1、1现代机械设计方法中的几个计算问题 2010.11.11一.关于有限元的计算1.如图三1 所示，一悬臂梁，自由端受合力为 P 的均布力作用，梁厚 t=1， =1/3，求节点位移。求解结构为平面应力问题，划分为 2 个三角形单元、，有四个节点 1、2、3、4，坐标分别为（0，0） 、（2，0） 、 （2，1） 、 （0，1） 。单元、节点顺序分别取 3、1、2 和 1、3、4，刚度矩阵完全一样。对单元：bi=0，bj= 1， bm=1，ci=2，cj=0，cm= 2。对单元：bi=0，bj=1 ，bm=1，ci=-2，cj=0，cm=2。单元的刚度矩阵为利用大域变换法求出整体刚度矩阵为节点荷载向
2、量为P=0 0 0 P/2 0 P/2 0 0 0T位移向量为 =u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4T由结构平衡方程求得节点位移为2.有限元分析的一般步骤134270321EK1723401732ET02.859.E2结构离散化结构离散化就是将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限单元法分析的第一步，关系到计算精度与计算效率，是有限单元法的基础步骤，包含以下三个方面的内容：(1) 单元类型选择。离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状、单元节点数与节点自由度数等三个方面的内容。(2) 单元划分。划分单元时应注意以下几点：网格划分越细，节
3、点越多，计算结果越精确。网格加密到一定程度后计算精度的提高就不明显，对应力应变变化平缓的区域不必要细分网格。单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体，如三角形单元三边应尽量接近，且不出现钝角；矩阵单元长宽不宜相差过大等。单元节点应与相邻单元节点相连接，不能置于相邻单元边界上。同一单元由同一种材料构成。网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。(3) 节点编码2 单元分析通过对单元的力学分析建立单元刚度矩阵 Ke。3 整体分析整体分析包括以下几方面内容： 集成整体节点载荷向量 P。结构离散化后，单元之间通过节点传递力，所以有限单元法在结构分析中只采用节点载荷，所有作用在单元上的集中力
4、、体积力与表面力都必须静力等效地移置到节点上去，形成等效节点载荷。最后，将所有节点载荷按照整体节点编码顺序组集成整体节点载荷向量。集成整体刚度矩阵 K，得到总体平衡方程： K =P 引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。3.简述有限元分析中注意的几个问题。收敛性问题 1）位移场应包含刚体运动模式和常应变模式，该条件也称为完整性条件。2）位移场在单元边界上是连续的，也称为为相容性条件有限元网格划分：1）划分的网格分布是否满足求解问题的精确度。2）考虑计算条件，包括可利用的存储空间及计算速度。3）有限元软件包提供的功能是否满足要求，如单元的类型、性能等。4）计算成本。二.关于优化设计的设计
5、计算1. 圆柱形螺旋压缩弹簧的优化设计问题设计一圆柱形螺旋压缩弹簧，要求其质量最轻。弹簧材料为65Mn，最大工作载荷 FMAX =40N，最小工作载荷为 0，载荷变化频率 f = 25Hz，弹簧寿命为 104h， 弹簧钢丝直径的取值范围为 1-4mm，中径 D2 的取值范围为 10-30mm，工作圈数不应小于 4.5 圈，弹簧旋绕比不应小于 4，弹簧一端固定、一端自由，工作温度为 50，弹簧变形量不小于 10mm。解：在弹簧的优化设计中，为减小计算规模，多数情况下取弹簧钢丝直径 d、中径 D2 及工作圈数 n 为设计变量。1）疲劳强度条件2）刚度条件3）不发生失稳条件4）不产生共振条件5）旋绕
6、比条件6）设计变量取值条件： 这个问题是一个三维约束优化问题，有 11 个不等约束，目标函数 和所有的约束条件是设计变量的非线性函数。因此，它属于非线 性约束优化问题，这样的问题不能用极值条件精确求解。32. 函数铰链四连杆机构的最优化设计连杆机构的优化设计的部骤：1） 明确设计要求，确定原始数据，拟订机构运动简图。2） 建立正确的数学模型（目标、变量、约束函数） 。优化设计的数学模型.一般形式： 寻找 X =x1 ,x2 , xn Rn 使 f（X）最小或最大 受约束于 gu（X） 0 （u = 1，2， m ） hv（X）=0 （v = 1，2， p n） 3） 选用合适的优化方法。如直接解法： 在这类方法中，直接在可行域中，通过一定的模式比较点的函数值和约束值大小，决定搜索方向。这类方法如网格法、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。4） 拟订初始设计方案。5）上机解算。6）对设计结果作图分析，模拟分析。3.机械优化设计的一般步骤1、分析机械设计问题，建立优化设计数学模型；2、选择优化方法或合适的商业软件；3、编写计算机程序或学会使用软件；4、准备必要的初始数据并上机计算；5、对最优方案的评价与决策，如不合适，要修改数学模型。约束条件的规格化 01.2x=Xg
