数学基础.pdf-道客多多_道客多多docduoduo.com

资源描述

1、專題二: 數學基礎 = 1 = * 本文件保留著作權, 禁止任何未授權之散佈 * 數學基礎前言集合與函數是數學的基礎工具, 對證明題的學習尤其重要. 但一般人只學到一些零碎的片段, 而且對各個名詞僅止於概念上的了解, 不能嚴格寫出完整的定義. 這個專題對集合與函數作一個完整的複習, 各位同學務必親自動手練習到能自己寫得出每個定義以及同一件事實的各種變形, 才足以應付證明題的需要. 集合【要點】集合的基本概念集合(set), 元素(element), 屬於(belong,記為) 都是無定義名詞. 元素常稱為點 ( point), 而集合常稱為空間(space). 元素與集合之

2、間的關係是屬於(belong,記為), 或不屬於( 記為). 集合之間可有包含於(be contained in, be included in, 記為), 相等(equal) 的關係. 不含任何元素的集合稱為空集合(empty set, null set), 記為 . 在某個討論範圍內包含一切元素的集合稱為宇集合(universal set), 常記為U. 不同的討論範圍有不同的宇集合. 集合的描述法: 窮舉法：將所有元素列出. 例如 3, 7, 9, 24 , 0, 2, 4, 6, 8, . 在此種描述法之下, = 2 = 廖亦德: 線性代數專題 x A x 是列出元素之一元素的排

3、列順序不影響集合. 典型元素描述法：描述所屬元素的特徵性質, 標準格式如下 A x p(x) , B x U p(x) , 其中 p(x) 是有關x 的一個敘述. 在此種描述法之下, x A p(x) 成立 x B x U 且p(x) 成立此種描述法的分隔線也常寫成冒號 “:“ . 說明 (1) 集合用大括號 “ 和 “ 括起來, 不要寫成中括號. (2) 不要把數學式中的逗點 “,“ 寫成句點 “.“ . (3) 同一個集合常有各種不同的表示法( 見下列實例). 例1.1 設 A x x(x 1) 0 , 則 x A x(x 1) 0x 0, 1 即 A 0, 1 設B= (x,y) x

4、y 1, 2x 2y 0 . 解聯立方程式可知B 例1.2 x x , x 0 常簡寫為 x x 0 例1.3 考慮 A x k , x 2k , x A x 是某個整數k 的兩倍x 是偶數. 所以 A ., 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, . . A 也稍不嚴謹地寫成 x x 2k, 其中 k . ( 英文將“其中”寫為“where ”). 設 B x k , x 2k , 則專題二: 數學基礎 = 3 = x B k , x 2k x 是每個整數k 的兩倍這個條件無法成立, 所以B . A 可簡寫為2k k . 在此, 分隔線右方是再解釋左方( 已出現的那個)k 的變動範圍

5、. A 不能寫成 x k , x 2k , 因為這樣沒解釋k 的屬性是什麼. A 也不能寫成 2k k . 寫在之後的k 是一個新宣告的符號, 它和前面的k 互不相干. 這就使分隔線左方的k 未解釋. 而且使右方的敘述變成一句沒說完的話. 例1.4 z z (x, y), 其中x, y 且 x y 1 ( 稍不嚴謹) z x, y , 使z (x, y) 且x y 1 ( 上式的正式寫法) ( x, y) x, y , x y 1 ( 此式不寫) ( x, y) x, y , y 1x ( 此式不寫) (x, y) 2 y 1x ( 此式不寫) (x, y) t , 使得 x t, y 1t

6、 (t,1t) t ( 此式不寫) 【要點】常用數系正整數(positive integer) 系: + 1,2,3,4, 自然數(natural number) 系: 0,1,2,3,4, 整數(integer) 系: 0,1,1,2,2,3,3,4, 有理數(rational number) 系: p/qp, q, q0 實數(real number) 系: x x 是實數, 複數(complex number) 系: x i y x, y , 其中i 為虛數單位, 是1的平方根. 模p整數(integer modulo p) 系: p 0, 1, ., p1 ,p是質數. 說明 (1)

7、傳統上不把 0 當作自然數, 但隨著電腦科學的發展, 承認 0 是自然數的書漸漸增多. 讀任一本提到自然數書都應先查明它所用的定義. = 4 = 廖亦德: 線性代數專題 (2) 實數的概念從測量長度而產生, 它的嚴格定義較複雜, 屬於數學系專門課程的範圍. 概念上可將實數看成一條直線( 稱為數線) 上的點. 電腦領域常將代表科學記法, 含有誤差的浮點數(floating point number), 如6.0210 23 , 稱為實數, 但這並不是數學上的實數. (3) 內的數叫做無理數(irrational number). 內的數叫做虛數(imaginary number). i

