1、高三数学考试卷（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足 ，则 （ ）A. B. 5 C. D. 10【答案】C【解析】分析：将 化为 ，然后进行化简即可得到 z=a+bi 的形式，再有模长公式计算即可。详解：故选 C点睛：本题主要考查复数的运算和复数的模长。2. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据交集的定义求得 AB，根据补集的定义求得 详解：集合 A=x|1x5，集合 B=x|2x4，AB=x|2x5，U（ AB ）=x
2、|5x2，故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍3. 中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出，如 7738 可用算筹表示为 .纵式：横式：1 2 3 4 5 6 7 8 91-9 这 9 个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则 的
3、运算结果可用算筹表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先由对数的运算性质可得 =729，结合算筹记数的方法分析可得结果详解：根据题意， =36=729，用算筹记数表示为 ；故选：D点睛：本题考查合情推理的应用，关键是理解题目中算筹记数的方法，属于基础题.4. 若双曲线 （ ）的焦距等于离心率，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用双曲线方程求出焦距以及离心率，建立方程即可详解：双曲线 x 2=m（m0）的焦距等于离心率可得：e= ，即 ，解得 m= 故选：A点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题.5. 设有下面四个命题若 ，
4、则 ； 若 ，则 ；若 的中间项为-20； 的中间项为 .其中真命题为（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】分析：由二项分布的概率求法，即可判断 为假命题，p 2为真命题；运用二项式的展开式的通项公式，即可得到所求中间项，判断 为假命题，p 4为真命题详解：若 XB（3， ） ，則 P（X1）=1P（X=0）=1（1 ） 3= ，故 p2为真命题；（x 2 ） 6的中间项为 （x 2） 3（ ） 3=20x 3，故 p4为真命题故选：D点睛：题考查命题的真假判断和应用，考查二项分布概率的求法和二项式定理的运用，考查运算能力，属于基础题6. 某几何体的三视图如图所示，三个
5、视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可详解：由题意可知：几何体的直观图如图：是半圆柱与 个球体组成，表面积为： = + 2故选：B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 已知 表示 除以 余 ，例如 ， ，则如图所示的程序框图的功能是（ ）A. 求被 5 除余 1 且被 7
6、除余 3 的最小正整数B. 求被 7 除余 1 且被 5 除余 3 的最小正整数C. 求被 5 除余 1 且被 7 除余 3 的最小正奇数D. 求被 7 除余 1 且被 5 除余 3 的最小正奇数【答案】D【解析】分析：由已知中的程序框图可知该程序框图的功能是求被 7 除余 1 且被 5 除余 3 的最小正奇数，由此得解详解：因为 n 的初值为1，且 n=n+2，n1（mod 7） ，n3（mod5） ，所以：该程序框图的功能是求被 7 除余 1 且被 5 除余 3 的最小正奇数故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混
7、淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及同角的商数关系，两角差的正切公式，计算即可得到所求值详解：（0，） ，且 ，可得 sin=2（1cos） ，即为 2 sin cos =4sin2 ，由 sin 0，可得 tan = = ，则
8、 = = = ，故选：B点睛：本题考查二倍角公式的运用和两角差的正切公式的运用，考查运算能力，属于中档题9. 设 ， 满足约束条件 若 的最大值为 6，则 的最大值为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 5【答案】C【解析】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，利用 z=x+y 的最大值为 7，推出直线 x+y=7 与 x+4y16=0 的交点 A 必在可行域的边缘顶点，得到 a，利用所求的表达式的几何意义，可得则 的最大值详解：作出 x，y 满足约束条件 表示的平面区域，由 解得 A（ ，a） ，直线 z=x+y，经过交点 A 时，目标函数取得最大值 6，可得 ，解得 a=4则 = 的几何意
