1、16.1 垂直关系的判定学习目标 1.掌握直线与平面垂直的判定定理(重点)；2.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小(重、难点)；3.掌握两平面垂直的判定定理(重点).知识点一 直线与平面垂直的判定定理文字语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l a， l b， a ， b ， a b Pl 图形语言【预习评价】(1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线 l 必须有公共点吗？提示 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.(
2、2)在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？提示 不变，90.(3)下列说法中正确的个数是( )若直线 l 与平面 内一条直线垂直，则 l ；若直线 l 与平面 内两条直线垂直，则 l ；若直线 l 与平面 内两条相交直线垂直，则 l ；若直线 l 与平面 内任意一条直线垂直，则 l ；若直线 l 与平面 内无数条直线垂直，则 l .A.1 B.2 C.3 D.4解析 对，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的.正确
3、的是，故选 B.答案 B知识点二 二面角概念 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半2平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.图示文字以二面角的棱上任一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图示符号OA ， OB ， l， O l， OA l， OB l AOB 是二面角的平面角范围 0 180平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角记法棱为 l、面分别为 ， 的二面角
4、记为 l .如图所示，也可在 ， 内(棱以外的半平面部分)分别取点 P， Q，将这个二面角记作二面角P l Q.【预习评价】(1)二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示 无关.如图， OA l， OB l， O A l， O B l，根据等角定理可知， AOB A O B，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.(2)平时，我们常说“把门开大一点” ，在这里指的是哪个角大一点？提示 二面角的平面角.知识点三 平面与平面垂直31.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面 与平面 垂直，记作 .2.画法：两个互相垂直
5、的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.3.平面与平面垂直的判定定理文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言 l ， l 【预习评价】(1)建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤” ，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？提示 都是垂直.(2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示 不一定.平行，相交，垂直都有可能.(3)已知 l ，则过 l 与 垂直的平面( )A.有 1 个 B.有 2 个C.
6、有无数个 D.不存在解析 由面面垂直的判定定理知，凡过 l 的平面都垂直于平面 ，这样的平面有无数个.答案 C题型一 线面垂直的判定【例 1】 如图所示，已知 PA 垂直于 O 所在的平面， AB 是 O 的直径，C 是 O 上任意一点，过点 A 作 AE PC 于点 E.求证： AE平面 PBC.证明 PA平面 ABC， BC 平面 ABC， PA BC.又 AB 是 O 的直径， BC AC.而 PA AC A， BC平面 PAC.又 AE 平面 PAC， BC AE. PC AE，且 PC BC C，4 AE平面 PBC.规律方法 证明线面垂直的方法：(1)由线线垂直证明线面垂直：定义法
7、；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)： a b， a b ； ， a a .【训练 1】 如图，在三棱锥 S ABC 中， ABC90， D 是 AC 的中点，且 SA SB SC.(1)求证： SD平面 ABC；(2)若 AB BC，求证： BD平面 SAC.证明 (1)因为 SA SC， D 是 AC 的中点，所以 SD AC.在 Rt ABC 中， AD BD，由已知 SA SB， SD SD，所以 ADS
8、BDS，所以 ADS BDS，所以 SD BD.又 AC BD D，所以 SD平面 ABC.(2)因为 AB BC， D 为 AC 的中点，所以 BD AC.由(1)知 SD BD.又因为 SD AC D，所以 BD平面 SAC.题型二 面面垂直的判定【例 2】 如图，已知 AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上不同于 A、 B 的点， PA圆 O 所在的平面， AF PC 于 F，求证：平面 AEF平面 PBC.证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 BC AC.因为 PA平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 PA BC.因为 PA AC A，所以 BC平面 PAC.5而 AF 平面
