1、134.1 三角函数的周期性学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数ysin x， ycos x， ytan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y Asin(x )及 y Acos(x )的周期知识链接1观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔 2 个单位重复出现，其理论依据是什么？答 诱导公式 sin(x2 k)sin x(kZ)当自变量 x的值增加 2 的整数倍时，函数值重复出现2设 f(x)sin x，则 sin(x2 k)sin x可以怎样表示？答 f(x2 k) f(x)这就是说：当自变量 x的值增加到 x2 k 时，函数值重复出现预习导引1函数的周
2、期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有f(x T) f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期性由 sin(x2 k)sin_ x，cos( x2 k)cos_ x知 ysin x与 ycos x都是周期函数，2k( kZ 且 k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2.3 y Asin(x )， y Acos(x )的周期一般地，函数 y Asin(x )及 y Aco
3、s(x )(其中 A， ， 为常数，且A0， 0)的最小正周期 T .2要点一 求正弦、余弦函数的周期例 1 求下列函数的周期：(1)ysin (xR)；(2x3)2(2)y|sin2 x|(xR)解 (1)方法一 令 z2 x ， xR， zR.3函数 f(x)sin z的最小正周期是 2，就是说变量 z只要且至少要增加到 z2，函数 f(x)sin z(zR)的值才能重复取得，而 z22 x 22( x) ，所以自变量 x只要且至少要增加到 x，函数3 3值才能重复取得，从而函数 f(x)sin (xR)的周期是 .(2x3)方法二 f(x)sin 的周期为 .(2x3) 22(2)作出
4、y|sin2 x|的图象由图象可知， y|sin2 x|的周期为 .2规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“ x”增加到“x T”时函数值重复出现，则可得 T是函数的一个周期(2)常见三角函数周期的求法：对于形如函数 y Asin(x )， 0(或 y Acos(x )， 0)的周期求法通常用公式 T 来求解2| |对于形如 y| Asin x |(或 y| Acos x |)的周期情况常结合图象来解决跟踪演练 1 求下列函数的最小正周期：(1)ycos2 x；(2) ysin x；(3) y2sin .12 (x3 6)解 (1)定义法：令 u2 x，则 cos
5、2xcos u是周期函数，且最小正周期为 2.cos( u2)cos u，则 cos(2x2)cos2 x，即 cos2(x)cos2 x.cos2 x的最小正周期为 .公式法： 2， T ，故 ycos2 x的周期为 .2| |(2)如果令 u x，则 sin xsin u是周期函数，且最小正周期为 2.12 12sin sin ，即 sin sin x.(12x 2 ) x2 12 x 4 123 ysin x的最小正周期是 4.12(3)2sin 2sin ，(x3 6 2 ) (x3 6)即 2sin 2sin .13 x 6 6 (x3 6) y2sin 的最小正周期是 6.(x3
6、6)要点二 正弦、余弦函数周期性的应用例 2 定义在 R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 ，且当x 时， f(x)sin x，求 f 的值0，2 (53)解 f(x)的最小正周期是 ， f f f(53) (53 2 ) ( 3) f(x)是 R上的偶函数， f f sin .(3) (3) 3 32 f .(53) 32规律方法 解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量 x的值转化到可求值区间内跟踪演练 2 若 f(x)是以 为周期的奇函数，且 f 1，求 f 的值2 (3) ( 56)解 因 f(x)是以 为周期的奇函数，所以 f f f f
7、 1.2 ( 56) ( 56 2) ( 3) (3)1函数 ysin(4 x )的周期是( )32A2BC. D.2 4答案 C解析 T .24 22下列函数中，周期为 的是( )24A ysin B ysin2 xx2C ycos D ycos(4 x)x4答案 D解析 T .2| 4| 23已知函数 f(x)对于任意 xR 满足条件 f(x3) ，且 f(1) ，则 f(2014)等于1f x 12( )A. B2C2013D201412答案 B解析 因为 f(x6) f(x)，所以函数 f(x)的周期为 6，故 f(2014) f(4)1f x 32.1f 14已知 f(x)是 R上的
8、奇函数，且 f(1)2， f(x3) f(x)，则 f(8)_.答案 2解析 f(x3) f(x)， f(x)是周期函数，3 就是它的一个周期，且 f( x) f(x) f(8) f(223) f(2) f(13) f(1) f(1)2.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x T) f(x)成立的 T.(2)图象法，即作出 y f(x)的图象，观察图象可求出 T.如 y|sin x|.(3)公式法，一般地，函数 y Asin(x )(其中 A、 、 为常数， A0， 0， xR)的周期 T .2一、基础达标1在函数 yc