9、义是可行域的点与（4，0）连线的斜率，由可行域可知（4，0）与 B 连线的斜率最大，由 可得 B（2，4）则 的最大值为：4故选：C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10. 若函数 与 都在区间 （ ）上单调递减，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：分别求出函数 与 在 上单调减区间，再根据两函数都在区间上单调递减
10、，即可求得 的最大值.详解：函数函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 在 上单调递减，在 上单调递增.函数 与 都在 上单调递减 的最大值为故选 B.点睛：本题考查的是三角函数的单调性，涉及到的知识点辅助角公式，以及正弦函数与余弦函数的单调区间的求法，在解题的过程中，要熟记各个知识点，解答本题的关键是正确求出函数 与 共同的单调减区间.11. 在正方体 中， ，以 为球心， 为半径的球与棱 ，分别交于 ， 两点，则二面角 的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：设棱长为 4，果然年纪勾股定理计算 AF，AG 可得AFG 和EFG 均为等腰三角形，作出两
11、三角形的底边上的高 AM，EM，则AME 为所求角详解：设正方体棱长为 4，则 AE=1，EB=3，EF=EG=EC= =5，AF= =2 ，DE= = ，A 1F= =2 ，DG= =2 D 1F=D1G=42 ，FG= D1F=4 4，FM= FG=2 2，取 FG 的中点 M，连接 AM，EM，AFG 和EFG 均为等腰三角形AMFG，EMFG，AME 为二面角 AFGE 的平面角，AM= =2 +2，tanAME= = = 故选：B点睛：（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。 ” （2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过
12、垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角12. 设函数 ，若存在互不相等的 4 个实数 ， ， ， ，使得，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：将题目转化为 有四个互不相等的实数根，然后讨论求解。详解：由题可知 有四个互不相等的实数根，当 时， 解得 或 ，有两个不等实数根故当 时， 有两个个不等的实数根即 有两个不等的实数根令则 ，令 解得 或所以函数 在（1，3）上单调递减，在（3，+）上单调递增因为所以 即故选 C.点睛：本题主要考查分段函数，方程的根，应用导函数求函数的单调区间和最值，将题目转化为 有四个互不相等
13、的实数根是关键，然后分 和 时根的个数的情况进行讨论求解，属于较难题型。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在 中， ， ，且 ，则 _【答案】7【解析】分析：直接运用余弦定理，代入计算可得所求值详解：16cosA=l，即 cosA= ，由余弦定理可得 BC2=AB2+AC22ABACcosA=16+36246 =49，可得 BC=7故答案为：7点睛：对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） .另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住 ， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14. 现有 8 本杂志，其中有 3
14、 本是完全相同的文学杂志，还有 5 本是互不相同的数学杂志，从这 8 本里选取 3 本，则不同选法的种数为_【答案】26【解析】分析：从选取的数学杂志的本数入手讨论即可。详解：若选取的三本书没有数学杂志，有 1 种选法若选取的三本书有 1 本数学杂志，有 种选法若选取的三本书有 2 本数学杂志，有 种选法若选取的三本书有 1 本数学杂志，有 种选法故不同选法的种数为 26点睛：本题主要考查分类加法原理和组合的简单应用，属于基础题。15. 在平行四边形 中， ， ， ，且 ，则平行四边形 的面积的最大值为_ 【答案】【解析】分析：由 可知平行四边形 为矩形，再用向量的线性运算集合基本不等式可得面
15、积最大值。详解：平行四边形 为矩形又 ，又即令 ，由基本不等式可得，当且仅当 时等号成立故平行四边形 ABCD 的面积最大为点睛：本题主要考查向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查基本不等式求最值，属于中档题。16. 为椭圆 上一动点， ， 分别为左、右焦点，延长 至点 ，使得，记动点 的轨迹为 ，设点 为椭圆 短轴上一顶点，直线 与 交于 、 两点，则 _【答案】【解析】分析：利用椭圆的定义以及已知条件转化求解即可详解：|PF 1|+|PF2|=2a=2 ，|PQ|=|PF 2|，所以|PF 1|+|PQ|=|QF1|=2 动点 Q 的轨迹为 ，为以 F1为圆心半径为 的圆，|BF 1|=
