2015-2016学年高中数学 第1-3章（习题+章末检测）（打包38套）苏教版选修2-1.zip

- 1 -1.1.1 四种命题课时目标 1.会判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假.2.理解命题的逆命题、否命题与逆否命题的含义.3.能分析四种命题的相互关系．1．命题的定义__________________叫做命题，其中______________叫做真命题，_____________叫做假命题．2．命题的结构在数学中， “若 p 则 q”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式的命题中的 p 叫做命题的________，q 叫做命题的________．3．四种命题的概念一般地，设“若 p 则 q”为原命题， “若 q 则 p”就叫做原命题的__________， “若非 p则非 q”就叫做原命题的__________， “若非 q 则非 p”就叫做原命题的____________．4．四种命题的真假性四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有__________的真假性；(2)两个命题互为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、填空题1．下列语句是命题的是________．①求证 是无理数；3②x 2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数；⑤若 x∈R，则 x2＋4 x＋70.2．下列命题：①若 xy＝1，则 x， y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若 ac2bc2，则 ab.其中真命题的序号是________．3．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件 p 是________________，结论 q 是______________________．4．命题“各位数字之和是 3 的倍数的正整数，可以被 3 整除”的逆否命题是________________________________________；逆命题是_______________；否命题是______________________________________．5．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若 a2＋ b2＝0，则 a， b 全为 0；③命题“若 m≤1，则 x2－2 x＋ m＝0 有实根”的逆否命题；④命题“若 A∩ B＝ B，则 A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是______(写出所有正确命题的序号)．6．命题“当 AB＝ AC 时，△ ABC 为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______．7．对于命题“若数列{ an}是等比数列，则 an≠0” ，下列说法中正确的有________．(写出所有正确的序号)①它的逆命题是真命题；②它的否命题是真命题；③它的逆否命题是假命题；- 2 -④它的否命题是假命题．8．命题“若函数 f(x)＝log ax(a0， a≠1)在其定义域内是减函数，则 loga2 时， mx2－ x＋1＝0 无实数根．1410.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若 q≤1，则方程 x2＋2 x＋ q＝0 有实根．能力提升11．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若 m·n0，a≠1)在其定义域内不是减函数解析 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若 loga2≥0，则函数 f(x)＝ logax(a0，a≠1)在其定义域内不是减函数．9．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被 2 整除，真命题．(2)若 m ，则 mx2－x＋1＝0 无实数根，真命题．1410．解 (1)原命题是真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，真命题．(2)原命题是真命题．逆命题：若方程 x2＋2x＋q＝0 有实根，则 q≤1，真命题．否命题：若 q1，则方程 x2＋2x＋q＝0 无实根，真命题．逆否命题：若方程 x2＋2x＋q＝0 无实根，则 q1，真命题．11．解 (1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面，真命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行，真命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面，真命题．(2)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 m·n0，假命题．否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，假命题．逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n≥0，真命题．12．证明 若 a＋b0，则 a－b，∵f(x)在 R 上是增函数，∴ f(a)f(－ b)．又 f(x)为奇函数，∴ f(－ b)＝－ f(b)，∴ f(a)－ f(b)，即 f(a)＋ f(b)0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴ a＋ b≥0.- 1 -1.1.2 充分条件和必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．一般地，如果 p⇒q，那么称 p 是 q 的____________，同时 q 是 p 的______________．2．如果 p⇒q，且 q⇒p，就记作________．这时 p 是 q 的______________条件，简称________条件，实际上 p 与 q 互为________条件．如果 p q 且 q p，则 p 是 q 的________________________条件．一、填空题1．用符号“⇒”或“ ”填空.(1)ab________ac2bc2；(2)ab≠0________ a≠0.2．已知 a， b， c， d 为实数，且 cd，则“ ab”是“ a－ cb－ d”的______________条件．3．不等式( a＋ x)(1＋ x)0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．5．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则丙是甲的____________条件．6．设 a， b∈R，已知命题 p： a＝ b；命题 q： 2≤ ，则 p 是 q 成立的(a＋ b2 ) a2＋ b22________________条件．7． “b2＝ ac”是“ a， b， c 成等比数列”的________________条件．8． “k＝1”是“直线 x－ y＋ k＝0 与圆 x2＋ y2＝1 相交”的________________条件．二、解答题9．设 α 、 β 是方程 x2－ ax＋ b＝0 的两个实根，试分析“ a2 且 b1”是“两根都大于1”的什么条件？10.设 x， y∈R，求证| x＋ y|＝| x|＋| y|成立的充要条件是 xy≥0.- 2 -能力提升11．记实数 x1， x2，…， xn中的最大数为 max{x1， x2，…， xn}，最小数为 min.已知△ ABC 的三边边长为 a， b， c(a≤ b≤ c)，定义它的倾斜度为{x1， x2， …， xn}l＝max min ，{ab， bc， ca}{ab， bc， ca}则“ l＝1”是“△ ABC 为等边三角形”的____________条件．12．已知 P＝{ x|a－4d，∴－ cb，∴ a－ c 与 b－ d 的大小无法比较；当 a－ cb－ d 成立时，假设 a≤ b，又－ cb.综上可知， “ab”是“ a－ cb－ d”的必要不充分条件．3．(2，＋∞)解析 不等式变形为( x＋1)( x＋ a)－ a，即 a2.4． b≥－2 a解析 由二次函数的图象可知当－ ≤1，即 b≥－2 a 时，函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 在b2a[1，＋∞)上单调递增．5．充分不必要解析 ∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙 丙．如图所示．综上有丙⇒乙⇒甲，但乙 丙，故有丙⇒甲，但甲 D⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．6．充分不必要解析 由 a＝ b 知， 2＝ a2， ＝ a2，(a＋ b2 ) a2＋ b22∴ p⇒q；反之，若 q 成立，则 p 不一定成立，例如取 a＝－1， b＝1，- 4 -则 2＝0≤1＝ ，但 a≠ b.(a＋ b2 ) a2＋ b227．必要不充分解析 由 b2＝ ac a， b， c 成等比数列，例如， a＝0， b＝0， c＝5.若 a， b， c 成等比数列，由等比数列的定义知 b2＝ ac.8．充分不必要解析 把 k＝1 代入 x－ y＋ k＝0，推得“直线 x－ y＋1＝0 与圆 x2＋ y2＝1 相交” ；但“直线 x－ y＋ k＝0 与圆 x2＋ y2＝1 相交”不一定推得“ k＝1” ．故“ k＝1”是“直线x－ y＋ k＝0 与圆 x2＋ y2＝1 相交”的充分不必要条件．9．解 由根与系数的关系得Error!，判定的条件是 p：Error!，结论是 q：Error!( Δ ≥0)．①由 α 1 且 β 1⇒a＝ α ＋ β 2， b＝ αβ 1⇒a2 且 b1，故 q⇒p.②取 α ＝4， β ＝ ，则满足 a＝ α ＋ β ＝4＋ 2， b＝ αβ ＝4× ＝21，但 p q.12 12 12 综上所述， “a2 且 b1”是“两根都大于 1”的必要不充分条件．10．证明 ①充分性：如果 xy≥0，则有 xy＝0 和 xy0 两种情况，当 xy＝0 时，不妨设x＝0，则| x＋ y|＝| y|，| x|＋| y|＝| y|，∴等式成立．当 xy0 时，即 x0， y0，或 x0， y0 时，| x＋ y|＝ x＋ y，| x|＋| y|＝ x＋ y，∴等式成立．