2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数（课件+学案）（打包46套）苏教版必修4.zip

第 1章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数1.（回忆）锐角三角函数（直角三角形中） 2.锐角三角函数（直角坐标系中）使锐角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合 .xy的终边上任取一点 它与原点的距离， .在xy.思 考改变终边上点 的位置，这些比值会发生改变吗？这三个比值不发生改变 .改变终边上点 的位置，提示：由相似三角形的对应边的比值相等，可知思 考 是否能通过 取特殊值将表达式简化呢？提示： 取 即使点 到原点距离为 1.以原点 O为 圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆 . 3.锐角三角函数（在单位圆中）那么这样的点的轨迹是什么呢？Myox14.用单位圆定义任意角的三角函数xyo的终边设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于一点 ， 那么（１）叫做 的正切，记作 ， 即（３）（２） 叫做 ，即的余弦，记作叫做 的正弦，记作 ，即正弦、余弦、正切都是以 角 为自变量，以单位圆上的点的 坐或坐标的比值 为函数值的函数，我们将它们统称为 三角函数 .标xyo的终边说 明（ 1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值 .的横坐标， 正切就是 交点的纵坐标与（ 3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数 ..（ 2） 正弦、余弦总有意义 .当 的终边在 横坐标等于 0， 无意义，此时 轴上时，点 P 的直角三角形中定义锐角三角函数 直角坐标系中定义锐角三角函数 单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义任意角的三角函数 任意角的三角函数的定义过程：例 1 求 的正弦、余弦和正切值 练习：将题目中的 改为 呢？yox解：在直角坐标系中，所以 ，易知 与单位圆的交点坐标为 的终边 .作例 2 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .则∽于是，yox.解：由已知得设角 的终边与单位圆交于点 ，分别过点 作 轴的垂线、 、练习：将点 改为 呢？终边上任意一点的坐标也可以定义角的三角函数，并且三角函数值仅与角 有关，与点 在终边上的位置用角 无关 .如果将点 改为 呢？思 考5.利用角的终边上任意一点定义角的三角函数三角函数 定 义 域2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+ （ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） （ ） （ ）（ ）（ ） （ ）+ ++ ++归纳： 一全正、二正弦、三正切、四余弦 .1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）探究例 3 确定下列三角函数值的符号：（ 1） （ 2） （ 3） 解：（ 1）因为 是第三象限角，（ 2） 因 为 是第四象限角，所以 （ 3）因为 ，而 的终边在 x轴上，所以 所以 ⑴ 我 们证 明如果 ①② 式都成立，那么 为 第三象限角 .例 4 求 证 ：当且 仅 当下列不等式 组 成立 时 ，角 为 第三象限角 .①②因为 ① 式 所以 角的终边可能位于第三或第四象限， 也可能位于 y轴的非正半轴上； 因为 ①② 式都成立， 所以 角的终边只能位于第三象限， 为 第三象限角 .又因为 ② 式 成立， 所以 或第三象限 .角的终边可能位于第一为 第三象限角 时 ，不等式 显 然成立 .⑵ 当证明：公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等 .其中作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求到 角的三角函数值 .练习 求证：当且仅当下列不等式组成立时，为第二象限角 .角与 终边相同的角 可以表示为 ， 那么终边相同的角的同一三角函数值有何关系？ 思 考例 5 求下列三角函数值： （ 1） ；（ 2） （ 3）（ 2）（ 3）解：（ 1） 练习 ：求下列三角函数值 .小结：（ 1）任意角的三角函数的定义；（ 2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号；（ 3）公式一及其应用；（ 4）体会定义过程中体现的数形结合的思想 .