1、 第 8 章 强 度 理 论 提要：前面各章我们已经研究了基本变形时构件的强度条件，本章主要是根据材料的力学性能以及受力情况，对危险点处于复杂应力状态下的构件，建立常温静荷载下的强度条件，即由主应力来建立强度条件。 构件受力后处于复杂应力状态时，其主应力就不止一个，在这种情况下，通过试验来确定构件的强度几乎是不可能的。为此，人们根据大量的破坏现象，通过判断、推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善。本章提出了关于材料破坏原因的假设及计算方法，建立了复杂应力状态下的强度条件，主要介绍目前的4种常用的强度理论的意义、发展、内容及其应用。 8.1 强度
2、理论的概念 基本变形时构件的强度条件是建立在实验的基础上。杆轴向拉、压时，材料处于单向应力状态，它的强度条件为 maxmaxNA = 式中，材料的许用应力 是直接通过拉伸试验测出材料失效时的应力再除以安全系数 n 获得的。 圆轴扭转时，材料处于纯剪切应力状态，它的强度条件为 maxmaxtTW = 式中，材料的许用应力 也是直接通过试验测出材料失效时的应力再除以安全系数 n 获得的。 至于梁横力弯曲时的弯曲正应力和弯曲切应力，其强度条件分别为 maxmaxZMW = ， max maxmaxQFSIb = 式中，材料的许用应力 和 也是直接通过拉伸试验测出材料的失效应力再除以安全系数 n 获得
3、的。 所以说，在以上简单应力状态下建立强度条件是比较简单的，它只要做拉伸或压缩试验即可以解决。 工程实践中大多数受力构件处于复杂应力状态。如果从主应力来考虑，一般情况下三个主应力1 、2 、3 之间可能有各种比值。实际上很难用实验方法来测出各种主应力比例下材料的极限应力。解决这样的问题，只能从简单应力状态下的实验结果出发，推测材料破坏的主要原因。构件在外力作用下，任意一点都有应力和应变，而且积蓄了应变能。材料力学 174 174 可以设想，材料的破坏与危险点的应力、应变或应变能等某个因素有关。从长期的实践和试验数据中分析材料破坏的现象，进行推理，对材料破坏的原因提出各种假说。这种假说认定材料的
4、破坏是某一特定因素引起的，不论是在简单应力状态还是在复杂应力状态下，都是由同一因素引起破坏，所以可以用简单应力状态下试件的试验结果与复杂应力状态下构件的破坏联系起来。这样就建立了强度理论。 综合分析材料破坏的现象，认为构件由于强度不足将引发两种失效形式： (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于断裂的强度理论为：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。 (2) 塑性屈服 (流动 )：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大切应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于屈服的强度理论为最大切
5、应力理论和形状改变比能理论。 为此，对强度破坏提出了各种不同的假说。各种假说尽管各有差异，但它们都认为：材料之所以按某种方式破坏 (屈服或断裂 )，是由于应力、应变和应变能等诸因素中的某一因素引起的。按照这类假说，无论单向应力状态还是复杂应力状态，造成破坏原因是相同的，即引起破坏的因素是相同的。强度理论就是关于材料破坏现象主要原因的假设。即认为不论是简单应力状态还是复杂应力状态，材料某一类型的破坏是由于某一种因素引起的。据此，可以利用简单应力状态的实验结果，来建立复杂应力状态的强度条件。我们称其为 强度理论 (strength theories)。 8.2 四个强度理论 由于材料的破坏按其物理
6、本质分为脆断和屈服两类形式，所以，强度理论也就相应地分为两类，下面就来介绍目前常用的四个强度理论。 8.2.1 最大拉应力理论 这一理论又称为第一强度理论。这一理论认为破坏主因是最大拉应力。不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应力达到单向拉伸时的强度极限，即断裂。 破坏形式：断裂。 破坏条件： 1 b = (8.1) 强度条件： 1 (8.2) 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况则不适合。 缺点：未考虑其他两主应力。 使用范围：适用脆性材料受拉。如铸铁拉伸，扭转。 第 8 章 强度理论 175 17
7、58.2.2 最大伸长线应变理论 这一理论又称为第二强度理论。这一理论认为破坏主因是最大伸长线应变。不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应变达到单向拉伸时的极限值，即断裂。破坏假设：最大伸长应变达到简单拉伸的极限 (假定直到发生断裂仍可用胡克定律计算 )。 破坏形式：断裂。 脆断破坏条件： 1buE= 11231( )E =+ 破坏条件： 123()b += (8.3) 强度条件： 123() + (8.4) 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。但是，其实验结果只与很少的材料吻合，因此已经很少使用。 缺点：不能广泛解释脆断破坏一般规律。
