1、武昌区 2018 届高三年级元月调研考试文科数学第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 A=1，0，1，2，3， B=x|x23 x0，则 A B=A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意 ，故 .2. 已知复数 满足 ，则A. B. C. D. 【答案】B3. 奇函数 在 单调递增，若 ，则满足 的 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据奇函数的性质有 ，故原不等式等价与 ，解得.4. 设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. -3 B. -2 C. 1 D. 2【
2、答案】C5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 依次为 2，2，5 时，输出的 为 17，那么在框中，可以填入A. ？ B. ？C. ？ D. ？【答案】B【解析】输入 ， ，判断否， ，判断否， ，判断是，输出 ，故选 .6. 函数 的部分图像如图所示，给出以下结论： 的周期为 2； 的一条对称轴为 ； 在 ，上是减函数； 的最大值为 A.则正确结论的个数为A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】A【解析】由图可知 ，但这是最小正周期，周期应为 ，故错误.函数的最大值为 ，故错误.由于函数周期是 ，四分之一周期是 ，故函数的对称轴是 ，错误.由图像可知正确.故选 .7. 如图，网格纸上
3、小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A. B. C. D. 3【答案】D【解析】有三视图可知，几何体为如下图所示的三棱锥 ，故体积为.8. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】由余弦定理得 ，化简得 ，再由余弦定理可得.9. 已知点 在双曲线 上， 轴（其中 为双曲线的焦点） ，点 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 ，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】不妨设 ，两渐近线为 ，依题意有 ， ，故离心率为 .10. 已知底面半径为 1，高为 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的
4、球面上，则此球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出圆锥的截面如下图所示，设球的半径为 ，则 ，由勾股定理得 ，解得 .故表面积为 .11. 过抛物线 ： 的焦点 的直线 与抛物线 C 交于 ， 两点，与其准线交于点 ，且 ，则A. B. C. D. 1【答案】B【解析】画出图像如下图所示，根据抛物线的定义， ，根据相似三角形，结合已知有.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查共线向量等知识.由于抛物线的标准方程给出，所以先画出抛物线的图像，包括准线.画出图像后依题意画出直线的图像，这里需要尝试，根据向量共线的知识，可得到比值，结合抛物线的定义可以得到相似三角形，利
5、用相似比可求得 的长.12. 已知函数 在区间 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 ，则 ，依题意 与 在区间 上有两个不同的交点，也即图像有两个不同的交点. ，故 在 上递增，在 上递减，且， ，由于 ，故 的最小值为 ，直到 与 图像相切时，观察选项可知，只有 选项正确.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，已知零点求参数的取值范围.零点问题的一般方法是令函数值为零，然后变成两个函数图像的交点个数的问题来解决.本题中变为一条曲线 和一条直线 ，其中曲线 需要我们求导，利用导数求出单调性来画图像.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第
6、13 题第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 若 ，则 _【答案】【解析】原式 ，分子分母同时除以 得到 .14. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 _.【答案】6【解析】 ，而 ，故 .15. 将某选手的 7 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，剩余 5 个分数的平均数为 91，现场作的 7 个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 表示，则 5 个剩余分数的方差为_【答案】【解析】依题意 ，解得 .则方差为 .【点睛】本题主要考查茎叶图的分辨，考
7、查平均数的计算，考查方差的计算.从茎叶图可以看出最低分是 ，最高分是 ，去掉这两个分数后，可利用平均数的公式列方程来求出 的值.根据前面求出的值再利用方差的计算公式 来计算方差.16. 在矩形 ABCD 中， AB=2， AD=1.边 DC 上（包含 D、 C）上的动点 P 与 CB 延长线上（包含点 B）的动点 Q 满足 ，则 的最小值为_【答案】【解析】以 为原点建立平面直角坐标系，则 ，设 ，则 ， ，故最小值为 .【点睛】本题主要考查向量运算，考查坐标法计算向量的数量积，考查二次函数求最值.由于题设所给的图形为矩形，这是一个很好的建系的模型，故以 点为原点建立平面直角坐标系.建立坐标系
8、后写出相关点的坐标，代入所求数量积，然后利用配方法求出最小值.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分.17. 已知数列 的前 项和 .（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】 【试题分析】 （1）利用公式 ，可求得数列 的通项公式.（2）化简 的表达式，由于它是由一个等差数列乘以一个等比数列组合而成，故用错位相减法来求其前 项和 .【试题解析】（1）当 时， ，所以 .当 时， .于是 ，即
9、 .所以数列 是以 为首项，公式 的等比数列.所以 . （2）因为 ，所以 ，于是 ，两式相减，得 ，于是 . 18. 如图，三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形， ， .（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析;（2） .【解析】 【试题分析】 （1）取 的中点 ，连接 ，利用等边三角形的性质，得到，通过计算证明 ，由此证明 平面 ，从而得到平面 平面 .（2）利用（1）的结论，以 为高，计算体积【试题解析】（1）取 AC 的中点 O，连接 BO， PO.因为 ABC 是边长为 2 的正三角形，所以 BO AC， BO= .因为 PA PC，所以