16、|BF2|= |F 1F2|=2，BF 1BF 2，则|MN|=2 =2 故答案为：2 点睛：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的对称性，属于中档题.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共 60 分. 17. 已知数列 是等比数列，且 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）由等比数列的定义进行求解即可。（2）由（1）可得 ，先分组求和，记 ，再由错位相减求出 ，进而得到 .详解：（1）设等比数列 的公比为 ，则 .从而 ，故 .（2） ， .记 ，则 ， ，故点睛：本
17、题主要考查等比数列的定义和前 n 项和公式，考查了分组求和、错位相减法求和等方法，考查了学生的计算能力，属于中档题。18. 如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， ，平面 平面 ，且 与棱 ， ， 分别交于 ， ， 三点.（1）过 作直线，使得 ， ，请写出作法并加以证明；（2）若 将三棱锥 分成体积之比为 8：19 的两部分，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：（1）取 的中点 ，连接 ，进而证明即可。（2）由 将三棱锥 分成体积之比为 8：19 的两部分，得到 ，然后建立空间直角坐标系进行求解。详解：（1）作法：取 的中点 ，连接 ，则直线 即为要求
18、作的直线.证明如下： ， ，且 ， 平面 .平面 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， .又 ， 为 的中点，则 ，从而直线 即为要求作的直线.（2） 将三棱锥 分成体积之比为 8：19 的两部分，四面体 的体积与三棱锥 的体积之比为 8:27，又平面 平面 ， .以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 .则 .故直线 与平面 所成角的正弦值为 .点睛：本题主要考查线性垂直的证明，空间几何体的体积，运用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题。19. “某大型水果
19、超市每天以 10 元/千克的价格从水果基地购进若干 A 水果，然后以 15 元/千克的价格出管，若有剩余，则将剩余的水果以 8 元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了 A 水果最近 50 天的日需求量（单位：千克)，整理得下表：日需求量 140 150 160 170 180 190 200频数 5 10 8 8 7 7 5以 50 天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.（1）若该超市一天购进 水果 150 千克，记超市当天 水果获得的利润为 (单位：元)，求的分布列及其数学期望；（2）若该超市计划一天购进 水果 150 千克或 160 千克，请以当天 水果获得的利
20、润的期望值为决策依据，在 150 千克与 160 千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以 7 元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个?【答案】 （1）见解析（2）该超市还是应购进 160 千克.【解析】分析：（1）由题可知 X 的可能取值为 ， ，分别求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望；（2）同（1）问，计算出超市一天购进 水果 160 千克，当天的利润 的数学期望和超市一天购进 水果 150 千克的利润的数学期望进行计较即可，然后再计算剩余的水果以 7 元/千克的价格退回水果基地的利润的数学期望，进行比较可得答案。详解：（1）若 水果日需求量为 140 千克，则 元，
21、且 .若 水果日需求量不小于 150 千克，则 元，且 .故 的分布列为680 7500.1 0.9元.（2）设该超市一天购进 水果 160 千克，当天的利润为 （单位：元） ，则 的可能取值为 ， ， ，即 660,730,800，的分布列为660 730 8000.1 0.2 0.7元.因为 ，所以该超市应购进 160 千克.若剩余的水果以 7 元/千克的价格退回水果基地，同理可得 ， 的分布列分别为670 7500.1 0.9640 720 8000.1 0.2 0.7因为 ，所以该超市还是应购进 160 千克.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生分析问题的能力和
22、数学计算能力，属于中档题。20. 已知直线经过抛物线 的焦点且与此抛物线交于 ， 两点， ，直线与抛物线 交于 ， 两点在 轴的两侧.（1）证明： 为定值；（2）求直线的斜率的取值范围；（3）已知函数 在 （ ）处取得最小值 ，求线段 的中点 到点 的距离的最小值（用 表示）.【答案】 （1）见解析（2） .（3） （ 或 ）.【解析】分析：（1）设的方程为 ，联立 消去 x 可得结果。（2）由（1）和 ，再联立 消去 y，结合判别式可得（3）设 由中点坐标公式可得 ，由此得到 P 点轨迹 .详解：（1）证明：由题意可得，直线的斜率存在，故可设的方程为 （ ） ，联立 得 ，则 ，则 为定值.