第 1章 三角函数1.3.2 三角函数的图象与性质正弦、余弦函数的图象和性质 x6yo--12 3 4 5-2-3-41y=sinx (xR) x6o- -1 2 3 4 5-2-3-41yy=cosx (xR) 定义域值 域周期性xRy[ - 1, 1 ]T = 2正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)= - sinx (xR) y=sinx (xR)x6yo--12 3 4 5-2-3-41是 奇函数x6o- -1 2 3 4 5-2-3-41ycos(-x)= cosx (xR) y=cosx (xR) 是 偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 正弦函数的单调性y=sinx (xR)增 区间为 [ ， ] 其值从 -1增至 1xyo--12 3 4-2-31xsinx… 0 … …  …-1 0 1 0 -1减区间为 [ ， ] 其值从 1减至 -1[ +2k, +2k],kZ[ +2k, +2k],kZ正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 余弦函数的单调性y=cosx (xR)xcosx- … … 0 … … -1 0 1 0 -1增 区间为 其值从 -1增至 1[ +2k, 2k],kZ减区间为 ， 其值从 1减至 -1[2k, 2k + ], kZyxo--12 3 4-2-31正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例 1 不通过求值，指出下列各式大于 0还是小于 0：(1) sin( ) – sin( )(2) cos( ) - cos( ) 解： 又 y=sinx 在 上是增函数 sin( ) 0解： cos cos 即： cos – cos 0又 y=cosx 在 上是减函数cos( )=cos =cos cos( )=cos =cos 从而 cos( ) - cos( ) 0正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例 2 求下列函数的单调区间：(1) y=2sin(-x )解：y=2sin(-x ) = -2sinx函数在 上单调递减[ +2k, +2k],kZ函数在 上单调递增[ +2k, +2k],kZ(2) y=3sin(2x- )单调增区间为所以：解：单调减区间为正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 (3) y = | sin(x+ )|解： 令 x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：y=sinuy=|sinu|uO1y-1小 结： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性 单调性（单调区间）奇 函数偶函数[ +2k, +2k],kZ 单调递增[ +2k, +2k],kZ 单调递减[ +2k, 2k],kZ 单调递增[2k, 2k + ], kZ 单调递减函数余弦函数正弦函数求 函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质2. 复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 y=sinxyxo--12 3 4-2-31y=sinx (xR) 图象关于 原点 对称11．1 任意角、弧度1．1.1 任意角[学习目标] 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．[知识链接]1．闹钟慢了 5 分钟，如何校准？闹钟快了 1.5 小时，又如何校准？答 可将分针顺时针方向旋转 30°；可将时针逆时针方向旋转 45°.2．在初中角是如何定义的？答 定义 1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义 2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．3．初中所学角的范围是什么？答 角的范围是[0°，360°]．[预习导引]1．角的概念(1)角的概念：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型 定义 图示正角 按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．3．终边相同的角一般地，与角 α 终边相同的角的集合为{ β |β ＝ k·360°＋ α ， k∈Z}.2要点一 任意角概念的辨析例 1 在下列说法中：①第二象限角大于第一象限角；②钝角都是第二象限角；③小于 90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．答案 ②④解析 ①120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然 390°120°，所以①不正确．②钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以②正确．③锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或负角，所以③不正确．规律方法 判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易出错．跟踪演练 1 设 A＝{小于 90°的角}， B＝{锐角}， C＝{第一象限角}， D＝{小于 90°而不小于 0°的角}，那么下列正确的是________．