1、13.4.3 应用举例学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型知识链接1数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法2上述的数学模型建立的一般程序是什么？答 解决问题的一般程序是：1审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3求解：对所建立的数学模型
2、进行分析研究得到数学结论；4还原：把数学结论还原为实际问题的解答预习导引1三角函数的周期性y Asin(x ) ( 0)的周期是 T ；2| |y Acos(x ) ( 0)的周期是 T ；2| |y Atan(x ) ( 0)的周期是 T .| |2函数 y Asin(x ) k (A0， 0)的性质(1)ymax A k， ymin A k.(2)A ， k .ymax ymin2 ymax ymin2(3) 可由 确定，其中周期 T 可观察图象获得2T(4)由 x 1 0， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 2 中的 2 32一个确定 的值3三角函数模型的应用三角函数作为描述现
3、实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画2周期变化规律、预测等方面都发挥着十分重要的作用.要点一 三角函数图象的应用例 1 作出函数 y|cos x|， xR 的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间解 y|cos x|Error!作出函数 ycos x 的图象后，将 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，如图由图可知， y|cos x|是偶函数， T，单调递增区间为 (kZ)， 2 k ， k 单调递减区间为 (kZ)k ， 2 k 规律方法 翻折法作函数图象(1)要得到 y| f(x)|的图象，只需将 y f(x)的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到上方
4、，即“下翻上” (2)要得到 y f(|x|)的图象，只需将 y f(x)的图象在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到左边，即“右翻左” ，同时保留右边的部分跟踪演练 1 作出函数 ysin| x|的图象并判断其奇偶性解 sin( x)sin x， ysin| x|Error!其图象如下图由图知， ysin| x|是偶函数要点二 应用函数模型解题例 2 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I Asin(t )3(1)如图所示的是 I Asin(t )( 0，| |0)，1150 2 1150 300942，又 N *，故所求最小正整数 943.规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待
5、定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径跟踪演练 2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离 h(cm)由下面的函数关系式表示： h3sin .(2t 4)(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次？解 (1)令 t0，得 h3sin ，所以开始振动的位置为平衡位置上方 cm 处 4 322 3224(2)由题意知，当 h3 时， t ，即 3s 时
6、第一次升到最高点；当 h3 时， t ，即 8 58s 时第一次下降到最低点58(3)T 3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次22(4)f 0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次1T要点三 构建函数模型解题例 3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度 y(米)随着时间t(0 t24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻 t 的浪高数据的平均值如下表：t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从 y at b， y A
7、sin(t ) b， y Acos(t )中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的 7 时至 19 时之间，当浪高不低于 0.8 米时才进行训练，试安排恰当的训练时间解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择 y Asin(t ) b 较合适令 A0， 0，| |0， 0，| |0， 1，排除 B； 6 6sin 6 3当 x2 时， y 2，排除 D.2sin29已知某种交流电电流 I(A)随时间 t(秒)的变化规律可以用函数 I5 sin2表示， t0，)，则这种交流电电流在 0.5 秒内往复运行_次(100 t 2)答案 2511解析 周期 T
8、 (秒)，从而频率为每秒 50 次，0.5 秒往复运行 25 次2100 15010电流强度 I(安培)随时间 t(秒)变化的函数 I Asin(t )的图象如图所示，则 t秒时的电流强度为_7120答案 0解析 根据图象得 A10，由Error!Error!， I10sin .(100 t 6)当 t 秒时， I10sin60.712011某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t0时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A、 B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数，则d_，其中 t0,60答案 10sin t60解析 将解
9、析式可写为 d Asin(t )的形式，由题意易知 A10，当 t0 时， d0，得 0；当 t30 时， d10，可得 ，所以 d10sin .60 t6012如图，一个水轮的半径为 4m，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间(1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数；(2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角 是以 Ox 为始边， OP0为终边的角( 21 时才可对冲浪者开放13 cos t11，12 6cos t0，2 k t2k ， kZ 6 2 6 2即 12k3 t12k3， kZ.0 t24，故可令中 k 分别为 0,1,2，得 0 t3 或 9t15 或 21t24.在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00 至下午 3：00.
