1、信用风险模型的结构化方法 Jing-zhi Huang (Penn State University) 内容摘要：结构化模型是信用风险模型的一大分支，本文回顾了结构化方法的最新进展。首先介绍了几个常见的结构化模型，这些模型均可用于度量金融资产的信用风险。其次，本文也探讨了实证文献中验证结构化模型的表现效果时得出的一些典型经验事实。 一 引言 评估和管理金融资产的信用风险是学术界、实务界和监管层所共同关心的一大领域。实际中常采用三种方法对信用风险建模。第一种统计分析方法建立在信用评级基础上，用于估计公司的违约概率，参考Altman(1968)等；第二种方法称之为 “简约式模型”，最初由Jarro
2、w and Turnbull (1995) 和Duffie and Singleton (1999)等建立，另外参考Das and Tufano (1996)，Jarrow (2001),Jarrow et al. (1997),Lando (1998),Madan and Unal (1998)等；第三种方法即所谓的“结构化模型”，该方法最初始于Black and Scholes (1973) 和Merton (1974)等文献。 本文主要讨论了“结构化模型”。首先回顾了人们所熟知的Merton模型，该模型由Mertont在1974年提出的；之后讨论了一些拓展模型；其次还讨论了实证文献中的一
3、些典型的经验事实，这些事实是采用结构化方法而得出的，包括：公司的违约风险的估计、信用敏感性资产（例如公司债、信用违约互换（CDS）的价格预测等方面。 二 结构化信用风险模型 结构化模型中，公司发行的证券是基于公司价值基础上的未定权益（contingent claim）。公司资产价值由一个随机过程驱动，当公司价值低过某一边界时就发生违约，违约边界可以是内生或者是外生的。给定了风险中性测度下公司的违约概率，任何公司证券的价格都可根据该证券的回报而得出。下文先介绍结构化方法的基础模型Merton模型；其次再讨论该模型的一些拓展。 2.1 Merton模型 Merton模型中，公司只发行两种证券：普通
4、股和零息票债券。记债券的面值为F，到期日为T。当公司价值低于债券面值时，就发生违约。而一旦发生违约，债券持有人就得到整个公司价值，而股东因资不抵债就一无所得。 Merton模型假设公司价值服从几何布朗运动。以tV表示t时刻的公司价值，r表示无风险利率且为不变的常数。公司价值的动态过程如下： ()ttvtdV r Vdt VdZ = + （1） 其中v和为常数，Z为风险中性测度下的一维的标准布朗运动。则t时刻的零息票债券价值tB为： 21exp ( ) ( ) ( )ttB FrTtNdVNd= + （2） 其中(.)N标准正态分布的累积分布函数值，且有： 21ln( / ) ( / 2)( )
5、tvvVF r TtdTt+ =（3） 21vdd Tt= （4） Merton模型最初假设公司净支出系数为零，但定价公式（2）很容易拓展到非零的情况。 Merton模型的直觉性很强，并且很容易实现。但正如第三部分将要指出的：Merton模型很容易造成公司债券信用利差的系统性低估。这个典型经验事实促使研究者们拓展了原始的Merton模型，希望能产生与现实状况更相符合的收益率利差。 2.2 Merton模型的拓展 结构化方法的最新发展包括一系列对早期Merton模型的拓展和改进，例如考虑了息票、到期日之前违约、随机利率等因素。接下来回顾文献中这些模型。 2.2.1 首达时间模型（First-Pa
6、ssage Models） Black and Cox (1976)首次提出了基于违约障碍的模型，假设违约边界是一条曲线，并作为一个较低的违约障碍。违约边界可以是外生也可以是内生，外生性可以看成是一种安全契约条款，而内生性可以来自于由股东所持有的决定是否会违约的期权（参考Geske(1977)）。相比Merton模型，Black-Cox模型的优势之一是允许在公司在债务到期之前违约。本小节下面先讨论外生性模型。 Kim et al. (1993)，Nielsen et al. (1993)，Longstff and Schwartz (1995)，Briys and De Varenne (19