9、PAC，所以 BC AF.又 AF PC， BC PC C，所以 AF平面 PBC.又因为 AF 平面 AEF，所以平面 AEF平面 PBC.规律方法 1.由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线，本题中证明平面 AEF 经过平面 PBC 的垂线 AF 较容易些.2.证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角.【训练 2】 已知三棱锥 A BCD 中， BCD90， BC CD1， AB平面 BCD， ADB60， E， F 分别是 AC， AD 上的动点，且 (0 1).AEAC AFAD(1)求证：不论 为何
10、值，总有平面 BEF平面 ABC；(2)当 为何值时，平面 BEF平面 ACD?(1)证明 BCD90， BC CD. AB平面 BCD， AB CD.又 AB BC B， CD平面 ABC. (0 1)，AEAC AFAD EF CD， EF平面 ABC.又 EF 平面 BEF，平面 BEF平面 ABC.故不论 为何值，总有平面 BEF平面 ABC.(2)解 由(1)，得 EF平面 ABC， BE 平面 ABC， EF BE.要使平面 BEF平面 ACD，只需 BE AC. BCD90， BC CD1， BD .2又 AB平面 BCD， ADB60， AB ， AC ，6 7 BE ， AE
11、 ，ABBCAC 427 677 .AEAC 67故当 时，平面 BEF平面 ACD.676【探究 1】 如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD60， E是 CD 的中点， PA底面 ABCD， PA .3(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 A BE P 的大小.(1)证明 连接 BD，由 ABCD 是菱形且 BCD60知， BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点，所以 BE CD.又 AB CD，所以 BE AB.因为 PA平面 ABCD， BE 平面 ABCD，所以 PA BE.又 PA AB A，因此 BE平面 PAB
12、.又 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.(2)解 由(1)知， BE平面 PAB， PB 平面 PAB，所以 PB BE.又 AB BE，所以 PBA 是二面角 A BE P 的平面角.在 Rt PAB 中，tan PBA ，所以 PBA60.PAAB 3故二面角 A BE P 的大小是 60.【探究 2】 如图， AB 是 O 的直径， PA 垂直于 O 所在平面， C 是圆周上不同于 A、 B 的一点，且 AB2， PA BC1.(1)求证：平面 PAC平面 PBC；(2)求二面角 P BC A 的大小.(1)证明 A， B， C 在 O 上， O 所在平面可记为平面 AB
13、C， PA平面 ABC， BC 平面 ABC， PA BC. C 在圆周上，且异于 A、 B， AB 是 O 的直径， BC AC.又 AC PA A， BC平面 PAC.又 BC 平面 PBC，平面 PAC平面 PBC.(2)解 由(1)知， BC平面 PAC， PC 平面 PAC，7 PC BC，又 AC BC， PCA 为二面角 P BC A 的平面角.在 Rt PAC 中， PA1， AC ， PAC90，3tan PCA ， PCA30，33所以二面角 P BC A 的大小是 30.【探究 3】 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， P 是 AD 的中点.求二面角 A B
14、D1 P 的大小.解 过点 P 作 BD1、 AD1的垂线，垂足分别是 E、 F，连接 EF. AB平面 AA1D1D， PF 平面AA1D1D， AB PF. PF AD1，且 AB AD1 A， PF平面 ABD1， BD1 平面 ABD1， PF BD1，又 PE BD1，且 PE PF P， BD1平面 PEF， EF 平面 PEF. EF BD1， PEF 为所求二面角的平面角.Rt ADD1Rt AFP， .PFDD1 APAD1而 AP ， DD11， AD1 ， PF .12 2 24连接 PB.在 PBD1中， PD1 PB .52 PE BD1， BE BD1 .12 32
15、在 Rt PEB 中， PE .PB2 BE222在 Rt PEF 中，sin PEF ，PFPE 12 PEF30.二面角 A BD1 P 为 30.【探究 4】 在直角梯形 ABCD 中， D BAD90，AD DC AB a(如图所示)，将 ADC 沿 AC 折起，将 D 翻到 D，记12平面 ACD为 ，平面 ABC 为 ，平面 BCD为 .若二面角 AC 为直二面角，求二面角 BC 的大小.8解 在直角梯形 ABCD 中，由已知， DAC 为等腰直角三角形， AC a， CAB45.2如图所示，过 C 作 CH AB，垂足为 H，则 AH CH a.由 AB2 a，可得 BC a，2