当 x0， y0 时，| x＋ y|＝－( x＋ y)，| x|＋| y|＝－ x－ y，∴等式成立．总之，当 xy≥0 时，| x＋ y|＝| x|＋| y|成立．②必要性：若| x＋ y|＝| x|＋| y|且 x， y∈R，则| x＋ y|2＝(| x|＋| y|)2，即 x2＋2 xy＋ y2＝ x2＋ y2＋2| x||y|，∴| xy|＝ xy，∴ xy≥0.综上可知，| x＋ y|＝| x|＋| y|成立的充要条件是 xy≥0.11．必要而不充分解析 当△ ABC 是等边三角形时， a＝ b＝ c，∴ l＝max ·min{ab， bc， ca} {ab， bc， ca}＝1×1＝1.∴“ l＝1”是“△ ABC 为等边三角形”的必要条件．∵ a≤ b≤ c，∴max ＝ .{ab， bc， ca} ca又∵ l＝1，∴min ＝ ，{ab， bc， ca} ac即 ＝ 或 ＝ ，ab ac bc ac得 b＝ c 或 b＝ a，可知△ ABC 为等腰三角形，而不能推出△ ABC 为等边三角形．∴“ l＝1”不是“△ ABC 为等边三角形”的充分条件．12．解 由题意知， Q＝{ x|1x3}， Q⇒P，∴Error!，解得－1≤ a≤5.∴实数 a 的取值范围是[－1,5]．- 1 -§1.2 简单的逻辑联结词课时目标 1.了解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作____________．(2)用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．(3)对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作__________，读作________或______________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨ q p∧ q 綈 p真 真 真 真 假真 假 真 假 假假 真 真 假 真假 假 假 假 真一、填空题1．下列命题：①2010 年 2 月 14 日既是春节，又是情人节；②10 的倍数一定是 5 的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题是________．(写出符合要求的序号)2． “2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．(填“真” ， “假”)3．如果命题“綈 p 或綈 q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为________(写出所有正确的序号)．①命题“ p 且 q”是真命题；②命题“ p 且 q”是假命题；③命题“ p 或 q”是真命题；④命题“ p 或 q”是假命题．4．下列命题中既是 p∧ q 形式的命题，又是真命题的是______．(写出符合要求的序号)①10 或 15 是 5 的倍数；②方程 x2－3 x－4＝0 的两根是－4 和 1；③方程 x2＋1＝0 没有实数根；④有两个角为 45°的三角形是等腰直角三角形．5．若“ x∈[2,5]或 x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则 x 的范围是____________．6．已知 a、 b∈R，设 p：| a|＋| b||a＋ b|， q：函数 y＝ x2－ x＋1 在(0，＋∞)上是增函数，那么命题： p∨ q、 p∧ q、綈 p 中的真命题是________．7． “a 和 b 都不是偶数”的否定是___________________________________________．8．设 p：函数 f(x)＝2 |x－ a|在区间(4，＋∞)上单调递增； q：log a2－1)是单调减函数” ，试判断非 p 的真假；1x＋ 1(2)如果 p 表示“ A∩ B A∪ B”(其中 A， B 为非空集合)，那么非 p 表示什么？并判断 p的真假．12．设有两个命题．命题 p：不等式 x2－( a＋1) x＋1≤0 的解集是∅；命题 q：函数 f(x)- 3 -＝( a＋1) x在定义域内是增函数．如果 p∧ q 为假命题， p∨ q 为真命题，求 a 的取值范围．1．从集合的角度理解“且” “或” “非” ．设命题 p： x∈ A.命题 q： x∈ B.则 p∧ q⇔x∈ A 且 x∈ B⇔x∈ A∩ B； p∨ q⇔x∈ A 或x∈ B⇔x∈ A∪ B；綈 p⇔x∉A⇔x∈∁ UA.2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当 p、 q 都为真， p∧ q 才为真；当 p、 q 有一个为真， p∨ q 即为真；綈 p 与 p 的真假性相反且一定有一个为真．3．利用命题的真假来判断字母的范围问题是常见题型，可以分情况讨论．§1.2 简单的逻辑联结词知识梳理1．(1) p∧ q “ p 且 q” (2) p∨ q “ p 或 q” (3)綈 p “非 p” “ p 的否定”作业设计1．①③解析 ①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且” ，③使用“非” ．2．或 真3．①③解析 由真值表可知，綈 p 或綈 q 为假命题，可知綈 p，綈 q 均为假命题，所以 p、 q 均为真命题，即“ p 且 q”为真命题， “p 或 q”也为真命题．