① B C A；② B A C；③ D( A∩ C)；④ C∩ D＝ B.答案 ④解析 锐角、0°～90°的角、小于 90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角 集合表示锐角 B＝{ α |0°α 90°}小于 90°而不小于 0°D＝{ α |0°≤ α 90°}小于 90°的角 A＝{ α |α 90°}第一象限角C＝{ α |k·360°α k·360°＋90°，k∈Z}要点二 象限角的判定例 2 在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角．(2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角，它是第二象限角．3规律方法 本题要求在 0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练 2 给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的为________．答案 ①②③④解析 对于①：如图 1 所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图 2 所示，225°角是第三象限角；对于③：如图 3 所示，475°角是第二象限角；对于④：如图 4 所示，－315°角是第一象限角．要点三 终边相同的角的应用例 3 在与角 10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)(360°，720°)的角．解 (1)与 10 030°终边相同的角的一般形式为 β ＝ k·360°＋10 030°( k∈Z)，由－360° k·360°＋10 030°0°，得－10 390° k·360°－10 030°，解得 k＝－28，故所求的最大负角为 β ＝－50°.(2)由 0°k·360°＋10 030°360°，得－10 030° k·360°－9 670°，解得 k＝－27，故所求的最小正角为 β ＝310°.(3)由 360°k·360°＋10 030°720°，得－9 670° k·360°－9 310°，解得 k＝－26，故所求的角为 β ＝670°.规律方法 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出 k 的值．跟踪演练 3 写出与 α ＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤ β 360°的元素 β 写出来．解 由终边相同的角的表示知，与角 α ＝－1 910°终边相同的角的集合为4{β |β ＝ k·360°－1 910°， k∈Z}．∵－720°≤ β 360°，即－720°≤ k·360°－1 910°360°( k∈Z)，∴3 ≤ k6 (k∈Z)．故取 k＝4,5,6.1136 1136k＝4 时， β ＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5 时， β ＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6 时， β ＝6×360°－1 910°＝250°.要点四 区域角的表示例 4 写出终边落在阴影部分的角的集合．解 设终边落在阴影部分的角为 α ，角 α 的集合由两部分组成：①{ α |k·360°＋30°≤ α k·360°＋105°， k∈Z}．②{ α |k·360°＋210°≤ α k·360°＋285°， k∈Z}．∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集：{α |k·360°＋30°≤ α k·360°＋105°， k∈Z}∪{ α |k·360°＋210°≤ α k·360°＋285°， k∈Z}＝{ α |2k·180°＋30°≤ α 2k·180°＋105°， k∈Z}∪{ α |(2k＋1)180°＋30°≤ α (2k＋1)180°＋105°， k∈Z}＝{ α |2k·180°＋30°≤ α 2k·180°＋105°或(2 k＋1)·180°＋30°≤ α (2k＋1)180°＋105°， k∈Z}＝{ α |n·180°＋30°≤ α n·180°＋105°， n∈Z}．规律方法 解答此类题目应先在 0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．跟踪演练 4 已知集合 A＝{ α |k·180°＋30° α k·180°＋90°， k∈Z}，集合B＝{ β |k·360°－45° β k·360°＋45°， k∈Z}．求：(1) A∩ B；(2) A∪ B.解 在直角坐标系中，分别画出集合 A， B 所包含的区域，结合图形可知，5A∩ B＝{ θ |30°＋ k·360°θ 45°＋ k·360°， k∈Z}，A∪ B＝{ γ |k·360°－45 γ k·360°＋90°或 k·360°＋210° γ k·360°＋270°，k∈Z}.1．－361°的终边落在第________象限．答案 四2．下列各角中与 330°角终边相同的角有________．