1、11.2.1 函数的概念【双向目标】课程目标 学科素养A.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念B.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数C.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)a 数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法b 逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用c 数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类【课标知识】知识提炼 基础过关知识 1：函数的概念一般地，设 A，B 是
2、两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数，记作 yf(x)，xA，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y 值叫做函数值,其集合f(x)|xA叫做函数的值域知识 2:函数的表示方法(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法(2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系的方法(3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法知识 3：构成函数的三要素(1)函数的三要素是：定义
3、域、对应关系、值域； 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.( )(2)函数 y() 2与 y是同一个函数( )(3)定义域与值域均相同的两个函数是相等函数( )(4)分段函数不是一个函数，而是多个函数( )(5)若 AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的映射( )2.函数 f(x)lnError! x Error!的定义域为 ( )A(0，) B(1，)C(0，1) D(0，1)(1，)3.设 f(x)Error! 则 f(f( 2)等于( )A1 B.Error! 2(2)两个函数相等：如果两个函数
4、的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等知识 4：分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数知识 5：映射的概念一般地，设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 知识 6：复合函数一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x)，其中 y
5、f(u)叫做复合函数yf(g(x)的外层函数，ug(x)叫做 yf(g(x)的内层函数C.Error! D.Error!4.(2015 全国卷)设函数f(x)Error!则 f(2) f(log212)( )A3 B6 C9 D125.(2015全国卷)已知函数 f(x) ax32 x 的图象过点(1，4)，则a_.6.设函数 f(x) x33 x21.已知 a0，且 f(x) f(a)( x b)(x a)2， xR，则实数 a_， b_.基础过关参考答案：1. 【解析】 (1)错误值域是集合 B 的子集【答案】B3.【解析】因为20，所以 f(f(2) fError!1Error! 1Er
6、ror!Error!.3故选 C.【答案】C4.【解析】解：由条件得 f(2)1log 243，因为 log2121，所以 f(log212)2 (log212)1 2 log266，故 f(2) f(log212)9.故选 C.【答案】C5.【解析】由题意知点(1，4)在函数 f(x) ax32 x 的图象上，所以 4 a2，则 a2.故填2.【答案】26.【解析】因为 f(x) f(a) x33 x2 a33 a2，( x b)(x a)2( x b)(x22 ax a2)x3(2 a b)x2( a22 ab)x a2b，所以Error! 解得 a2， b1.【答案】2；1.【能力素养】
7、探究一 求函数的定义域函数定义域即自变量的取值范围，是研究函数的首要考虑因素。 例 1函数 f(x)lg Error!的定义域为( )A(2，3) B(2，4C(2，3)(3，4 D(1，3)(3，6【分析】确定函数的定义域首先根据所给的函数解析式特点（即包含的运算）来建立不等式，求解；【答案】 C【点评】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数 x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在 x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数 yf(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数 x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集常见的条件有：分式的分母不等
8、于 0，对数的真数大于 0，偶次根式下的被开方数大于或等于 0 等若已知函数 yf(x)的定义域为a，b，则函数 yf(g(x)的定义域由不等式 ag(x)b 解出【变式训练】41函数 f(x)log 2(x22 x3)的定义域是( )A3,1 B(3,1) C(，31，) D(，3)(1，)【解析】 要使函数有意义，只需 x22 x30，即( x3)( x1)0，解得 x1.故函数的定义域为(，3)(1，)【答案】 D2.若函数 f(x)的定义域为 R，则 a 的取值范围为_【解析】因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x2+2ax - a10 对 xR 恒成立，则 x22 ax a0