4．④解析 ①中的命题为 p∨ q 型，②中的命题是假命题，③中的命题是綈 p 的形式，④中的命题为 p∧ q 型且为真命题．5．[1,2)解析 x∈[2,5]或 x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即 x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以 1≤ x0， b0 时，| a|＋| b|＝| a＋ b|，故 p 假，綈 p 为真；对于 q，抛物线 y＝ x2－ x＋1 的对称轴为 x＝ ，故 q 假，所以 p∨ q 假， p∧ q 假．12这里綈 p 应理解成| a|＋| b||a＋ b|不恒成立，而不是| a|＋| b|≤| a＋ b|.- 4 -7． a 和 b 至少有一个是偶数8．(4，＋∞)解析 由题意知： p 为假命题， q 为真命题．当 a1 时，由 q 为真命题得 a2；由 p 为假命题且画图可知： a4.当 04.9．解 (1) p 为假命题， q 为真命题．p 或 q：1 是质数或是方程 x2＋2 x－3＝0 的根．真命题．p 且 q：1 既是质数又是方程 x2＋2 x－3＝0 的根．假命题．綈 p：1 不是质数．真命题．(2)p 为假命题， q 为假命题．p 或 q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p 且 q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．綈 p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)∵0∉∅，∴ p 为假命题，又∵ x2－3 x－55.假命题．10．解 若方程 x2＋ mx＋1＝0 有两个不等的负根，则Error!解得 m2，即 p： m2.若方程 4x2＋4( m－2) x＋1＝0 无实根，则 Δ ＝16( m－2) 2－16＝16( m2－4 m＋3)－1)不是单调减函数，1x＋ 1为假；(2)中非 p 表示的命题为“ A∩ B⊆A∪ B”，其显然为真，故命题 p 为假．12．解 对于 p：因为不等式 x2－( a＋1) x＋1≤0 的解集是∅，所以 Δ ＝[－( a＋1)]2－41，所以 a0.又 p∧ q 为假命题， p∨ q 为真命题，所以 p、 q 必是一真一假．当 p 真 q 假时有－3 a≤0，- 5 -当 p 假 q 真时有 a≥1.综上所述， a 的取值范围为(－3,0]∪[1，＋∞)．- 1 -§1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量 词课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和存在性命题的真假．1．全称量词和全称命题“所有” 、 “任意” 、 “每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为______________，通常用符号“________”表示“对任意 x”．含有____________的命题称为全称命题．通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)， q(x)， r(x)，…表示，变量 x 的取值范围用 M 表示．那么，全称命题“对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为∀ x∈ M， p(x)，读作“对任意 x 属于 M，有 p(x)成立” ．2．存在量词和存在性命题“有一个” 、 “有些” 、 “存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为______________，通常用符号“______”表示“存在 x”，含有__________的命题称为存在性命题．存在性命题“存在一个 x 属于 M，使 p(x)成立”可用符号简记为∃ x∈ M， p(x)，读作“存在一个 x 属于 M，使 p(x)成立” ．一、填空题1．给出下列命题：①所有正方形都是矩形；②每一个有理数都能写成分数的形式；③有些三角形是直角三角形；④存在一个实数 x，使得 x2＋ x－1＝0.其中含有全称量词的命题序号是________，含有存在量词的命题序号是________．2．指出下列命题是全称命题，还是存在性命题：(1)任何一条直线都有斜率______________；(2)一次函数是单调函数______________；(3)有无数多个既是奇函数又是偶函数的函数______________．3．给出下列存在性命题：①有的有理数是无限不循环小数；②有的等比数列的公比是负数；③有些圆内接四边形的对角不互补．其中假命题是________．(写出所有假命题的序号)4．已知：对∀ x∈(0，＋∞)， a0”用“∃”或“∀”可表述为______________________．6．下列命题中假命题有________．(写出所有符合要求的序号)①∃ x∈ R，lg x＝ 0；②∃ x∈R， tanx＝1；③∀ x∈R， x30；④∀ x∈R,2 x0.7．将“ a2＋ b2≥2 ab”改写成全称命题_________________________________________．8．