(填写所有正确的序号)①30°；②－390°；③－690°；④1 050°.答案 ②④3．若角 α 满足 180°α 360°，角 5α 与 α 有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α ＝________.答案 270°解析 由于 5α 与 α 的始边和终边相同，所以这两角的差应是 360°的整数倍，即5α － α ＝4 α ＝ k·360°.又 180°α 360°，令 k＝3，得 α ＝270°.4．写出终边落在坐标轴上的角的集合 S.解 终边落在 x 轴上的角的集合：S1＝{ β |β ＝ k·180°， k∈Z}；终边落在 y 轴上的角的集合：S2＝{ β |β ＝ k·180°＋90°， k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝ S1∪ S2＝{ β |β ＝ k·180°， k∈Z}∪{ β |β ＝ k·180°＋90°， k∈Z}＝{ β |β ＝2 k·90°， k∈Z}∪{ β |β ＝(2 k＋1)·90°， k∈Z}＝{ β |β ＝ n·90°， n∈Z}．1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负” ， “旋转量”决定角的“绝对值大小” ．2．关于终边相同角的认识6一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合S＝{ β |β ＝ α ＋ k·360°， k∈Z}，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和．注意：(1) α 为任意角；(2)k·360°与 α 之间是“＋”号， k·360°－ α 可理解为 k·360°＋(－ α )；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差 360°的整数倍；(4)k∈Z 这一条件不能少．一、基础达标1．与 405°角终边相同的角是________．答案 k·360°＋45°， k∈Z2．如图，终边落在直线 y＝± x 上的角 α 的集合是__________________．答案 { α |α ＝ k·90°＋45°， k∈Z}3．若 α 是第四象限角，则 180°－ α 是第________象限角．答案 三解析 可以给 α 赋一特殊值－60°，则 180°－ α ＝240°，故 180°－ α 是第三象限角．4．在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为________．答案 2解析 ∵－390°＝－360°＋(－30°)，－30°是第四象限角，∴－390°是第四象限角；∵－885°＝－3×360°＋195°，195°是第三象限角，∴－885°是第三象限角；∵1 351°＝3×360°＋271°，271°是第四象限角，∴1 351°是第四象限角；∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴2 012°是第三象限角．5．已知 α ∈(0°，360°)， α 的终边与－60°角的终边关于 x 轴对称，则 α ＝________.答案 60°76．下列说法中，正确的是________(填序号)．①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于 90°的角一定为锐角；⑤角 α 与－ α 的终边关于 x 轴对称．答案 ②⑤解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如 400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)[－720°，720°)内的角．解 (1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是 147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与 147°终边相同．由－720°≤ k·360°＋147°720°， k∈Z，解得 k＝－2，－1,0,1.代入 k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、能力提升8．集合 M＝ ， P＝ x|x＝ ±90°， k∈Z，则{x|x＝k·180°2 ±45°， k∈ Z} k·180°4M、 P 之间的关系为________．答案 M P解析 对集合 M 来说， x＝(2 k±1)·45°，即 45°的奇数倍；对集合 P 来说，x＝( k±2)·45°，即 45°的倍数．9．集合{ α |k·180°＋45°≤ α ≤ k·180°＋90°， k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．8答案 ③10．角 α ， β 的终边关于 y 轴对称，若 α ＝30°，则 β ＝________.答案 150°＋ k·360°， k∈Z解析 ∵30°与 150°的终边关于 y 轴对称，∴ β 的终边与 150°角的终边相同．∴ β ＝150°＋ k·360°， k∈Z.11．已知角 x 的终边落在图示阴影部分区域，写出角 x 组成的集合．