9、恒成立 因 此 有 (2a)2 4a 0， 解 得 1 a 0.故 填 1，0【答案】 1，0 3.若函数 y f(x)的定义域是1，2 019，则函数 g(x)Error!的定义域是_【解析】因为 y f(x)的定义域为1，2 019，所以 g(x)有意义，应满足Error! 所以 0 x2 018，且 x1.因此 g(x)的定义域为 x|0 x2 018，且 x1故填 x|0x 2 018，且x 1【答案】 x|0x 2 018，且 x 1 探究二 求函数的值域求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方
10、法，应重点掌握例 2：求下列函数的值域：(1)yError! ； (2) y2 x； (3)y2 x； (4)yError! ； (5)若 x， y 满足 3x22 y26 x，求函数 z x2 y2的值域；(6)f(x).(2)(代数换元法) 令 t( t0)，所以 x1 t2，所以 y2(1 t2) t2 t2 t22Error!Error!.因为 t0，所以 yError!，故函数的值域为Error!.(3)(三角换元法) 令 xcos t(0 t)，所以 y2cos tsin tsin( t )Error!.因为 0 t，所以 t ，所以 sin( )sin( t )1,故函数的值域为
11、2，(4)解法一：(不等式法) 因为 yError!Error!( x1)Error!，又因为 x1 时， x10， x1 时， x10，所以当 x1 时， y( x1)Error!24，且当 x3，等号成立；当 x0，所以 t1.(3)在 f(x)2 fError!1 中，用Error!代替 x，得 fError!2 f(x)Error!1，由Error! 得 f(x)Error! Error!.【答案】 (1)lgError!( x1) (2)Error!x2Error! x(xR) (3)Error! Error!【点评】求函数解析式的四种常见方法1待定系数法：若已知函数的类型(如一次函
12、数、二次函数)，可用待定系数法2换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围3配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得f(x)的解析式4.消去法：已知 f(x)与 f Error!或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)【变式训练】1已知 f(1) x2，则 f(x)_.【解析】(换元法)令1 t，则 x( t1) 2(t1)，代入原式得 f(t)( t1) 22( t1) t21，所以 f(x) x21( x1)故填 x2
13、1( x 1) 【答案】 x21( x 1) 2.已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2 f(x1)2 x17，则 f(x)_.【解析】(待定系数法)设 f(x) ax b(a0)，则 3f(x1)2 f(x1) ax5 a b，所以ax5 a b2 x17 对任意实数 x 都成立，所以Error! 解得 Error! 所以 f(x)2 x7.故填 2x7 .【答案】2 x7 . 3.已知 fError! x2Error!，则 f(x)_.【解析】(配凑法) fError! x2Error!Error! 2Error! 2，所以 f(x) x22(| x|2)故填 x22( |x|
14、2)【答案】 x22( |x| 2)4已知 f(x)满足 2f(x) fError!3 x，则 f(x)_.【解析】 以Error!代替 x 得 2fError! f(x)Error! ，由Error! 得 f(x)2 xError!( x0)【答案】 2 xError!( x0)探究四 分段函数分段函数是高考的热点，考查方向主要是：（1）根据分段函数的解析式求函数值；（2）已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)。例 4：（1）(2015全国卷)设函数 f(x)Error!则 f(2) f(log212)( )A3 B6C9 D12【答案】 C（2）设函数 f(x)Error!若
15、fError!4，则 b( )A1 B.Error!C.Error! D.Error!【解析】 fError!3Error! bError! b，若Error! bError!，则3Error! bError! 4 b4，解得 bError! ，不符合题意，舍去；若Error! b1，即 bError!，则 2Error! b4，解得 bError! .【答案】 D【点评】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如 f(f(x0)的求值问题时，应从内到外依次求值(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求
16、出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围【变式训练】1.设 f(x)Error!则 f(f(2)( )A1 B.Error! C.Error! D.Error!【解析】 因为20，所以 fError!1Error!1Error! Error!.【答案】 C2设函数 f(x)Error!若 f(f(a)2，则 a_.【解析】 若 a0，则 f(a) a20， f(f(a) a42 a222，得 a.若 a0，则 f(a) a22 a2( a1) 210， f(f(a)( a22 a2) 22，此方程无解【答案】 3(2014全国卷)设函数 f(x)Erro