下列四个命题：①∀ x∈R， x2＋2 x＋30；②若命题“ p∧ q”为真命题，则命题 p、 q 都是真命题；③若 p 是綈 q 的充分而不必要条件，则綈 p 是 q 的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)二、解答题9.指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．- 2 -(1)若 a0，且 a≠1，则对任意实数 x， ax0.(2)对任意实数 x1， x2，若 x106．③7．∀ a， b∈R， a2＋ b2≥2 ab解析 补上省略的全称量词即可．8．①②③9．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．(1)∵ ax0 (a0， a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在 x1＝0， x2＝π， x10，∴命题(4)是假命题．2010．解 甲命题为真时， Δ ＝( a－1) 2－4 a2 或 a1，即 a1 或 a }．12 13(2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：甲真乙假时， 1 时不可能，所以Error!(0， 12)解得 ≤ a1.344故所求 a 的取值范围为 .[344， 1)- 1 -1.3.2 含有一个量词的命题的否定课时目标 能正确地对含有一个量词的命题进行否定．含有一个量词的命题的否定1．全称命题 p：∀ x∈ M， p(x)，它的否定綈 p：________________.2．存在性命题 p：∃ x0∈ M， p(x0)，它的否定綈 p：__________________.一、填空题1．对于命题“我们班学生都是团员” ，给出下列三种否定：①我们班学生不都是团员；②我们班有学生不是团员；③我们班学生都不是团员．其中正确的答案是________．(写出所有正确答案的序号)2．写出下列命题的否定：(1)有的平行四边形是菱形．_________________________________________________.(2)存在质数是偶数．____________________________________________________.3．已知命题 p：∀ x∈R，sin x≤1，则綈 p：__________________.4． “存在整数 m0， n0，使得 m ＝ n ＋2011”的否定是___________________________．20 205．命题：“对任意实数 m，关于 x 的方程 x2＋ x＋ m＝0 有实根”的否定为：________________________________________________________________________.6．命题“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除的”否定形式是____________；否命题是_____________________________________________________________．7．已知命题 p：“至少存在一个实数 x，使 x3＝2 x”，则命题非 p 是______________________．8．已知命题 p：直线 x＝π 是函数 y＝|sin x|图象的对称轴， q：2π 是函数 y＝|sin x|的最小正周期．求此构成的“ p 且 q”、 “p 或 q”、 “非 p”形式命题中，假命题的个数是________．二、解答题9．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈ Q， x ＝5；20(4)不论 m 取何实数，方程 x2＋2 x－ m＝0 都有实数根．10.已知向量 a＝(2,1＋sin θ )， b＝(1，cos θ )，命题 p：“存在 θ ∈R，使 a⊥b ”．试- 2 -证明命题 p 是假命题．能力提升11．命题“对任何 x∈R，| x－2|＋| x－4|3”的否定是________．12．已知綈 p：∃ x∈R，sin x＋cos x≤ m 为真命题， q：∀ x∈R， x2＋ mx＋10 为真命题，求实数 m 的取值范围．1．全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外；而存在性命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．2．全称命题和存在性命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质 p 变为具有性质綈 p.3．实际应用中，若从正面证明全称命题“∀ x∈ M， p(x)”不容易，可证其反面“∃x0∈ M，綈 p(x0)”是假命题，反之亦然．- 3 -1．3.2 含有一个量词的命题的否定知识梳理1．∃ x0∈ M，綈 p(x0) 2.∀ x∈ M，綈 p(x)作业设计1．①②2．(1)所有的平行四边形都不是菱形．(2)所有的质数都不是偶数．3．∃ x0∈ R，sin x01解析 全称命题的否定是存在性命题，应含存在量词．4．对任意整数 m， n，使得 m2≠ n2＋2011解析 存在性命题的否定是全称命题，应含全称量词．5．存在实数 m，关于 x 的方程 x2＋ x＋ m＝0 没有实根6．