1、1小专题(五) 运用幂的运算法则巧解计算题同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等幂的运算性质是学习整式乘法的基础,也是进行整式运算的主要依据 .类型 1 运用幂的运算性质求代数式的值1.已知 10a=5,10b=6,(1)求 102a+103b的值;(2)求 102a+3b的值;(3)求 102a-3b的值 .解:当 10a=5,10b=6 时,(1)102a+103b=(10a)2+(10b)3=52+63=241.(2)102a+3b=102a103b=(10a)2(10b)3=5263=5400.(3)102a-3b=102a103b=(10a)2(10b)3=5263=.
2、2.已知 am=3,an=4,求 a3mam+n的值 .解: a3mam+n=a2m-n=a2man=(am)2an=324=.23.已知 2x+5y-3=0,求 4x32y的值 .解: 2x+5y-3=0, 2x+5y=3. 4x32y=22x25y=22x+5y=23=8.4.若 x2xa+2x2a=x31,则( a3+a2)-(a3+2a-1)的值是多少?解:因为 x2xa+2x2a=x2+a+2+2a=x3a+4=x31,所以 3a+4=31,a=9.所以( a3+a2)-(a3+2a-1)=a2-2a+1=64.5.已知 3x+25x+2=153x-4,求( x-1)2-3x(x-2
3、)-4 的值 .解: 3x+25x+2=15x+2=153x-4,x+ 2=3x-4,解得 x=3, (x-1)2-3x(x-2)-4=-2x2+4x-3=-9.3类型 2 运用幂的运算性质探究数量之间的关系6.已知 2x=3,2y=4,2z=12 则 x,y,z 之间有何数量关系?解:因为 2x2y=2x+y=34=12,2z=12,所以 2x+y=2z,x+y=z.7.已知 am=4,an=2,ap=16,试说明:3 m+2n=2p.解: (am)3 (an)2=4322=28,(ap)2=162=28, (am)3(an)2=(ap)2,又 (am)3(an)2=a3m+2n,(ap)2
4、=a2p, 3m+2n=2p.类型 3 运用幂的运算性质判断末位数字8.已知 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,观察上述算式的规律,试判断8667的个位数字是几?解:从题中可以看出,指数每连续 4 个数后,运算结果的末位数就会出现循环,分别是2,4,8,6.4所以 8667=(23)667=22001=24500+1,所以它的末位数字为 2.9.计算:2 1-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测 22018-1 的个位数字是多少?解: 21-1=1,22-1=3,23
5、-1=7,24-1=15,25-1=31,26-1=63,27-1=127,28-1=255, 由此可以猜测个位数字以 4 为周期按照 1,3,7,5 的顺序进行循环,而20184=5042, 猜测 22018-1 的个位数字是 3.类型 4 运用幂的运算性质比较大小10.比较 2555,3444,4333的大小 .解:因为 2555=(25)111=32111,3444=(34)111=81111,4333=(43)111=64111,而 816432,所以 344443332555.511.设 m=2100,n=375,为了比较 m 与 n 的大小,小明想到了如下方法: m=2100=(24)25=1625,即 25个 16 相乘的积; n=375=(33)25=2725,即 25 个 27 相乘的积,显然 mb 时, a b=a;当 a b 时, a b=b2.那么,当 x=a2时,( -1-a2) xx-x( a2-1)3= 0 . 15.现规定一种新的运算“”: a b=ba,如 32 =23=8,求 3和 3( -a2b).解:3 .3( -a2b)=(-a2b)3=-a6b3.