解 (1){ x|k·360°－135°≤ x≤ k·360°＋135°， k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤ x≤ k·360°＋60°， k∈Z}∪{ x|k·360°＋210°≤ x≤ k·360°＋240°， k∈Z}＝{ x|2k·180°＋30°≤ x≤2 k·180°＋60°或(2 k＋1)·180°＋30°≤ x≤(2 k＋1)·180°＋60°， k∈Z}＝{ x|n·180°＋30°≤ x≤ n·180°＋60°， n∈Z}．12．已知角 β 的终边在直线 x－ y＝0 上．3(1)写出角 β 的集合 S；(2)写出 S 中适合不等式－360° β 720°的元素．解 (1)如图，直线 x－ y＝0 过原点，倾斜角为 60°，在 0°～360°范围内，终边落在3射线 OA 上的角是 60°，终边落在射线 OB 上的角是 240°，所以以射线 OA、 OB 为终边的角的集合为9S1＝{ β |β ＝60°＋ k·360°， k∈Z}，S2＝{ β |β ＝240°＋ k·360°， k∈Z}，所以，角 β 的集合 S＝ S1∪ S2＝{ β |β ＝60°＋ k·360°， k∈Z}∪{ β |β ＝60°＋180°＋ k·360°， k∈Z}＝{ β |β ＝60°＋2 k·180°， k∈Z}∪{ β |β ＝60°＋(2 k＋1)·180°，k∈Z}＝{ β |β ＝60°＋ n·180°， n∈Z}．(2)由于－360° β 720°，即－360°60°＋ n·180°720°， n∈Z.解得－ n ， n∈Z，所以 n＝－2，－1,0,1,2,3.73 113所以 S 中适合不等式－360° β 720°的元素为60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.三、探究与创新13．若 α 是第一象限角，问－ α ，2 α ， 是第几象限角？α 3解 ∵ α 是第一象限角，∴ k·360°α k·360°＋90°( k∈Z)．(1)－ k·360°－90°－ α － k·360°(k∈Z)，∴－ α 所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－ α 是第四象限角．(2)2k·360°2α 2k·360°＋180°( k∈Z)，∴2 α 所在区域与(0°，180°)范围相同，故 2α 是第一、二象限角或终边在 y 轴的非负半轴上．(3)k·120° k·120°＋30°( k∈Z)．α 3方法一 (分类讨论)当 k＝3 n(n∈Z)时，n·360° n·360°＋30°( n∈Z)，α 3∴ 是第一象限角；α 3当 k＝3 n＋1( n∈Z)时， n·360°＋120° n·360°＋150°( n∈Z)，∴ 是第二象限角；α 3 α 310当 k＝3 n＋2( n∈Z)时， n·360°＋240° n·360°＋270°( n∈Z)，∴ 是第三象限α 3 α 3角．综上可知： 是第一、二或第三象限角．α 3方法二 (几何法)如图，先将各象限分成 3 等份，再从 x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上 1,2,3,4，则标有 1 的区域即为 终边所落在的区域，故 为第一、二或第三象限角.α 3 α 311.1.2 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来作为单位度量角的．那么 1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答 规定周角的 作为 1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．13602．用度作为单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答 l＝ ， S＝ .nπ r180 nπ r2360[预习导引]1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1_rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是 0.(3)角的弧度数的计算如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝对值是| α |＝ .lr2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度 弧度化角度360°＝2π rad 2π rad＝360°180°＝π rad π rad＝180°1°＝ rad≈0.017 45 π180rad1 rad＝ °(180π )≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系2度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120°135°150°180°270°360°弧度 0 π180 π 6 π 4 π 3 π 2 2π3 π34 5π6 π 3π2 2π3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为 