末位数字是 0 或 5 的整数，不都能被 5 整除末位数字不是 0 且不是 5 的整数，不能被 5 整除解析 命题綈 p 是对命题 p 结论的否定，要和 p 的否命题区别开来．7．对任意实数 x，均有 x3≠2 x解析 命题 p 是存在性命题，故其否定是全称命题．8．2解析 命题 p 为真，命题 q 为假，故命题“ p 且 q”与“非 p”为假， “p 或 q”为真．9．解 (1)“有些质数是奇数”是存在性命题，其否定为“所有质数都不是奇数” ，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上” ，真命题．(3)“∃x0∈Q， x ＝5”是存在性命题，其否定为“∀ x∈Q， x2≠5” ，真命题．20(4)“不论 m 取何实数，方程 x2＋2 x－ m＝0 都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数 m，使得方程 x2＋2 x－ m＝0 没有实数根” ，真命题．10．证明 a·b＝2×1＋(1＋sin θ )×cosθ＝2＋cos θ ＋sin θ cosθ ＝2＋cos θ ＋ sin2θ .12∵对任意 θ ∈R，都有 cosθ ≥－1 且 sin2θ ≥－1，∴2＋cos θ ＋ sin2θ ≥2－1－ ＝ 0，12 12 12即 a·b0.这表明对任意 θ ∈R，向量 a 与 b 均不垂直，即命题非 p 为真命题，所以命题 p 是假命题．11．存在 x∈R，使得| x－2|＋| x－4|≤3解析 全称命题的否定是存在性命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在” ，并把结论否定．12．解 由綈 p 为真，即 p：∀ x∈R，sin x＋cos xm 为假命题，由 sinx＋cos x＝ sin ∈[－ ， ]，2 (x＋π 4) 2 2又 sinx＋cos xm 不恒成立，∴ m≥－ .2又对∀ x∈R， q 为真，即不等式 x2＋ mx＋10 恒成立，∴ Δ ＝ m2－40，即－2 m2，故 m 的取值范围是－ ≤ m2.2- 1 -第 1 章常用逻辑用语单元检测(A 卷)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1．有关命题的说法正确的有________．(写出所有正确命题的序号)①命题“若 x2－3 x＋2＝0，则 x＝1”的逆否命题为：“若 x≠1，则 x2－3 x＋2≠0” ；②“ x＝1”是“ x2－3 x＋2＝0”的充分不必要条件；③若 p 且 q 为假命题，则 p、 q 均为假命题；④对于命题 p：存在 x∈R，使得 x2＋ x＋10， x＋ ≥2”的充分必要条件，命题axq： x0∈R， x2＋ x－10.则下列结论中正确的是________．①命题“ p∧ q”是真命题；②命题“ p∧ q”是真命题；③命题“ p∧ q”是真命题；④命题“ p∧ q”是假命题．5．已知命题 p： x∈R， x2＋2 ax＋ a≤0.若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是________．6．已知 p：| x＋1|2， q：5 x－6 x2，则 p 是 q 的______________条件．7．给出命题“已知 a、 b、 c、 d 是实数，若 a＝ b， c＝ d，则 a＋ c＝ b＋ d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有________个．8．下列命题中的假命题是________．(写出所有假命题的序号)．① x∈R,2 x－1 0；② x∈N *，( x－1) 20；③ x∈R，lg x30°”是“sin A ”的______________条件．1213．若 p：“平行四边形一定是菱形” ，则“非 p”为___________________________________________________________．14．下列四个命题中，①“ k＝1”是“函数 y＝cos 2kx－sin 2kx 的最小正周期为 π”的充要条件；②“ a＝3”是“直线 ax＋2 y＋3 a＝0 与直线 3x＋( a－1) y＝ a－7 相互垂直”的充要条件；③函数 y＝ 的最小值为 2.x2＋ 4x2＋ 3其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15．(14 分)将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假．(1)正方形是矩形又是菱形；(2)同弧所对的圆周角不相等；(3)方程 x2－ x＋1＝0 有两个实根．- 3 -16．(14 分)判断命题“已知 a、 x 为实数，如果关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1)x＋ a2＋2≤0 的解集非空，则 a≥1”的逆否命题的真假．17.(14 分)已知 p： ≤2； q： x2－2 x＋1－ m2≤0 (m0)，若 p 是 q 的必要非|1－x－ 13 | 充分条件，求实数 m 的取值范围．- 4 -18．(16 分)已知方程 x2＋(2 k－1) x＋ k2＝0，求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件．- 5 -19.