8、 =yi | y 內的數稱為純虛數(pure imaginary number) (4) 從抽象代數看, , , , p是field, 是 integral domain, 是 monoid, + 是semi-group. 【要點】複數的運算性質 i 2 = 1 對複數z 1 x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2, (x 1,y 1,x 2,y 2) , 四則運算定義如下: z 1 z 2 (x 1 x 2 ) i(y 1 y 2 ) z 1 z 2 (x 1 x 2 ) i(y 1 y 2 ) z 1 z 2 (x 1 x 2 y 1 y 2 ) i(x 1 y 2 x 2 y 1

9、) (免背, 用交換律,結合律,分配律即可計算) z 1 /z 2 (x 1 x 2 +y 1 y 2 ) i(y 1 x 2 x 1 y 2 )/(x 2 2 +y 2 2 ) ( 免背, 見說明1) 複數加法和乘法都滿足交換律, 結合律. 乘對加有分配律. 複數的乘冪(power): 對任意複數z, 及正整數n, 定義z n 為z 自乘n次. 若非零複數z, 及正整數n, 定義z 0 =1, z n =1/z n 對複數z x iy, (x, y ), x 稱為z 的實部, 記為x=Re z, y 稱為z 的虛部, 記為 y Im z . x iy 稱為z 的共軛複數, 記為 z . z

10、的絕對值 z = x 2 y 2. z x iy 常寫成極坐標型 z r(cos isin ), r 0 . r 就是z 的絕對值, 稱為z 的幅角(argument). 由 r, 轉換成 x, y 的關係式為專題二: 數學基礎 = 5 = x rcos , y rsin . 由 x, y 轉換成 r, 的關係式為 r x 2 y 2, tan 1 (y/x) n , n須由x, y 的正負判定. 重要性質: (cos isin ) 1 = cos isin 對z, w , 有下列基本性質: z z z 2, z1 = z / z 2z z 2 Re z , z z 2 i Im z z z

11、 = z z 2= z 2z i ( 純虛數) z z Im ( z) Re(iz) zw z w , z/w z / w z w z + w z + w =z + w , zw =z w, z 1= ( z ) 1 , z/w = z / w 對複係數多項式f(t)=a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +.+a n t n , 及複數z, f(z)=a 0 +a 1 z+a 2 z 2 +.+a n z n . 若f(t) 是實係數多項式, 則 f(z) = f ( z ) 說明 (1) 複數做數字計算時不必背的公式, 只須利用 , 交換律,結合律及 z1 = z / z 2即可. . (

12、2) 複數之間不能正常地討論大小, 因此只有實數可比大小. 當題到“ 複數 z 0 ”時, 就已經暗示z 是正實數. (3) 整個複數系在代數結構上形成一個體(field). ( 綜線CH5 定義1) 例3.1 = 6 = 廖亦德: 線性代數專題對 a32i, b65i , 計算a, b的和,差,積,商, 絕對值. 解 ab(3 ( 2)i) (6 5i) (3 6) ( 25)i 93i ab(3 ( 2)i) (6 5i) (3 6) ( 25)i 37i ab(3 2i)(6 5i) 1815i 12i 10i 2 183i 10283i b65i 3625 61 a b(3 2i)(

13、6 5i) 1815i 12i 10i 2 827i a/b a b/|b| 2 (8 27i)/61 8/61 (27/61)i 習題3.1 驗證的各個公式. ( 這些公式應該要能自行推導) 【要點3a 】複數的運算性質複數加減法就幾何上來說與平面向量完全相同. 由三角學的和角公式可導出: ( p(cosA+isinA)(q(cosB+isinB)(pq)(cos(A+B)+isin(A+B) ( p(cosA+isinA)/(q(cosB+isinB)(p/q)(cos(AB)+isin(AB) 上二式的幾何意義如下: 複數相乘時, 絕對值相乘, 幅角相加. 複數相除時, 絕對值相除,

