1、1第 2 课时 集合间的基本关系【双向目标】课程目标 学科素养A 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.B 理解子集.真子集的概念C.能使用 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.a 数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解b 逻辑推理：集合的子集的辨析与应用c 数学运算：对给出的集合会计算子集与真子集d 直观想象：利用 图表示集合相等以及集合间的关系e 数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义【课标知识】知识提炼 基础过关知识 1：子集有关的概念 （1）定义:对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集
2、合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A为集合 B 的子集.（2）记法: (或 ),读作“A 包含与 B”(或“B 包含 A”).（3）韦恩图表示，图 1 所示: 知识 2：集合相等（1）定义:如果集合 A 是集合 B 的子集(AB),且集合 B 是集合 A 的子集(B A),此时,集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等.（2）记法:A=B.（3）韦恩图表示，图 2 所示:知识 3：真子集有关的概念1.已知集合 A=1,2,3,试写出 A 的所有子集2.同时满足： M1,2,3,4,5； a M，则6 a M 的非空集合 M 有( )A6 个
3、 B7 个 C15 个 D16 个3.已知集合 Ax|ax 22xa0，aR，若集合 A 有且仅有 2 个子集，则 a 的取值是( )A1 B1C0,1 D1,0,14.设集合 A=x|x=2k+1,kZ,B=x|x=2k-1,kZ,则集合 A,B 间的关系为( )A.A=B B.AB C.BA D.以上都不对 5. ，若 ，则 的取值集合为（ ）A. B. ZC. D.2（1）定义:如果集合 ,但存在元素 xB,且 xA，我们称集合 A 是集合 B 的真子集.（2）记法: (或 ).（3）韦恩图表示，图 3 所示: 知识 4：空集有关的概念（1）定义:不含任何元素的集合叫做空集.（2）记法:
4、 .（3）规定：空集是任何集合的子集知识 5：集合间关系具有的性质（1）规定:空集是任何集合的子集.（2）任何一个集合是它本身的子集,即AA.（3）对于集合 A,B,C,若 AB,且 BC,则 AC.（4）对于集合 A,B,C,若 A B,且 B C,则 A C.（5）AB,且 AB,则 A B.6.已知集合 A=x|x4,B=x|2axa+3,若 BA,求实数 a 的取值范围.7.下列说法：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若 A，则 A ，其中正确的个数是( )A0 B1 C2 D38.下列关系正确的是( )A.3y|y=x 2+,xR B.(a,b)=(b,a
5、)C.(x,y)|x2-y2=1 (x,y)|(x2-y2)2=1 D.xR|x 2-2=0=基础过关参考答案：3.【解析】因为集合 A 有且仅有 2 个子集，所以 A 仅有一个元素，即方程ax22xa0(a)仅有一个根或两个相等的根(1)当 a0 时,方程为 2x0，此时 A0，符合题意(2)当 a0 时，由 2 24aa0，即 a21，a1.此时 A1或 A1，符合题意a0 或 a1.4.【解析】选 A.因为 A,B 中的元素显然都是奇数,所以 A,B 都是由所有奇数构成的集合.故A=B5. 【解析】 （1）（2）（3） 的取值集合为【能力素养】探究一 子集与真子集的求法例 1：写出集合a
6、，b，c的所有不同的子集【分析】根据子集的含义进行求解【解析】不含任何元素子集为 ，只含 1 个元素的子集为a，b，c，含有 2 个元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有 3 个元素的子集为a，b，c，即含有 3 个元素的集合共有 23=8 个不同的子集.如果集合增加第 4 个元素 d，则以上 8 个子集仍是新集合的子集，再将第 4 个元素 d 放入这 8 个子集中，会得到新的 8 个子集，即含有 4 个元素的集合共有 24=16 个不同子集，由此可推测，含有 n 个元素的集合共有 2n个不同的子集.【点评】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时
7、，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出 2 个元素的子集时，先从 a 起，a 与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看 a，再看 b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集： 和它本身.【变式训练】1. 已知 ，则这样的集合 有 个.【解析】集合 A 可以为a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e【答案】7 个2.已知集合 A=1，2，3，平面内以（ x， y）为坐标的点集合B=（ x， y） x A， y A， x+y A，则 B 的子集个数为（ ）A3 B4 C7 D8【解析】 集合 A=1，2，3，平面内以（
8、 x， y）为坐标的点集合B=（ x， y） x A， y A， x+y A， B=（1，1） ， （1，2） ， （2，1） B 的子集个数为：2 3=8 个【答案】D探究二 集合间的关系例 2. 集合 ，集合 ，那么 间的关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 【分析】根据集合间的关系进行判断.【点评】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合） 、形象化（用 Venn 图，或数形集合表示）.【变式训练】1.若集合 ，则（ ）.A. B. C. = D. 【解析】因为 A,