7、97) 等分别把随机利率引入具有外生性违约边界的首达时间模型；Collin-Dufresne and Goldstein (2001) 和 Tauren (1999)拓展了Longstff and Schwartz模型，允许杠杆比率固定。 Zhou (2001) 和Huang and Huang (2003)在外生违约边界的Black-Cox模型中加入了跳跃风险因素。后者假设资产收益率服从一个双指数跳跃-扩散过程。Kou and Wang (2003)指出，对付息票的风险债券来说，后一个模型远比前一个模型更具吸引力。 Huang and Huang (2003)指出：尽管不同的障碍模型会在某些
8、特定的经济假设上存在一些差别，但它们都能包容在同一类模型的框架下，包括对公司价值过程、违约边界、回收比率等设定。如果以V表示公司价值过程，K表示违约边界，r为无风险利率过程。假设在风险中性测度下有： 1() 1QtNQQQttvtiitdVrdtdWdZ dtV = + + （5） ln( ) ( ) ln( / )tl t ttdK kv r KVdt = （6） ()Qttrtdr r dt dZ = + （7） 其中,vl rkv 以及/ =均为常数；QW和QZ都为风险中性下的一维标准布朗运动，且假设两者相关系数为常数；（5）式中QN为Poisson过程，跳跃强度0Q ；QiZ为独立同分
9、布随机变量，1ln( )QQYZ=为双指数分布，密度函数为： ( ) exp( )1 0 exp( )1 0QQQ Q QQ Quu u dd dYfyp yy p yy =+，,0QQudpp都为常数，且1QQudpp+ =。平均跳跃幅度Q为： exp( ) 1 111QQ QQQQ Q uu ddQQudppEY=+（9） 大部分首达时间模型都是（5）（7）式模型框架下的一个特例。比如，如果跳跃强度为零，资产价值过程就退化为几何布朗运动。这些基本设定曾广泛应用于Black and Cox (BC), Longstaff and Schwartz (LS),Collin-Dufresne a
10、nd Goldstein (CDG)等扩散模型。例如：对于Merton模型，违约时间就只是违约边界K在债券到期日上一个点；对于Black and Cox (BC)、 Longstaff and Schwartz (LS)、Huang and Huang跳跃模型(HH)等而言，lk就设为零，此时违约边界是平坦的（连续的障碍）；在LS和CDG模型中，（7）式的无风险利率Vasicek模型就设成两因子模型；而在三个单因子模型中，利率为不变常数，此时和r就等于零。 译者注：这里记号QtZ为标准布朗运动，而记号QiZ为跳跃幅度分布，两个是不一样的。 在首达时间模型的（5）式中，付息债券的价格可以直接计算
11、而得，参考Huang and Huang (2003)。 2.2.2 内生违约边界模型 Black and Cox (1976) 和Geske (1977)的违约边界可以由股东持有的决定是否要违约的期权内生决定。前者着重讨论连续付息票的债券，而后者主要讨论离散付息票的债券。 Leland (1994)拓展了Black and Cox模型，把税收和破产成本考虑在内，得出一个最优资本结构模型；Leland and Toft (1996)研究了一个特定的固定负债结构，该模型可以应用到有限期限的债务中；另外还可参考Leland (1998)。 以上几个模型可以得到可违约债券价格的解析解。然而对于长期债
12、券而言，Geske模型就不太容易实现。不过，Huang (1997) 和Eom et al. (2004)提出Geske模型也可以通过二项式方法计算实现。 另外，Chen and Kou (2005)和Hilberink and Rogers (2002)曾在Leland模型中加入了跳跃形式的资产回报过程。 2.2.3 策略性违约模型 Anderson and Sundaresan (1996) 和 Mella-Barral and Perraudin (1997) 把“策略性违约”考虑在内；Anderson et al. (1996) 和 Fan and Sundaresan (2000)
13、通过策略性违约，得出到无期限的债券价格的解析解；Huang(1997)扩展了Anderson and Sundaresan (1996)方法，允许进行股权融资；Acharya and Carpenter (2002)还在 Anderson and Sundaresan (1996)模型中加入了随机利率；Acharya et al.(2006)考虑了股东期权之间的相互作用关系，这些期权包括现金储备期权、战略性融资期权、流动性变现期权等。 此外，Broadie et al. (2007) 研究破产程序对可违约债券价值的影响，直接进行建模；Francois and Morellec (2004)在没
