1、1北师版数学七年级上册第 3 章整式的加减（3）探索规律考点一：数字的规律1（2018梧州）按一定规律排列的一列数依次为： 2，3，10，15，26，35，按此规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ ）A9999 B10000 C10001 D10002【分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加 1，第偶数是序数的平方减 1，据此规律得到正确答案即可【解答】解：第奇数个数 2=12+1，10=3 2+1，26=5 2+1，第偶数个数 3=221，15=4 21，25=6 21，第 100 个数是 10021=9999，故选：A 2（2018咸宁）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：
2、 ， ， ， ，216201则这个数列前 2018 个数的和为 【分析】根据数列得出第 n 个数为 ，据此可得前 2018 个数的和为 + +)1(213+ + ，再用裂项求和计算可得431520918【解答】解：由数列知第 n 个数为 ，)1(则前 2018 个数的和为 + + + +2134520198=1 + + + + 21345018=1 = ，0982故答案为： 201983（2018期末）下面是按一定规律排列的一列数： ， ， ， 那么第 8 个数3254-78916-是 【分析】第 n 个数的分子为（2） n、分母为 2n+1，代入 n=8 即可得出结论【解答】解：观察分子规律
3、：2，4，8，16，（2） n；分母规律：3，5，7，9，2n+1第 8 个数是 = 12-8）（ 756故答案为： 4（2018期末）一组按规律排列的数： ，请你推断第 n 个数是 【分析】由分子 1=10+1，3=12+1，7=23+1，13=34得出第 n 个数的分子为n（n1），分母是从 2 开始连续自然数的平方，第 n 个数的分母为（n+1） 2，再根据偶数项是负数，由此规律即可解决问题【解答】解：由分子 1=10+1，3=12+1，7=23+1，13=34，得出第 n 个数的分子为 n（n1），分母是从 2 开始连续自然数的平方，第 n 个数的分母为（n+1） 2，再根据偶数项是负
4、数，所以第 n 个数是（1） n+1 故答案为（1） n+1 2)1(2)1(考点二：数式的规律5（2018模拟）观察下列等式：第一个等式是 1+2=3，第二个等式是 2+3=5，3第三个等式是 4+5=9，第四个等式是 8+9=17，猜想：第 n 个等式是 【分析】第一个等式是 20+（2 0+1）=2 1+1，第二个等式是 21+（2 1+1）=2 2+1，第三个等式是22+（2 2+1）=2 3+1，第四个等式是 23+（2 3+1）=2 4+1，第 n 个等式是 2n1 +（2 n1 +1）=2n+1【解答】解：第 n 个等式是 2n1 +（2 n1 +1）=2 n+16（2018期末
5、）根据下列各式的规律，在横线处填空：【分析】根据给定等式的变化，可找出变化规律“ （n 为正整数）”，依此规律即可得出结论【解答】解：2018=21009， 20187109-2807故答案为： 1097（2018模拟）观察下列等式： 1=12，1+3=2 2，1+3+5=3 2，1+3+5+7=4 2，则1+3+5+7+2019= 【分析】通过观察题中给定的等式发现存在 1+3+5+2n1=n 2的规律，令 2019=2n1，即可求得结论【解答】解：观察 1=12；1+3=2 2；1+3+5=3 2；1+3+5+7=4 2，可知，1+3+5+2n1=n 2，2019=2n1，n=（2019+
6、1）2=1010，故答案为：1010 28（2018安徽）观察以下等式：4第 1 个等式： + + =1，201第 2 个等式： + + =1，3第 3 个等式： + + =1，142第 4 个等式： + + =1，53第 5 个等式： + + =1，164按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第 6 个等式： ；（2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的等式表示）【分析】以序号 n 为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在 n 的基础上依次加 1，每个分子分别是 1 和 n1【解答】解：（1）根据已知规律，第 6 个分式分母为 6 和 7，分子分别为 1 和 5故应填： +
7、+ =1675（2）根据题意，第 n 个分式分母为 n 和 n+1，分子分别为 1 和 n1故应填： + + =111考点三：数阵的规律9（2018绵阳）将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 19521 23 25 27 29按照以上排列的规律，第 25 行第 20 个数是（ ）A639 B637 C635 D633【分析】由三角形数阵，知第 n 行的前面共有 1+2+3+（n1）个连续奇数，再由等差数列的前 n 项和公式化简，再由奇数的特点求出第 n 行从左向右的第 m 个数，代入可得答案【解答】解：根据三角形数阵可知，第 n 行奇数的个数为 n 个，则前 n
8、1 行奇数的总个数为 1+2+3+（n1）= 个，2)1(则第 n 行（n3）从左向右的第 m 个数为第 +m 个奇数，n即：1+2 +m1=n 2n+2m12)1(n=25，m=20 时，这个数为 639，故选：A10（2018宜昌）1261 年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则 a，b，c 的值分别为（ ）Aa=1，b=6，c=15 Ba=6，b=15，c=20Ca=15，b=20，c=15 Da=20，b=15，c=6【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数