16、 AC BC.取 AC 的中点 E，连接 D E，则 D E AC.二面角 AC 为直二面角， D E .又 BC 平面 ， BC D E. AC D E E， BC .而 D C ， BC D C， D CA 为二面角 BC 的平面角.由于 D CA45，二面角 BC 为 45.规律方法 (1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算.(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.课堂达标1.对于直线 m， n 和平面 ， ，能得出 的一个条件是( )A.m n，
17、m ， n B.m n， m， n C.m n， n ， m D.m n， m ， n 解析 n ， m n， m ，又 m ，由面面垂直的判定定理， .答案 C2.如图所示，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 P ， PB ， C 是平面 内异于 A 和 B 的动点，且 PC AC，则 ABC 为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定解析 易证 AC平面 PBC，所以 AC BC.答案 B3.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN_.解析 B1C1平面 ABB1A1， MN
18、 平面 ABB1A1， B1C1 MN.又 MN B1M， B1M B1C1 B1， MN平面 C1B1M， MN C1M，即 C1MN90.9答案 904.已知 ， 是两个不同的平面， m， n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断： m n； ； n ； m .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用序号表示).解析 当 m ， m n 时，有 n 或 n .当 n 时， ，即.或当 ， m 时，有 m 或 m .当 n 时 m n，即.答案 (或)5.如右图所示，在四棱锥 S ABCD 中，底面四边形 ABCD 是平行四边形，SC平面 ABC
19、D， E 为 SA 的中点.求证：平面 EBD平面 ABCD.证明 如下图所示，连接 AC，与 BD 交于点 F，连接 EF. F 为 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点， F 为 AC 的中点.又 E 为 SA 的中点， EF 为 SAC 的中位线， EF SC. SC平面 ABCD， EF平面 ABCD.又 EF 平面 EBD，平面 EBD平面 ABCD.课堂小结1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若 a b， a ，则 b ；若 ， a ，则 a .2.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；
20、(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.103.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.4.下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)m n， m ， n ；(2)m ， n ， m n ；(3) ， .基础过关1.如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC 和 CD 的中点， G 是 EF 的中点，现在沿着 AE 和 AF 及 EF 把正方形折成一个四面体，使 B， C， D三
21、点重合，重合后的点记为 H.那么，在四面体 A EFH 中必有( )A.HG AEF 所在平面B.AG EFH 所在平面C.HF AEF 所在平面D.AH EFH 所在平面解析 AD DF， AB BE， AH HF， AH HE.又 EH FH H， AH面 EFH.答案 D2.如图， AB 是圆的直径， PA 垂直于圆所在的平面， C 是圆上一点(不同于 A、 B)且PA AC，则二面角 P BC A 的大小为( )A.60 B.30C.45 D.15解析 由条件得： PA BC， AC BC，又 PA AC C， BC平面 PAC， BC PC， PCA 为二面角 P BC A 的平面角
22、.在 Rt PAC 中，由PA AC 得 PCA45，故选 C.答案 C3.在正四面体 P ABC 中， D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A.BC面 PDF B.DF面 PAEC.面 PDF面 ABC D.面 PAE面 ABC11解析 如图所示， BC DF， BC平面 PDF，A 正确.由 BC PE， BC AE， PE AE E， BC平面 PAE， DF平面 PAE，B 正确.DF 平面 ABC，平面 ABC平面 PAE，D 正确.答案 C4.已知三棱锥 D ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB AC ， BC2，则二面角3D BC
23、 A 的大小为_.解析 如图，由题意知 AB AC BD CD ， BC AD2.3取 BC 的中点 E，连接 DE， AE，则 AE BC， DE BC，所以 DEA 为所求二面角的平面角.易得 AE DE ，2又 AD2，所以 DEA90.答案 905.在 Rt ABC 中， D 是斜边 AB 的中点， AC6， BC8， EC平面 ABC，且 EC12，则ED_.解析 如图，在 Rt ABC 中，CD AB.12因为 AC6， BC8，所以 AB 10.62 82所以 CD5.因为 EC平面 ABC， CD 平面 ABC，12所以 EC CD.所以 ED 13.EC2 CD2 122 5