14、有策略性违约的环境中也研究了类似问题。 2.2.4 不完全会计信息下的模型 Duffiee and Lando (2001)研究了不完全的会计信息条件，结论表明：公司价值过程的信息不完全时，结构化模型就等同于简约式模型。另外可参考Cetin et al. (2004),Giesecke (2006),Guo et al.(2008)等。 2.2.5 最优资本结构模型 Brennan and Schwartz (1978)采用一个具有外生违约边界的首达时间模型，研究最优杠杆比率；Leland(1994)研究了一个永久性债务结构，并得到具有内生违约边界的最优资本结构的封闭解；Leland and
15、Toft (1996)将Leland模型拓展到有限到期期限的固定债务结构中。 其他的最优资本结构模型还包括Fischer et al. (1989), Mello and Parsons (1992), Leland (1998), and Hackbarth et al. (2006)等。 2.2.6 Levy 跳跃的仿射结构模型 Merton模型和首达时间模型均可拓展到仿射形式的跳跃扩散模型。对于可违约的零息债券，沿用Merton模型设定“只有在债券到期时才可能发生违约”，同时在考虑随机利率、随机资产波动率和跳跃，仍可以得到债券价格的封闭解（这方面得益于期权定价技术的进步）。例如：Shim
16、ko et al. (1993) 在Merton模型中加入单因子的Vasicek 期限结构模型；Delianedis and Geske (2001) 允许Merton模型中资产回报过程有Possion跳跃；Huang(2005)提出公司债定价的仿射结构模型，其中资产波动率可以是随机的，基础资产回报中包括了一个Levy跳跃部分，利率过程可由多个因子驱动。正如Huang(2005)提到的，只有那些在到期日有可能发生违约的零息票债券，才能得到其价格的近似解析解，方法上沿用Duffie et al. (2000) and Carr and Wu (2004)。 文献中得出的典型经验事实促成了人们提出
17、“仿射结构模型”：Huang and Huang(2003)认为资产回报的随机波动率模型可能解释“信用风险之谜”；Huang(2005)为该观点提供了初步证据；Huang and Zhou (2008)发现标准结构化模型无法拟合股票波动的水平和时间变化，因此认为有必要采用资产的随机波动率模型；Zhang et al. (2008) 采用CDS数据研究，再次支持了这一观点。文献中已有的结构化模型仅采用了单因子Vasicek模型，但研究发现有必要使用更加复杂的模型，这才拓展到多因子期限结构模型，参考Eom, Helwege, and Huang(2004)。 2.3 违约概率模型 除了给公司债券定
18、价之外，结构模型也可用来估计现实测度下的违约概率。比如Moody公司的KMV采用了Merton模型的观点，并得到一种估计期望违约频率的方法。 结构化模型中，给定现实测度下的基础模型结构，就能直接计算某个特定界限以上的违约概率。正如Huang and Huang (2003)中所示：在等式（5）-（7）的首达时间模型下，假定资产的风险溢价为常数或者服从一个均值回复过程，就可得到违约概率的解析解或近似解析解。 三 实证论据 这一部分回顾了结构化模型的一些实证典型事实。这些事实证明来自于对公司债市场、CDS市场和实际违约率的实证检验。 3.1 来自于公司债市场的经验论据 结构化模型可以应用到预测公司
19、债利差水平、收益率利差曲线形状两个方面。以下给出了结构模型在这两方面应用的经验论据。 3.1.1 公司债定价 Jones et al. (1984) 首次采用结构化模型实证检验公司债样本，但他们研究的是一个可赎回债券的样本。因此，这个研究并不能真正的检验Merton模型，而只能算一个应用于可赎回债券的Merton类模型；Ogden (1987)采用另一个新债券发行的样本也做过类似的研究。 近些年来，学术界能得到值得信赖的债券价格数据的途径日趋广泛，采用结构化模型对不可赎回债券进行的实证研究也越来越多。例如，Lyden and Saraniti (2000)，Delianedis and Ges