9、字之和，可得 a、b、c的值6【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，故选：B11（2018模拟）观察图中的 “品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为（ ）A75 B89 C103 D139【分析】由 1、3、5、为连续的奇数可知，11 所在“品”字形为第 6 个图形，由左下的数字为 2、4、8、可得出 b=26=64，再由右下数字为上面数字加左下数字，即可求出 a值【解答】解：“品”字形中上面的数字为连续的奇数，左下的数字为 2、4、8、，11 所在“品”字形为第 6 个图形，b=26=64又
10、1+2=3，3+4=7，5+8=13，a=11+b=75故选：A12（2018淄博）将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是12，则位于第 45 行、第 8 列的数是 【分析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，可得第 45 行第一个数是 2025，推出第 45行、第 8 列的数是 20257=2018；【解答】解：观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，第 45 行第一个数是 2025，第 45 行、第 8 列的数是 20257=2018，故答案为 2018713.（2018桂林）将从 1 开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第 m 行，第 n 列
11、的自然数 10 记为（3，2），自然数 15 记为（4，2）按此规律，自然数 2018 记为 .第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列第 1 行 1 2 3 4第 2 行 8 7 6 5第 3 行 9 10 11 12第 4 行 16 15 14 13 第 n 行 【分析】根据表格可知，每一行有 4 个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列用 2018 除以 4，根据除数与余数确定 2018 所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可【解答】解：由题意可得，每一行有 4 个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大
12、到小排列20184=5042，504+1=505，2018 在第 505 行，奇数行的数字从左往右是由小到大排列，自然数 2018 记为（505，2）故答案为（505，2）14.（2018枣庄）将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列：第 1 行 1第 2 行 2 3 4第 3 行 9 8 7 6 5第 4 行 10 11 12 13 14 15 16第 5 行 25 24 23 22 21 20 19 18 17则 2018 在第 行【分析】通过观察可得第 n 行最大一个数为 n2，由此估算 2018 所在的行数，进一步推算得出答案即可8【解答】解：44 2=1936，45 2=2025，2
13、018 在第 45 行故答案为：45考点三：图形的规律15（2018重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有 4 个三角形，第个图案中有 6 个三角形，第个图案中有 8 个三角形，按此规律排列下去，则第个图案中三角形的个数为（ ）A12 B14 C16 D18【分析】根据第个图案中三角形个数 4=2+21，第个图案中三角形个数 6=2+22，第个图案中三角形个数 8=2+23 可得第个图形中三角形的个数为 2+27【解答】解：第个图案中三角形个数 4=2+21，第个图案中三角形个数 6=2+22，第个图案中三角形个数 8=2+23，第个图案中三角形的个数为 2+27=16，故选：
14、C16（2018重庆）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第个图中有 3张黑色正方形纸片，第个图中有 5 张黑色正方形纸片，第个图中有 7 张黑色正方形纸片，按此规律排列下去第个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）A11 B13 C15 D17【分析】仔细观察图形知道第一个图形有 3 个正方形，第二个有 5=3+21 个，第三个图形有 7=3+22 个，由此得到规律求得第个图形中正方形的个数即可【解答】解：观察图形知：第一个图形有 3 个正方形，第二个有 5=3+21 个，第三个图形有 7=3+22 个，故第个图形有 3+25=13（个），故选：B917（2018济宁）如图，小正方形是
15、按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）A B C D【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为 10，据此可得【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为 10，符合此要求的只有故选：C18（2018烟台）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）A28 B29 C30 D31【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为 120，即可求得相应的 n 的值，从而可以解答本题【解答】解：由图可得，第 n 个图形有玫瑰花：4n
