1、16.2 垂直关系的性质学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简单问题(重点)；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系(重、难点).知识点一 直线与平面垂直的性质定理文字语言 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号语言 Error!a b图形语言作用线面垂直线线平行作平行线【预习评价】(1)垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？提示 共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？提示 有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线
2、与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.知识点二 平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言 Error!a 图形语言作用面面垂直 线面垂直作面的垂线【预习评价】(1)如果 ，则 内的直线必垂直于 内的无数条直线，对吗？提示 正确.若设 l， a ， b ， b l，则 a b，故 内与 b 平行的无数条直线均垂直于 内的任意直线.(2)如果 ，过 外的任意一点作 与 交线的垂线，则这条直线必垂直于 ，对2吗？提示 错误.垂直于交线的直线必须在平面 内才与平面 垂直，否则不垂
3、直.题型一 直线与平面垂直的性质及应用【例 1】 如图，正方体 A1B1C1D1 ABCD 中， EF 与异面直线 AC、 A1D都垂直相交.求证： EF BD1.证明 如图所示，连接 AB1、 B1D1、 B1C、 BD， DD1平面 ABCD，AC 平面 ABCD， DD1 AC.又 AC BD， DD1 BD D， AC平面 BDD1B1，又 BD1 平面 BDD1B1， AC BD1.同理可证 BD1 B1C，又 AC B1C C， BD1平面 AB1C. EF A1D， A1D B1C， EF B1C.又 EF AC， AC B1C C， EF平面 AB1C， EF BD1.规律方法
4、 证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.【训练 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AB平面 PAD， AD AP， E 是 PD 的中点， M， N 分别在 AB， PC 上，且MN AB， MN PC.证明： AE MN.证明 因为 AB平面 PAD， AE 平面 PAD，所以 AE AB，又 AB C
5、D，所以 AE CD.因为 AD AP， E 是 PD 的中点，所以 AE PD.3又 CD PD D，所以 AE平面 PCD.因为 MN AB， AB CD，所以 MN CD.又因为 MN PC， PC CD C，所以 MN平面 PCD，所以 AE MN.题型二 平面与平面垂直的性质及应用【例 2】 如图，在三棱锥 V ABC 中，平面 VAB平面 ABC， VAB 为等边三角形， AC BC 且 AC BC ， O， M 分别为 AB， VA 的中点.2(1)求证： VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB.证明 (1) O， M 分别为 AB， VA 的中点， OM VB.
6、 VB平面 MOC， OM 平面 MOC， VB平面 MOC.(2) AC BC， O 为 AB 的中点， OC AB.又平面 VAB平面 ABC，且平面 VAB平面 ABC AB， OC 平面 ABC， OC平面 VAB. OC 平面 MOC，平面 MOC平面 VAB.规律方法 (1)证明或判定线面垂直的常用方法：线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理；若 a b， a ，则 b (a， b 为直线， 为平面)；若 a ， ，则 a (a 为直线， ， 为平面)；(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练 2】 如图所示
7、， P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点， ABCD 是 DAB60且边长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)若 G 为 AD 边的中点，求证： BG平面 PAD；(2)求证： AD PB.证明 (1)连接 BD，四边形 ABCD 是菱形且 DAB60， ABD 是正三角形，又 G 是 AD 的中点， BG AD，又平面 PAD平面 ABCD 且两平面交于 AD，4 BG平面 PAD.(2)连接 PG，由(1)可知 BG AD， PAD 是正三角形， G 是 AD 中点，所以PG AD， BG PG G，所以 AD平面 PBG，所以 AD PB.
