1、1在困惑中前行、在争辩中成长再谈高中向量教学的误区及思考曹军（江苏省丰县中学）笔者撰写的文章高中向量教学的误区及思考（下称文献1）发表在中学数学教学参考（上旬）2014 年第 1-2 期上。江苏省盐城市的张亚老师看后写了一篇随想对一道题目教学的再思考（下称文献2）并发表在中学数学教学参考（上旬）2014 年第 7 期上。张亚老师对文1中的一道题目做了更为详细的剖析：利用一题多解和文1中的解法做比较，并分析各种解法的优缺点。文2的点评让本人受益匪浅，同时也产生了新的困惑与感想，特借此机会呈现给广大数学同仁，希望得到更多同行的交流意见。1 向学生提供必要的智能训练和思维工具 数学作为思维训练的基本
2、课程，不是偶然的。数学的研究对象比实际的自然现象、社会现象要简单的多，是经过抽象和简化的。数学中对错分明，容易训练学生辨别是非的能力，养成严格确切的习惯。学生在做题时的严格论证、准确计算，使得学生在受到数学的严格训练的同时，耳濡目染地受到严密思维的熏陶，逐步形成逻辑思维的习惯和能力。但是，只强调数学的严格思维训练和培养逻辑思维是不够的，甚至会发生副作用，即有时会形成呆板的思维习惯。事实上，学生在真正学懂数学的过程中，除了经常用到逻辑思维以外，重要的还有从具体现象到数学的一般抽象，以及将一般结论应用到具体情况的思维过程。虽然数学的概念、模型、结论以及证明过程都是脱离物质形式的，但是从整个研究过程
3、看，这种脱离又不是绝对的，都是以某种实际为背景的。例如，文献1中教师根据学生的疑问以例题为具体背景并结合平面向量基本定理指出：若向量 和 共线，向量ab和 共线，但向量 和 不共线，则从 可推出 和 从而，利用cdacacbdcd向量法处理交点问题，其诀窍在于从一个涉及解题目标的向量等式出发，利用题设条件和向量等式代换，尽量把等式中的向量都转化到相交直线上，从而应用平面向量基本定理获取关键信息 1文献2中认为此种方法若想解决变式 3 是徒劳的，笔者并不认同这种观点，原因如下：变式 3：如图 1 所示，在 中， ， ，ABO14CA12ODB与 相交于点 ，试用 表示向量 。ADBCM,M解：
4、363D63C，从而 ，即 ，所以636A17DAODM此法比文2给定17ODA17O27B4B答案简洁的多。众所周知，基本概念或者模型常常是以具有典型性和深刻内涵的例子为基础，加以归纳和抽象出来的，而且在抽象的过程中需要有一个抓住本质并对本质有准确理解的思维过程。我们对这些概念和模型一方面要从文字的含义角度去准确理解，但是决不能仅仅留在字面的理解上，应结合一些典型的实例理解它的本质含义，而且后者是更重要的、更实质图 12性的要求。又如结论的证明是逻辑演绎的，但是结论以及证明的方法是如何形成的，研究者通常以“某种直观”的想法为背景，就是说，可能是由对某些例子的观察和试探得来的，也可能是基于研究
5、者过去在别的问题上的经验升华。还有一个很重要的方面是，当结论成立以后，还需要分析理解它的本质，它的变形和发展、它与其他问题的联系。例如： 的ABC外心为 ，两条高交与 ， ，求 。此题OHOmABOCm在参考书上经常见到，其所使用的方法也都大同小异，但是如果我们取 中点 （如图 2 所示），则BCD，即mAA，亦即 ，即 。此题中，虽然 和 并不相交，但2OOm1AHOD是却有 ，所以上述结论可以进一步拓展：不仅可以处理涉及交点问题，也可以HD方便处理涉及平行问题。当然，利用这种思想笔者顺便证明一下欧拉线定理：已知的外心、重心、垂心分别为 、 、 ，证明： 、 、 三点共线，且ABCGHG。2
6、G证明：如图 3 所示，取 与 的中点 、 ，则 ， ，且ABCDEAODBHE，即 ，由平面向量基本定理可知 ，ED2HEO 2。设 与 交于点 ，则由 得2BOM2，所以 ，AM，从而点 与点 重合，即 ，亦即DGHOG。2HG所以，上面所说的抽象过程，可以说是归纳方法与严密思考的结合、直观与抽象的结合。这是一种不同于逻辑思维但是更重要的数学思维方式，它也不同于现在通常所谓的“科学的”定性概括，在数学中，概括的正确性必须用逻辑演绎加以证明。在数学教学中能够并且应该十分重视培养这种数学思维能力。因为培养这种数学思维能力的同时，一方面会使得学生更深入和扎实地掌握数学；另一方面，这种思维能力在处
7、理日常生活以至将来工作或进行研究时，会大大提高他们的工作水平，是他们即不会在思维方式上犯浮夸和刻板的毛病，又能准确地抓住事物的本质，得出符合实际的有创见的看法。2 数学教学内容改革是数学教师不可推卸的责任也许，大多数老师都认为，变革教学内容是课程专家的事。我们是教书的，只要照章行事，教好课标规定的内容就行。果真如此吗？据我的观察，问题并不这么简单。教师对内容变革的合理性及其精神实质的理解，无形中会对教学产生很大影响 3。这正如文2对“若向量 和 共线，向量 和 共线，但向量 和 不共线，则从 可推出abcdacacbd和 ”并不赞成一样，认为思考过程有点不符合习惯，教材中找不到依据，由平cd图