23、（2）解：由（1）知， ， ，则 ，即 .联立 得 ， ， 两点在 轴的两侧， ， ，即 .由 及 可得 或 ，故直线的斜率的取值范围为 .（3）解：设 ， ， ，则 ， ， ， .又 ， ，故点 的轨迹方程为 （ 或 ）.点睛：本题主要考查抛物线的性质，中点坐标公式，抛物线与直线的位置关系和点的轨迹方程的知识，难度较大。21. 已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）设 ， 是 的两个零点，证明： .【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）求导，分类讨论讨论 和 可得；（2）由 分离参数可得 ，构造函数 ，可知 在 上单调递增，不妨设 ，可得 ， ， 等价于 ，由 ，则可将问题
24、转化为只需证 。详解：（1）解： ，当 时， ，则 在 上单调递增.当 时， ，得 ，则 的单调递增区间为 .令 ，得 ，得 的单调递减区间为 .（2）证明：由 得 ，设 ，则 ，由 得 ；由 ，得 .故 .当 时， ；当 时， .不妨设 ，则 ， .等价于 ， ，且 在 上单调递增，要证 ，只需证 ，即 ，即证 .设 ， ，则 ，令 ，则 ， ， ， 在 上单调递减，即 在 上单调递减， ， 在 上单调递增， ， ，从而 得证.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及函数零点个数的判断和函数性质的综合应用，考查了分类讨论思想，综合性较强、难度较大，第二问构造函数 ，不妨设，由已知将问
25、题转化为只需证 是关键。（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数， ） ，曲线 的参数方程为 （为参数，且 ）.（1）以曲线 上的点与原点 连线的斜率 为参数，写出曲线 的参数方程；（2）若曲线 与 的两个交点为 ， ，直线 与直线 的斜率之积为 ，求的值.【答案】 （1） （ 为参数，且 ）.（2）【解析】分析：（1）将曲线 M 的参数方程消去参数 t，得 x2y+2=0（x0） ，由，得 由此能求出曲线 N 的参数方程（2）曲线 M 的普通方程为
26、（x2） 2+（y1） 2=r2，将 代入，得（164r 2）k2+（4r 232）k+17r 2=0，由直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为 ，能求出 r详解：（1）将 消去参数，得 .由 ，得 .故曲线 的参数方程为 （ 为参数，且 ）.（2）曲线 的普通方程为 ，将 代入并整理得 ，因为直线 与直线 的斜率之积为 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 .将 代入 ，得 ， ，故 .点睛：本题考查曲线的参数方程的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）
27、若 ， ，求的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）根据 a=2 时 f（x）=|x2|x1|，求不等式 0f（x）1 的解集即可；（2）讨论 a0、0a1 和 a1 时，结合 x（0，+）化简函数 f（x） ，求出不等式 f（x）a 23 时 a 的取值范围详解：（1）当 时，因为 ，所以 的解集为 .由 ，得 ，则 ，即 ，解得 ，求不等式 的解集为 .（2）当 ， 时， ，则 ，又 ，所以 .当 ， 时， ，故 不合题意.当 ， 时， ，当且仅当 时等号成立，则 ，又 ，所以 .综上，的取值范围为 .点睛：绝对值不等式的处理方法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想法四：利用绝对值三角不等式，体现了转化的思想.