8、方向 1 证明直线和直线平行【例 31】 如图， l， PA ， PB ，垂足分别为A、 B， a ， a AB.求证： a l.证明 PA ， l ， PA l.同理 PB l. PA PB P， l平面 PAB.又 PA ， a ， PA a. a AB， PA AB A， a平面 PAB. a l.方向 2 证明直线和直线垂直【例 32】 如图，在三棱锥 PABC 中， PA平面 ABC，平面 PAB平面PBC.求证： BC AB.证明 如图，在平面 PAB 内，作 AD PB 于点 D.平面 PAB平面 PBC，且平面 PAB平面 PBC PB. AD平面 PBC.又 BC 平面 PB
9、C， AD BC.又 PA平面 ABC， BC 平面 ABC， PA BC，又 PA AD A， BC平面 PAB.又 AB 平面 PAB， BC AB.方向 3 证明直线和平面垂直【例 33】 如图所示，正方形 ABCD 所在平面与四边形 ABEF 所在平面互相垂直， AF BE， AF EF， AF EF BE.求证： EA平面 ABCD.125证明 设 AF EF a，则 BE2 a.过 A 作 AM BE 于 M， AF BE， AM AF.又 AF EF， AM EF.四边形 AMEF 是正方形. AM a， EM MB a. AE AB a.2 AE2 AB2 EB2， AE AB
10、.又平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEF AB， AE 平面 ABEF， EA平面 ABCD.方向 4 证明平面和平面垂直【例 34】 如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC平面 BCD， AB AC， DC BC.求证：平面 ABD平面 ACD.证明 平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面 BCD BC，在平面 ABC 内，作 AE BC 于点E，如图，则 AE平面 BCD.又 CD 平面 BCD， AE CD.又 BC CD， AE BC E，AE， BC 平面 ABC， CD平面 ABC，又 AB 平面 ABC， AB CD.又 AB AC， AC CD C
11、，AC、 CD 平面 ACD. AB平面 ACD.又 AB 平面 ABD，平面 ABD平面 ACD.6规律方法 (1)无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.(2)在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性.课堂达标1.已知平面 平面
12、l，平面 ， ，则( )A.l B.lC.l 与 斜交 D.l 解析 如图，在 内取一点 O，作 OE m， OF n，由于 ， m，所以 OE ，因为 l ，所以 OE l，同理 OF l， OE OF O，所以 l .答案 D2.设平面 与平面 垂直，交线为 l，直线 a ，直线 b ， a， b 与 l 都不垂直，那么( )A.a 与 b 可能垂直，但不可能平行B.a 与 b 可能垂直，也可能平行C.a 与 b 不可能垂直，但可能平行D.a 与 b 不可能垂直，也不可能平行解析 由题意，当 a l， l b 时， a b，故 A，D 错；若 a b， b 与 l 不垂直，在 b 上取点
13、A，过 A 作 AB l，由面面垂直的性质定理得AB ， a ， AB a，又 a b， AB b A， a a l.这和 a 与 l 不垂直相矛盾.不可能 a b.故 B 错，故选 C.答案 C3.已知 ， ， 是三个不同的平面，命题“ ，且 ”是真命题，7如果把 ， ， 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个.解析 若 ， 换为直线 a， b，则命题化为“ a b，且 a b ”，此命题为真命题；若 ， 换为直线 a， b，则命题化为“ a ，且 a bb ”，此命题为假命题；若 ， 换为直线 a， b，则命题化为“ a ，且 b a b”，此命题为真命题
14、.答案 24.已知 a、 b 为直线， 、 为平面.在下列四个命题中，正确的命题是_.若 a ， b ，则 a b；若 a ， b ，则 a b；若 a ， a ，则 ；若 b， b，则 .解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假.答案 5.如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB平面 SBC， AB BC，过点 A作 AF SB，垂足为 F.求证： BC SA.证明 因为平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBC SB，AF 平面 SAB， AF SB，所以 AF平面 SBC.又因为
15、 BC 平面 SBC，所以 AF BC.因为 AB BC， AF AB A，所以 BC平面 SAB.又因为 SA 平面 SAB，所以 BC SA.课堂小结1.垂直关系之间的相互转化2.平行关系与垂直关系之间的相互转化8基础过关1.平面 平面 ，直线 a ，直线 b ，那么直线 a 与直线 b 的位置关系一定是( )A.平行 B.异面C.垂直 D.不相交解析 因为平面 平面 ，直线 a ，所以 a 或 a .若 a ，则 a b，若a ，设过 a 的平面与平面 的交线为 c，则 a c，由 b c 知 a b.综上知 a b.答案 C2.关于直线 m， n 与平面 ， ，有下列四个命题：若 m
16、， n ，且 ，则 m n；若 m ， n ，且 ，则 m n；若 m ， n ，且 ，则 m n；若 m ， n ，且 ，则 m n.其中真命题的序号是( )A. B. C. D.解析 m， n 可能异面、相交或平行， m， n 可能平行、异面或相交，所以错误.答案 D3.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A.A1E DC1 B.A1E BDC.A1E BC1 D.A1E AC解析 如图，由题设知， A1B1平面 BCC1B1，从而 A1B1 BC1，又B1C BC1，且 A1B1 B1C B1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E 平面A1B1