r，弧长为 l， α (α ≤2π)为其圆心角，则度量单位类别 α 为角度制 α 为弧度制扇形的弧长 l＝ α π r180 l＝| α |·r扇形的面积 S＝ α π r2360 S＝ l·r＝ |α |·r212 12要点一 角度制与弧度制的换算例 1 将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3) ；(4)－ .7π12 11π5解 (1)20°＝ ＝ .20π180 π 9(2)－15°＝－ π＝－ .15180 π12(3) ＝ ×180°＝105°.7π12 712(4)－ ＝－ ×180°＝－396°.11π5 115规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系式：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练 1 (1)把 112°30′化成弧度；(2)把－ 化成度．5π12解 (1)112°30′＝ °＝ × ＝ .(2252) 2252 π180 5π8(2)－ ＝－ × °＝－75°.5π12 5π12 (180π )要点二 用弧度制表示终边相同的角例 2 把下列各角化成 2kπ＋ α (0≤ α 0， l＝ a－2 r0，∴0β ，则Error!解得 α ＝ ＋ ， β ＝ － .12 π360 12 π3604．把－ π 表示成 θ ＋2 kπ( k∈Z)的形式，使| θ |最小的 θ 值是________．114答案 － π34解析 ∵－ π＝－2π＋114 (－ 34π )＝2×(－1)π＋ ，(－34π )∴ θ ＝－ π.341.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．度数与弧度数的换算借助“度数× rad＝弧度数，弧度数×( )°＝度数”进行，一些π180 180π特殊角的度数与弧度数的对应值必须记牢．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．一、基础达标1．－300°化为弧度是________．答案 － π532．已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是________．答案 2sin 1解析 ∵ r＝ ，∴ l＝| α |r＝ .1sin 1 2sin 163．若扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________________________________________________________________________．答案 25解析 ∵216°＝216× ＝ ， l＝30π＝ α ·r＝ r，π180 6π5 6π5∴ r＝25.4．下列命题中，是假命题的序号为________．①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1°的角是周角的 ，1 rad 的角是周角的 ；1360 12π③1 rad 的角比 1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．答案 ④5．已知 α 是第二象限角，且| α ＋2|≤4，则 α 的集合是______．答案 (－1.5π，－π)∪(0.5π，2]解析 ∵ α 是第二象限角，∴ ＋2 kπ＜ α ＜π＋2 kπ， k∈Z，π 2∵| α ＋2|≤4，∴－6≤ α ≤2，当 k＝－1 时，－1.5π＜ α ＜－π，当 k＝0 时，0.5π＜ α ≤2，当 k 为其他整数时，满足条件的角 α 不存在．6．如果一扇形的弧长变为原来的 倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积32的________．答案 34解析 由于 S＝ lr，若 l′＝ l， r′＝ r，则 S′＝ l′ r′＝ × l× r＝ S.12 32 12 12 12 32 12 347．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．7解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{ θ |2kπ－ 0，且 l＝30－2 r0，∴02π(rad)(舍去)；lr若Error!则扇形圆心角 α ＝ ＝ ＝ (rad)．lr 24 12故扇形圆心角弧度数为 rad.1211.2.1 任意角的三角函数(二)[学习目标] 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．[知识链接]什么叫做单位圆？答 以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆．[预习导引]1．任意角的三角函数的定义域正弦函数 y＝sin x 的定义域是 R；余弦函数 y＝cos x 的定义域是 R；正切函数 y＝tan x 的定义域是{ x|x∈R 且 x≠ kπ＋ ， k∈Z}．π 22．有向线段(1)定义：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．