14、幅角相減. D eMoivre 定理 ( r(cos isin ) n r n(cos(n ) i sin(n) , 上式的幾何意義如下: 複數求n次方時, 絕對值變n次方, 幅角變n倍. 複指數(exponential) 對實數t, 定義 e it cost isint , 對實數a,b, 定義 e a bi e a(cosbisinb) . 對實數a,b,正實數r, 定義 r a+bi e (a+ib)lnr e alnr (cos(blnr) isin(blnr) 複數方程式 z n =1 的解為 1, , 2 , ., n1, 其中=e i(2/n) =cos(2/n)+isin(2/

15、n). 專題二: 數學基礎 = 7 = 當n=4 時, =i. 當n=3 時, =(1+ 3 ) / 2 , 2 = 1 = = (1 3 ) / 2 . 且 1+ 2 =0 指數型: z r(cos isin ), 常寫成 z=re i. 由此型, 乘除法的公式變為 ( pe iq )(re is ) pre i(q+s), (pe iq )/(re is ) (p/r)e i(qs)D eMoivre 定理變為 ( re i ) n r ne in 實變數複數函數的微分與積分設f ： , f(t) p(t) iq(t) , 則定義 df(t) dp(t) dp(t) i , dt dt

16、dt b b b f(t)dt p(t)dt i q(t)dt . a a a 說明 (1) 乘e i就是正轉( 逆時針)角. 乘e i就是逆轉( 順時針)角. e ix e ixe ix e ix(2) cos x , sinx 2 2 i (3) 非正數也可以定義複指數. 但這要牽涉到複數的對數, 在此省略不談. 例3a.1 由複數乘法的幾何意義可知: 函數 f(z) e i z 將複平面旋轉角. (rotation) 設2H , 考慮傾斜角為H 的直線 l re iH r . 函數 g(z) e i z 將複平面沿l 翻轉(reflection). 函數 h(z) e iHRe(e iH

17、z) 為對l 的正投影(projection). 例3a.2 = 8 = 廖亦德: 線性代數專題 2 2 (1+ i) 10 ( 2 ( i ) ) 102 2 ( 2 ) 10( cos isin ) 104 4 10 10 2 10/2( cos isin ) (D eMoivre 定理) 4 4 5 5 2 5( cos isin ) =2 5( cos isin ) 2 2 2 2 32 i 另解: (1+ i) 10 =(1+i) 2 ) 5 =(1+2i+i 2 ) 5 =(2i) 5 =2 5 i 5 =32i. 【要點】模p整數的運算性質 p內的運算( 加,乘) 是先照整數計

18、算, 算完後再取除以p的餘數. 以p5為例, 它的加法和乘法可列表如下: + 0 1 2 3 4 . 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 p內的加法和乘法常記為 + p和 p. p仍以 0 為加法單位元素, 以 1 為乘法單位元素, p對加法和乘法都滿足交換律, 結合律. 乘對加有分配律. p中每個數都有加法反元素, 每個不為零的數都有乘法反元素. 專題二: 數學基礎 =

19、9 = 以p5為例, 加法反元素和乘法反元素如下: 00, 14, 23, 32, 41 1 1 1, 2 1 3, 3 1 2, 4 1 4 說明 (1) 加法反元素就是和它相加會變成0的數. 乘法反元素就是和它相乘會變成1 的數. 零沒有乘法反元素. 例如當p3時, 因為210, 所以 21, 12 . 又因為 2 21, 所以 2 1 2. 例4.1 考慮f(x) x 3 2x 1 . 在 5之中, f(2) 222 ( 2) 21 4 2 3 2 1 3 1 1 0 在 3之中, f(2) 222 ( 2) 21 1 2 1 2 1 2 2 1 2 例4.2 考慮g(x, y) xy

20、1在 5 之中, g(2,2) 22 1 232+2 4 在 3 之中, g(2,2) 22 1 222+1 0 例4.3 在 5 中解聯立方程式 3 x 2y 2z 4 4 x y 3z 1 解 ( 參閱綜合線性代數CH3 範例7) 對分隔矩陣做列運算 3 2 2 4 3 2 2 4 4 1 3 1 4 4 3 1 = 10 = 廖亦德: 線性代數專題 (1) 1 4 4 3 1 4 4 3 4 4 3 1 0 3 2 4 1 4 4 3 1 0 3 1 (1) 0 1 4 3 0 1 4 3 原方程式化為 x 3 z 1 y 4 z 3 解得 x 1 3t 1 2t y 3 4t 3 t