17、CD，所以 A1E BC1.答案 C4.如图，在三棱锥 P ABC 内，侧面 PAC底面 ABC，且 PAC90，PA1， AB2，则 PB_.9解析 侧面 PAC底面 ABC，交线为 AC， PAC90(即 PA AC)， PA平面 ABC， PA AB， PB .PA2 AB2 1 4 5答案 55.如图所示，已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M， N 分别为 AB， DF 的中点.若 CD2，平面 ABCD平面 DCEF，则线段 MN 的长等于_.解析 取 CD 的中点 G，连接 MG， NG.因为 ABCD， DCEF 为正方形，且边长为 2，所以 MG CD，
18、 MG2， NG .2因为平面 ABCD平面 DCEF，所以 MG平面 DCEF，可得 MG NG，所以 MN .MG2 NG2 6答案 66.如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， E 是侧棱 BB1的中点，求证：平面A1EC平面 AA1C1C.证明 因为 E 是 BB1的中点，所以 B1E BE.又因为在正三棱柱 ABC A1B1C1中，有 A1B1 BC， A1B1E CBE90，所以 A1B1E CBE，所以 A1E CE.如图，取 A1C 的中点 F，连接 EF，取 AC 的中点 G，连接 FG， GB.在 AA1C 中， GF AA1， GF AA1，12而点 E 是 BB1的
19、中点，所以 BE 綊 AA1，所以 GF 綊 BE，1210所以四边形 BEFG 是平行四边形，所以 BG EF.在正三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 是等边三角形，所以 BG AC.又因为平面 ABC平面 AA1C1C， AC 是两平面的交线，所以 BG平面 AA1C1C，所以 EF平面 AA1C1C，又因为 EF 平面 A1EC，所以平面 A1EC平面 AA1C1C.7.如下图所示，已知矩形 ABCD， SA平面 ABCD， AE SB 于点 E， EF SC 于点 F.(1)求证： SC AF；(2)若平面 AEF 交 SD 于点 G，求证： AG SD.证明 (1) SA平面
20、ABCD， BC 平面 ABCD， SA BC.四边形 ABCD 是矩形， AB BC.又 AB SA A， BC平面 SAB，又 AE 平面 SAB， BC AE，又 SB AE， SB BC B， AE平面 SBC，又 SC 平面 SBC， AE SC.又 EF SC， EF AE E， SC平面 AEF.又 AF 平面 AEF， SC AF.(2) SA平面 ABCD， CD 平面 ABCD， SA CD.又 AD CD， SA AD A，11 CD平面 SAD，又 AG 平面 SAD， DC AG.由(1)有 SC平面 AEF，又 AG 平面 AEF， SC AG，又 SC CD C，
21、 AG平面 SCD，又 SD 平面 SCD， AG SD.能力提升8.如图，正方形 SG1G2G3中， E、 F 分别是 G1G2、 G2G3的中点，现在沿 SE、 SF、 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1、 G2、 G3重合，重合后的点记为 G.给出下列关系： SG平面 EFG； SE平面 EFG； GF SE； EF平面 SEG.其中成立的有( )A.与 B.与C.与 D.与解析 由 SG GE， SG GF， GE GF G，得 SG平面 EFG，排除 C、D；若 SE平面 EFG，则 SG SE，这与 SG SE S 矛盾，排除 A，故选 B.答案 B9.如图所示， PA矩形
22、 ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有( )A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对解析 PA、 AD、 AB 两两垂直，平面 PAD、平面 PAB、平面 ABCD 两两垂直有 3 对.又 BC BA， BC PA， BC平面 PAB，平面 PBC平面 PAB，同理平面 PDC平面 PAD.答案 C10.设两个平面 ， ，直线 l，下列三个条件： l ； l ； .若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为_.12解析 作为前提条件，作为结论构成的命题正确，过 l 作一平面与 交于 l，则l l，所以 l ，故 ；作为前提条件，作为结
23、论构成的命题错，这时可能有 l ；作为前提条件，作为结论构成的命题错，这时 l 与 的各种位置关系都可能存在.答案 111.如图，四面体 P ABC 中， PA PB ，平面 PAB平面13ABC， ABC90， AC8， BC6，则 PC_.解析 取 AB 的中点 D，连接 PD， PA PB， PD AB，平面 PAB平面 ABC， PD平面 ABC.连接 DC，则 PDC 为直角三角形，在 Rt ABC 中， AB AC2 BC2 2 ，82 62 7在 Rt DBC 中， DC BC2 BD2 ，62 （ 7） 2 43PD PA2 AD2 .13 7 6PC 7.DC2 PD2 （
24、43） 2 （ 6） 2答案 712.如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面 BCD，点 E， F(E 与 A， D不重合)分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内， AB AD， EF AD，则 AB EF. AB 平面 ABC， EF 平面 ABC， EF平面 ABC.(2) BC BD，平面 ABD平面 BCD BD，平面 ABD平面 BCD， BC 平面 BCD，13 BC平面 ABD. AD 平面 ABD， BC AD. AB AD， BC， AB 平面 ABC，
25、 BC AB B， AD平面 ABC，又 AC 平面 ABC， AD AC.13.如图，平面 PAC平面 ABC， AC BC， PE CB， M 是 AE 的中点.(1)若 N 是 PA 的中点，求证：平面 CMN平面 PAC；(2)若 MN平面 ABC，求证： N 是 PA 的中点.证明 (1)因为平面 PAC平面 ABC，且平面 PAC平面 ABC AC，AC BC， BC 平面 ABC，所以 BC平面 PAC，又 M， N 分别为 AE， AP 的中点，所以 MN PE，又 PE CB，所以 MN BC，即 MN平面 PAC，又 MN 平面 CMN，所以平面 CMN平面 PAC.(2)因为 PE CB， BC 平面 ABC， PE 平面 ABC，所以 PE平面 ABC，设平面 PAE平面 ABC l，则 PE l.又 MN平面 ABC， MN 平面 PAE，所以 MN l.所以 MN PE，因为 M 是 AE 的中点，所以 N 为 PA 的中点.
