1、第 102 页 5 渔 业 资 源 管 理 问 题 模 型一. 问 题 的 提 出 渔业资源是一种再生资源，其开发必须适度.一种合理、简化的策略是：在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.考察一个封闭式渔场中鱼量的变化.记时刻 渔场中鱼量为 ,关于 的自然ttxt增长和人工捕捞假设如下: 在无捕捞条件下 的增长服从 Logistic 规律:tNxrdtx1其中 固有增长率, 为环境允许的最大鱼量. 表示单位时间Nxrf1的增长量. 单位时间的捕捞量（产量）与渔场鱼量 成正比.比例系数为 , 表示单txk位时间捕捞率.试给出描述 变化的数学模型，并解决以下问题：tx1. 讨论渔场鱼量的
2、平衡点及稳定性，给出捕捞适度与捕捞过度的条件；2. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得最大持续产量时的最大产量，捕捞强度及鱼量水平；3. 渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得最大利润（经济效益）时的产量，捕捞强度及鱼量水平；4. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得微薄利润时的临界强度及存在条件、鱼量水平（此时的捕捞亦称为盲目捕捞）.二. 变 化 的 数 学 模 型tx第 103 页 1. 设单位时间捕捞量为 ，由假设，则xhkxh作分解 ，其中 为单位时间捕捞率； 称为捕捞强度，一般用出海鱼船qEE数量来度量； 称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率.为方便起见，此处我们取 ，则单
3、位时间捕捞量为1qExkh令 ExNrfxF12. 由假设、及上面讨论，得描述 变化的数学模型为)(t（1）xrxdt1初始条件为 a0由分离变量法，求得其解为：（2）tEreaNratx三. 渔 场 鱼 量 的 平 衡 点 及 稳 定 性1. 对于微分方程 （3）xFdt的平衡点（或奇点）及稳定性判别法：代数方程 的实根 为微分方程 的平衡点00xFdt（ 是解且 ）.0xdt若 初始条件,（3）的解 都满足tx第 104 页 0limxtt则称平衡点 是稳定的（否则不稳定）.判别法则： 若 ,则平衡点 对于方程（3）是稳定的.0xF0x 若 ,则平衡点 对于方程(3)不稳定.2. 令 ,即
4、0x01ExNrx即 Er得到两个平衡点：， rNx1001x3. 又 EF2rx0ErxF1若 ，则 ， 点稳定； ， 点不稳定.rE00011x若 ，则结果正好相反.4. 是捕捞率， 是最大增长率.r捕捞适度 ，渔场鱼量稳定在 ，此时持续产量 （ 是0x0Exh可变常数）.捕捞过度 ，渔场鱼量将减至 ，谈不上持续产量.rE15. 渔场鱼量稳定在大于零 ,且 , 0xFrE, .rNx1第 105 页 这就是稳定条件.四. 稳 定 条 件 下 最 大 持 续 产 量1. 在渔场鱼量稳定在大于零的条件下，最大持续产量的数学模型为（数学规划）： ， rExFtsh0.ma或 rNrts ， 1.
5、这里 是决策变量， 是待定常数.xE2. 数学模型（4）的求解.方法一： Nxrh1，令dx20dh得 0即获得最大持续产量的稳定平衡点为 （此时鱼量为最大鱼量的一半）.2单位时间内的最大持续产量为 ；41rNrhm此时的捕捞强度为 24rNE方法二：图解法，如图令 xrfy1（图形为抛物线）yxxry2Exfy0x0 *0第 106 页 直线 Exhy其交点 的横坐标就是稳定平衡点 ，求出交点的最大 值即可.p0xy五. 稳 定 条 件 下 最 大 持 续 利 润1. 假设： 鱼的销售单价为常数 .p 单位捕捞强度（如每条出海渔船）的费用为常数 .c2. 数学模型单位时间的收入 与支出 分别
6、为TSpExhc单位时间的利润为 EpxR故在稳定条件下的最大持续利润的数学模型为 rENxrtscp ， 01.ma这里是 决策变量， 是待定常数.或rErxtscpR ， 1.a或 cpNEma3. 模型的求解 cRd2令 , 得0ERpNr1第 107 页 即为最大捕捞强度.渔场稳定的鱼量（鱼量水平）为 pcNxR2单位时间的持续产量 21412NpcrrhR4. 最大利润结果与最大产量结果的比较, , 2NxR0,pcRERmh0,c六. 稳 定 条 件 下 微 薄 利 润 捕 捞1. 在前面五 . 1 假设、下，单位时间的利润为cEpxR又稳定条件为 ， ， 或 ，0FrrENx1cErpNER1故稳定条件下的微薄利润的数学模型为确定 ，使 ， ， ，0xF0r即确定 ，使E1cErpNR2. 求解不等式 0， crEpN1pNcr1令 ps第 108 页 3. 结论：当 时，利润 ，盲目的经营者们会加大捕捞强度；sEoR当 时，利润 ，自然要减少强度；s0称为盲目捕捞者的临界强度.s4. 也是 ， 的交点横坐标.SETyESy存在的必要条件为 即 s 0sNcp即售价大于（总体而言的）成本.5. 由于 ， 而 rENx1pcrs1所以稳定条件下微利捕捞的渔场鱼量水平为（即盲目捕捞）pcxs此时的产量为： pNcrhs1