若有向线段 AB 在有向直线 l 上或与有向直线 l 平行，根据有向线段 AB 与有向直线 l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．(2)方向：在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同时，数量为正；反向时，数量为负．3．三角函数线如图，设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，与角 α 的终边交于 P 点．过点 P 作 x 轴的垂线PM，垂足为 M，过 A 作单位圆的切线交 OP 的延长线(或反向延长线)于 T 点．单位圆中的有向线段 MP、 OM、 AT 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α ＝ MP，cos α ＝ OM，tan α ＝ AT.2要点一 利用三角函数线比较大小例 1 分别作出 和 的正弦线、余弦线和正切线，并比较 sin 和 sin ，cos 和2π3 4π5 2π3 4π5 2π3cos ，tan 和 tan 的大小．4π5 2π3 4π5解 如图，sin ＝ MP，cos ＝ OM，tan ＝ AT，sin ＝ M′ P′，cos ＝ OM′，tan2π3 2π3 2π3 4π5 4π5＝ AT′.4π5显然| MP||M′ P′|，符号皆正，∴sin sin ；2π3 4π5|OM|cos ；2π3 4π5|AT||AT′|，符号皆负，∴tan 0，sin π0.65 25 25∵| MP|0，∴sin 2x”或“ (2) (3)0， a＝ MPAT.故 c0，π 2∵ 0.∴sin 2cos 3tan 4－ 且 cos x ；(2)tan x≥－1.12 12解 (1)由图(1)知：当 sin x－ 且 cos x 时，角 x 满足的集合：12 12.{x|－π 6＋ 2kπ 0 的解集是______________．33答案 {α |kπ －π 60，sin π＝ M2P20，tan π＝ AT0，cos π＝ OM30.π12 512 512 57而 0M1P1M2P2AT，9∴0sin sin πtan π.π12 512 512而 cos π0，∴cos πsin sin πtan π.57 57 π12 512 51211．求函数 y＝log sin x(2cos x＋1)的定义域．解 由题意得，要使函数有意义，则须Error!如图所示，阴影部分(不含边界与 y 轴)即为所求．所以所求函数的定义域为{ x|2kπ x2kπ＋ ，或 2kπ＋ x2kπ＋ π， k∈Z}．π 2 π 2 2312．利用三角函数线，写出满足下列条件的角 α 的集合：(1)sin α ≥ ；(2)cos α ≤ .22 12解 (1)由图①知：当 sin α ≥ 时，角 α 满足的集合为Error!.22(2)由图②知：当 cos α ≤ 时，角 α 满足的集合为12Error!.三、探究与创新13．当 α ∈ 时，求证：sin α α tan α .(0，π 2)证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆， α 的终边与单位圆交于 P， α 的正弦线、正切线为有向线段 MP， AT，则MP＝sin α ， AT＝tan α .10因为 S△ AOP＝ OA·MP＝ sin α ，12 12S 扇形 AOP＝ αOA 2＝ α ，12 12S△ AOT＝ OA·AT＝ tan α ，12 12又 S△ AOPS 扇形 AOPS△ AOT，所以 sin α α tan α ，12 12 12即 sin α α tan α .11．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.理解任意角的三角函数的定义.2.根据三角函数的定义能够理解其定义域和三角函数值的符号．[知识链接]在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图，在 Rt△ ABC 中，设 A 对边为 a， B 对边为 b， C对边为 c，锐角 A 的正弦、余弦、正切分别是什么？答 锐角 A 的正弦、余弦、正切依次为 sin A＝ ，cos A＝ ，tan A＝ac bc ab[预习导引]1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设 α 的终边上任意一点 P 的坐标是( x， y)．它与原点的距离是r(r＝ 0)．x2＋ y2一般地，对任意角 α (如图)我们规定：(1)比值 叫做 α 的正弦，记作 sin α ，即 sin α ＝ .yr yr(2)比值 叫做 α 的余弦，记作 cos_α ，即 cos α ＝ .xr xr(3)比值 (x≠0)叫做 α 的正切，记作 tan_α ，即 tan α ＝ .yx yx2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号2要点一 三角函数定义的应用例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3 x 上，求 10 sin α ＋ 的值．3cos α解 由题意知，cos α ≠0.