17、r!则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_【答案】 (，84设函数 f(x)Error!若 f(f(a)2，则实数 a 的取值范围是 _【解析】 f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a)2 时，得 f(a)2，而满足 f(a)2 时，得a.【答案】 (，【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析A 2,6 1,2,3,4, 2,4 3B 7,8,9,10 5,6,7,8 5,6,7,8,13 10, 9,13C 11,14,15,1610,12,14,15,1610,11,12,14,15,16一、选择题1(2016全国卷)下列函数中，其定义域和值域
18、分别与函数 y10 lgx的定义域和值域相同的是( )A y x B ylg x C y2 x D yError!【解析】函数 y10 lgx的定义域、值域均为(0，)，而 y x， y2 x的定义域均为 R，排除A，C； ylg x 的值域为 R，排除 B.故选 D.【答案】D2有以下判断： f(x)Error!与 g(x)Error!表示同一函数； 函数 y f(x)的图象与直线 x1 的交点最多有1 个； f(x) x22 x1 与 g(t) t22 t1 是同一函数； 若 f(x)| x1| x|，则 fError!0.其中正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个系均相同，
19、所以是同一函数，正确；对于，由于 fError!Error! Error!0，所以 fError! f(0)1，错误综上可知，正确的判断是.故选 B.【答案】B3设 M x|2 x2， N y|0 y2，函数 y f(x)的定义域为 M，值域为 N，则 y f(x)的图象可以是( )【解析】A 项定义域为2，0，D 项值域不是0，2，C 项对定义域中除 2 以外的任一 x 均有两个 y 与之对应，故 A，C，D 均不符合条件故选 B.【答案】B4函数 yError!的定义域为( )A(，2) B(2，)C(2,3)(3，) D(2,4)(4，)【解析】 由题意知Error!即Error!故 C
20、 正确【答案】 C5设全集为 R，函数 f(x)ln Error!的定义域为 M，则 RM( )A(1,1) B(，1)(1，)C(，11，) D1,1【答案】 C6已知函数 f(x) xlog 2Error!1，则 fError! f Error!的值为( )A2 B2 C0 D2log 2Error!【解析】 fError!Error! log 2Error!， fError!Error!log 23，所以 fError! fError!2.【答案】 A7已知函数 f(x)Error!若 f(a) f(1)0，则实数 a 的值等于 ( )A3 B1 C1 D3【解析】 因为 f(1)2 1
21、2，且 f(a) f(1)0，所以 f(a)2.因为 x0 时， f(x)1，所以 a0，所以 f(a) a12，解得 a3.【答案】 A8.已知函数 f(x)Error! 若 f(a)5，则 a 的取值集合为 ( )A2，3，5 B2，3 C2，5 D3，5【解析】令 3log 2(a1)5，得 a5，令 a2 a15，得 a3(舍)或 a2，故 a2，5或由f(2)(2) 2(2)15， f(3)3log 224， f(5)3log 245，所以排除 A，B，D.故选 C.【答案】 C9根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x)Error!( A， c 为常
22、数)已知该工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是( )A75,25 B75,16 C60,25 D60,16【解析】 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟，所以Error!15， 所以必有 40 时，由题意得( x1) 21，解得 0x2.综上， f(x)1 的解集为 x|4 x2故填 x|4 x 2【答案】 x|4 x 213.设 O 为坐标原点，给定一个定点 A(4，3)，点 B(x，0)在 x 轴的正半轴上移动 l(x)表示的长，则函数yError! 的值域为_【答案】Error!14若一系列函数的解析式、值域相同但定义
23、域不同，则称它们为同族函数，则 f(x) x2，值域为1,4的同族函数共有_个【解析】 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为 y x2，值域为1,4时，它的定义域可以是1,2，1，2，1,2，1，2，1，1,2，1，1，2，1,2，2，1,2，2，1，1,2，2共有 9 种不同的情况【答案】 915已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1) f(x) x1.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 y f(x22)的值域【解析】(1)设 f(x) ax2 bx c(a0)，又 f(0)0，所以 c0，即 f(x) ax2 bx.因为 f(x1) f(x) x1
24、. 所以 a(x1) 2 b(x1) ax2 bx x1.所以(2 a b)x a b( b1) x1，所以Error! 解得Error! 所以 f(x)Error! x2Error! x.(2)由(1)知 y f(x22)Error!( x22) 2Error!( x22)Error!( x43 x22)Error! Error!Error!，当 x2Error! 时， y 取最小值Error!.所以函数 y f(x22)的值域为Error!.16已 知 函 数 f(x) .(1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(2)若 f(x)的值域为0，)，求实数 a 的取值范围综合得 a 的取值范围是Error!.(2)因为函数 f(x)的值域为0，)，所以函数 g(x)(1 a2)x23(1 a)x6 取一切非负实数，所以Error! Error!1 aError! .当 a1 时， f(x)的值域为0，)，符合题目要求
