1、1小专题(二) 三角形内角和与外角的几种常见应用三角形的内角和为 180,三角形的中线、高线、角平分线是三角形的三条特殊线段,它们之间形成的特殊角与三角形的内角之间存在一定的数量关系,是考试命题中的热点,也是一些探究题的命题素材,解题时注意利用转化的思想和数形结合的思想来求解,学习时注意及时总结规律 .类型 1 三角形内角和定理的应用1.(长沙中考)一个三角形的三个内角的度数之比为 1 2 3,则这个三角形一定是(B)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形2.如图,小李制作了一张 ABC 纸片,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,现将 ABC 沿着 DE 折叠压平,
2、使点 A 落在点 A位置 .若 A=75,则1 +2 = 150 . 3.已知在 ABC 中, ABC- ACB=20, ACB 的度数是 BAC 度数的 .求 ABC 的度数 .解:设 ACB=x, ABC=x+20, BAC=2x, ABC+ ACB+ BAC=180,x+ 20+x+2x=180,x= 40, ABC=60.类型 2 三角形外角性质定理的应用4.如图,图中 x 的值为(B)A.50 B.60 C.70 D.7525.如图, DE BC, EDC=40, ABC=60,则 BAD 的度数为 100 . 6.如图, EP 平分 AED,FP 平分 AFB,ED 与 FB 交于
3、点 C,请你找出 P, A, ECF 之间的一个确定的数量关系式,并说明理由 .解: A+ ECF=2 P.理由:延长 EP 交 AF 于点 G,则 EPF= PGF+ AFP, PGF= A+ AEP, EPF= A+ AEP+ AFP. ECF= CDF+ CFD, CDF= A+ AED,又 EP 平分 AED,FP 平分 AFB, ECF= A+ AED+ CFD= A+2 AEP+2 AFP, A+ ECF=2 A+2 AEP+2 AFP=2 EPF.类型 3 三角形内角和与外角的综合应用7.三角形中,三个内角的比为 1 3 6,它的三个外角的比为(C)A.1 3 6 B.6 3 1
4、C.9 7 4 D.3 5 28.如图,七角星中 A+ B+ C+ D+ E+ F+ G= 180 . 9.如图,在 ABC 中, B= C,D 是 BC 边上任意一点,点 E 在 AC 边上,且 ADE= AED.3(1)若 BAD=40,求 EDC 的度数;(2)若 EDC=15,求 BAD 的度数;(3)根据上述两小题的答案,试写出 EDC 与 BAD 的关系 .解:(1) B= C=(180- BAC)=90- BAC, ADC= B+ BAD=130- BAC. DAC= BAC- BAD= BAC-40, ADE= AED=(180- DAC)=110- BAC, EDC= ADC
5、- ADE= 130- BAC -=20.(2) AED= EDC+ C, ADC= B+ BAD, ADC= ADE+ EDC= AED+ EDC=2 EDC+ C, B= C, BAD=2 EDC=30.(3) EDC= BAD.10.如图,已知 AD 是 ABC 的角平分线( ACB B),EF AD 于点 P,交 BC 的延长线于点 M.(1)如果 ACB=90,求证: M=1;(2)求证: M=( ACB- B).解:(1) AD 是 ABC 的角平分线, 1 =2,4EF AD, 2 + AFP=90, ACB=90, M+ CFM=90, CFM= AFP, M=2 =1 .(2
6、)EF AD,AD 平分 BAC, APE= APF=90,1 =2,又 AEF=90-1, AFE=90-2, AEF= AFE, CFM= AFE, AEF= AFE= CFM, AEF= B+ M, CFM= ACB- M, B+ M= ACB- M,即 M=( ACB- B).类型 4 三角形特殊线段形成的角11.如图, BP 是 ABC 中 ABC 的平分线, CP 是 ABC 的外角 ACM 的平分线,如果 ABP=20, ACP=50,则 A+ P=(C)A.70 B.80C.90 D.10012.如图, ABC 中, A=80,高 BE 和 CH 的交点为 O,则 BOC 等于
7、(C)A.80 B.120C.100 D.150513.在 ABC 中, A=64,角平分线 BP,CP 相交于点 P.(1)如图 1,若 BP,CP 是两内角的平分线,则 BPC= 122 ; (2)如图 2,若 BP,CP 是两外角的平分线,则 BPC= 58 ; (3)如图 3,若 BP,CP 分别是一内角和一外角的平分线,则 BPC= 32 . (4)由(1)(2)(3)可知 BPC 与 A 有着密切的数量关系,请写出你的发现 .解:(4)若 BP,CP 是两内角的平分线,则 BPC=90+ A;若 BP,CP 是两外角的平分线,则 BPC=90- A;若 BP,CP 分别是一内角和一外角的平分线,则 BPC= A.
