1、15.1 平行关系的判定学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义(重点)；2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用(重点)；3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题(重、难点).知识点一 直线与平面平行的判定定理语言叙述 符号表示 图形表示若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行【预习评价】若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？提示 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误，可能直线在平面内.知识点二 平面与
2、平面平行的判定定理语言叙述 符号表示 图形表示如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行Error! 【预习评价】如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？提示 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一 直线与平面平行的判定定理的应用【例 1】 如图，空间四边形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分别是 AB、 BC、 CD、 DA 的中点.求证：(1) EH平面 BCD；(2)BD平面 EFGH.2证明 (1) EH 为 ABD 的中位线， EH BD. EH平面 BCD， BD 平面 BCD， EH平面 BCD.(
3、2) BD EH， BD平面 EFGH，EH 平面 EFGH， BD平面 EFGH.规律方法 (1)利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.(2)证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.【训练 1】 已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， P， Q 分别是对角线 AE， BD 上的点，且 AP DQ(如图).求证：PQ平面 CBE.证明 方法一 作 PM AB 交 BE 于点 M，作 QN AB 交 BC 于点 N，连接MN，如图，则 PM QN， ， .PMAB
4、EPEA QNCD BQBD EA BD， AP DQ， EP BQ.又 AB CD， PM 綊 QN，四边形 PMNQ 是平行四边形， PQ MN.又 PQ平面 CBE，MN 平面 CBE， PQ平面 CBE.方法二 如图所示，连接 AQ 并延长交 BC 的延长线于 K，连接 EK. AE BD， AP DQ， PE BQ， ，APPE DQBQ又 AD BK， ， ，DQBQ AQQK APPE AQQK PQ EK，3又 PQ平面 CBE， EK 平面 CBE， PQ平面 CBE.题型二 面面平行判定定理的应用【例 2】 如图，在已知四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形
5、，点 M， N， Q 分别在 PA， BD， PD 上，且 PM MA BN ND PQ QD.求证：平面 MNQ平面 PBC.证明 因为 PM MA BN ND PQ QD，所以 MQ AD， NQ BP.因为 BP 平面 PBC， NQ平面 PBC，所以 NQ平面 PBC.又因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 BC AD，所以 MQ BC.因为 BC 平面 PBC， MQ平面 PBC，所以 MQ平面 PBC.又因为 MQ NQ Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面 MNQ平面 PBC.规律方法 (1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.(2)
6、判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.【训练 2】 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N、 P 分别是CC1、 B1C1、 C1D1的中点，求证：平面 MNP平面 A1BD.证明 如图所示，连接 B1D1， P、 N 分别是 D1C1、 B1C1的中点， PN B1D1.又 B1D1 BD， PN BD，又 PN平面 A1BD，BD 平面 A1BD， PN平面 A1BD，同理可得 MN平面 A1BD，又 MN PN N，平面 PMN平面 A1BD.4【探究 1】 在正方体 ABCD
7、 A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD1的中点，设 Q 是CC1上的点.问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO？请说明理由.解 当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.理由如下：连接 PQ. Q 为 CC1的中点， P 为 DD1的中点， PQ DC AB， PQ DC AB，四边形 ABQP 是平行四边形， QB PA.又 O 为 DB 的中点， D1B PO.又 PO PA P， D1B QB B，平面 D1BQ平面 PAO.【探究 2】 如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD BC， ADC90，BC CD AD.E 为棱