8、 2图 33面向量向量基本定理不能直接得到，有增加学生记忆之嫌，而本人却认为这是一个值得推广的向量结论。另外，现在中学里所学的数学，都是几百年前甚至几千年前创造出来的。这些数学的最基本部分，普遍认为是经过千锤百炼，相当成熟了。对于这样的数学内容，除了选择取舍，除了改变相应的教学方法之外，还有优化改革的余地吗？但事情还可以换个角度看。学术形态的数学知识是数学家提炼组成的，具有系统性、抽象性和严密性，不能够完全揭示数学知识创造的思维过程，这些进入课堂的数学，是在不同的年代，不同的地方，由不同的人，为不同的目的而创造出来的，而且其中很多不是为了教学的目的而创造出来的。难道它们会自然地配合默契，适宜于
9、教学和学生学习吗？看来，这主要不是一个理论问题，而是一个实践问题。实践靠谁？因此，在新课程改革的过程中，教师不仅仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。平面向量是 1996 年进入高中数学课程内容，与 2002 年颁布的全日制普通高级中学数学教学大纲相比，普通高中数学课程标准（实验）在平面向量部分删除了两点间距离公式、线段定比分点及中点坐标公式、平移公式等内容。对于目前的平面向量教学张景中院士曾指出：现在的向量教学和解题存在“穿新鞋走老路”的现象，披着向量的外衣，但实际上还是原来“综合几何”或“坐标法”那一套这种现象的造成，追本溯源，教材和教参的编写者要负相当大的责任教
10、材教参这个源头出了问题，中学老师们纷纷依葫芦画瓢，又在杂志上发表类似的文章，导致对向量法的误读进一步扩散 4改造数学使之更适宜于教学和学习，是“教育数学”为自己提出的任务。“教育数学”的提法，最早出现在张景中院士的著作中。后来张景中院士又在文5中对“教育数学”和“数学教育”做了一个详细的比喻：把学数学比作吃核桃。核桃仁美味而富有营养，但要砸开核桃才能吃得到，若如砸不得法，砸开了还很难吃到。数学教育要研究的，就是如何砸核桃。而教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味、更营养、更容易砸开吃净。但从目前的情况来看，如何编写向量法的教材，如何进行向量法的教学和研究，还很值得研究 5。因此，我国
11、向量教学内容又将如何改革值得我们期待。3 数学拓展的需求与高考要求在某种程度上存在矛盾一般情况下，拓展的内容要高于课本，拓展了知识就有可能让学生在解题时多些思路，这种作用是积极的，只要主客观条件允许，我们就应该拓展。不过在拓展课本内容时需要综合考虑“可能性”、“必要性”和“如何拓展”等问题。 不可否认的是拓展课本内容在某种程度上有追求“迅速解题”的嫌疑。另外，数学教学要遵循教材和考试大纲的要求，而拓展的内容大多高于教材或者超出考试大纲的要求，在高考中如果利用拓展的内容进行解题，评卷专家该如何评判。以韦达定理为例，高考对韦达定理有要求吗？研读教材和高考考试说明，找不到具体要求，但研究每年解析几何
12、高考题，特别是解答题，韦达定理的应用却是年年场面热闹（可详见文6）。同时文7对韦达定理作了较为全面的“美”的赏析，张奠宙教授在对该文进行点评时说：韦达定理是初中代数课程中最耀眼的定理。由此可以看出韦达定理在教师和专家眼中的地位。而恰恰这个“最耀眼的定理”在高中又显得格外尴尬！人教版教材中的例题都极力避免韦达定理，人教版教师用书是这样解释的：不需要解方程求出 ，而解答中仍然解12,x出 ，是因为初中没有明确指出一元二次方程根与系数的关系。这样的解释，让人很12,x是“迷糊”。如果利用韦达定理处理高考中的解答题，评分专家会给出我们期望的分值吗？同样的，文2的变式 3 如果出现在高考中，采用上文所提
13、到的解法进行解答，评分专家该如何给分？毕竟变式 3 所使用的内容（教材没有）和韦达定理（初中教材有但属于不作要4求的内容）不一样，本人也是希望得到有关专家的答复。最后，以文3中的一句话结束本文：目前的问题是大家对向量法的优美和力量注意不够，需要我们加强研究，改变习惯思维和做法，使向量几何真正融入高中数学，成为主角。参考文献1曹军.高中向量教学的误区及思考J.中学数学教学参考:上旬，2014(1/2):35-37.2张亚.对一道题目教学的再思考J.中学数学教学参考:上旬，2014(7):23-24.3章建跃.必须关注教学内容的改革J.中小学数学:高中版，2010(6)：封底.4张景中，彭翕成向量教学存在的问题及对策J数学通报，2009(8)：7-125张景中，彭翕成.绕来绕去的向量法M.北京：科学出版社，2013.6肖凌戆.高中数学新课程教学要善待韦达定理J.中学数学教学参考:上旬，2014(5).8龚辉.欣赏韦达定理：天堑变通途J.中学数学教学参考:上旬，2011(3).