8、使用范围：适于石料、混凝土轴向受压的情况。 8.2.3 最大切应力理论 这一理论又称为第三强度理论。这一理论认为破坏主因是最大切应力max 。不论复杂、简单的应力状态，只要最大切应力达到单向拉伸时的极限切应力值，即屈服。破坏假设：复杂应力状态危险标志最大切应力达到该材料简单拉、压时切应力极限。 破坏形式：屈服。 破坏因素：最大切应力。 屈服破坏条件： maxmax 1 321()2su =破坏条件： 13 s = (8.5) 强度条件： 13 (8.6) 实验证明，这一理论可以较好地解释塑性材料出现塑性变形的现象。但是，由于没有考虑2 的影响，故按这一理论设计的构件偏于安全。 缺点：无2 影响
9、。 使用范围：适于塑性材料的一般情况。形式简单，概念明确，机械广用。但理论结果较实际偏安全。 8.2.4 形状改变比能理论 这一理论又称为第四强度理论。这一理论认为：不论材料处在什么应力状态，材料发材料力学 176 176 生屈服的原因是由于形状改变比能 (du )达到了某个极限值。由此可建立如下 破坏条件：22212 23 311()2()()2s += 强度条件： 22241223311()()()2r =+ (8.7) 根据几种材料 (钢、铜、铝 )的薄管试验资料，表明形状改变比能理论比第三强度理论更符合实验结果。在纯剪切下，按第三强度理论和第四强度理论的计算结果差别最大，这时，由第三强
10、度理论的屈服条件得出的结果比第四强度理论的计算结果大 15%。 四种强度理论的统一形式：令相当应力rn ，有强度条件统一表达式 rn 。 相当应力的表达式： 11r = 21 23()r = + 313r = 22241223311()()()2r =+ 8.3 莫尔强度理论 莫尔强度理论并不是简单地假设材料的破坏是由某一个因素 (例如应力、应变或比能 )达到了其极限值而引起的，它是以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据，考虑了材料拉、压强度的不同，承认最大切应力是引起屈服剪断的主要原因并考虑了剪切面上正应力的影响而建立起来的强度理论。 强度条件： 13 + (8.) 相当应力表达式： 13
11、rm += (8.9) 分析：莫尔强度理论考虑了材料抗拉和抗压能力不等的情况，这符合脆性材料 (如岩石混凝土等 )的破坏特点，但未考虑中间主应力2 的影响是其不足之处。对于 +和 相同的材料，式 (8.8)可演化成式 (8.6)。 8.4 各种强度理论的适用范围 8.4.1 强度理论的选用原则 1. 强度理论的选用原则 (1) 脆性材料：当最小主应力大于等于 0 时，使用第一理论；当最小主应力小于 0 而第 8 章 强度理论 177 177最大主应力大于 0 时，使用莫尔理论。当最大主应力小于等于 0 时，使用第三或第四强度理论。 (2) 塑性材料：当最小主应力大于等于 0 时，使用第一强度理
12、论；其他应力状态时，使用第三或第四强度理论。 (3) 简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用： max (4) 破坏形式还与温度、变形速度等有关。 8.4.2 强度计算的步骤 强度计算的步骤如下。 (1) 外力分析：确定所需的外力值。 (2) 内力分析：画内力图，确定可能的危险面。 (3) 应力分析：画危险面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。 (4) 强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。 【例 8.1】 图 8.1 所示单元体，试按第三、第四强度理论求相当应力。 分析 ：本题所给出的 2 个单元体分别为二向和三向主应力单元体，为此可直接根据单元
13、体上的三个主应力应用公式 (8.6)公式 (8.7)求解。 解： (a)图所示为二向应力状态单元体，则： 图 8.1 例 8.1 图 31322240 ( 120) 120MPa1(0 120) ( 120 120) ( 120 0) 120MPa2rr = =+=(b)图所示为三向应力状态单元体，则： 322 2470 ( 220) 150MPa1(150 70 220 ) 195MPa2rr= =+=【例 8.2】 铸铁零件危险点单元体如图 8.2 所示。+=50MPa， =150MPa。用莫尔理论校核其强度。 分析：先求出单元体上的主应力，再由公式(8.8)校核 其强度。 图 8.2 例
14、 8.2 图 材料力学 178 178 解： (1) 求主应力 22128 28() (24) 41.8MPa22 =+ + = 22328 28( ) ( 24) 13.8MPa22 = + = (2) 强度校核 5041.8 ( 13.8) 46.4MPa 150rm += 故此零件安全。 【例 8.3】 受内压力作用的容器， 其圆筒部分任意一点 A(图 8.3(a)处的应力状态如图 8.3(b)所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得41.88 10x=，47.37 10y=。已知钢材的弹性模量 E=210GPa，泊松比0.3 =，许用应力 170MPa = 。试按第三强度理论校核