设角 α 的终边上任一点为 P(k，－3 k)(k≠0)，则x＝ k， y＝－3 k， r＝ ＝ |k|.k2＋  － 3k 2 10(1)当 k0 时， r＝ k， α 是第四象限角，10sin α ＝ ＝ ＝－ ，yr － 3k10k 31010＝ ＝ ＝ ，1cos α rx 10kk 10∴10sin α ＋ ＝10× ＋33cos α (－ 31010) 10＝－3 ＋3 ＝0.10 10(2)当 k0，cos 40)，cos α ＝ (r0)，tan α ＝ (x≠0)，可yr xr yx知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点 P(x， y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．跟踪演练 2 已知 cos θ ·tan θ 0，则 α 是第一、二象限的角；④若 α 是第二象限的角，且 P(x， y)是其终边上一点，则 cos α ＝－ .xx2＋ y2其中正确的为________．答案 ①解析 只有①正确．2．角 α 的终边经过点 P(－ b,4)且 cos α ＝－ ，则 b 的值为________．35答案 3解析 ∵ r＝ ，cos α ＝ ＝ ＝－ .b2＋ 16－ br － bb2＋ 16 35∴ b＝3.53．已知 α 终边经过点(3 a－9， a＋2)，且 sin α 0，cos α ≤0，则 α 的取值范围为________．答案 (－2,3]解析 ∵sin α 0，cos α ≤0，∴ α 位于第二象限或 y 轴正半轴上，∴3 a－9≤0， a＋20，∴－20 时， r＝10| t|＝10 t.sin α ＝－ ，cos α ＝－ ，sin α －cos α ＝－ .45 35 15当 t0，则下列正确的是________．①sin 2 α 0；②cos α 0；③sin α 0；④cos 2 α 0.答案 ①解析 ∵tan α 0，∴ α ∈( kπ， kπ＋ )(k∈Z)是第一、三象限角．∴sin α ，cos απ 2都可正、可负，排除②③.而 2α ∈(2 kπ，2 kπ＋π)( k∈Z)，取 α ＝ ，则 tan α ＝10，而 cos 2α ＝0，故④不正π 4确．故填①.6．点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2＋ y2＝1 逆时针方向运动 π 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐23标为________．答案 (－12， 32)解析 由题意知：∠ xOQ＝ π，23又| OQ|＝1，由三角函数的定义知：xQ＝cos π＝－ ， yQ＝sin π＝ .23 12 23 32所以点 Q 的坐标为(－ ， )．12 327．已知角 α 的顶点在原点，始边为 x 轴的非负半轴．若角 α 的终边过点 P(－ ， y)，且3sin α ＝ y(y≠0)，判断角 α 所在的象限，并求 cos α 和 tan α 的值．346解 依题意，点 P 到原点 O 的距离为|OP|＝ ， － 3 2＋ y2sin α ＝ ＝ ＝ y.yr y3＋ y2 34∵ y≠0，∴9＋3 y2＝16，∴ y2＝ ， y＝± .73 213∴角 α 在第二或第三象限．当角 α 在第二象限时， y＝ ，213则 cos α ＝ ＝－ ，tan α ＝－ ；xr 34 73当角 α 在第三象限时， y＝－ ，213则 cos α ＝ ＝－ ，tan α ＝ .xr 34 73二、能力提升8．已知角 α 的终边上一点的坐标为 ，则角 α 的最小正值为(sin 2π3， cos 2π3)________．答案 11π6解析 ∵sin π＝ ，cos π＝－ .23 32 23 12∴角 α 的终边在第四象限，且 tan α ＝ ＝－ ，cos 2π3sin 2π3 33∴角 α 的最小正角为 2π－ ＝ .π 6 11π69．角 α 的终边上一点 P 的坐标为(4 a，－3 a)(a≠0)，则 2sin α ＋cos α 的值为________．答案 ±25解析 由题意有 x＝4 a， y＝－3 a，故 r＝ ＝5| a|. 4a 2＋  － 3a 2(1)当 a0 时， α 是第四象限的角，所以7sin α ＝ ＝ ＝－ ，cos α ＝ ＝ ，yr － 3a5a 35 xr 45故 2sin α ＋cos α ＝－ .25(2)当 a0.(2)∵π0，∴sin 4tan 0，∴ 0.sin cos θ cos sin θ 三、探究与创新13．在平面直角坐标系中，角 α 的终边在直线 3x＋4 y＝0 上，求 sin α －3cos α ＋tan α 的值．解 ①当 α 的终边在第二象限时，取终边上的点 P(－4,3)， OP＝5，sin α ＝ ，cos α ＝－ ，tan α ＝ ＝－ ，35 45 3－ 4 34所以 sin α －3cos α ＋tan α ＝ ＋ － ＝ .35 125 34 94②当 α 的终边在第四象限时，取终边上的点 P(4，－3)， OP＝5，sin α ＝ ＝－ ，cos α ＝ ，tan α ＝ ＝－ ，－ 35 35 45 － 34 34所以 sin α －3cos α ＋tan α ＝－ － － ＝－ .35 125 34 154