16、，令 4n=120，得 n=30，故选：C19（2018自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规10律，第 2018 个图形共有 个【分析】每个图形的最下面一排都是 1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案【解答】解：观察图形可知：第 1 个图形共有：1+13，第 2 个图形共有：1+23，第 3 个图形共有：1+33，第 n 个图形共有：1+3n，第 2018 个图形共有 1+32018=6055，故答案为：605520（2018宁夏）如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0 纸长度方向对折一半后
17、变为 A1 纸；A1 纸长度方向对折一半后变为 A2 纸；A2纸长度方向对折一半后变为 A3 纸；A3 纸长度方向对折一半后变为 A4 纸A4 规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张 A4 的纸可以裁 16 张 A8 的纸【分析】根据题意可以得到一张 A4 的纸可以裁 2 张 A5 的纸，以此类推，得到答案【解答】解：由题意得，一张 A4 的纸可以裁 2 张 A5 的纸，一张 A5 的纸可以裁 2 张 A6 的纸，一张 A6 的纸可以裁 2 张 A7 的纸，一张 A7 的纸可以裁 2 张 A8 的纸，一张 A4 的纸可11以裁 24=16 张 A8 的纸，故答案为：1621（2018遵义
18、）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2018 层的三角形个数为 【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题【解答】解：由图可得，第 1 层三角形的个数为：1，第 2 层三角形的个数为：3，第 3 层三角形的个数为：5，第 4 层三角形的个数为：7，第 5 层三角形的个数为：9，第 n 层的三角形的个数为：2n1，当 n=2018 时，三角形的个数为：220181=4035，故答案为：403522（2018赤峰）观察下列一组由 排列的“星阵”，按图中规律，第 n 个“星阵”中的的个数是 12【分析】排列组成的图形都是三角形第一个图形中有 2+1
19、2=4 个，第二个图形中有2+23=8 个，第三个图形中有 2+34=14 个，继而可求出第 n 个图形中的个数【解答】解：第一个图形有 2+12=4 个，第二个图形有 2+23=8 个，第三个图形有 2+34=14 个，第四个图形有 2+45=22 个，第 n 个图形共有：2+n（n+1）=n 2+n+2故答案为：n 2+n+224（2018黔西南州）“分块计数法 ”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图 1 有 6 个点，图 2 有 12 个点，图 3 有 18 个点，按此规律，求图 10、图 n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的 6 块，每块黑点的个数
20、相同（如图），这样图 1 中黑点个数是 61=6 个；图 2 中黑点个数是 62=12 个：图 3 中黑点个数是 63=18 个；所以容易求出图 10、图 n 中黑点的个数分别是 、 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：（1）第 5 个点阵中有 个圆圈；第 n 个点阵中有 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于 271 吗？如果会，请求出是第几个点阵13【分析】根据规律求得图 10 中黑点个数是 610=60 个；图 n 中黑点个数是 6n 个；（1）第 2 个图中 2 为一块，分为 3 块，余 1，第 2 个图中 3 为一块，分为 6 块，余 1；按此规律得：第 5
21、个点阵中 5 为一块，分为 12 块，余 1，得第 n 个点阵中有：n3（n1）+1=3n 23n+1，（2）代入 271，列方程，方程有解则存在这样的点阵【解答】解：图 10 中黑点个数是 610=60 个；图 n 中黑点个数是 6n 个，故答案为：60个，6n 个；（1）如图所示：第 1 个点阵中有：1 个，第 2 个点阵中有：23+1=7 个，第 3 个点阵中有：36+1=17 个，第 4 个点阵中有：49+1=37 个，第 5 个点阵中有：512+1=60 个，第 n 个点阵中有：n3（n1）+1=3n 23n+1，故答案为：60，3n 23n+1；（2）3n 23n+1=271，n
22、2n90=0，（n10）（n+9）=0，n 1=10，n 2=9（舍），小圆圈的个数会等于 271，它是第 10 个点阵1425（2018模拟）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第 5 个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有 2 018 颗黑色棋子？请说明理由【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求解（1）与（2）【解答】解：（1）图有 2 个棋子，2=21 2=2，图有 8 个棋子，8=22 2，图有 18个棋子，18=23 2，25 2=50，第五个图形有 50 个黑色棋子；（2）设第 n 个图形有 2018 个黑色棋子，得：2n 2=2018，此方程无整数解，没有哪个图形有 2018 颗黑色棋子