15、A 点的强度。 分析 ：首先根据已知条件，计算出A点上的应力，确定其主应力，然后代入第三强度理论公式进行计算，校核其强度。 图 8.3 例 8.3 图 解： 944229442212 32.1 10( ) (1.88 10 0.3 7.37 10 ) 62.8MPa11.32.1 10( ) (7.37 10 0.3 1.88 10 ) 183MPa11.3183MPa 62.8MPa 0xxyyyxyxEE =+= +=+= += = =，根据第三强度理论： 313183MPar= 3183 170100% 7.64%170r=3r超过 的 7.64%，不能满足强度要求。 【例 8.4】 图
16、 8.4 所示一 T 型截面的铸铁外伸梁，试用莫尔强度理论校核 B 截面腹板与翼第 8 章 强度理论 179 179缘交界处的强度。铸铁的抗拉和抗压许用应力分别为 30MPa+= ， 160MPa= 。 分析：本题主要是要确定B截面腹板与翼缘交界处横截面上的主应力，然后用莫尔强度理论公式校核其强度。为此，必先计算B截面b点的正应力和切应力，再求出主应力，由此代入莫尔强度理论公式校核其强度。 图 8.4 例 8.4 图 解：由图 8.4 易知， B 截面： 4M = kN m， 6.5kNQF = 。 根据截面尺寸求得： 4763cmzI = ，*367.2cmzS = 从而算出： 64*334
17、410 3216.8MPa763 106.5 10 67.2 102.86MPa763 10 20zQzzMyIFSIb = = = =在截面 B 上，翼缘 b 点的应力状态如图 8.4 所示。求出主应力为：由于铸铁的抗拉、压强度不等，应使用莫尔强度理论，有： 1 22317.316.8 16.8( ) 2.86 MPa0.4722 = + =13 3017.3 ( 0.47) 17.4MPa 160rm += = = 故满足莫尔强度理论的要求。 8.5 小 结 1. 强度理论的概念 强度理论是关于材料失效现象主要原因的假设。即认为不论是简单应力状态还是复杂应力状态，材料某一类型的破坏是由于某
18、一种因素引起的。据此，可以利用简单应力状态的实验结果，来建立复杂应力状态的强度条件。 2. 常用的5种强度理论及相当应力 11r= 21 23()r= + 313r= 材料力学 180 180 22241223311()()()2r =+ 13rm += 3. 强度理论的适用范围 不仅取决于材料的性质，而且还与危险点处的应力状态有关。一般情况下，脆性材料选用关于脆断的强度理论与莫尔强度理论，塑性材料选用关于屈服的强度理论。但材料的失效形式还与应力状态有关。例如，无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力情况下将以断裂形式失效，宜采用最大拉应力理论。在三向压应力情况下都引起塑性变形，宜采用第三或第四强度
19、理论。 8.6 思 考 题 1. 什么叫强度理论，为什么要研究强度理论？ 2. 四种强度理论的强度条件是什么？说明其基本观点，并阐明其适用范围？ 3. 为什么有不同的强度理论？四种强度理论的优缺点？ 4. 已知一点的应力状态如图 8.5 所示，若 ， ，为什么不能说该点的应力满足强度条件？理由何在？ 图 8.5 思考题 1 图 5. 低碳钢试件轴向拉压时，破坏是沿着与轴线约成 45面上发生的，铸铁轴向压缩时也是如此，这些都是与最大切应力 (max122PA = )有关的，为什么在第 2 章中建立强度条件时都是从最大正应力考虑呢 ? 8.7 习 题 1. 直径为 d=0.1m 的圆杆受力如图 8
20、.6 所示， 7T = kN m， 50kNP = ， T=7 kN m， P=50kN ，为铸铁构件， 40MPa = ，试用第一强度理论校核杆的强度。图 8.6 习题 1 图 第 8 章 强度理论 181 1812. 如图 8.7 所示两端封闭的铸铁圆筒，承受内压 MPa 5=p 、轴向压力 kN 100=F 和力偶矩 mkN 3e=M 的共同作用，若其内径 mm 100=d ，壁厚 mm 10=t ，铸铁的许用拉应力 MPa 40t= ，泊松比 25.0= 。试按第二强度准则校核其强度。 p.FFMe Me图 8.7 习题 2 图 3. 如图 8.8 所示钢制圆柱形薄壁压力容器，其内径 mm 800=d ，壁厚 mm 4=t ，材料的许用应力 MPa 120 = 。试分别用第三和第四强度理论确定该容器的许用内压 p 。 pdt.图 8.8 习题 3 图 4. 如图 8.9 所示为用 25b 工字钢制成的简支梁，钢的许用应力 MPa 160 = ，许用切应力 MPa 100 = 。试对该梁作全面的强度校核。 10kN/m0.2m200kN 200kN0.2m2mDCAB1011825013z图 8.9 习题 4 图 5. 已知铸铁零件内危险点处的应力如图所示，试分别按第二强度理论及莫尔强度理论校核零件的强度是否安全。 图 8.10 习题 8.5 图