20、ke (2001)，Eom et al. (2004),Arora et al. (2005)，Ericsson and Reneby (2005)等都曾研究过某些特定的模型用来给公司债定价时的表现。然而迄今为止，所得到的实证结果却是：结构化模型很难准确的预测公司债券的利差水平。 Eom, Helwege and Huang (2004)采用了1986年-1997年间的182个具有简单资产负债结构的公司债券价格数据，分别检验了五个结构化模型：Merton (1974)、Geske (1977)、 Longstaff and Schwartz (1995)、 Leland and Toft (1
21、996)和Collin-Dufresne and Goldstein (2001)。研究发现：平均而言，前两个模型会低估债券利差，但后三个新的模型却又高估利差。 Schaefer and Strebulaev (2008)发现，虽然Merton模型不能给债券精确定价，但却可以用作对冲。 结构化模型也可用回归分析，间接检验单个债券收益率利差与某个结构化模型变量之间的联系。例如：Collin-Dufresne et al. (2001)发现结构化模型的隐含变量只能解释公司债利差变化的很一小部分；Campbell and Taksler (2003)发现异质波动率(idiosyncratic vol
22、atility)可以从截面（cross-section）解释的公司债利差的三分之一；Davydenko and Strebulaev (2007)认为没有证据表明债券利差和股东策略行为之间有很强的关联；Cremers et al. (2008) 认为期权隐含波动率可以解释Huang and Huang (2003)所提出的“信用利差之谜”。 另外一些实证是基于对全体信用利差数据而进行研究的。例如：Wei and Guo (1997)采用全部利差数据检验Merton模以及Longstaff and Schwartz模型，发现前者比后者更精确；Anderson and Sundaresan (20
23、00)采用Merton模型拟合了公司债券的价格指数；Huang and Kong (2003)采用Merrill Lynch公司1997年一月至2002年七月间的九个公司债指数的周和月频率的利差数据，且利差经过期权调整，用来研究公司债信用利差的决定因素，发现Russell 2000指数的历史波动率和Conference Board 综合指数，对于解释信用利差变动，特别是对高收益率指数，都有显著的解释力；Huang and Kong (2005)在一个稍长的样本期间内采用同样的Merrill数据，发现领跑经济指标的突发宣告指标（announcement surprises）和就业率报告对高收益债
24、券的信用利差都有显著作用。 3.1.2 信用利差曲线的斜率 结构化模型的另一个被关注的问题是它们能否正确预测信用利差曲线的斜率。Fons (1994)，Sarig and Warga (1989)和He et al. (2000)都分别研究过这个问题，发现高收益率债券的信用利差曲线趋于斜向下；但Helwege and Turner (1999)却指出：这些研究由于没能适当的控制住发行公司的信用级别，因此造成结果有偏差。Helwege and Turner采用了一个由同一家公司发行的多个债券构成匹配样本，研究发现即使对于投机级别债券来说，信用利差曲线也是斜向上的。 验证信用利差曲线时，除了要精确
25、的控制住信用等级，另一个重要的考虑因素是息票的作用。一部分结构模型如Merton模型仅适用于零息票债券，这使人们产生了这样的质疑：Helwege and Turner的结论之所以能可以推翻Sarig and Warga的结论，是否只是因为前者采用了付息票债券来代替后者中所使用的零息票债券？ Huang and Zhang (2008) 研究了在国债和公司债同时存在息票的请况下，投资级债券和投机级债券的信用利差曲线形状。Huang and Zhang对每个匹配债券计算即期信用利差，以检验结构化模型中零息票债券的预测斜率。他们采用证券数据公司（Securities Data Corporation