24、2答案 136.如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱垂直底面， ACB90，AC AA1， D 是棱 AA1的中点.证明：平面 BDC1平面 BDC.12证明 由题设知 BC CC1， BC AC， CC1 AC C，所以 BC平面 ACC1A1.又 DC1 平面 ACC1A1，所以 DC1 BC.由题设知 A1DC1 ADC45，所以 CDC190，即 DC1 DC.又 DC BC C，所以 DC1平面 BDC.又 DC1 平面 BDC1，故平面 BDC1平面 BDC.7.如图，矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直， MB NC， MN MB.(1)求证：
25、平面 AMB平面 DNC；(2)若 MC CB，求证： BC AC.证明 (1)因为 MB NC， MB平面 DNC，NC 平面 DNC，所以 MB平面 DNC.因为四边形 AMND 为矩形，所以 MA DN.又 MA平面 DNC， DN 平面 DNC.所以 MA平面 DNC.又 MA MB M，且 MA， MB 平面 AMB，所以平面 AMB平面 DNC.(2)因为四边形 AMND 是矩形，所以 AM MN.因为平面 AMND平面 MBCN，且平面 AMND平面 MBCN MN，所以 AM平面 MBCN.因为 BC 平面 MBCN，所以 AM BC.因为 MC BC， MC AM M，所以
26、BC平面 AMC.因为 AC 平面 AMC，所以 BC AC.能力提升138.已知直线 m， n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( )A.有且只有一个 B.至多一个C.有一个或无数个 D.不存在解析 若异面直线 m、 n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.答案 B9.如图， O 为正方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是( )A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1解析 连接 B1D1， ABCD A1B1C1D1是正方体， BB1平面 A1B1C1D1，且 A1C1 A1B1C1D1， BB1 A1C1，又四
27、边形 A1B1C1D1是正方形， B1D1 A1C1，而 B1D1 BB1 B1， A1C1平面 BB1D1D，而 B1O 平面 BB1D1D， A1C1 B1O.答案 D10.如图，二面角 l 的大小是 60，线段 AB ， B l， AB与 l 所成的角为 30，则 AB 与平面 所成的角的正弦值是_.解析 如图，作 AO 于 O， AC l 于 C，连接 OB、 OC，则 OC l，设 AB 与 所成的角为 ，则 ABO ，由图得 sin sin 30sin 60 .AOAB ACAB AOAC 34答案 3411.三棱锥 P ABC 中， PA PB PC ， AB10， BC8， C
28、A6，则二面角 P AC B 的73大小为_.解析 由题意易得点 P 在平面 ABC 上的射影 O 是 AB 的中点.取 AC 的中点 Q，则 OQ BC.易得 ABC 是直角三角形，且 ACB90， AQO90，即 OQ AC.又 PA PC， PQ AC， PQO 即是二面角 P AC B 的平面角. PA ， AQ AC3， PQ8.731214又 OQ BC4，cos PQO ，12 OQPQ 12 PQO60.答案 6012.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，求二面角 B A1C1 B1的正切值.解 取 A1C1的中点 O，连接 B1O， BO.由题意知 B1O A1C1
29、，又 BA1 BC1， O 为 A1C1的中点，所以 BO A1C1，所以 BOB1即是二面角 B A1C1 B1的平面角.因为 BB1平面 A1B1C1D1， OB1 平面 A1B1C1D1，所以 BB1 OB1.设正方体的棱长为 a，则 OB1 a，22在 Rt BB1O 中，tan BOB1 ，BB1OB1 a22a 2所以二面角 B A1C1 B1的正切值为 .213.(选做题)如图，三棱台 DEF ABC 中， AB2 DE， G， H 分别为AC， BC 的中点.(1)求证： BD平面 FGH；(2)若 CF BC， AB BC，求证：平面 BCD平面 EGH.证明 (1)方法一
30、如图所示，连接 DG， CD，设 CD GF M，连接MH.在三棱台 DEF ABC 中， AB2 DE， AC2 DF.15 G 为 AC 的中点， DF GC，且 DF GC，四边形 CFDG 是平行四边形， DM MC. BH HC， MH BD.又 BD平面 FGH， MH 平面 FGH， BD平面 FGH.方法二 在三棱台 DEF ABC 中， AB2 DE， H 为 BC 的中点， BH EF，且 BH EF，四边形 BHFE 是平行四边形， BE HF.在 ABC 中， G 为 AC 的中点， H 为 BC 的中点， GH AB.又 GH HF H， AB BE B，平面 FGH平面 ABED. BD 平面 ABED， BD平面 FGH.(2) G， H 分别为 AC， BC 的中点， GH AB. AB BC， GH BC.又 H 为 BC 的中点， EF HC， EF HC， EFCH 是平行四边形， CF HE. CF BC， HE BC.又 HE， GH 平面 EGH， HE GH H， BC平面 EGH.又 BC 平面 BCD，平面 BCD平面 EGH.