8、AD 的中点.在平面 PAB 内找一点 M，使得直线12CM平面 PBE，并说明理由.解 在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行，且 BC 的长小于 AD 的长.如图所示，延长 AB， DC，相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 为所求的一个点.理由如下：由已知，得 BC ED，且 BC ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.从而 CM EB.又 EB 平面 PBE， CM平面 PBE，所以 CM平面 PBE.(说明：延长 AP 至点 N，使得 AP PN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)【探究 3】 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E 在
9、PD 上，且PE ED21，在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF平面 AEC？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.解 存在.证明如下：如图，取棱 PC 的中点 F，线段 PE 的中点 M，连接 BD，设 BD AC O.底面 ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点.连接 BF， MF， BM， OE. PE ED21， F 为 PC 的中点， M 为 PE 的中点， E 为 MD 的中点，O 为 BD 的中点，5 MF EC， BM OE. MF平面 AEC， CE 平面 AEC，BM平面 AEC， OE 平面 AEC， MF平面 AEC， BM平面 AEC. MF BM
10、 M，平面 BMF平面 AEC.又 BF 平面 BMF， BF平面 AEC.规律方法 要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线 线 平 行 线 面 平 行 的 判 定 定 理 线 面 平 行 面 面 平 行 的 判 定 定 理 面 面 平 行课堂达标1.直线 a， b 为异面直线，过直线 a 与直线 b 平行的平面( )A.有且只有一个 B.有无数多个C.至多一个 D.不存在解析 在直线 a 上任选一点 A，过点 A 作 b b，则 b是唯一的，因 a
11、b A，所以 a与 b确定一平面并且只有一个平面，故选 A.答案 A2.平面 与平面 平行的条件可以是( )A. 内的一条直线与 平行B. 内的两条直线与 平行C. 内的无数条直线与 平行D. 内的两条相交直线分别与 平行解析 若两个平面 、 相交，设交线是 l，则有 内的直线 m 与 l 平行，得到 m 与平面 平行，从而可得 A 是不正确的；而 B 中两条直线可能是平行于交线 l 的直线，也不能判定 与 平行；C 中的无数条直线也可能是一组平行于交线 l 的直线，因此也不能判定 与 平行.由平面与平面平行的判定定理可得 D 项是正确的.答案 D3.设直线 l， m，平面 ， ，下列条件能得
12、出 的有_(填序号). l ， m ，且 l ， m ； l ， m ，且l m， l ， m ； l ， m ，且 l m； l m P， l ， m ，且l ， m .解析 错误，因为 l， m 不一定相交；错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；错误，两个平面可能相交；正确.6答案 4.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形， E， F， G， H 分别为PA， PD， PC， PB 的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：平面 EFGH平面 ABCD； PA平面 BDG； EF平面 PBC； FH平面 BDG； EF平面 BDG；其中正确
13、结论的序号是_.解析 把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.答案 5.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC BC，点 D 是 AB 的中点，求证： AC1平面 CDB1.证明 如图，连接 BC1，设 BC1与 B1C 的交点为 E，连接 DE. D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点， DE AC1. DE 平面 CDB1， AC1 平面 CDB1， AC1平面 CDB1.课堂小结1.判定直线与平面平行的方法：(1)定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；(2)判定定理：(线线平行线面平行)，72.用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形
14、的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成.3.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.基础过关1.下列说法正确的是( )A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行解析 由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无公共点，故选择 C.答案 C2.过直线 l 外两
15、点，作与 l 平行的平面，则这样的平面( )A.不可能作出 B.只能作出一个C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在解析 设直线外两点为 A、 B，若直线 AB l，则过 A、 B 可作无数个平面与 l 平行；若直线AB 与 l 异面，则只能作一个平面与 l 平行；若直线 AB 与 l 相交，则过 A、 B 没有平面与 l平行.答案 D3.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为棱 AB， CC1的中点，在平面 ADD1A1内且与平面 D1EF 平行的直线( )A.不存在 B.有 1 条C.有 2 条 D.有无数条8解析 画出平面 D1EF 与平面 ADD1A1的交线