9、os|2 x|， y|cos x|， ycos(2 x )， ysin( x )中，最小6 12 65正周期为 的所有函数为( )ABCD答案 C解析 ycos|2 x|cos2 x， T.由图象知，函数的周期 T. T. T4.综上可知，最小正周期为 的所有函数为.2函数 f(x)sin 的最小正周期为 ，其中 0，则 等于( )( x6) 5A5B10C15D20答案 B3设函数 f(x)sin ， xR，则 f(x)是( )(2x2)A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数2D最小正周期为 的偶函数2答案 B解析 sin sin cos2 x，(2x2)
10、(2 2x) f(x)cos2 x.又 f( x)cos(2 x)cos2 x f(x)， f(x)是最小正周期为 的偶函数4下列函数中，不是周期函数的是( )A y|cos x|B ycos| x|C y|sin x|D ysin| x|答案 D解析 画出 ysin| x|的图象，易知5 f(x)2sin( x ) m，对任意实数 t都有 f( t) f( t)，且 f( )3，8 8 8则实数 m的值等于( )A1B5C5 或1D5 或 16答案 C解析 由 f( t) f( t)知，函数 f(x)关于 x 对称，故 sin( )1 或8 8 8 8sin( )1.8当 sin( )1 时
11、，由 f( )3 知 2 m3，得 m5；8 8当 sin( )1 时，8由 f( )3 知2 m3，得 m1.86函数 y3sin 的最小正周期为_(2x4)答案 解析 T .227若函数 f(x)sin (nZ)，求 f(97) f(98) f(99) f(102)的值n6解 sin sin sin (nZ)，n6 (n6 2 ) n 12 6 f(n) f(n12)即函数 f(x)的周期 T12.971281,1021286， f(97) f(98) f(99) f(102) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6)sin sin sin sin sin sin6 26
12、 36 46 56 66 1 02 .12 32 32 12 3二、能力提升8下列函数中，周期为 2 的是( )A ysin B ysin2 xx2C y D y|sin2 x|sin x2|答案 C解析 ysin 的周期为 T 4；x2 2127ysin2 x的周期为 T ；22y 的周期为 T2；|sin x2|y|sin2 x|的周期为 T .2故选 C.9已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x1) ，且当 x0,1时， f(x)2 x，则1f xf(7.5)_.答案 22解析 f(x1) ， f(x2) f(x)， f(7.5) f(80.5) f(0.5)1f x ，又 x0,
13、1时， f(x)2 x，则 f(0.5)2 0.5 ， f(7.5) .1f 0.5 2 2210设函数 f(x)sin x，则 f(1) f(2) f(3) f(2013)_.3答案 3解析 f(x)sin x的周期 T 6.3 23 f(1) f(2) f(3) f(2013)335 f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(2011) f(2012) f(2013)335 (sin3 sin23 sin sin43 sin53 sin2 ) f(33561) f(33562) f(33563)3350 f(1) f(2) f(3)sin sin sin .3 23
14、311定义在 R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 ，且当x 时， f(x)sin x.0，2(1)当 x，0时，求 f(x)的解析式；(2)画出函数 f(x)在，上的函数简图；(3)当 f(x) 时，求 x的取值范围12解 (1) f(x)是偶函数， f( x) f(x)而当 x 时， f(x)sin x.0，28当 x 时，2， 0f(x) f( x)sin( x)sin x.又当 x 时， x ， ， 2 0， 2 f(x)的周期为 ， f(x) f( x)sin( x)sin x.当 x，0时， f(x)sin x.(2)如图(3)由于 f(x)的最小
15、正周期为 ，因此先在，0上来研究 f(x) ，12即sin x ，sin x ， x .12 12 56 6由周期性知，当 x ， kZ 时， f(x) .k 56 ， k 6 1212已知函数 f(x)log |sinx|.12(1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期解 (1)|sin x|0，sin x0， x k， kZ.函数的定义域为 x|x k， kZ0|sin x|1，log |sinx|0，12函数的值域为 y|y0(2)函数的定义域关于原点对称， f( x)log |sin( x)|12log |sinx| f(x)，12函数 f(x)是偶函数9(3) f(x)log |sin(x)|12log |sinx| f(x)，12函数 f(x)是周期函数，且最小正周期是 .三、探究与创新13已知函数 f(x)对于任意实数 x满足条件 f(x2) (f(x)0)1f x(1)求证：函数 f(x)是周期函数(2)若 f(1)5，求 f(f(5)的值(1)证明 f(x2) ，1f x f(x4) f(x)，1f x 2 1 1f x f(x)是周期函数，4 就是它的一个周期(2)解 4 是 f(x)的一个周期 f(5) f(1)5， f(f(5) f(5) f(1) . 1f 1 2 1f 1 15
