1、11.2.1 任意角的三角函数(二)学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点).3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)知识点 1 三角函数的定义域正弦函数 ysin x 的定义域是 R；余弦函数 ycos x 的定义域是 R；正切函数ytan x 的定义域是 x|xR 且 x k ， kZ 2【预习评价】函数 y 的定义域为_cos x解析 由 cos x0 得 x|2k x2 k ， kZ 2 2答案 x|2k x2 k ， kZ 2 2知识点 2 三角函数线1相关概念(1)单位圆：以原
2、点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆(2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段规定：方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值2三角函数线题型一 三角函数线及其作法【例 1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线2(1) ；(2) ；(3) ；(4) 4 23 34 116解 作图，如图所示：图(1)，(2)，(3)，(4)中的 MP， OM， AT 分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线规律方法 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从 A(1,0)点
3、引 x 轴的垂线，交 的终边( 为第一或第四象限角)或 终边的反向延长线( 为第二或第三象限角)于点 T，即可得到正切线 AT【训练 1】 (1)作出 的正弦线；(2)作出 的正切线 3 43解 (1)作出 的正弦线 MP 如图所示 3(2)作出 的正切线 AT 如图所示43考查方向题型二 三角函数线的应用3方向 1 利用三角函数线比较大小【例 2-1】 利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin 与 sin ；(2)tan 与 tan 23 45 23 45解 如图所示，角 的终边与单位圆的交点为 P，其反向延长线与单位圆的过点 A 的23切线的交点为 T，作 PM x 轴，垂足为 M
4、，sin MP，tan AT；23 23的终边与单位圆的交点为 P，其反向延长线与单位圆的过点 A 的切线的交点为45T，作 P M x 轴，垂足为 M，则 sin M P，tan AT，45 45由图可见， MPM P0， ATsin ，(2)tan 0 得 2k0，sin 2x”或“0，tan tan 47 47 47 47基础过关1下列说法不正确的是( )A当角 的终边在 x 轴上时，角 的正切线是一个点B当角 的终边在 y 轴上时，角 的正切线不存在C正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D余弦线和正切线的始点都是原点解析 根据三角函数线的概念，A，B，C 是正确的，只有 D 不正确，
5、因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与 x 轴正半轴的交点上答案 D2使 sin xcos x 成立的 x 的一个变化区间是( )A B34， 4 2， 2C D0， 4， 34解析 如图所示，当 x 和 x 时，sin xcos x，故使 sin xcos x 成立的 4 348x 的一个变化区间是 ， 34 4答案 A3函数 f(x)tan(2 x )的定义域为( ) 4A x|x k， kZ B x|x k， kZ38 12 38C x|x 2 k， kZ D x|x k， kZ38 58 12解析 易知 2x k， ， kZ，即 x k， kZ，故 f(x)的定义域为 4 2
6、38 12x|x k， kZ38 12答案 A4若 ( ， )，则 sin 的取值范围是_ 2 54解析 如图所示，作出 和 的正弦线， 2 54可得 sin ( ，1)22答案 ( ，1)225比较大小：sin 1.2_sin 1.5(填“”或“0，cos 3 b0因为| MP|0，由三角函数线易得 f(x) a b,2a b， 6 6 76即Error! 解得Error! g(x)2 3 x7 ， x3,2，故当 x2 时， g(x)有最小值 2答案 B10函数 f(x) 的定义域为_cos2x sin2x解析 如图所示答案 x |k x k （ kZ） 4 411sin 1，cos 1，tan 1 的大小关系是_解析 由题意 1 ，在单位圆中作出锐角 1 的正切线、正弦线、余弦线，可知正 4切线最长，余弦线最短，所以有 cos 1sin sin 2证明 如图，单位圆 O 与 x 轴正半轴交于点 A，与角 ， 的终边分别交于点 Q， P，过 P， Q 分别作 OA 的垂线，设垂足分别为点 M， N，则由三角函数线定义可知：sin NQ，sin MP，过点 Q 作 QH MP 于点 H，于是 MH NQ，则HP MP MHsin sin 由图可知 HPsin sin