16、D1G，如图所示.于是在平面 ADD1A1内与直线 D1G 平行的直线都与平面 D1EF 平行，有无数条.答案 D4.设 m， n 是平面 外的两条直线，给出下列三个论断： m n； m ； n ，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个_.解析 若 m n， m ，则 n ，同样，若 m n， n ，则 m .答案 (或 )5.三棱锥 S ABC 中， G 为 ABC 的重心， E 在棱 SA 上，且 AE2 ES，则 EG 与平面 SBC 的关系为_.解析 如图，延长 AG 交 BC 于 F，连接 SF，则由 G 为 ABC 的重心知AG GF2，又 AE ES2， EG
17、SF，又 SF 平面 SBC， EG平面SBC， EG平面 SBC.答案 平行6.如图，已知 P 是 ABCD 所在平面外一点， E， F， G 分别是 PB， AB， BC的中点.证明：平面 PAC平面 EFG.证明 因为 EF 是 PAB 的中位线，所以 EF PA.又 EF平面 PAC， PA 平面 PAC，所以 EF平面 PAC.同理得 EG平面 PAC.又 EF 平面 EFG，EG 平面 EFG， EF EG E，所以平面 PAC平面 EFG.7.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ACB90，EF AB， FG BC， EG AC， AB2 EF， M 是线段
18、AD 的中点，求证： GM平面 ABFE.证明 因为 EF AB， FG BC， EG AC， ACB90，所以ABC EFG， EGF90，由于 AB2 EF，因此 BC2 FG.如图，连接 AF，9由于 FG BC， FG BC，在 ABCD 中， M 是线段 AD 的中点，则 AM BC，且 AM BC，12 12因此 FG AM 且 FG AM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM FA.又 FA 平面 ABFE， GM平面 ABFE，所以 GM平面 ABFE.能力提升8.在正方体 EFGH E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A.平面 E1FG1与平面 E
19、GH1B.平面 FHG1与平面 F1H1GC.平面 F1H1H 与平面 FHE1D.平面 E1HG1与平面 EH1G解析 如图， EG E1G1，EG平面 E1FG1，E1G1 平面 E1FG1， EG平面 E1FG1，又 G1F H1E，同理可证 H1E平面 E1FG1，又 H1E EG E，平面 E1FG1平面 EGH1.答案 A9.如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )解析 由 B， AB MQ，则直线 AB平面 MNQ；由 C， AB MQ，则直线 AB平面 MNQ；由
20、D， AB NQ，则直线 AB平面 MNQ，故选 A.答案 A1010.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， BM平面 DE； CN平面 AF；平面 BDM平面 AFN；平面 BDE平面 NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是_.解析 以 ABCD 为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.答案 11.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F、 G、 H 分别是棱 CC1、 C1D1、 D1D、 CD 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足_时，有 MN平面 B1BDD1.解析 HN BD， HF DD1，
21、HN HF H， BD DD1 D，平面 NHF平面 B1BDD1，故线段 FH 上任意点 M 与 N 连结，有 MN平面 B1BDD1.答案 M线段 FH12.如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D， E 分别是 BC 与 B1C1的中点.求证：平面 A1EB平面 ADC1.证明 由棱柱性质知，B1C1 BC， B1C1 BC，又 D， E 分别为 BC， B1C1的中点，所以 C1E 綊 DB，则四边形 C1DBE 为平行四边形，因此 EB C1D，又 C1D 平面 ADC1，EB平面 ADC1，所以 EB平面 ADC1.11连接 DE，同理， EB1綊 BD，所以四边形 ED
22、BB1为平行四边形，则 ED 綊 B1B.因为 B1B A1A， B1B A1A(棱柱的性质)，所以 ED 綊 A1A，则四边形 EDAA1为平行四边形，所以 A1E AD，又 A1E平面 ADC1， AD 平面 ADC1，所以 A1E平面 ADC1.由 A1E平面 ADC1， EB平面 ADC1，A1E 平面 A1EB， EB 平面 A1EB，且 A1E EB E，所以平面 A1EB平面 ADC1.13.(选做题)如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， M 是棱 AB 的中点，点 N 在侧面 AA1D1D 上运动，点 N 满足什么条件时， MN平面 BB1D1D?解 如图，在正四棱
23、柱 ABCD A1B1C1D1中，分别取棱 A1B1， A1D1， AD 的中点 E， F， G，连接 ME， EF， FG， GM.因为 M 是 AB 的中点，所以 ME AA1 FG，且 ME AA1 FG.所以四边形 MEFG 是平行四边形.因为 ME BB1， BB1 平面 BB1D1D， ME平面 BB1D1D，所以 ME平面 BB1D1D.在 A1B1D1中，因为 EF B1D1， B1D1 平面 BB1D1D， EF平面 BB1D1D，所以 EF平面 BB1D1D.又因为 ME EF E，且 ME 平面 MEFG， EF 平面 MEFG，所以平面 MEFG平面 BB1D1D.在 FG 上任取一点 N，连接 MN，所以 MN 平面 MEFG.所以 MN 与平面 BB1D1D 无公共点.12所以 MN平面 BB1D1D.总之，当点 N 在平面 AA1D1D 内的直线 FG 上(任意位置)时，都有 MN BB1D1D，即当点 N 在矩形 AA1D1D 中过 A1D1与 AD 的中点的直线上运动时，都有 MN平面 BB1D1D.
