14 . ，cos ， ，tan tan .14 (0， 2) 12 3 3 37已知 ，sin .( 2， ) 55(1)求 sin 的值；( 4 )(2)求 cos 的值(56 2 )解 (1)因为 ，sin ，( 2， ) 55所以 cos .1 sin2255故 sin sin cos cos sin ( 4 ) 4 4 .22 ( 255) 22 55 1010(2)由(1)知 sin 2 2sin cos 2 ，55 ( 255) 45cos 2 12sin 2 12 2 ，(55) 35所以 cos cos cos 2 sin sin 2
44、(56 2 ) 56 56 (32) 35 12 ( 45) .4 3310二、能力提升84cos 50tan 40等于( )9A. B.22 32C. D2 13 2答案 C解析 4cos 50tan 404cos 50sin 40cos 40 4cos 50cos 40 sin 40cos 40 4sin 40cos 40 sin 40cos 40 2sin 80 sin 40cos 40 2sin 60 20 sin 60 20cos 40 ，选 C.32cos 20 32sin 20cos 40 3cos 40cos 40 39函数 ysin 2x2 sin2 x 的最小正周期 T 为
45、3_答案 解析 ysin 2 x2 sin2 xsin 2 x2 sin 2 x cos 2x3 31 cos 2x2 3 32sin ，(2x 3) 3所以周期 T .2210已知 tan 3，则 _. 2 1 cos sin 1 cos sin 答案 3解析 1 cos sin 1 cos sin 2sin2 2 2sin 2cos 22cos2 2 2sin 2cos 2 tan 3.2sin 2(sin 2 cos 2)2cos 2(cos 2 sin 2) 211(1)已知 ，化简 ；32 1 sin 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos 1 cos (2)化简：sin 5
46、0(1 tan 10)3解 (1) ， ，32 2 234 |cos | cos ，1 cos 2 2 2 210 |sin | sin .1 cos 2 2 2 2 1 sin 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos 1 cos 1 sin 2 cos 2 sin 21 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 22 sin 2 cos 2 cos .2 2(2)原式sin 50cos 10 3sin 10cos 10 2sin 50sin 10 30cos 10 2sin 50sin 40cos 10 1.2
47、sin 40cos 40cos 10 sin 80cos 1012在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在角 的终边上，点 Q(sin2 ，1)(12， cos2 )在角 的终边上，且 .OP OQ 12(1)求 cos 2 的值；(2)求 sin( )的值解 (1)因为 ，OP OQ 12所以 sin2 cos 2 ，12 12即 (1cos 2 )cos 2 ，所以 cos2 ，12 12 23所以 cos 2 2cos 2 1 .13(2)因为 cos2 ，所以 sin2 ，23 13所以点 P ，点 Q ，(12， 23) (13， 1)又点 P 在角 的终边上，(12， 23)11所
48、以 sin ，cos .45 35同理 sin ，cos ，31010 1010所以 sin( )sin cos cos sin .45 1010 35 ( 31010) 1010三、探究与创新13已知向量 a ， b( sin x，cos 2 x)， xR，设函数 f(x) ab.(cos x， 12) 3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在 上的最大值和最小值0， 2解 (1) f(x) abcos x sin x cos 2x312 sin 2x cos 2xsin .32 12 (2x 6)最小正周期 T .22所以 f(x)sin 的最小正周期为 .(2x 6)(2)当 x 时， ，0， 2 (2x 6) 6， 56由正弦函数 ysin x 在 上的图象知， 6， 56f(x)sin .(2x 6) 12， 1所以， f(x)在 上的最大值和最小值分别为 1， .0， 2 12