10、PO= .因为 PB=2，所以 OP2+OB2=PB2，所以 PO OB.因为 AC， OP 为相交直线，所以 BO平面 PAC.又 OB平面 ABC，所以平面 PAB平面 ABC（2）因为 PA=PC， PA PC， AC=2，所以 .由（1）知 BO平面 PAC.所以 . 19. 在对人们的休闲方式的一次调查中，用简单随机抽样方法调查了 125 人，其中女性 70人，男性 55 人.女性中有 40 人主要的休闲方式是看电视，另外 30 人主要的休闲方式是运动；男性中有 20 人主要的休闲方式是看电视，另外 35 人主要的休闲方式是运动.（1）根据以上数据建立一个 列联表；（2）能否在犯错误
11、的概率不超过 0.025 的前提下，认为性别与休闲方式有关系?（3）在休闲方式为看电视的人中按分层抽样方法抽取 6 人参加某机构组织的健康讲座，讲座结束后再从这 6 人中抽取 2 人作反馈交流，求参加交流的恰好为 2 位女性的概率.附：P（ ） 0.05 0.025 0.010k 3.841 5.024 6.635休闲方式性别看电视 运动 合计女男合计【答案】(1)答案见解析；(2)在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“休闲方式与性别有关”.(3)0.4.【解析】 【试题分析】 （1）根据题目所给已知条件填写好 联表；（2）通过计算 ，所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认
12、为“休闲方式与性别有关”. （3）按分层抽样，则男性有 人，女性有 人，通过列举法可求得基本事件总数有 种，符合要求的有 种，故概率为 .【试题解析】(1) 列联表为：休闲方式 看电视 运动 合计性别女 40 30 70男 20 35 55合计 60 65 125（2）假设“休闲方式与性别无关” ，计算因为 ，所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“休闲方式与性别有关”. （3）休闲方式为看电视的共 60 人，按分层抽样方法抽取 6 人，则男性有 2 人，可记为A、 B，女性 4 人，可记为 c， d， e、 f.现从 6 人中抽取 2 人，基本事件是AB、 Ac、 Ad、 Ae、
13、 Af、 Bc、 Bd、 Be、 Bf、 cd、 ce、 cf、 de、 df、 ef 共 15 种不同的方法，恰是 2 女性的有 cd、 ce、 cf、 de、 df、 ef 共 6 种不同的方法，故所求概率为 20. 已知椭圆 C： 经过点 ，且离心率为 .（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 ： 与椭圆 C 交于两个不同的点 A， B，求 面积的最大值（ O 为坐标原点） 【答案】(1) ；(2) .【解析】 【试题分析】 （1）将 点坐标代入椭圆方程，结合椭圆离心率和 ，列方程组，求出 的值.由此求得椭圆方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理和判别式.根据弦长公式和点到
14、直线距离公式，求得 面积的表达式，最后利用基本不等式求最大值.【试题解析】（1）由题意，知 考虑到 ，解得所以，所求椭圆 C 的方程为 . （2）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，整理得 .由 ，得 . 设 ， ，则 ， .于是.又原点 O 到直线 AB： 的距离 .所以 .因为 ，当仅且当 ，即 时取等号.所以 ，即 面积的最大值为 . 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个 ，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式 ，列方程组来求.椭圆的弦长公式、点到直线的距离公式是计算面积的关键，化简难度比较大.
15、21. 已知函数 ， .（1）讨论函数 的单调性；（2）当 时，证明 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】 【试题分析】 （1）先求函数的定义域，然后求导通分，对 分成两类，讨论函数的单调区间.（2）结合（1）的结论，将原不等式转化为 ，构造函数，利用导数求得 的最小值为 ，由此证得原不等式成立.【试题解析】（1）函数 的定义域为 ，且 .当 时， ， 在 上单调递增；当 时，若 时，则 ，函数 在 上单调递增；若 时，则 ，函数 在 上单调递减. （2）由（1）知，当 时， .要证 ，只需证 ，即只需证构造函数 ，则 .所以 在 单调递减，在 单调递增.所以 .所以 恒成立，
16、所以 . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查构造函数的思想，考查分类讨论的数学思想.在求导后，一般要进行通分和因式分解，而分式的分母一般都不用考虑，另外要注意在定义域内研究单调性.通过构造函数法证明不等式恒成立问题过程中，要注意变形要是等价变形.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22. 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 4 cos =0已知直线 l 的参数方程为 （ 为参数） ，点 M 的直角坐标为 .
17、（1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 .【答案】(1)直线 l 的直角坐标方程为 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x；(2)8.【解析】 【试题分析】 （1）对曲线 极坐标方程两边乘以 ，化简为普通方程，对直线 的参数方程，利用加减消元法消去 ，化为普通方程.（2）写出直线 参数方程的标准形式，并代入曲线 的普通方程，利用直线参数的几何意义和韦达定理，求得 的值.【试题解析】（1） sin 2 2 cos =0， 2sin2 =4cos ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x由 消去 ，得 .直线 l 的直角坐标方程为 （2）
18、点 M（1，0）在直线 l 上，设直线 l 的参数方程 （ t 为参数） ， A， B 对应的参数为 t1， t2将 l 的参数方程代入 y2=4x，得 .于是 ， . . 23. 选修 4-5：不等式选讲（1）已知函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；（2）若正实数 满足 ，求 的取值范围.【答案】 （1） 或 .（2） 【解析】 【试题分析】 （1）由题意知 恒成立，利用绝对值不等式，消去 ，化简为只含有 的式子，由此求得 的取值范围.（2）利用 的代换的方法，通过再利用基本不等式即可求得取值范围 .【试题解析】（1）由题意知 恒成立.因为 ，所以 ，解得 或 . （2）因为 （ ，所以 ，即 的取值范围为