21、, t 5 z t 以t 0, 1, 2, 3, 4 代入, 共得出五組解: (1,3,0), (3,4,1), (0,0,2), (2,1,3), (4,2,4). # 【要點】集合的基本運算交集(intersection) 定義 A B x x A 且 x B 用法 x A B x A 且 x B 聯集(union) 定義 A B x x A 或 x B 用法 x A B x A 或 x B 差集 ( difference) 定義 A B x x A 且 x B 用法 x A B x A 且 x B 補集 ( complement) 定義 A c x x A , 嚴格說應該定義成 A

22、c U A x x U, x A . (U 是宇集). 專題二: 數學基礎 = 11 = 用法 x A c x A A c的符號分岐較大, 有的書寫成 c A , c(A) , A , A . 對稱差(symmetric difference), 又稱環和(ring sum) 定義 A B (A B) (A B) (A B) (B A) 用法 x A B “ x A 或x B, 但不可都成立” “ x A 且x B ”或“x B 且x A ” 說明 (1) A B 時稱A,B 不相交(disjoint). (2) A B A B c(3) ( A c ) c A 例5.1 設 A 1,2,3

23、, B 3,4, 宇集U 1,2,3,4,5,6 則 A B B A 3, A B B A 1,2,3,4, A B 1,2, B A 4, A B 1,2,4, A c 4,5,6, B c 1,2,5,6, 例5.2 ( a,a,c) a,c (p,q,2p) p,q (x, y, z) x,y,z , x y 0 (x, y, z) x, y, z , z 2x (x, y, z) x, y, z , x y 0, z 2x (a,a,2a) a 【要點5a 】集合的基本運算積集, 又稱笛卡兒積(cartetian product) 定義 A B (x, y) x A, y B 用法

24、 v A B x A, y B, 使 v (x, y) 定義 A B C (x, y, z) x A, y B, z C = 12 = 廖亦德: 線性代數專題用法 v A B C x A, y B, z C 使v (x, y, z) 更多項時依此類推. 乘冪(power) 定義 A n (x 1 , x 2,.,x n) x 1 , x 2 , ., x n A 用法 v A n x 1 , x 2 , ., x n A, 使 v (x 1 , x 2 , ., x n ) 冪集合(power set) 定義 2 A (A) SSA 用法 X (A) X A 函數空間(function sp

25、ace) 定義 B A Map(A,B) f f ：A B 用法 f Map(A,B) f ：A B 其他運算若宇集合上具有某個運算*, 則有定義 A*B a*baA, bB 用法 x A*B aA, bB, 使 x a*b ( 線性代數中依此法由向量加法定義子空間的和空間) 說明 (1) 若A,B 是有限集, 則 #( A n ) (#A) n, #(2 A ) 2 #A, #(B A ) (#B) #A 例5a.1 設 A 1,2,3 , B 3,4, A B (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4), B A (3,1),(3,2),(3,3),(4,1

26、),(4,2),(4,3) B A . (A) , 1, 2, 3, 1,2, 1,3, 2,3, 1,2,3 A B 13, 14, 23, 24, 33, 34 4, 5, 6, 7 例5a.2 2 (x, y) x, y 3 (x, y, z) x, y, z 專題二: 數學基礎 = 13 = 【要點】集合的包含下列各敘述等價: ( ) A B ( A包含於B; A is included in B; A is contained in B; A is a subset of B) (subset 譯為子集或部份集合) ( ) B A (B包含A; B includes A; B co

27、ntains A; B is a superset of A ) (superset 這名詞較少見, 應避免使用) ( ) B c A c( ) x A x B ( 每個A 的元素都在B 內. 也可寫成x A, x B ) ( ) x B x A ( ) A B ( ) A B A ( ) A B B 說明 (1) 若以元素觀點證明A B, 通常使用式 . 有時候採用矛盾證法, 也就是式. 由基本邏輯可知還有一些別的說法, 讀者可自行變化運用. (2) A B 且A B 時, 稱A嚴格(strictly)包含於B, 或說A 是B 的真子集(proper subset ). (3) 有些書用

29、為宇集合, 集合A,B,C U, 元素x, y U. 則: A A, A, A U A A x yx y A B 且B C A C (transitive law) A C 且B C A B C A B 且A C A B C 說明 (1) (A ) A x 使得x A 證明A 的方法是先假設存在x A, 再導出矛盾. (2) -算是“常識”. (3) 對證明較有用, 見例7.2及綜合線性代數CH6 習題2.5, CH11定理18. 例7.1 證明 A C 且B C A B C 證已知 A C 且 B C , 現欲證 A B C : 若 x A B , 則 x A 或 x B 專題二: 數學