(16 分) p：对任意实数 x 都有 ax2＋ ax＋10 恒成立； q：关于 x 的方程 x2－ x＋ a＝0有实数根；如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题，求实数 a 的取值范围．20．(16 分)已知下列三个方程： x2＋4 ax－4 a＋3＝0， x2＋( a－1)x＋ a2＝0， x2＋2 ax－2 a＝0 至少有一个方程有实数根，求实数 a 的取值范围．单元检测卷答案解析第 1 章 常用逻辑用语(A)1．①②④ 2.①3．p 1，p 4解析 ∵对∀x∈R，均有 sin2 ＋cos 2 ＝1 而不是 ，故 p1为假命题．当 x， y， x－ y 有x x 12一个为 2kπ( k∈Z)时，sin x－sin y＝sin( x－ y)成立，故 p2是真命题．∵cos2 x＝1－2sin 2x，∴ ＝ ＝sin 2x.1－ cos2x2 1－ 1＋ 2sin2x2又∵ x∈[0，π]时，sin x≥0，∴对∀ x∈[0，π]，均有 ＝sin x，因此 p3是真1－ cos2x2命题．当 sinx＝cos y，即 sinx＝sin( － y)时， x＝2 kπ＋ － y，即π 2 π 2x＋ y＝2 kπ＋ (k∈Z)，故 p4为假命题．π 24．③④- 6 -解析 a＝1⇒ x＋ ＝ x＋ ≥2 ＝2，ax 1x x×1x显然 a＝2 时也能推出“∀ x0， x＋ ≥2”成立，ax所以“ a＝1”是“∀ x0， x＋ ≥2”的充分不必要条件，ax故 p 是假命题，而 q 是真命题，故③④正确．5．00 对∀ x∈R 恒成立，故有Δ ＝4 a2－4 a2⇒ x1 或 x x2⇒21，∴原命题为真．74又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．方法三 (利用集合的包含关系求解)命题 p：关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0 有非空解集．命题 q： a≥1.∴ p： A＝{ a|关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0 有实数解}＝{ a|(2a＋1)2－4( a2＋2)≥0}＝ ，{a|a≥74}q： B＝{ a|a≥1}．∵ A⊆B，∴“若 p，则 q”为真，∴“若 p，则 q”的逆否命题“若綈 q，则綈 p”为真．即原命题的逆否命题为真．17．解 綈 p： 2，解得 x10，|1－x－ 13 |A＝{ x|x10}．綈 q： x2－2 x＋1－ m20，解得 x1＋ m，B＝{ x|x1＋ m}．∵綈 p 是綈 q 的必要非充分条件，∴ B A，即Error!⇒ m≥9，∴ m≥9.18．解 令 f(x)＝ x2＋(2 k－1) x＋ k2，方程有两个大于 1 的实数根⇔Error! ，即 k0 恒成立⇔ a＝0 或Error! ⇔0≤ a ，14∴ a4；如果 q 真，且 p 假，有 a0 或 a≥4，且 a≤ ，∴ a0.14 14综上，实数 a 的取值范围为(－∞，0)∪ .(14， 4)20．解 假设三个方程： x2＋4 ax－4 a＋3＝0，x2＋( a－1) x＋ a2＝0， x2＋2 ax－2 a＝0 都没有实数根，则Error!，即Error!得－ a－1.32∴实数 a 的取值范围是 a≤－ 或 a≥－1.32- 1 -第 1 章 单元检测(B 卷)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1．下列命题：① x∈R，不等式 x2＋2 x4x－3 成立；②若 log2x＋log x2≥2，则 x1；③命题“若 ab0 且 c ”的逆否命题；cacb④若命题 p： x∈R， x2＋1≥1.命题 q： x0∈R， x －2 x0－1≤0，则命题 p∧ q 是真20 命题．其中真命题有________．(填序号)2．下列命题中，假命题的个数为________．①若 a≥ b－1，则 ≥ ；a1＋ a b1＋ b②若正数 m 和 n 满足 m≤ n，则 ≤ ；m(n－ m)n2③设 P(x1， y1)为圆 O1： x2＋ y2＝9 上任意一点，圆 O2以 Q(a， b)为圆心且半径为 1，当(a－ x1)2＋( b－ y1)2＝1 时，圆 O1和圆 O2相切．3．下列命题中真命题的序号为________．① x∈R,2 x＋1 是整数；② x∈R，sin x1；③ x∈Z， x2＝3；④ x∈R， x2＋ x＋10.4．已知 a， b 是实数，则“ a0 且 b0”是“ a＋ b0 且 ab0”的________条件．5．下列说法正确的是________(填序号)．①若 a， b 都是实数，则“ a2b2”是“ ab”的既不充分也不必要条件；②若 p： x5， q： x≥5，则 p 是 q 的充分而不必要条件；③条件甲：“ a1”是条件乙：“ a ”的必要而不充分条件；a④在△ ABC 中， “AB”是“sin Asin B”的充分必要条件．6． “x≠ y”是“sin x≠sin y”的____________条件．7．命题 p：若 a≥ b 则 cd，命题 q：若 e≤ f 则 a0， bc－ ad0， － 0(a， b， c， d 均为实数)，以其中两个不ca db等式作为条件，余下一个作为结论组成命题，可组成真命题的个数是________．10．已知条件 p： x2－ x≥6， q： x∈Z，若“ p 且 q”与“非 q”同时为假命题，则 x 的取值集合为________________．