9、B 中的元素显然都是奇数,所以 A,B 都是由所有奇数构成的集合.故 A=B【答案】C2.设 M=x|x=a2+1，a N+，N=x|x=b 2-4b+5，b N+，则 M 与 N 满足( )A. M=N B. M N C. N M D. M N【解析】 当 a N+时，元素 x=a2+1，表示正整数的平方加 1 对应的整数，而当 b N+时，元素 x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中 b-2 可以是 0，所以集合 N 中元素是自然数的平方加 1 对应的整数，即 M 中元素都在 N 中，但 N 中至少有一个元素 x=1 不在 M 中，即 M N，故选 B. 【答案】B探究三 集合间关系具
10、有的性质例 3：已知 若 M=N，则 = A200 B200 C100 D0【分析】解答本题应从集合的概念、表示及关系入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性由 M=N 可知必有 x2=|x|，即|x| 2=|x|，|x|=0 或|x|=1若|x|=0 即 x=0，以上讨论知不成立若|x|=1 即 x=1当 x=1 时，M 中元素|x|与 x 相同，破坏了 M 中元素互异性，故 x1当 x=-1 时，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合题意，综上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+2=0【答案】0【点评】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口因此，集合元素的特
11、征是分析解决某些集合问题的切入点【变式训练】1设 a，b R，集合 ，则 b-a=( )【答案】22集合 A=x|y=x2+1，B=y|y=x 2+1，C=(x,y)|y=x 2+1，D=y=x 2+1是否表示同一集合？【解析】集合 A=x|y=x2+1的代表元素为 x，故集合 A 表示的是函数 y=x2+1 中自变量 x 的取值范围，即函数的定义域 A= ；集合 B=y|y=x2+1的代表元素为 y，故集合 B 表示的是函数 y=x2+1 中函数值 y 的取值范围，即函数的值域 B= ；集合 C=(x,y)|y=x2+1的代表元素为点（x，y） ，故集合 C 表示的是抛物线 y=x2+1 上
12、的所有点组成的集合；集合 D=y=x2+1是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程 y=x2+1【答案】都不相同【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析A 3,10 8B 9 2,5,7,11 3,4,6,12,13,14,15C 1一、选择题1.已知全集 ，则正确表示集合 和 关系的韦恩（Venn）图是 （ ）2.已知集合 ， ，则满足条件的集合 C 的个数为 （ ）A1 B2 C3 D43.设 M=x|x=a2+1，a N+，N=x|x=b 2-4b+5，b N+，则 M 与 N 满足( )A. M=N B. M N C. N M D. M N4.已知
13、集合 A x|x210，则有( )A1 A B0 A C A D0 A5.集合 的所有真子集个数为( )A3 B 7 C15 D316.同时满足： M1,2,3,4,5； a M，则 6 a M 的非空集合 M 有( )A6 个 B7 个 C15 个 D16 个7.已知集合 P x|x21， Q x|ax1，若 QP，则 a 的值是( )A1 B1C1 或1 D0,1 或18.设 ， ，若 则 的取值范围是（ ）A B C D.9.已知集合 A x|1 x14， B(， a)，若 AB，则实数 a 的取值范围是(c，)，其中 c_.10.用适当的符号填空：（1） ；（2） ；（3） .11.已
14、知集合 A1,3,2m1，集合 B3，m 2，若 B A，则实数 m_.12.设 A 是非空集合，对于 k A，如果 ，那么称集合 A 为“和谐集” ，在集合的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为 ZXXK13.已知 A x|x3， B x|x a(1)若 BA，求 a 的取值范围；(2)若 AB，求 a 的取值范围14.若集合 Mx|x 2x60，Nx|(x2)(xa)0，且 N M，求实数 a 的值15.已知全集 ,集合 R ，；若 时，存在集合 M 使得 ，求出这样的集合 M；1.【解析】由 ，得 ，则 ,选 B【答案】B【答案】D3.【解析】当 a N+时，元素 x=a2+1，表示正
15、整数的平方加 1 对应的整数，而当 b N+时，元素 x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中 b-2 可以是 0，所以集合 N 中元素是自然数的平方加 1 对应的整数，即 M 中元素都在 N 中，但 N 中至少有一个元素 x=1 不在 M 中，即 M N，故选 B.【答案】B4.【解析】由已知， A1，1，所以选项 A，B，D 都错误，因为是任何非空集合的真子集，所以 C 正确【答案】C5.【解析】 ，所以，真子集的个数为 15 个【答案】C6.【解析】 a3 时，6 a3； a1 时，6 a5；a2 时，6 a4； a4 时，6 a2； a5 时，6 a1，非空集合 M 可能是：3，1,
16、5，2,4，1,3,5，2,3,4，1,2,4,5，1,2,3,4,5共 7 个.故选 B【答案】B【答案】510.【解析】 （1） ；（2） ；（3） .【答案】 （1） ；（2） ；（3） .11.【解析】 ，即 ，当 时，满足【答案】112.【解析】由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素-1，1， 和 3， 和 2，所以共有和谐集的集合的个数为 15 个【答案】1513.【解析】(1)因为 BA， B 是 A 的子集，由图(1)得 a3.(1)(2)因为 AB， A 是 B 的子集，由图 (2)得 a3.(2)【答案】 （1） a3（2） a314.【解析】由 得 或 ，因此若 a=2 时，则 ，此时若 a=-3 时，则 ，此时若 ，则 ，此时 N 不是 M 的子集