30、基礎 = 15 = 在x A 的情況由A C 得知x C 在x B 的情況由B C 也得知x C x C 已知 A B C , 證明A C 如下: 若 x A, 則 x A B, 再由已知則得 x C. 同理可證B C. 例7.2 利用式證明 ( A B) c A c B c 證 A B A ( A B) c A c( 要點6) 同理可得 ( A B) c B c ( A B) c A c B c 習題7.1 對任意集合A,B, 證明 A (B A) 習題7.2 證明: A B 且A C A B C 習題7.3 證明 x | xAB=o ) x | xA=o 【要點】集合的相等下列各敘述等價

32、等價敘述. 【要點】集合的運算性質 A , A U A, A A, A U U. A A A A A A B B A, A B B A (com m utative law ) ( A B) C A (B C) , (A B) C A (B C) (distribution law) A B A, A B B, A A B, B A B A (B C) (A B) (A C), A (B C) (A B) (A C) ( A B) c A c B c, ( A B) c A c B c(D eMorgan s law s) ( A B) B B, (A B) B B (absorption l

33、aw s) A B B A , (A B) C A (B C) , A A , A A, A U A c, A (B C) (A B) (A C) 專題二: 數學基礎 = 17 = (A B) B=A. 說明 (1) 通常 ( A B) C A (B C) (2) ( A B) C A (B C) 習題9.1 畫圖(Venn diagram) 檢驗【要點】集合的推廣運算設 A i i I 是以I 為指標集(index set)的集合族(family of set), 定義 = A i i I = A i x i I, x A i i I A i i I = A i x i I, x A

34、i i I k 當I=1,2,., k時, A i = A i = A 1 A 2 . A k , i I i = 1 k A i = A i = A 1 A 2 . A ki I i=1 當I= + =1,2,.時, A i = A i = A 1 A 2 i I i=1 A i = A i = A 1 A 2 . i I i=1 用法如下: x S, x S x S, x S x A i i I, x A ii I = 18 = 廖亦德: 線性代數專題 x A i i I, x A i i I ( 非數學系通常只考慮有限多個集合的聯集與交集. ) 說明 (1) x A 1 A 2 . A

35、k x A 1且 x A 2且 x A 3且且 x A k( x 屬於每個A i) i=1,2,., k, x A i(2) x A 1 A 2 . A k x A 1或 x A 2或 x A 3或或 x A k( x 屬於某個A i) i=1,2,., k, x A i(3) 人類並不能執行無限多次的運算. 因此無限級數並不是“無限多項的加法”, 數學上是將無限級數定義成“部份和的極限”: x i = x 1 +x 2 + = lim (x 1 +x 2 +.+x k ) i=1 k 極限值可能存在或不存在, 所以無限級數有收斂發散的問題. 另一方面, 無限集合族的聯( 交) 集也不是

36、“無限多項的聯( 交) 集”. 但它並不是定義成“部份聯( 交) 集”的極限. 事實上我們也欠缺測量“兩個集合接近程度”的方法. 無限集合族的聯( 交) 集是用“there exist (for all) ”直接下定義. 這個聯( 交) 集必定存在, 沒有收斂發散的問題 (4) 無限聯集,無限交集不能用極限計算. 而且在邊界點要特別小心! 例10.1 3 A i A i A 1, A 2, A 3 i 1,2,3 i = 1 例10.2 專題二: 數學基礎 = 19 = 對正整數n, 令B n x (1/n) x 100+(1/n) . B n n=1, 2, ., k =x | n=1

37、, 2, ., k, x B n = x | n=1, 2, ., k, (1/n) x 100+(1/n) = x 1x100 檢驗是否合條件 ) = x 1x 100 ( 注意:100 合條件!) B n n + =x | n + , x B n = x | n + , (1/n) x 100+(1/n) ( 分別對 x101 檢驗是否合條件 ) x 0x 101 ( 注意:0 不合條件!) 例10.3 設A t x t x t 2 則 A t t =x | t , x A t =x | t , t x t+2 = , A t t =x | t , x A t =x | t , t x t+2= 【要點】 A ( B i ) =(A B i ), A ( B i ) = (A B i ) distribution law i I i I i I i I( B i ) C = (B i C ) , ( B i ) C ( B i C ) DeMorgans laws i I i I i I i I

展开阅读全文