11．命题“ ax2－2 ax＋30 恒成立”是假命题，则实数 a 的取值范围是______________．- 2 -12．命题“存在 x∈R，使得 x2＋2 x＋5＝0”的否定是________________________．13．命题“若 A B，则 A＝ B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．14．若| x－1|0)，则 a， b 之间的关系是________．二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15．(14 分)分别写出由下列各组命题构成的“ p 或 q”、 “p 且 q”、 “非 p”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程 x2－16＝0 的两根的符号不同；q：方程 x2－16＝0 的两根的绝对值相等．- 3 -16．(14 分)已知 ab≠0，求证： a＋ b＝1 的充要条件是 a3＋ b3＋ ab－ a2－ b2＝0.17.(14 分)已知 a0，设命题 p：函数 y＝ ax在 R 上单调递增；命题 q：不等式ax2＋ ax＋10 对 x∈R 恒成立，若 p 且 q 为假， p 或 q 为真，求 a 的取值范围．- 4 -18．(16 分)已知条件 p：|2 x－1| a 和条件 q： 0，请选取适当的正实数 a 的1x2－ 4x＋ 3值，分别利用所给的条件作为 A、 B 构造命题“若 A，则 B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．19.(16 分)已知 p： a＝0， q：直线 l1： x－2 ay－1＝0 与直线 l2：2 x－2 ay－1＝0 平行，求证： p 是 q 的充要条件．- 5 -20．(16 分)已知 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 的图象过点(－1,0)，是否存在常数 a、 b、 c 使不等式 x≤ f(x)≤ 对一切实数 x 均成立？1＋ x22第 1 章 常用逻辑用语(B)1．①②③2．1解析 ①②均为真命题，③是假命题．3．④4．充要解析 对于“ a0 且 b0”可以推出“ a＋ b0 且 ab0”，反之也是成立的，故为充要条件．5．①②④解析 ③中， a ⇔a1， a1 是 a 的充要条件．a a6．必要不充分解析 因为“sin x＝sin y”是“ x＝ y”的必要不充分条件，所以“ x≠ y”是“sinx≠sin y”的必要不充分条件．7．充分解析 命题 q 的否命题为“若 ef，则 a≥ b”，且为真命题，而命题 p：若 a≥ b 则cd，且为真命题，则有“若 ef，则 cd”，即“ ef”是“ cd”的充分条件，由等价命题关系可知“ c≤ d”是“ e≤ f”的充分条件．8．(4)解析 不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而只有(綈 p)∨(綈 q)为真命题．9．3解析 共可组成 3 个命题，且都为真命题．- 6 -10．{－1,0,1,2}解析 由题意得 p 假 q 真，所以 x2－ x0.(a－b2) 34∴ a＋ b－1＝0，∴ a＋ b＝1.必要性：∵ a＋ b＝1，即 a＋ b－1＝0，∴ a3＋ b3＋ ab－ a2－ b2＝( a＋ b－1)( a2－ ab＋ b2)＝0.综上可知，当 ab≠0 时，a＋ b＝1 的充要条件是 a3＋ b3＋ ab－ a2－ b2＝0.17．解 ∵ y＝ ax在 R 上单调递增，∴ p： a1；又不等式 ax2－ ax＋10 对∀ x∈R 恒成立，∴ Δ a，∴ x ；已知条件 q 即 x2－4 x＋30，1－ a2 1＋ a2∴ x3.令 a＝5，则 p 即 x3，此时必有 p⇒q，反之不然．故可以选取一个实数 a＝5，令 A 为 p， B 为 q，构造命题“若|2 x－1|5，则 1x2－ 4x＋ 30”，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．19．证明 (1)当 a＝0 时， l1： x＝1， l2： x＝ ，12所以 l1∥ l2，即由“ a＝0”能推出“ l1∥ l2”．(2)当 l1∥ l2时，若 a≠0，- 7 -则 l1∶ y＝ x－ ， l2： y＝ x－ ，12a 12a 1a 12a所以 ＝ ，无解．12a 1a若 a＝0，则 l1： x＝1， l2： x＝ ，12显然 l1∥ l2，即由“ l1∥ l2”能推出“ a＝0” ．综上所述 a＝0⇔ l1∥ l2，所以 p 是 q 的充要条件．20．解 假设存在常数 a、 b、 c 使题设命题成立．∵ f(x)的图象过点(－1,0)，∴ a－ b＋ c＝0.又 x≤ f(x)≤ 对一切 x∈R 均成立，1＋ x22∴当 x＝1 时，也成立，即 1≤ a＋ b＋ c≤1，故 a＋ b＋ c＝1，∴ b＝ ， c＝ － a.12 12∴ f(x)＝ ax2＋ x＋ － a.12 12故有 x≤ ax2＋ x＋ － a≤ 时， x∈R 成立．12 12 1＋ x22即Error!恒成立．⇔Error!⇔Error!∴ a＝ ， c＝ ，14 14从而 f(x)＝ x2＋ x＋ ，14 12 14∴存在一组常数 a、 b、 c 使得不等式 x≤ f(x)≤ 对于 x∈R 恒成立．1＋ x22