26、）在三分之一年期内的新发行的公司债样本，发现零息票债券和付息债券的信用利差期限结构都趋于斜向上，而且投资级别债券和高收益债券都是这样的形状。这个结果表明：不管是否会考虑息票，对于高收益债券来说，如果一个结构化模型预测信用利差曲线斜向下，就不能给公司债正确定价。但是在他们这个分析中，所谓“高收益率债券”仅包括等级在B级或B级以上的债券。因此，信用级别在B级以下的利差曲线可能不一定是斜向上的。事实上，Lando and Mortensen (2005)研究了信用违约互换（CDS）市场，提供的一些与这个观点一致的证明。 3.2 来自实际违约率的事实论据 如前文所提到的，结构化模型的一个重要应用是能够
27、产生特定范围内的实际违约概率。Moody公司的KMV方法说明结构化模型能够用来预测违约概率，例如参考Kealhofer and Kurbat (2001), Leland (2004), and Bharath and Shumway (2008)。 3.3 “信用利差之谜”及其应用 Huang and Huang (2003)研究了结构化模型中的可违约债券的价格及其违约概率。他们考察了几个已有的模型，以及两个新模型（两个新模型是双指数跳跃扩散模型、资产风险溢价为均值回复过程的首达时间模型）。他们做了一个两步校准（calibration）分析：首先，他们校准了每个模型，使之与历史违约损失和股票
28、风险溢价的数据一致；其后，采用校准模型计算出债券收益率利差。Huang and Huang发现：对于所有期限的投资级债券，信用风险只能解释所观察到的公司债与国债利差之中的很小一部分；而对于“垃圾债券”，信用风险就能解释收益率利差中的更多部分。特别是他们发现，当跳跃扩散模型一旦与历史违约概率校准，即使对于短期债券都无法产生足够高的收益率利差。这个结论与传统观点相左。换而言之，Huang and Huang的主要发现是结构化模型无法同时解释收益率利差和违约概率。这个典型经验事实在后来的许多研究文献中被引用，称之为“信用利差之谜”。 值得注意的是，“信用利差之谜”并不是简单意味着结构化模型会低估债券
29、利差。事实上，正如实证文献中所指出的：一些结构模型也可能会高估债券利差。信用利差之谜是指结构化模型无法同时解释信用利差和违约概率，并把风险溢价因素也包涵在内。风险溢价用来联系Q测度下的利差和P测度下的违约概率之间的关系。 “信用利差之谜”意味着已有的结构化模型可能存在模型设定错误，因此需要更加复杂的模型以产生更符合现实的收益率利差和违约率。例如，Huang and Huang (2003)猜测资产回报的随机波动率模型有可能可以解释信用风险之谜。正如前文2.2.6所提到的，近年来也有实证研究支持该观点；Cremers et al. (2008) 认为期权的隐含波动率能够帮助解决这个谜团；另外一些
30、研究从结构化模型之外的其他角度出发，研究均衡模型是否可以解释“信用利差之谜”，例如Bhamra et al.(2008), Chen (2007), Chen et al. (2007a), David (2007), and Tang and Yan (2006)等。 “信用利差之谜”现象的另一层替代性含义可以理解为：收益率利差中没有被解释的那部分可能是由一些“非信用”因素，比如流动性因素等造成的（即认为现有的信用结构模型至少已经“足够好的”解释了收益率利差中的信用风险部分）。近年来，一些实证研究通过流动性度量方法，认为公司债利差中包含了显著的流动性因素。例如：Chen et al. (20
31、07b)采用Lesmond et al. (1999)提出的流动性度量指标，研究Datastream中公司债的样本，发现对于投资级债券，流动性单独能够解释收益率利差中的7%的截面变化，对于投机级债券能解释22%以上的截面变化；Mahanti et al. (2008)提出了一个流动性的潜在度量方法，该方法不依赖于交易活动或买卖价差；Longstaff et al. (2005)采用CDS利差作为信用利差度量，结论说明信用利差只能解释收益率利差中的一部分；其他对公司债流动性研究还包括Bao et al. (2008), Han and Zhou (2008), and Mahanti et al
32、.(2007)等。 另一些研究还直接对债券流动性进行建模：Leland (2006)认为在结构模型中包含流动性指标，有助于解释“信用利差之谜”；Ericsson and Renault (2006)也考察了流动性对于利差的影响，但并没有重点研究“信用利差之谜”。 3.4 来自于CDS市场的实证事实 信用违约互换（CDS）是一种非常普遍的信用衍生工具，其市场份额约占有所有信用衍生品的一半。国际互换和衍生品协会（International Swaps and Derivatives Association）统计显示：截至2007年底，CDS合约的名义价值已超过62万亿美元。CDS利差更多的被认为是
33、体现了公司债的信用利差，而非收益率利差。实证研究中表明公司债利差中存在流动性因素，这个既成事实也促使了研究者们采用CDS市场数据来检验信用风险模型。 例如：Predescu (2005)结合Duan (1994)所提出的MLE迭代估计程序，检验了Merton模型和Black and Cox模型，发现两个模型都低估了CDS利差；Arora et al. (2005) 和 Chen et al. (2006) 也发现Merton模型会低估CDS利差，另外他们都认为首达时间模型会高估CDS利差（只不过后一个研究中的Longstaff-Schwartz模型是基于近似方法的）；Ericsson et a
34、l. (2006) 发现尽管Leland (1994)和 Fan-Sundaresan (2000)模型会低估CDS利差，但Leland-Toft (1996)模型却又会高估利差；最后，Hull et al. (2004)采用校准方法研究了Merton模型。所有这些研究都着重考察了结构化模型能否拟和5年期的CDS合约的利差，这是因为5年期CDS是市场上最具有流动性的品种。 Huang and Zhou (2008)同时采用CDS市场和股票市场数据，对结构模型的设定进行分析。与已有的其他研究不同，他们采用的是CDS利差的整个期限结构，以及由高频数据得出的股票回报波动率。从而可以得到定价模型的参数
35、一致性的估计量，以及时间序列资产动态过程和截面定价误差的联合模型检验。他们检验了四个首达时间模型：Black and Cox (1976)模型、Longstaff and Schwartz (1995)模型、 Collin-Dufresne and Goldstein (2001)的固定杠杆率模型和Huang and Huang(2003)的双指数跳跃扩散模型。Huang and Zhou的主要结论之一是：尽管平均而言，这四个模型都会低估CDS利差，但两个新的模型却能显著的改善另外两个模型（依定价误差判断）；除此之外，CDS定价中表现最好的模型为CDG模型，其定价误差要远比公司债市场表现最好的
36、模型（Eom, Helwege, and Huang (2004)中的Geske模型）要小；同样，Huang and Zhou认为已有的结构化模型很难捕捉CDS利差的时间序列行为和股票波动率特征，特别是对于投资级别债券来说更是如此。这也说明资产波动率随时间变化性质的潜在解释能力，因为这个特征在标准的结构化模型中并没有得到体现。 与公司债市场的实证经验事实相似，Huang and Zhou（2008）中无法解释的CDS利差部分也可能是由于流动性因素。（但Huang and Zhou仅注重了四个结构模型的定价含义，因此没有研究这个信用利差之谜）；Bongaerts et al. (2008) an
37、d Tang and Yan (2007) 提供了CDS市场中流动性因素的证明。 另外有些研究采用回归分析方法，把CDS利差与结构化模型的隐含变量，以及其他变量联系在一起。例如Cossin and Hricko(2001),Ericsson, Jacobs, and Oviedo (2005),Houweling and Vorst (2005),Cao, Yu, and Zhong (2007)等。值得一提的是，Zhang et al. (2008)认为股票回报中的跳跃和资产的随机波动率模型有助于提高回归模型的解释力。 总之，迄今为止的实证研究表明：结构化模型在CDS市场上的拟合效果要比在公
38、司债市场上表现更好，但仍不足以解释CDS利差，也没能体现出CDS期限结构的时间序列性质。 四 结论 学术界和实务界都常常采用结构化方法为信用风险建模。该方法在很多方面都有广泛用途，但实际验证时得出的典型事实也说明已有的结构化模型存在某些局限性。由于信用风险模型方面的文献数量和内容丰富繁多，并且还一直在增加，本文只介绍了其中一部分。更多更全的文献回顾和介绍，可参考Bielecki and Rutkowski (2002)，Dai and Singleton (2003)， Duffie and Singleton (2003)，Lando (2004)，Saunders and Allen(2002)和 Schonbucher (2003)等。
